江苏扬州中学2024届高三下学期高考适应性测试数学模拟一试题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司高三数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设随机变量服从正态分布(6,2)，若(+2)，则的值为（）A9 B7 C5 D4 2若复数=2 1+(+1)i()是纯虚数，则1+的虚部为（）A25 B2

2、5 i C25 D25 i 3下列区间中，函数()=2cos3 单调递增的区间是（）A0,2 B2,C,32 D32,2 4设 若函数()=(1)为指数函数，且(2)(3)，则 a 的取值范围是（）A1 2 B2 3 C 2 D 2且 1 5若tan +23 =35，则cossin3cos=（）A233 B 33 C233 D336纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年 Peukert 提出铅酸电池的容量、放电

3、时间和放电电流之间关系的经验公式：=，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为 Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的 Peukert常数约为（参考数据：lg2 0.301，lg3 0.477）（）A1.12 B1.13 C1.14 D1.15 7数学家欧拉于1765年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心重心垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点,分别为任意 的外心重心垂心，则下列各式一定正确的是（）A=12 B=23

4、C=+23 D=2+38我们把由 0 和 1 组成的数列称为0 1数列，0 1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（1=2=1，+2=+1）中的奇数换成 0，偶数换成 1 可得到0 1数列，若数列的前项和为，且=100，则的值可能是（）A100 B201 C302 D399 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9若正数，满足+=1，则（）Alog2+log2 2 B2+2 22C+ln 0 Dsinsin 0)的右焦点为(3,0)，直线:sin+c

5、os=(0 )与相交于、两点(1)求直线 l 被圆:2+2=2所截的弦长；(2)当=2时，|=245 （i）求的方程；（ii）证明：对任意的 (0,)，的周长为定值 19（17 分）定理（三角不等式），对于任意的、，恒有|+|.定义:已知 且 3，对于有序数组1、2、，称|1 2|+|2 3|+|1|为有序数组1、2、的波动距离，记作(1,2,)，即(1,2,)=|1 2|+|2 3|+|1|，请根据上述信息解决以下几个问题:(1)求函数=|2|+|4|的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围；(2)求有序数组2、5、3、4的波动距离(2,5,3,4)；求证：若、且 ，则(,)(,)；题（注

6、：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数1、2、3、4 31,32,33,34，求有序数组1、2、3、4的波动距离(1,2,3,4)的最大值.学科网（北京）股份有限公司参考答案：1B【分析】由正态分布曲线的对称性可列方程求解.【详解】因为随机变量服从正态分布(6,2)，若(+2)，所以3 4+()+2=6 2=12，解得=7.故选：B.2A【分析】根据纯虚数的概念可知2 1=0+1 0 即可求，进而计算可得结果.【详解】由题意知：2 1=0+1 0,可得=1，所以1+=11+2i=12i(1+2i)(12i)=15 25 i,根据虚部的概念，可得1+的虚部为25.故选：A

7、3D【分析】令+2 3 2+2，求出函数()的单增区间，分析0,2，2,，,32，32,2与单增区间的包含关系，即得解【详解】由题意，()=2cos3 =2cos(3)令+2 3 2+2 解得43+2 73+2 故函数()=2cos 3 单调递增的区间是43+2,73+2,令=0，得43,73 由于32,2 43,73 且0,2，2,，,32 均不包含在单增区间内 故选：D 4A【分析】借助指数函数性质分类讨论即可得.【详解】由函数()=(1)为指数函数，故 1且 2，当 2时，函数()=(1)单调递增，有(2)(3)，不符合题意，故舍去；当1 (3)，符合题意，故正确.故选：A.5A【分析】

8、借助两角和的正切函数公式可得tan的值，借助弦切转化计算即可得.【详解】依题意，tan +23 =tan31+3tan=35，解得tan=32，故cossin3cos=1tan3=233.故选：A 6D【分析】根据题意可得=7.5 60=25 15，再结合对数式与指数式的互化及对数的运算性质即可求解【详解】由题意知=7.5 60=25 15，所以257.5=103=6015=4，两边取以 10 为底的对数，得lg103=2lg2，所以=2lg21lg3 20.30110.477 1.15，故选：D.7D【分析】根据三点共线和长度关系可知 AB 正误；利用向量的线性运算可表示出,，知 CD 正误

9、.【详解】,依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，=12，=13，=32，A 错误，B 错误；=+=+13 =+13 =2+3，C 错误；=+=+13 =+13 =2+3，D 正确.故选：D.8C 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意求出的前若干项，找出规律，从而逐一检验各选项即可得解.【详解】因为1=2=1，+2=+1，所以3=2,4=3,5=5,6=8,7=13,8=21,9=34,，所以数列的前若干项为：1=2=0,3=1,4=0,5=0,6=1,7=0,8=0,9=1,，则1+2+3=4+5+6=7+8+9=1，所以100=33 1+0=33，201=6

10、7 1=67，302=100 1+0 2=100，399=133 1=133.故选：C.9BCD【分析】对 A：利用基本不等式求得的最大值，即可求得目标式的范围，从而判断；对 B：直接使用基本不等式，结合指数运算，即可判断；对 C：构造函数()=ln +1，利用导数研究其单调性和值域，将+ln 转化为ln +1，即可判断；对 D：构造函数()=sin sin(1 )，利用导数研究其最大值，结合适度放缩，即可判断.【详解】因为+=1，故可得 14(+)2=14，当且仅当=12取得等号；对 A：log2+log2=log2 log214=2，故 A 错误；对 B：2+2 22+=22，当且仅当=1

11、2时取得等号，故 B 正确；对 C：令()=ln +1,(0,1)，()=1 1 0，故()在(0,1)单调递增，()(1)=0，即当 (0,1)，ln +1 0，即1 0，解得 1，故 (0,1)；故ln +1 0，也即+ln 0，()单调递增；当 (12,1)时，()0，()单调递减；故()的最大值为 12=sin2 12；由 C 可知，(0,1)，则sin sin(1 )sin2 12 sin2 6=14，故 D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题 CD 选项的判断，解决的关键在于构造()=ln +1,(0,1)，以及()=sin sin(1 ),(0,1)，利用导数研究其单调

12、性和最值，从而实现问题的解决.10ACD【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球1，球2的截面大圆，如图，点,分别为圆1,2与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，可知椭圆 C 的中心（即线段的中点）不在直线12上，故 A 正确；椭圆长轴长2=|=|+|=|+|=|+|=|，过2作2 1于 D，连2，显然四边形2为矩形，又|2|=1,|1|=4,|12|=34，则2=|=|2|=|12|2|1|2=342 32=5，过2作

13、2 1交1延长线于 C，显然四边形2为矩形，椭圆焦距2=|=|2|=|12|2|1|2=342 52=3，故 B 错误；所以直线12与椭圆 C 所在平面所成的角的正弦值为sin21=|1|12|=534=53434，故 C 正确；所以椭圆的离心率=22=35，故 D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.11BC【分析】函数=(+1)2为定义在 R 上的奇函数，得=()的图象的对称性判断 AB，再由()的图象的对称性，得到两个函数图象的交点的对称性，可计算 CD 选项.【详解】函数=(+1)2为定义在 R 上的奇函数

14、，则有(+1)2=(+1)+2，学科网（北京）股份有限公司即(+1)+(+1)=4，(+1)+(+1)2=1，42=2，所以函数=()的图象关于(1,2)对称，A 选项错误，B 选项正确；函数()=211=2+21，结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知，()的函数图象也关于(1,2)对称，所以()与()的函数图象的交点关于(1,2)对称，不妨设1 2 2024，则有1+2024=2+2023=1012+1013=2，1+2024=2+2023=1012+1013=4，所以1+2+2024=2024，C 选项正确；1+2+2024=4048，D 选项错误.故选：BC.【点睛】结论点睛：函数图

15、象的中心对称：=()图象关于(0,0)中心点对称，有()+()=0；=()图象关于(,0)中心点对称，有()+(2 )=0，()+(+)=0；=()图象关于(,)中心对称，有()+(2 )=2，(+)+()=2；若=()满足()+(+)=2，则函数图象关于点+2,对称.12(1,0【分析】由+22=1可知在数轴上集合 A 的端点关于点 1 对称，则 A 中的三个整数为0,1,2，建立不等式组，解之即可求解.【详解】因为+22=1，所以在数轴上集合 A 的端点关于点 1 对称，从而 A 中的三个整数为0,1,2，所以1 0，且2 2 3，解得1 0)，则圆 C 的方程为()2+322=2，由=1

16、6 2，则=13，所以抛物线在点 B 处的切线 m 的斜率=03，因为圆 C 与抛物线:=26 在公共点 B 处有相同的切线，所以直线 CB 与 m 垂直，所以1602320 03=1，则=12 0+118 03，又点 B 在圆 C 上，所以(0 )2+16 02 322=2，则02 20+16 02 322=0，所以02 2 12 0+118 030+16 02 322=0，整理可得04+602 27=0，解得，02=3或02=9（舍去），所以=12 0+118 03=23,=16 02=12，所以|=2，所以sin2=|2|=123=32 故答案为：32学科网（北京）股份有限公司【点睛】关

17、键点点睛：本题的关键是利用公切线的性质，求得点的坐标，即可利用直线与圆相切的性质求解.15(1)0.499(2)分布列见解析，1712【分析】（1）记=“至少有一人进入面试”，由正态分布可得(75)，再根据对立事件和独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意可得：的可能取值为0,1,2,3，根据独立事件概率乘法公式求分布列，进而可得期望.【详解】（1）记=“至少有一人进入面试”，由已知得=70,=5，所以(75)=1+(|)21+0.68272=0.84135，则()=1 0.841354 0.499，即这 4 人中至少有一人进入面试的概率为 0.499.（2）由题意可得：的可能取值为0,1,

18、2,3，则：(=0)=1 12 1 23 1 14=18，(=1)=12 13 34+12 23 34+12 13 14=512，(=2)=12 23 34+12 13 14+12 23 14=38，(=3)=12 23 14=112，可得随机变量的分布列为 0 1 2 3 1851238112所以()=0 18+1 512+2 38+3 112=1712.16(1)证明见解析(2)21339【分析】（1）延长1和交于点，连接交于点，连接1，即可得到=，从而得到为中点，即可得到11/且11=，从而得到1/1，即可得解；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：延长1

19、和交于点，连接交于点，连接1，由1=12，故11=12，所以=4=，所以 ，所以=，所以为中点，又11/11且11=11，11/且11=，所以11/且11=，故四边形11为平行四边形，所以1/1，又1 平面1，1 平面1，所以1/平面1.（2）解：以为原点，1所在直线分别为轴、轴、轴 建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,4,0),1(0,2,3),(4,4,0),1(2,0,3),(0,0,2).所以1=(0,2,3),1=(2,4,3),=(4,4,2).设平面1的法向量=(,)，由 1=0 =0，得2 4+3=04 4+2=0，取=(1,2,2)，故所求角的正弦值为1|1=|46|913

20、=21339，所以直线1与平面1所成角的正弦值为21339.17(1)1(2)答案见解析【分析】（1）借助导数的几何意义及截距的定义计算即可得；（2）借助导数分类讨论即可得.【详解】（1）()=1，则(1)=1 1=1，(1)=ln1 1+1=0，故曲线=()在=1处的切线为 0=(1)(1)，学科网（北京）股份有限公司即=(1)(1)，当 1时，令=0，有=(1)，令=0，有=1，故(1)=1，即=0，此时()=+1，无切线，故不符合要求，故舍去；当=1时，此时切线为=0，符合要求，故=1（2）()=1=+，0，则当 0时，()=+0在(0,+)上恒成立，故()在(0,+)上单调递减；当 0

21、时，令()=0，则=，当 (0,)时，()0，当 (,+)时，()0时，()在(0,)上单调递增，在(,+)上单调递减.18(1)6(2)（i）225+216=1；（ii）证明见解析.【分析】（1）由点到直线的距离得圆到直线的距离=，再利用几何法求出直线与圆的相交弦长，从而可求解.（2）（i）当=2时，直线的方程为=，将该直线方程代入椭圆方程，求出|，根据已知条件求出、的值，即可得出椭圆的方程；（ii）求出原点到直线的距离，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理分析额可知点、的横坐标均为正数，利用勾股定理、椭圆方程可求出 的周长.【详解】（1）由题意得圆的圆心为(0,0)，到直线的距离=|s

22、in2+cos2=，则直线被圆所截弦长为22 2=2=6.故直线被圆所截得的弦长为6.（2）解：当=2时，直线的方程为=，（i）联立=22+22=1，得=，所以|=2=6=245，又因为2=2+2，所以=5，=4，所以，椭圆的方程为225+216=1；（ii）设点(1,1)、(2,2)，则5 1 5，且12=16 1625 12，所以，|=(1 3)2+12=12 61+9+16 1625 12=925 12 61+25=35 1 5=5 35 1，同理可得|=5 35 2，因为原点到直线的距离为=|sin2+cos2=4，过原点作 ，垂足为点，如下图所示：所以，|=|+|=|2 2+|2 2

23、=12+12 16+22+22 16=12+16 1625 12 16+22+16 1625 22 16=35|1|+35|2|，联立sin+cos=4225+216=1 可得(16+9sin2)2 200sin+400sin2=0，=40000sin2 1600sin2(16+9sin2)=14400sin2cos2 0，当且仅当=2时，等号成立，此时点、关于轴对称，合乎题意，因为 (0,)，则0 0，12=400sin216+9sin2 0，故1 0，2 0，所以，|=35|1|+35|2|=35(1+2)，因此，的周长为|+|+|=10 35(1+2)+35(1+2)=10（定值）.【点

24、睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 19(1)函数=|2|+|4|的最小值为2，此时的取值范围是2,4.学科网（北京）股份有限公司(2)(2,5,3,4)=6；174.【分析】（1）利用三角不等式可求得=|2|+|4|的最小值及其对应的的取值范围；（2）由题中定义可求得(2,5,3,4)的值；利用题中定理可求得(1,2,3,4)的最大值.【详解】（1）解：由三角不等式可知|+|，当且仅当|2=(|+|)2时，即当=|时，即当 0时，等号成立，由三角不等式可得=|2|+|4

25、|(2)(4)|=2，当且仅当(2)(4)0时，即当2 4时，等号成立.因此，函数=|2|+|4|的最小值为2，此时的取值范围是2,4.（2）解：由题中定义可得(2,5,3,4)=|2 5|+|5 3|+|3 4|=6；若、且 时，(,)=|+|+|=+|=+|，(,)=|+|+|=+|=+2+|，所以，(,)(,)=|+|()()|+=+=0，即(,)(,)，且有(,)=|+|+|=|+|+|=(,)，当(1,2,3,4)取到最大值时，2=max1,2,3或2=min1,2,3，同理3=max2,3,4或3=min2,3,4，若2=max1,2,3，则2 3，所以，3=min2,3,4，故(1,2,3,4)=|1 2|+|2 3|+|3 4|=2 1+2 3+4 3=22+4 23 1 2 34+33 2 31 32=174，当且仅当1=32，2=34，3=31，4=33时，等号成立，所以，(32,34,31,33)为(1,2,3,4)的最大值；若2=min1,2,3，则2 3，所以，3=max2,3,4，同理可知(33,31,34,32)为(1,2,3,4)的最大值.综上所述，(1,2,3,4)的最大值为174.【点睛】关键点点睛：本题考查绝对值不等式的应用，求解(1,2,3,4)的最大值在于确定2、3的大小关系，确定这两者为四个数的最大值和最小值，结合题中定理进行求解.