[32452883]13、微专题：正弦定理及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】微专题：正弦定理及其应用设中分别是角所对的边，为的外接圆半径；正弦定理：；【理解】1、正弦定理的特点（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立；（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式；（3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化；2、正弦定理及其推论设ABC的外接圆半径为R，则（1）2R；（2）a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；（3）sin A，sin B，sin C；（4）在ABC中，ABabsin Asin B.3、三角形面积公式（1）Sahabhbchc；（2）Sabsin C b

2、csin Acasin B.【典例】题型1、已知三角形两角及一边解三角形例1、在ABC中，已知A60，B45，c2，解这个三角形。【提示】；【解析】【说明】已知任意两角和一边，解三角形的步骤：（1）求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；（2）求边：根据正弦定理，求另外的两边；已知内角不是特殊角时，往往先拆角求出其正弦值，再根据以上步骤求解；题型2、已知三角形两边及一边的对角解三角形例2、在ABC中，已知c，A45，a2，解这个三角形；【提示】；【解析】【说明】利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径：（1）化角为边，将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配

3、方等)得到边的关系，如ab，a2b2c2等，进而确定三角形的形状，利用的公式为sin A，sin B，sin C；（2）化边为角，将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状，利用的公式为a2Rsin A，b2Rsin B；c2RsinC；题型3、判断三角形形状的判断例3、在ABC中，acosbcos，判断ABC的形状。【提示】；【答案】；【解析】方法1、方法2：【说明】通过本题说明：已知边、角条件，判断三角形形状，一般有两种方法：1、全部化为边，强调一边为零，一边因式分解；2、全部化成三角比，然后进行三角变换；【归纳】1、记牢【1

4、】个定理正弦定理：2R(其中R为ABC外接圆的半径)2、掌握【2】个变形（1）abcsin Asin BsinC；（2）.3、关注【3】个应用（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角；（3）判断三角形的形状；4、注意二个易错点（1）已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况；（2）在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”；【即时练习】1、在ABC中，若，则C的值为（ ）A30B45C60D902、在中，则满足条件的有（ ）A0个B1个C2个D不确定3、在ABC中，a7，c5，则sin Asin C的值是

5、 4、在ABC中，absin A，则ABC一定是 三角形5、已知ABC外接圆半径是2，A60，则BC边长为_6、在ABC中，A120，AB5，BC7，则的值为 7、在ABC中，a2bcos C，则这个三角形一定是 三角形8、在ABC中，若(sin Asin B)(sin Asin B)sin2C，则ABC是_三角形9、已知b10，c5，C60，解三角形10、在ABC中，若b5，B，tan A2，求c的值【教师版】微专题：正弦定理及其应用设中分别是角所对的边，为的外接圆半径；正弦定理：；【理解】1、正弦定理的特点（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立；（2）结构形式：分子为三角形的边长，分

6、母为相应边所对角的正弦的连等式；（3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化；2、正弦定理及其推论设ABC的外接圆半径为R，则（1）2R；（2）a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；（3）sin A，sin B，sin C；（4）在ABC中，ABabsin Asin B.3、三角形面积公式（1）Sahabhbchc；（2）Sabsin C bcsin Acasin B.【典例】题型1、已知三角形两角及一边解三角形例1、在ABC中，已知A60，B45，c2，解这个三角形。【提示】注意：ABC中有关角的隐含条件：A+B+C=180；【解

7、析】在ABC中，C180(AB)180(6045)75.sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30；根据正弦定理，得a(1)3，所以b2(1)；【说明】已知任意两角和一边，解三角形的步骤：（1）求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；（2）求边：根据正弦定理，求另外的两边；已知内角不是特殊角时，往往先拆角求出其正弦值，再根据以上步骤求解；题型2、已知三角形两边及一边的对角解三角形例2、在ABC中，已知c，A45，a2，解这个三角形；【提示】注意：在ABC中，已知正弦比值求角，涉及“角的个数”的确定；【解析】因为，所以，sin C，则，C60或C120；当C6

8、0时，B75，b1；当C120时，B15，b1.所以，b1，B75，C60或b1，B15，C120；【说明】利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径：（1）化角为边，将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如ab，a2b2c2等，进而确定三角形的形状，利用的公式为sin A，sin B，sin C；（2）化边为角，将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状，利用的公式为a2Rsin A，b2Rsin B；c2RsinC；题型3、判断三角形形状的判断例3、在ABC中，acosb

9、cos，判断ABC的形状。【提示】注意：边、角互化；【答案】等腰三角形；【解析】方法1、（化角为边）因为，acosbcos，所以，asin AbsinB由正弦定理可得，ab，则a2b2，所以，ab，所以，ABC为等腰三角形；方法2：（化边为角）因为， acosbcos，所以，asin AbsinB由正弦定理可得，2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B，所以，AB；(AB不合题意舍去)故ABC为等腰三角形；【说明】通过本题说明：已知边、角条件，判断三角形形状，一般有两种方法：1、全部化为边，强调一边为零，一边因式分解；2、全部化成三角比，然后进行三角变换；【归纳】1、记牢【1】个定

10、理正弦定理：2R(其中R为ABC外接圆的半径)2、掌握【2】个变形（1）abcsin Asin BsinC；（2）.3、关注【3】个应用（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角；（3）判断三角形的形状；4、注意二个易错点（1）已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况；（2）在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”；【即时练习】1、在ABC中，若，则C的值为（ ）A30B45C60D90【答案】B【解析】由正弦定理可将变形为.2、在中，则满足条件的有（ ）A0个B1个C2个D不确定【答案】C【解析】因为

11、，所以，所以三角形有两个解，即满足条件的有2个；故选：C.3、在ABC中，a7，c5，则sin Asin C的值是 【答案】；【解析】由正弦定理得sin Asin Cac75；4、在ABC中，absin A，则ABC一定是 三角形【答案】直角；【解析】由题意有b，则sin B1，即角B为直角，故ABC是直角三角形；5、已知ABC外接圆半径是2，A60，则BC边长为_【答案】2；【解析】因为2R，所以BC2Rsin A4sin 602.6、在ABC中，A120，AB5，BC7，则的值为 【答案】；【解析】由余弦定理得 ，即，得，由正弦定理得；7、在ABC中，a2bcos C，则这个三角形一定是

12、三角形【答案】等腰；【解析】由a2bcos C，得sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0，BC，ABC为等腰三角形；8、在ABC中，若(sin Asin B)(sin Asin B)sin2C，则ABC是_三角形【答案】直角；【解析】由已知得sin2Asin2Bsin2C，根据正弦定理2R，所以222，即a2b2c2，故b2c2a2，所以ABC是直角三角形；9、已知b10，c5，C60，解三角形【解析】sin B，且bc，C60.B45，A180(BC)75.a5(1).10、在ABC中，若b5，B，tan A2，求c的值【解析】由tan A2，知sin A，cos A，则sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B；在ABC中，由正弦定理知，解得c3；