江西省宜春市宜丰中学创新部2024届高三数学上学期10月月考试题（PDF版附解析）.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司12023-2024（上）创新部高三第一次月考数学试卷一、单选题（40 分）1集合2|60Ax xx，集合2|lo1gBxx，则 AB（）A2,3B,3C2,2D0,22已知 a 为实数，若复数 211 izaa为纯虚数，则2024i1ia 的值为（）A1B0C1 iD1 i3数列 na满足112,02121,12nnnnnaaaaa，若125a，则2023a等于（）A 15B 25C 35D 454若六位老师前去某三位学生（同学 1，同学 2，同学 3）家中家访，每一位学生至少有一位老师家访，每一位老师都要前去家访且仅能家访一位同学，由于就近考虑，老师甲不去家访同学

2、 1，则有（）种安排方法A335B100C360D3405函数2()cosln(1)f xxxx 的图象大致为（）A BC D6已知函数211()sinsin(0)222xf xx，xR.若()f x 在区间(,2)内没有零点，则 的取值范围是（）A10,8B150,148C50,8D11 50,84 87已知,A B 是圆22():21Mxy 上不同的两个动点，|2,ABO为坐标原点，则|OAOB的取值范围是（）A22,42B32,42C42,42D22,228已知双曲线2222:10,0 xyWabab的右焦点 F，过原点的直线l 与双曲线W 的左、右两支分别交于 A、B 两点，以 AB

3、为直径的圆过点 F，延长 BF 交右支于C 点，若2CFFB，则双曲线W的渐近线方程是（）A2 23yx B3 24yx C2 2yx D3yx 二、多选题(20 分)9下列命题为真命题的是（）A若 ab，且 11ab，则0ab B若0ab，则22aabbC若0cab，则abcacbD若0abc，则 aacbbc10已知函数 f x 的定义域为 R，函数 f x 的图象关于点1,0 对称，且满足31f xfx，则下列结论正确的是（）A函数1f x是奇函数B函数 f x 的图象关于 y 轴对称C函数 f x 是最小正周期为 2 的周期函数D若函数 g x 满足 32g xf x，则 202414

4、048kg k11如图，直角梯形 ABCD 中，/AB CD，ABBC，122BCCDAB，E 为 AB 中点，以 DE为折痕把ADEV折起，使点 A 到达点 P 的位置，且2 3PC.则下列说法正确的有（）ACD 平面 EDPB四棱锥 PEBCD外接球的体积为 4 3C二面角 PCDB的大小为 4D PC 与平面 EDP 所成角的正切值为212已知直线 ya与曲线exxy 相交于 A，B 两点，与曲线ln xyx相交于 B，C 两点，A，B，C的横坐标分别为1x，2x，3x.则（）A22exxaB21lnxxC23exx D1322xxx三、填空题(20 分)1352()xx的展开式中含 x

5、 项的系数为 .14如图 1 是某校园内的一座凉亭，已知该凉亭的正四棱台部分的直观图如图 2 所示，则该正四棱台部分的体积为 3m.15已知函数 2sinxf xaxxx（0a，且1a ），曲线 yf x在点 0,0f处的切线与直线2290 xy平行，则a .16双曲线2222:1,0 xyCa bab的左焦点为 F，直线 FD 与双曲线 C 的右支交于点 D，A，B 为线段 FD 的两个三等分点，且22OAOBa（O 为坐标原点），则双曲线 C 的离心率为 .学科网（北京）股份有限公司2四、解答题（70 分）17在 ABC中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知sinsin03

6、bCcB.(1)求角C 的值；(2)若 ABC的面积为10 3，D 为 AC 的中点，求 BD 的最小值.18已知数列 na中，10a，12nnaan nN .（1）令11nnnbaa，求证：数列 nb是等比数列；（2）令3nnnac，当nc 取得最大值时，求n 的值19某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题现有 A、B、C 三位员工参加比赛，比赛规则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束每人两次回答问题的过程相互独立三人回答问题也相互独立甲类问题中每个问题回答正确得20 分，否则得 0

7、分；乙类问题中每个问题回答正确得80分，否则得 0 分已知 A 员工能正确回答甲类问题的概率为0.5，能正确回答乙类问题的概率为0.6；B 员工能正确回答甲类问题的概率为0.6，能正确回答乙类问题的概率为 0.5；C 员工能正确回答甲类问题的概率为 0.4，能正确回答乙类问题的概率为0.75(1)求3 人得分之和为20 分的概率；(2)设随机变量 X 为3 人中得分为100的人数，求随机变量 X 的数学期望20已知直三棱柱111ABCA B C-中，侧面11AA B B 为正方形，2ABBC，E，F 分别为 AC 和1CC的中点，D 为棱11A B 上的点，11BFA B(1)证明：BFDE；

8、(2)当1B D 为何值时，面11BB C C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最大？21已知函数()cos().xf xaexx aR（1）若1a ，证明：()0f x；（2）若()f x 在(0,)上有两个极值点，求实数 a 的取值范围.22已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，左、右顶点分别为 A，B，点 P，Q 为椭圆上异于 A，B 的两个动点，PAB面积的最大值为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 AP，BQ 的斜率分别为1k，2k，APQ和BPQV的面积分别为1S，2S.若123kk，求12SS的最大值.学科网（北京）股份有限公司3创新部高三第一次月考数

9、学参考答案：1A 2B 3C 4C 5B 6D【详解】由题设有1 cos112()sinsin22224f xxxx，令 0f x，则有,4xkkZ即+4,kxkZ.因为()f x 在区间(,2)内没有零点，故存在整数k，使得5+442kk，即14528kk，因为0，所以1k 且15428kk，故1k 或0k，所以108或 1548，7C【详解】22(2)1,xy 圆 M 的圆心坐标(2,0)M，半径1R ，设圆心到直线l 的距离为d，由圆的弦长公式，可得2|2 1ABd，即22 12d，解得22d，设 AB 的中点为2,|2NMN，点 N 的轨迹表示以(2,0)M为圆心，以22为半径的圆，N

10、的轨迹方程为22(2)12xy，因为|2|2|OAOBONON，又|2OM，2222OMONOM，即222222ON,即|OAOB的取值范围为 42,42.8A【详解】如下图所示，设双曲线W 的左焦点为点 F，连接CF、AF，设 BFm，则2CFm，由双曲线的定义可得2BFam，22CFam，由于以 AB 为直径的圆经过点 F，且OAOB、OFOF，则四边形 AFBF 为矩形，在 RtBCF中，有勾股定理得222CFBCBF，即2222292ammam，解得23ma，23aBF，83aBF，由勾股定理得222BFBFFF，即226849 ac，22179ca，所以，2222222819bcac

11、aaa，则2 23ba.因此，双曲线W 的渐近线方程是2 23yx.9AD 10ABD11ABC【详解】对于 A，E为 AB 中点，BECD，/BE CD，四边形 EBCD 为平行四边形，又 ABBC，四边形 EBCD 为矩形，CDDE；22222 2PDAD，2CD ，2 3PC，222PDCDPC，CDPD，又 PDDEDI，,PD DE 平面 EDP，CD 平面 EDP，A 正确；对于 B，/BC DE，ABBC，AEDE，即 PEDE，CD 平面 EDP，PE 平面 EDP，CDPE，又CDDED，,CD DE 平面 EBCD，PE 平面 EBCD；矩形 EBCD 的外接圆半径2212

12、222r，四棱锥 PEBCD的外接球半径2212 132RrPE，四棱锥 PEBCD外接球的体积34 4 33VR，B 正确；对于 C，CD 平面 EDP，PD 平面 EDP，PDCD；又 DECD，二面角 PCDB的平面角为PDE，PEDE，2PEDE，4PDE，二面角 PCDB的大小为 4，C正确；对于D，CD 平面 EDP，CPD即为直线 PC 与平面 EDP 所成角，CDPD，2 2PD，2CD ，22tan22 2CDCPDPD，即直线直线 PC 与平面 EDP 所成角的正切值为22，D 错误.12ACD【详解】设 exxf x，得 1exxfx，令 0fx，可得1x ，当1x 时，

13、()0fx，则函数 f x 单调递增，当1x 时，0fx，则函数 f x 单调递减，则当1x 时，f x 有极大值，即最大值 max11ef xf.设 ln xg xx，得 21 ln xgxx，令 0gx，则ex，当ex 时，0gx，则函数 g x 单调递增，当ex 时，0gx，则函数 g x 单调递减，则当ex 时，g x有极大值，即最大值 max1eeg xf，从而可得12301exxx.由22exxa，得22exxa，故 A正确；由1122lnexxxx，得1212lnlneexxxx，即 12lnf xfx，又1201exx，得20ln1x，又 f x 在0,1 上单调递增，则12l

14、nxx，故 B 错误；由2323lnexxxx，得2233lnln eexxxx，即23exgg x.又231exx，得2eex ，又 g x 在e,上单调递减，则23exx，故 C 正确；由前面知12lnxx，23exx，得2132elnxx xx，又由2222lnexxxax，得22exxa，22ln xax，则2132x xx，1313222xxx xx.故 D 正确.1340 14 31 212 15 e 16 102【详解】由题意得,0Fc，取 AB 中点 M，连接OM，设双曲线 C 的右焦点为1F，连接1DF，因为22OAOBa，所以OMAB，又 A，B 为线段 FD 的两个三等分

15、点，所以 EMDM，即 M 为 FD 的中点，又O 为1FF 的中点，所以1/DFOM，故1F DFD，设12DFm，则 OMm，又22OAOBa，由勾股定理得2212AMBMam，则22166 2DFAMam，由双曲线定义得12DFDFa，即2216222 amma，在 Rt1DFF中，由勾股定理得22211DFDFFF，即2222216442 ammc，由得2213 2 amam，两边平方得2274200aamm，解得2am 或710 a（负值舍去），将2am 代入得2252ac，故离心率为102ca.学科网（北京）股份有限公司4 17【详解】（1）由sinsin03bCcB及正弦定理可得

16、：13sinsincossinsin022BCCCB，则31sincossin022BCC，因为,0,B C，则sin0B，所以，3 cossin0CC，可得tan3C，故3C.（2）由于 ABC的面积为10 3，所以，113sin10 3222abCab，解得40.ab 在BCD中，由余弦定理得：22222111cos220442222bbbBDaabCaabaabab，故2 5BD，当且仅当12ab，即2 5a，4 5b 时，BD 的最小值为 2 5.18【详解】（1）在数列 na中，10a，12nnaan，则21211aa ，11nnnbaa，则12112baa，则 1111122112

17、12nnnnnnnnbaaananaab ，所以，数列 nb为等比数列，且首项为 2，所以，12 22nnnb；（2）由（1）可知，2nnb 即121nnnaa ，可得2123211212121nnnaaaaaa，累加得 12112 1 222211211 2nnnnaannn，21nnan.213nnnnc，111112112233nnnnnnnc，1111222121 2333nnnnnnnnnnncc，令 21 2nf nn，则11232nf nn，所以，122nf nf n.1234ffff，1210ff，310f ，所以，当3n 时，0f n.所以，123ccc，345ccc.所以，

18、数列 nc中，3c 最大，故3n.19【详解】（1）解：设事件1A 为 A 员工答对甲类问题；设事件2A 为 A 员工答对乙类问题；设事件1B为 B 员工答对甲类问题；设事件2B 为 B 员工答对乙类问题；设事件1C 为C 员工答对甲类问题；设事件2C 为C 员工答对乙类问题；三人得分之和为 20 分的情况有：A 员工答对甲类题，答错乙类题；B 与C 员工均答错甲类题，则 121112110.5 0.4 0.4 0.60.048P A AB CP A P AP B P C；B 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与C 员工均答错甲类题，121112110.6 0.5 0.5 0.60.09P B

19、BA CP B P BP A P C；C 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与 B 员工均答错甲类题，121112110.40.25 0.5 0.40.02P C CA BP CP CP A P B，所以三人得分之和为20 分的概率为0.0480.090.020.158.（2）解：因为 A 员工得100分的概率为12120.5 0.60.3P A AP AP A，B 员工得100分的概率为12120.6 0.50.3P B BP BP B，C 员工得 100 分的概率为12120.4 0.750.3P C CP CP C，所以，随机变量3,0.3XB，所以，3 0.30.9E X .20【详解】

20、（1）证明：连接 AF，E，F 分别为直三棱柱111ABCA B C-的棱 AC 和1CC 的中点，且2ABBC，1CF，5BF，11BFA B，11/ABA B，BFAB22222(5)3AFABBF，2222312 2ACAFCF，222ACABBC，即 BABC，故以 B 为原点，BA，BC，1BB 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A，(0,0,0)B，(0,2,0)C，(1,1,0)E，(0,2,1)F，设1B Dm，且0,2m，则(,0,2)D m，(0,2,1)BF，(1,1,2)DEm，0BF DE，即 BFDE（2）解：AB Q平面1

21、1BB C C，平面11BB C C 的一个法向量为(1,0,0)p，由（1）知，(1,1,2)DEm，(1,1,1)EF ，设平面 DEF 的法向量为(,)nx y z，则00n DEn EF ，即(1)200m xyzxyz，令3x，则1ym，2zm，(3,1,2)nmm，2222333cos,|12719(1)(2)22142()22p np npnmmmmm ，又0,2m当2m 时，面11BB C C 与面 DFE 所成的二面角的余弦值最小，此时正弦值最大，故当12B D 时，面11BB C C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最大21.【详解】(1)证明:1a 时,()cosxf

22、xexx,令()xg xex,则()1xg xe,当0 x 时,()0g x,()g x 在(,0)上为递减函数,当0 x 时,()0g x,()g x 在(0,)上为增函数,所以()(0)1g xg,而cos1x,且(0)cos0g,所以cosxexx,即()0f x.(2)()f x 在(0,)上有两个极值点等价于()fxsin10 xaex 在(0,)上有两个不同的实数根,()0fx等价于1 sinxxae,设1 sin(),(0,)xxh xxe,2 sin()1sincos14()xxxxxh xee,令()0h x,得2x,当 02x时,()0h x,()h x 在(0,)2 上为

23、减函数,当 2x时,()0h x,()h x 在(,)2 上为增函数,又1(0)1,()0,()2hhhee,01e ,所以当0ae 时,方程1 sinxxae在(0,)上有两个不同的实数根,所以 a 的取值范围是0ae.22【详解】（1）当点 P 为椭圆 C 短轴顶点时，PAB的面积取最大值2ab，结合32ca 及222abc，解得2,1ab ，故椭圆 C 的标准方程为2214xy .（2）设点1122(,),(,)P x yQ xy，若直线 PQ 的斜率为零，由对称性知12xx，12yy，则11111022yykxx，21221022yykxx，12kk，不合题意.设直线 PQ 的方程为

24、xtyn，由于直线 PQ 不过椭圆 C 的左、右顶点，则2n 联立2244xtynxy 得222(4)240tytnyn，由0 可得224nt，12224tnyyt，212244ny yt，212124()2nty yyyn所以112121221221122(2)(2)(2)(2)2(2)(2)(2)(2)kyxy tynnnynykxyy tynnnyny232nn,解得1n 即直线 PQ 的方程为1xty，故直线 PQ 过定点(1,0)M .由韦达定理可得12224tyyt，12234y yt 由平面几何知识11212212121113|,|2222SAMyyyySBMyyyy，学科网（北京）股份有限公司5所以2212121212222434|()41433tSSyyyyy yttt，设1()f xxx，则22211()1xfxxx，当 3,)x 时，()0fx，故()f x 在 3,)单调增，因为23 3,)t ，所以2min214(3)33tt，因此，12|SS的最大值为3.