[32644872]解密21统计与概率(讲义)-【高频考点解密】2022年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练（全国通用）.docx

1、解密21 统计与概率考点热度 内容索引核心考点1 抽样方法核心考点2 用样本估计总体抽样方法核心考点3 变量间的相关关系核心考点4 独立性检验核心考点5 古典概型核心考点6 几何概型核心考点7 随机变量及其分布核心考点8 考查古典概型与统计交汇考查核心考点9 随机变量及其分布与统计交汇 高考考点三年高考探源预测抽样方法2019课标全国3对于随机抽样，主要考查三种抽样方法，尤其是分层抽样和系统抽样，一般以选择题和填空题的形式出现。用样本估计总体2021全国甲卷文、理22020课标全国192019课标全国52019课标全国17从近五年高考来看，主要考查利用频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征估计

2、总体，各种题型都有，难度中档偏下。变量间的相关关系2020课标全国52020课标全国19对于回归分析，高考考查较多，主要考查求线性回归方程、利用回归方程进行预测，一般以解答题的形式出现，难度中等，有时也会以小题的形式考查变量的相关性。独立性检验2021全国甲卷文、理17对于独立性检验，一般以解答题的第一问进行考查，常与概率知识相交汇命题。古典概型2021全国甲卷文、理102020课标全国32019课标全国13本节是高考的热点，常以选择题和填空题的形式出现，主要考查古典概型，与长度、面积有关的几何概型，有时也与其他知识进行交汇命题，以解答题的形式出现，如概率与统计和统计案例的综合，求解时要掌握古

3、典概型和几何概型的应用条件和计算公式。几何概型20212全国卷理82021全国甲卷文72021全国甲卷理8随机变量及其分布2020新课标全国192021全国甲卷文、理17概率是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型、随机变量及其分布等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，且多为古典概型、随机变量及其分布与茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查。古典概型与统计交汇考查2020课标全国3随机变量及其分布与统计交汇考查2019课标全国21 核心考点一 抽样方法考法 抽样方法变式一 简单随机抽样1、（2022湖北应城市第一高级中学高三阶段练习）

4、我国古代数学名著数书九章是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献数书九章中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）A148石B149石C150石D151石【答案】A【解析】抽样调查中简单随机抽样，对象被抽到的概率是相同的， 304粒夹谷30粒，1500石米夹谷的比例是相同的，计算即可.【详解】由题意可知这批米内夹谷约为（石）故选：A.变式二

5、系统抽样2、（2021江西宜春高二期末（理）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若45号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）A8号学生B200号学生C615号学生D816号学生【答案】C【解析】根据题意，建立第组与所抽取编号之间的对应关系，即可对每个选项逐一分析和判断.【详解】因为总共有名学生，需要抽取名，故需要分为组，组距为，不妨设第组抽到的学生编号是，则由系统抽样可知，为公差的等差数列，则可设，又号学生在第组，即，则；故，当或或时，都不是整数，故不可能抽到；当时，即，解得，即第组抽取的编

6、号是.故选：.技巧点拨利用系统抽样分段时，若分段间隔不为整数，应先随机剔除部分元素，再分组，但每个个体被抽到的概率仍为.此问题易忽视变式三 分层抽样1、（2022广西百色高二期末（文）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（ ）ABCD【答案】D【解析】利用抽样的性质求解【详解】所有学生数为，所以所求概率为.故选：D2、（2022河南焦作一模（文）某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则

7、应抽取博士生的人数为（ ）A20B25C40D50【答案】A【解析】直接利用分层抽样，即可计算.【详解】因为学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，所以应抽取博士生的人数为故选：A3、（2022山西临汾一模（理）为了庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织了一次“学党史、强信念、跟党走”主题竞赛活动.活动要求把该学校教师按年龄分为35岁以下，岁，45岁及其以上三个大组.用分层抽样的方法从三个大组中抽取一个容量为10的样本，组成答题团队，已知岁组中每位教师被抽到的概率为，则该学校共有教师（）人A120B180C240D无法确定【答案】C【解析】根据抽样过程中每个个体被抽到的概率

8、都相等可得答案.【详解】因为在抽样过程中，每位教师被抽到的概率都相等，所以该学校共有教师人.故选：C.核心考点二 用样本估计总体抽样方法考法 用样本估计总体抽样方法变式一 数字特征的应用1、（广西钦州市2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题）沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B这一年的总利润超过400万元C这12个月利润的中位数与众数均为30 D7月份的利润最大【答案】B【解析】根据图形和中位数、众数的概念依次判断选项即可.【详解】A：由图可知，月收入的最大值为9

9、0，最小值为30，故A正确；B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以总利润为20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(万元)，故B错误；C：这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确；D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确.故选：B2、（2022四川成都七中高三开学考试（文）在成都市“高三第一次诊断性”考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（ ）A平均分变大，方差不变B平均分变小

10、，方差不变C平均分不变，方差变大D平均分不变，方差变小【答案】D【解析】依据平均数和方差的定义去判断即可解决.【详解】设该班原有n位同学，数学成绩记为原平均分，原方差该同学回归校园后新平均分，即平均分不变.该同学回归校园后新方差，即方差变小.故选：D变式二 茎叶图的应用1、（2022上海奉贤区致远高级中学高二期末）为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）. 考虑以下结论：甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的

11、气温的标准差；甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据茎叶图数据求出平均数及标准差即可【详解】由茎叶图知甲地该月时的平均气温为，标准差为由茎叶图知乙地该月时的平均气温为，标准差为则甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，故正确，乙平均气温的标准差小于甲的标准差，故正确，故正确的是，故选：B2、（2022四川绵阳二模（理）如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量（单位：度），根据茎叶图，下列说法正确的是（ ）A甲家庭用电量的中位数为33B乙家庭用电量的极差为46C甲家庭用电量的方差小

12、于乙家庭用电量的方差D甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值【答案】C【解析】根据给定茎叶图，逐项分析计算，再判断作答.【详解】对于A，由茎叶图知，甲家庭用电量的中位数为32，A不正确；对于B，由茎叶图知，乙家庭用电量的极差56-11=45，B不正确；对于C，甲家庭用电量的平均数，乙家庭用电量的平均数，甲家庭用电量的方差，乙家庭用电量的方差，显然，即甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差，C正确；对于D，由C选项的计算知，甲家庭用电量的平均值低于乙家庭用电量的平均值，D不正确.故选：C3、（2021黑龙江哈尔滨市第六中学校高三期中（文）某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥，在自动包装传送带上

13、每隔分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲： 乙：(1)画出这两组数据的茎叶图；(2)求出这两组数据的平均值和方差（用分数表示）；并说明那个车间的产品较稳定；(3)从甲中任取一个数据，从乙中任取一个数据，求满足条件的概率【答案】(1)答案见解析 (2)平均数均为100，甲稳定 (3)【解析】（1）直接画出茎叶图即可.（2）根据公式计算平均值和方差得到答案.（3）列出所有情况，统计不满足的情况，计算概率得到答案.(1)茎叶图如图所示：(2)，甲更稳定.(3)所有可能的情况有：，共有9种.不满足的情况有：，三种，故.变式三 频率分布直方图的应用1、（2022上海曹杨二中高二期末）某学

14、校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：；若抽取100人，则平均用时13.75小时；若从每周使用时间在，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.【详解】，故正确；根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，的说法太绝对，故错误；每周使用时间在

15、，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故正确.故选：B.2、（2022北京西城高一期末）为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（ ）A0.38B0.61C0.122D0.75【答案】B【解析】利用频率组距，即可得解.【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在内的概率故选：B3、（2021江苏南京市中华中学高三期中）从某小区抽取10

16、0户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.在这些用户中，用电量落在区间内的户数为（ ）A48B52C60D70【答案】B【解析】根据频率分布直方图的性质，求得的值，进而求得用电量落在区间内的频率，即可求得用电量落在区间内的户数，得到答案.【详解】由频率分布直方图的性质，可得，解得，所以用电量落在区间内的频率为，用电量落在区间内的户数为户.故选：C.4、（2021宁夏贺兰县景博中学高二期中（理）中国诗词大会是中央电视台最近推出的一档有重大影响力的大型电视文化节目，今年两会期间，教育部部长陈宝生答记者问时就给予其高度评价.基于这样的背景，某中学积极响应，

17、也举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了图1的频率分布直方图和图2的茎叶图（但中间三行污损，看不清数据）.(1)求样本容量和频率分布直线方图中的，的值；(2)分数在的学生中，男生有人，现从该组抽取人“座谈”，求至少有名男生的概率.【答案】(1)n=50， (2)【解析】（1）频率分布直方图和茎叶图相结合求出样本容量，的值；（2）用列举法把所有情况列举出来，从中找到符合要求的情况，用古典概型求概率公式进行求解.(1)由茎叶图可知：位于区间的样本数为个，由频率分布直方图可知：位于区间的频率为，所以，位于区间的样本数为2个，所以，因为，所以；(

18、2)区间共有人，用 、表示女生，表示男生则基本事件空间可表示为总的基本事件共有个，至少有名男生包含的基本事件为有个，所以至少有名男生的概率为.技巧点拨利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，易出错，应注意区分这三者，在频率分布直方图中：（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和核心考点三 变量间的相关关系考法 变量间的相关关系变式一 线性回归方程及应用1、（2022吉林双辽市第一中学高三期末（文）新能源汽车是指采用非常规的车用燃

19、料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV）、纯电动汽车（BEV，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x12345销售量y（万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为，则的值是（ ）A0.28B0.32C0.56D0.64【答案】A【解析】先计算，再根据样本中心点

20、适合方程解得的值即可.【详解】由表中数据可得，将代入，即，解得故选:A2、（2022安徽淮北一模（文）垃圾分类是保护环境，改善人居环境促进城市精细化管理保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ）A变量、之间呈正相关关系B可以预测当时，的值为CD由表格中数据知样本中心点为【答案】C【解析】利用回归直线方程可判断A选项；将代入回归直线方程可判断B选项；计算出样本的中心点坐标，结合平均数公式可判断CD选项.【详解】对于A选项

21、，因为回归直线方程，故变量、之间呈正相关关系，A对；对于B选项，当时，B对；对于CD选项，则，故样本的中心点的坐标为，另一方面，解得，C错D对.故选：C.3、（2022山东青岛高三期末）已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程，其中，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为_万元；【答案】85【解析】根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当 的函数值即可【详解】由上表可知：.得样本点的中心为，代入回归方程，得.所以回归方程为，将代入可得：.故答案为：854、（江苏省2022届高三

22、上学期百校大联考（决胜新高考）数学试题）劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值为了帮助实践基地科学学种植，提高产量，某班级数学建模兴趣小组收集了A作物的亩施肥量x(kg)和亩产量y(kg)的有关数据，数据如下表：亩施肥量02.557.510亩产量70150200250320(1)求亩产量y关于亩施肥量x的线性回归方程；(2)估计亩施肥量为20kg时亩产量；根据资料记载，当施肥量为20kg时，亩产量约为390kg，请给出解释参考公式：，【答案】(1)(2)亩产量kg；施肥过量，导致作物有部分被烧坏，导致产量下降.【解析】（1）求出，代入，

23、 可得答案；（2）把20kg代入线性回归方程可得答案；根据实际产量和估计亩产量分析可能是施肥过量导致.(1)， ，所以求亩产量y关于亩施肥量x的线性回归方程为.(2)当20kg时，估计亩施肥量为亩产量kg；当施肥量为20kg时，亩产量约为390kg，可能施肥过量，导致作物有部分被烧坏，导致产量下降.技巧点拨利用回归直线方程可以进行预测与估计，但要注意回归直线方程表明的是两组数据之间的相关关系，而不是函数关系，所以利用该方程求出的数值都是估计值，而不是一个确定的数值变式二 非线性回归方程及应用1、（2021云南师大附中高三阶段练习（文）近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势一方面，化

24、肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染、空气污染、土壤污染的重要来源之一如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值化肥施用量为（单位：公斤），粮食亩产量为（单位：百公斤）参考数据：65091.552.51478.630.5151546.5表中(1)根据散点图判断，与，哪一个适宜作为粮食亩产量关于化肥施用量的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；(2)根

25、据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；(3)根据（2）的回归方程，并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量的值；附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；取【答案】(1)更适合作为关于的回归方程类型； (2)； (3)810公斤.【解析】（1）根据散点图即可判断，更适合作为关于的回归方程类型；（2）对两边取对数，得，即，根据表中数据求出，再根据最小二乘法求出和的值，从而得出关于的回归方程；（3）由（2）得，当时，即可预测粮食亩产量的值.(1)解：根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型.(2)解：对两边取对数，得，即，由表中数据得：， ，所以，所以关于的回

26、归方程为.(3)解：由（2）得，当时，所以当化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量约为810公斤.2、（2022湖北荆州中学高三期末）某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，得到相关数据如表所示：1515（1）从；三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；（3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？结果保留到万元参考数据：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【答案】（1）选择回归类型更好；（2）

27、；（3）下一年应至少投入万元广告费用【解析】（1）根据散点图形状可确定回归类型；（2）对两边取对数，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；（3）令可解出的范围，进而确定结果.【详解】（1）由散点图知，年广告费用和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回归类型更好（1）对两边取对数，得：，即，由表中数据得：，年广告费用和年利润额的回归方程为（3）由（2）知：，令得：，解得：，（十万元），十万元万元下一年应至少投入万元广告费用技巧点拨如果两个变量呈非线性相关关系，则可通过恰当的变换，将其转化成线性关系，再求线性回归方程.核心考点四 独立性检验考法 独立性检验变式一 两类变量相关

28、性的判断1、（2021河南温县第一高级中学高三阶段练习（文）微信和是中国最受欢迎的两个即时通讯软件，作为具有同样功能的软件，二者的业务不可避免地重叠，但是从大众分析调查来看，二者的受众人群有着一些小区别.某机构用简单随机抽样方法调查了100位社区网络员手机即时通讯软件的使用情况，结果如下表，35岁以上35岁以下总计微信452065132235总计5842100附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828则下列结论正确的是（）A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“使用即时通讯工具与年龄有关”B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“使用即时通讯工具与年龄无关”

29、C有99%以上的把握认为“使用即时通讯工具与年龄有关”D有99%以上的把握认为“使用即时通讯工具与年龄无关”【答案】C【解析】由列联表计算后可得结论【详解】因为，所以有99%以上的把握认为“使用即时通讯工具与年龄有关”，故选：C.变式二 独立性检验与概率、统计的综合1、（2021四川石室中学模拟预测（文）新潮媒体公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：(1)将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性附：，其中0.0500.010

30、0.0013.8416.63510.828根据已知条件完成下面的22列联表，据此资料你是否有理由认为“体育迷”与性别有关?请说明理由；非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率【答案】(1)列联表见解析；没有理由认为“体育迷”与性别有关 (2)【解析】（1）根据题意求出体育迷的总人数，从而可填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意利用列举法求出基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算所求的概率值(1)解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的

31、100人中，“体育迷”有人，“体育迷”中有10名女性，则有15名男性，则“非体育迷”中有45名女性，30名男性，从而完成列联表如下； 非体育迷体育迷合计男301545女451055总计7525100由表中数据，计算，因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关；(2)解：由频率分布直方图知“超级体育迷”有人，其中有2名女性，记为、，3名男性，记为、，从这5人中任意选取2人，所有的基本事件为：、共10种，至少有1名女性观众的事件为：、共7种，故至少有1名女性观众的概率2、（重庆市长寿区2022届高三上学期期末数学试题）“学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习

32、热潮该平台以全方位、多维度、深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们2021年年底的积分情况，并将数据整理如下：积分性别20003000（分）30014000（分）40015000（分）50016000（分）6000（分）男性8060302010女性2060100200(1)已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的22列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型

33、”与“性别”有关；优秀员工非优秀员工总计男性女性总计(2)以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为，求的分布列与数学期望附：0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】(1)列联表见解析，没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关(2)分布列见解析，数学期望为【解析】（1）先利用所给数据表完善22列联表，再利用公式求出，利用临界值表进行判定；（2）先求出从已选取的400人中随机抽取1人，属于“非优秀员工”的概率为，列出X的所有可能取值，求出每个变量对应的概率，列表得到分布列，利用期

34、望公式进行求解.(1)解：补全22列联表如图所示：优秀员工非优秀员工总计男性30170200女性20180200总计50350400，故没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关(2)解：由题知，从已选取的400人中随机抽取1人，属于“非优秀员工”的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，且，所以X的分布列为X0123P所以技巧点拨求解与独立性检验相交汇的问题（1）读懂列联表：明确列联表中的数据（2）计算K2：根据提供的公式计算K2的值（3）作出判断：依据临界值与犯错误的概率得出结论 （4）利用给定数据分析变量取值，计算概率核心考点五 古典概型考法 古典概型变式一 古典概型的概率求解

35、1、（2022广西玉林高二期末（理）某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（）ABCD【答案】B【解析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】记另3名同学分别为a，b，c，所以基本事件为，（a，小王），（a，小张），（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，共3种，综上，小王和小张都没有挑出的概率为故选：B.2、（2022陕西武功县普集高级中学一模（理）几何原本又称原本，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书

36、于公元前300年汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本欧几里得原本十五卷译出前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容某高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分则数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为（）ABCD【答案】C【解析】先求出从这7章里面任选3章共有的选法数，再求出张某在三角形和四边形这两章中至少选一章 的选法数，根据古典概型的概率计算公式可求答案.【详解】数学专业的学生从这7章里面任选3章共有 种

37、选法；数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章共有选法种，故张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为 ,故选：C.3、（2022江西抚州高二期末（理）为了解义务教育阶段学校对双减政策的落实程度，某市教育局从全市义务教育阶段学校中随机抽取了6所学校进行问卷调查，其中有4所小学和2所初级中学，若从这6所学校中再随机抽取两所学校作进一步调查，则抽取的这两所学校中恰有一所小学的概率是（）ABCD【答案】A【解析】由组合知识结合古典概型概率公式求解即可.【详解】从这6所学校中随机抽取两所学校的情况共有种，这两所学校中恰有一所小学的情况共有种，则其概率为.故选：A技巧点拨在选择题或者填空题

38、中利用枚举计数的方法考查古典概型，或结合排列、组合计数的方法考查古典概型，在解答题中常和概率、统计的其他知识结合考查古典概型和概率的性质.变式二 用随机模拟估计概率1、（2020湖南省岳阳县第一中学高二期中）已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623

39、326168045601136619597742476104281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为（）ABCD【答案】B【解析】4次射击的结果的一组数中0与1至多出现1个，共15个，根据概率公式直接得出结论.【详解】代表4次射击的结果的一组数中0与1至多出现1个，共15个，所以估计该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为.故选：B.【点睛】本题考查概率的计算，属于简单题型.核心考点六 几何概型考法 几何概型变式一 几何概型的概率求解1、在区间上随机取一个数，则事件“曲线表示圆”的概率为（）ABCD【答案】D【解析】先求出曲线表示圆参数的范围，再由几何概率可得答案.【详

40、解】由可得曲线表示圆，则解得或又所以曲线表示圆的概率为 故选：D2、（2022江西赣州高二期末（文）某学校的校车在早上6：30，6：45，7：00 到达某站点，小明在早上6：40至7：10之间到达站点，且到达的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是（）ABCD【答案】B【解析】求出小明等车时间不超过5分钟能乘上车的时长，即可计算出概率.【详解】6:40至7：10共30分钟，小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分钟，所以所求概率为.故选：B3、（2022安徽淮南一模（文）在区间上随机取一个数，则的值介于0到之间的概率为（）ABCD【

41、答案】A【解析】结合题意，计算满足条件的的范围，结合几何概型计算公式，计算即可【详解】在区间内满足关系的的范围为，故概率为，故选：A变式二 随机模拟的应用1、（2022全国高三专题练习）从区间随机抽取个数，构成n个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）ABCD【答案】C【解析】点构成的区域是边长为1的正方形，两数的平方和小于1的数构成的区域是四分之一单位圆，从而利用几何概型的概率公式列方程求解即可【详解】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为，从区间随机抽取个数，构成n个数对，对应的区域的面积为，所以，得故选：C.技巧点拨几何概型的判断关

42、键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型.核心考点七 随机变量及其分布考法 随机变量及其分布变式一 离散型随机变量的分布列、均值与方差1、（2022河北高三阶段练习）小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（）ABCD【答案】C【解析】设小明的得分为，则的可能取值为、，求出所对应的概率，即可得到得分的分布列，从而求出数学期望；【详解】解：设小明的得分为，则的可能取值为、，所以，；所以小明得分的分布列为：0510

43、15所以小明答完这3道题的得分期望为，故选：C.2、（2022全国高三专题练习）设随机变量的分布列为，则等于（）ABCD【答案】C【解析】随机变量的分布列的性质求出的值，再根据，代入对应概率，即可求出结果【详解】由题意知，概率分布为由，解得.所以.故选:C.3、（2022全国高三专题练习）随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|1)_，公差d的取值范围是_.【答案】 【解析】根据题意得到且，求得，进而得到的值，再结合分布列的性质，列出不等式，即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，又由分布列的性质，可得，所以，所以，又由，根据分布列的性质，可得且，解得，即公差的取

44、值范围是.01故答案为：；.4、（2022全国高二课时练习）随机变量的概率分布为且，则_.【答案】【解析】利用离散型随机变量及其分布列的概率和为1，求出的值，根据期望，求出的值，再根据方差的公式，即可求出结果.【详解】由，得，得，.故答案为：.5、（2022广东高州二模）某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜已知甲答对每道题目的概率为乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相

45、互独立(1)求乙同学得100分的概率；(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望【答案】(1)； (2)分布列见解析，.【解析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同学得100分的概率；（2）由题意知可能值为，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望.(1)由题意，乙同学得100分的基本事件有乙抢到两题且一道正确一道错误、甲乙各抢到一题都回答正确、甲抢到两题且回答错误，所以乙同学得100分的概率为.(2)由题意，甲同学的累计得分可能值为，；分布列如下：050100150200所以期望.变式二 超几何分布1、（2022全国高三专题练习）从4名男生和2名女生中任选3人参加

46、演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，则P(1)等于（）ABCD【答案】D【解析】由得出所求概率.【详解】故选：D2、（2021全国高二课时练习）新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为()A1B2C3D4【答案】B【解析】根据题意设小王正确完成的面试题数为，则的可能取值为1，2，3求出X的分布列，然后计算数学期望(均值)即可【详解】设小王正确完成的面试题数为

47、，则的可能取值为1，2，3；故选：B另解：设小王正确完成的面试题数为，则，故选：B3、（2021全国高二课时练习）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其平均每月参与马拉松训练的天数进行统计，得到下表：平均每月参与马拉松训练的天数x人数105040依据上表，用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取3人，记抽取的3人中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为Y，则_.【答案】【解析】由随机变量Y的取值范围为，利用超几

48、何分布求得相应概率，然后利用期望公式求解.【详解】用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，其中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为，随机变量Y的取值范围为，所以.故答案为：4、（2022黑龙江哈师大附中高三期末（理）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6 篇，试求：(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；(2)他能过关的概率【答案】(1)分布列见解析， (2)【解析】（1）考察超几何分布，列出所有情况，按照公式求出对应概率，写出分布列以及数学期望（2）能过关即背出2篇或

49、3篇，将第一问的概率相加即可(1)记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3， 的分布列为0123 数学期望(2)他能过关的概率为变式三 二项分布及其应用1、（2022全国高二课时练习）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（）ABCD【答案】B【解析】先求得该产品

50、能销售的概率，易知X的所有可能取值为320，200，80，40，160，然后利用二项分布求解.【详解】由题意得该产品能销售的概率为，易知X的所有可能取值为320，200，80，40，160，设表示一箱产品中可以销售的件数，则，所以，所以，故，故选：B2、（2022全国高二课时练习）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒5,10（10,15（15,20（10,15男性人数1522149女性人数511177以这100

51、名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（）A2B3C4D5【答案】C【解析】由条件求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，设设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，则，由此可得，再求其最大值，并确定对应的的值.【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，则，其中，当时，由，得，化简得

52、，解得，又，所以，所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4故选：C3、（2021天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为_.【答案】【解析】根据题意答对的题目数满足二项分布，再根据二项分布概率公式计算即可得答案.【详解】解：某人参加考试，4道题目中，答对的题目数满足二项分布，所以 故答案为：4、（2021全国高二课时练习）下列命题中，正确的命题的序号为_.已知随机变量服从二项分布，若，则；将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒

53、不变；设随机变量服从正态分布，若，则；某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.【答案】【解析】由二项分布的均值与方差公式计算判断，由方差的性质判断，由正态分布的对称性判断，由二项分布的概率公式列不等式组求解后判断【详解】，解得，错；方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，正确；服从正态分布，正确；，则，由，解得，所以正确故答案为：5、（湖北省武汉市2022届高三下学期2月调研考试数学试题）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成

54、绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这200名学生的平均成绩；(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间内的人数为，成绩在区间内的人数为，记，比较与的大小关系.【答案】(1)69.5 (2)【解析】（1）直接根据频率分布直方图估计平均数即可；（2）由题知，进而可能的取值为，进而根据二项分布与独立事件的乘法原理求解即可.(1)解：平均成绩为：.(2)解：成绩落在区间内的概率为，故.成绩落在区间内的概率为，故.所以；.由题意，可能的取值为，.故有.6、（2022北京八中高三开学考试）

55、某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；(3)转化为百分制后，规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从以下两个条件中任选一个作答：当为何值时的值最大？（直接写出答案，不用写出解答过程.若选择多个条件作答，以第一个

56、为准.）从所有参加考试的同学中随机抽取人，其中获得等级的人数恰为3人的概率为；从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得等级的人数恰为人的概率为.【答案】(1) (2)分布列见解析，； (3)选；选；【解析】（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质计算可得；（2）由题意可推得，所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求得分布列，再结合期望公式，即可求解（3）若选则，当时直接求出概率，当时，由，解出不等式，即可求出的值；若选则，再根据得到不等式组，即可求出的值；(1)解：由频率分布直方图的性质可得，解得；(2)解：，的三组频率之比为，从，中分别抽取7人，3人，1人，所有可能

57、取值为0，1，2，3，则，故的分布列为：0123故(3)解：依题意等级的概率为， 若选，则，当时，当时则，即，解得，因为，所以，即当时，取得最大值；若选，依题意，所以，所以，即，即，解得，因为，所以；变式四 正态分布1、（湖北省武汉市2022届高三下学期2月调研考试数学试题）已知随机变量服从正态分布，若函数为偶函数，则（）ABCD【答案】C【解析】利用偶函数的定义结合正态密度曲线的对称性可求得的值.【详解】因为函数为偶函数，则，即，所以，.故选：C.2、（2022安徽宿州高二期末）已知随机变量，则的值为（）A0.24B0.26C0.68D0.76【答案】A【解析】根据给定条件利用正态分布的对称

58、性计算作答.【详解】因随机变，有P(4)=P(4)=0.76，由正态分布的对称性得：，所以的值为0.24.故选：A3、（2022黑龙江铁力市第一中学校高三开学考试（理）2021年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为（）ABCD【答案】D【解析】根据正态曲线的对称性结合题意求出每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率，再利用对立事件的概率公式可求得答案【详解】根据正态曲线的对称性，每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率，所以这四个收费口每天至少有一

59、个不低于700辆小汽车通过的概率故选：D4、（2022云南昭通高三期末（理）某照明单元按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则照明单元正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为_【答案】（0.375）【解析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及相互独立事件的概率公式，即可求解【详解】解：设元件1，2，3的使用寿命超过2000小时的事件分别记为，显然，则该照明单元的使用寿命超过2000的事件为，故该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为故答案为：5、（2022陕西

60、武功县普集高级中学一模（理）经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，且，则从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率为_【答案】0.35【解析】由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解【详解】学生成绩X服从正态分布，且，,从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是故答案为：6、（2022福建三明高三期末）为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、

61、b个黄球、5个黑球（），乙箱内有6个红球、4个黄球若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金(1)据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案附参考数据：若，则，【答案】(1)819名；(2)答案见解析.【解

62、析】（1）根据题意，先通过正态分布求出1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的概率，进而求出估计的人数；（2）根据题意，先求出两种方案摸奖所得奖金的期望，进而比较两个方案奖金期望的大小，然后选择较大的期望即可.(1)由题知，所以，所以1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的人数估计为人.(2)甲箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，50，100，且，则，所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为，.乙箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，150，且，所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为所以，当时，建议该职工选择方案二；当时，建议该职工选择方案一；当时，建议该职工选择方案一；当时，建议该职工选

63、择方案一.7、（2022安徽省亳州市第一中学高二期末）近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关健作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.参考数据：65091.552.51478.630.51515

64、46.5表中.(1)根据散点图判断与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；(3)经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N），那这种化肥的有效率超过58%的概率约为多少？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；若随机变量，则有，；取.【答案】(1)； (2)；810公斤； (3).【解析】（1）根据散点图的变化趋势，结合给定模型的性质直接判断适合的模型即可.（2）将（1）中模型取

65、对得，结合题设及表格数据求及参数，进而可得参数c，即可确定回归方程，进而估计时粮食亩产量y的值.（3）由题设知，结合特殊区间的概率值及正态分布的对称性求即可.(1)根据散点图，呈现非线性的变化趋势，故更适合作为关于的回归方程类型.(2)对两边取对数，得，即，由表中数据得：，则，关于的回归方程为，当时，当化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量约为810公斤.(3)依题意，则有，则，这种化肥的有效率超过58%的概率约为.核心考点八 古典概型与统计交汇考查考法 古典概型与统计交汇考查变式一 古典概型与用样本估计总体交汇考查1、（2022辽宁渤海大学附属高级中学高一期末）某中学为了解学生数学课程的学习情况

66、，在2200名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）.根据频率分布直方图推测这2200名学生在该次数学考试中成绩不小于80分的学生有_人.【答案】616【解析】计算成绩不低于80的两个小矩形的面积之和，即成绩不低于80的学生的频率，再乘以2200即可【详解】.故答案为：616.2、（2021全国高一课时练习）池州九华山是著名的旅游胜地天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在09十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨在随机数表中从某

67、位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：95339522001874720018387958693281789026928280842539908460798024365987388207538935据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（）ABCD【答案】B【解析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.故选：B.技巧点拨求解古典概型与用样本估计总体交汇问题的模型（1）识图：能读懂已知频率分布直方图或茎叶图所隐含的

68、信息并进行信息提取（2）转化：对文字语言较多的题，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化（3）计算：对频率分布直方图或茎叶图所反馈的信息进行提取，并结合古典概型的概率公式进行运算变式二 古典概型与回归分析、独立性检验的交汇考查1、（2021山东潍坊模拟预测）年月日，第四届中国国际进口博览会在上海开幕，共计多家参展商参展，多项新产品，新技术，新服务在本届进博会上亮相某投资公司现从中选出种新产品进行投资为给下一年度投资提供决策依据，需了解年研发经费对年销售额的影响，该公司甲、乙两部门分别从这种新产品中随机地选取种产品，每种产品被甲、乙两部门是否选中相互独立(1)求种新产品中产

69、品被甲部门或乙部门选中的概率；(2)甲部门对选取的种产品的年研发经费（单位：万元）和年销售额（单位：十万元）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值根据散点图现拟定关于的回归方程为.求、的值（结果精确到）；附：对于一组数据、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】(1)；(2)，；【解析】（1）利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）令，计算出、的值，利用最小二乘法公式结合表格中的数据可求得、的值；(1)解：种新产品中产品没有被甲部门和乙部门同时选中的概率，所以产品被甲部门或乙部门选中的概率为(2)解：令，由题中数据得，2

70、、（2022四川叙州高三期末（文）现在微信支付已成为人们日常流行的一种付款方式，因为它比现金支付更快捷、更方便. 某大型超市为了鼓励顾客使用微信付款，特举办微信支付活动一个月，规定：凡是在这个月内使用微信付款次数达到60次即有精美奖品，否则无奖品. 现从该超市数据信息中随机选取已使用微信付款的40名顾客，且男、女比例相同，将他们的数据整理如下表：次数性别男23276女13862(1)根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有的把握认为“是否获奖”与“性别”有关？有奖无奖总计男女总计(2)在这40名顾客中，从支付次数达到70的人中随机抽取2人，求至少抽取1名女性的概率.附：参考公式：参考数据：0

71、.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为“是否获奖”与“性别”有关. (2)【解析】（1）根据题意填写列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值即可得出结论;（2）分别求出支付次数达到70的人中随机抽取2人的事件总数和抽取2人中至少含有1名女性的事件数，然后直接利用古典概型的公式求解即可.有奖无奖总计男13720女81220总计211940(1)没有的把握认为“是否获奖”与“性别”有关.(2)支付次数达到70的顾客共8人，其中6名男性，记为，2名女性，记为，记事件为从8人中随机抽取2人，至少含

72、有1名女性，所有可能结果列表如下：ABCDEFabABCDEFab则基本事件总个数为，其中包含的基本事件个数为13，故.技巧点拨古典概型与回归分析、独立性检验的交汇问题的解题策略（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助表格，树状图列举；同时注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都有等可能性（2）求回归直线方程的一般步骤如下：作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分

73、布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系；当两变量具有线性相关关系时，求回归系数，写出回归直线方程（3）回归直线方程中的表示x每增加1个单位时，的变化量的估计值为（4）可以利用回归直线方程预报在取某个值时的估计值（5）由于回归直线方程中的系数和是通过样本估计而来的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果有偏差（6）独立性检验是用来考察两个分类变量是否有关系，计算随机变量的观测值K2，K2越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大核心考点九 随机变量及其分布与统计交汇考查古典概型与统计交汇考查考法 随机变量及其分布与统计交汇考查古典概型与统计交汇考查变式一 随机变量及其分布与用样

74、本估计总体交汇考查1、（2021全国高二课时练习）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其平均每月参与马拉松训练的天数进行统计，得到下表：平均每月参与马拉松训练的天数x人数105040依据上表，用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取3人，记抽取的3人中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为Y，则_.【答案】【解析】由随机变量Y的取值范围为，利用超几何分布求得相应概率，然后利用期望公式求解.【详解】用分层随机抽样

75、的方法从这100人中抽取10人，其中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为，随机变量Y的取值范围为，所以.故答案为：2、（江西省上饶市六校2022届高三第一次联考数学（理）试题）“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通，基础设施联道、能源资源互通，行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥，要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优

76、质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以160，180）、180，200）、200，220）、220，240）、240，260），260，280）、（280，300）分组的频率分布直方国如图(1)在年平均情售量为240，260）、260，280）、280，300）的三组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取12家大型农宽市场，求年平均销售量在240，260）、260，280）、280，300）的表贸市场中应各抽取多少家？(2)在（1）的条件下，再从240，260）、260，280）、280，300）这三组中抽取的衣贸市场中随机抽取3家参加国

77、台办的宣传交流活动，记恰有家在240，260）组，求随机变量的分布列与期望【答案】(1)平均销售量为240，260）抽取6家；平均销售量为260，280）抽取4家，平均销售量为280，300）抽取2家； (2)分布列见解析，期望为.【解析】（1）首先求出抽样比，再根据应用分层抽样的等比例原则求不同平均销售量区间所抽取的数量.（2）由题设知，应用古典概型的概率求法求对应的概率，进而得到分布列，最后根据分布列求期望即可.(1)平均销售量为240，260）共有家，平均销售量为260，280）共有家，平均销售量为280，300）共有家，抽样比，所以，平均销售量为240，260）抽取家，平均销售量为26

78、0，280）抽取家，平均销售量为280，300）抽取家.(2)由题意知：，的分布列如下：0123P变式二 随机变量及其分布与独立性检验的交汇考查1、（2022吉林双辽市第一中学高三期末（理）2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是1113，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣(1)完成下面列联表，并判断是否有99.9的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？有兴趣没有兴趣合计男女75合计600(2)按

79、性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出3人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)表格见解析，有 (2)分布列见解析，【解析】（1）根据题目所给的数据填写列联表，计算,依据题目中的表格，得出结论;（2）根据分层抽样的定义求出抽取的8人中男生和女生的人数，再确定出X的所有可能取值为0，1，2，3，并分别求出其相应的概率，利用期望公式即可求解.(1)根据题意得男生有275人，女生有325人；对冰壶运动有兴趣

80、的人数为400人，对冰壶运动无兴趣的人数为200人，对冰壶运动无兴趣的男生为200-75=125人，对冰壶运动有兴趣的男生为275-125=150人，对冰壶运动有兴趣的女生为325-75=250人，得到如下列联表：有兴趣没有兴趣合计男150125275女25075325合计400200600所以，则有99.9的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关(2)对冰壶运动有兴趣的一共有400人，从中抽取8人，抽到的男生人数为（人），女生人数分别为（人）X的所有可能取值为0，1，2，3，所以X的分布列是：X0123P则2、（2021黑龙江哈九中高三期末（理）自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一

81、种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐哈九中某研究型学习小组为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从哈尔滨市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：手机支付现金支付合计60岁以下802010060岁以上6535100合计14555200(1)根据以上数据，判断是否有的把握认为支付方式的选择与年龄有关；(2)将频率视为概率，现从哈市60岁以下市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次记被抽取的3人中选择“手机支付”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，数学期望和方差参考公式：，其中0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)有的把握认为支付方式的选择与年龄有关(2)分布列见解析，【解析】（1）利用公式求出卡方，通过与3.841比较大小得到结论；（2）计算出的可能取值与相应的概率，进而求出分布列，利用二项分布数学期望和方差的公式进行求解.(1)根据题意可得:的观测值，所以有的把握认为支付方式的选择与年龄有关(2)由题意可知：在60岁以下的市民中抽到1人选择“手机支付”的概率为，所以，的所有可能取值为0，1，2，3，所以的分布列为0123，