《新教材》2021-2022学年数学北师大版选择性必修第二册测评：第二章　习题课　导数的综合应用 WORD版含解析.docx

1、第二章导数及其应用习题课导数的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.对任意的xR,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.0a21B.a=0或a=7C.a21D.a=0或a=21答案A解析f(x)=3x2+2ax+7a,当=4a2-84a0,即0a21时,f(x)0恒成立,函数f(x)不存在极值点.2.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)0的解集是()A.-,-13B.-13,+C.(-,3)D.(3,+)答案C解析f(x)=x-sinx,f(-x)=-x+sinx=-f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f(x)=1-cos

2、x0,则函数f(x)是增函数,则不等式f(x+1)+f(2-2x)0等价于f(x+1)-f(2-2x)=f(2x-2),即x+12x-2,解得x3,故不等式的解集为(-,3).3.已知f(x)=kx2+2x+2k在(1,2)内有极值点,则k的取值范围是()A.-1k-12B.k-12C.12k1D.k12或k1答案A解析f(x)=2kx+2,由题意知f(1)f(2)0,即(2k+2)(4k+2)0,解得-1k0.设总利润为y万元,y=500xx-1200-275x3=500x-275x3-1200,则y=250x-225x2.令y=0,得x=25.故当0x0,当x25时,y0,求不等式f(x)

3、+k(1-x)f(x)0的解集.解(1)f(x)=1xex-1x2ex=x-1x2ex.由f(x)=0,得x=1.当x0时,f(x)0;当0x1时,f(x)1时,f(x)0.所以f(x)的单调递增区间是1,+),单调递减区间是(-,0)和(0,1).(2)由f(x)+k(1-x)f(x)=x-1+kx-kx2x2ex=(x-1)(-kx+1)x2ex0,得(x-1)(kx-1)0.故当0k1时,解集是x1x1时,解集是x1kx-12C.x0(-3,+),f(x0)=-1D.f(x)min(1,2)答案B解析f(x)=ex-ln(x+3),f(x)=ex-1x+3,显然f(x)在(-3,+)内单

4、调递增,又f(-1)=1e-120,f(x)在(-3,+)上有唯一的零点,设为x0,且x0(-1,0),则x=x0为f(x)的极小值点,也是最小值点,且ex0=1x0+3,即x0=-ln(x0+3),故f(x)f(x0)=ex0-ln(x0+3)=1x0+3+x0-12,故选B.8.已知函数f(x)满足ex(f(x)+2f(x)=x,f12=122e,若对满足ab=32e的任意正数a,b都有f(2x)1a+1b,则x的取值范围是()A.(-,-1)B.(-1,+)C.(0,1)D.(1,+)答案B解析根据题意,若exf(x)+2f(x)=x,则e2x(f(x)+2f(x)=exx,即(e2xf

5、(x)=exx,设g(x)=e2xf(x),则f(x)=g(x)e2x,且g(x)=e2x(f(x)+2f(x)=exx,则f(x)=g(x)e2x=g(x)e2x-g(x)(e2x)e4x=g(x)-2g(x)e2x=xex-2g(x)e2x,令h(x)=xex-2g(x),则h(x)=(xex)-2g(x)=(1-2x)ex2x,当x0,12时,h(x)0,h(x)单调递增,当x12,+时,h(x)0,h(x)单调递减,则h(x)h12=12e12-2g12=2e2-2ef12=0,即有f(x)0,则函数f(x)在0,+)内单调递减.又由1a+1b21ab=122e,当且仅当a=b=42e

6、时等号成立,任意正数a,b都有f(2x)1a+1b,则f(2x)12,解得x-1,则不等式的解集为(-1,+).9.(多选题)已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,以下几个结论中正确的是()A.0x01eC.f(x0)+2x00答案AD解析函数f(x)=xlnx+x2(x0),f(x)=lnx+1+2x,易知f(x)=lnx+1+2x在(0,+)上单调递增,x0是函数f(x)的极值点,f(x0)=0,即lnx0+1+2x0=0,而f1e=2e0,当x0,f(x)-,0x00,即选项D正确,选项C不正确.选AD.10.(多选题)已知函数f(x)=sin x+x3-ax,

7、则下列结论正确的是()A.f(x)是奇函数B.若f(x)是增函数,则a1C.当a=-3时,函数f(x)恰有两个零点D.当a=3时,函数f(x)恰有两个极值点答案ABD解析对A,f(x)=sinx+x3-ax的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)+(-x)3+ax=-(sinx+x3-ax)=-f(x).故A正确.对B,f(x)=cosx+3x2-a,因为f(x)是增函数,故cosx+3x2-a0恒成立,即acosx+3x2恒成立.令g(x)=cosx+3x2,则g(x)=6x-sinx,设h(x)=6x-sinx,h(x)=6-cosx0,故g(x)=6x-sinx单调递增,又g(0)=0

8、,故当x0时g(x)0时g(x)0.故g(x)=cosx+3x2最小值为g(0)=1.故a1.故B正确.对C,当a=-3时,由f(x)=cosx+3x2-a0在R上恒成立知,f(x)是增函数,故不可能有两个零点,故C错误.对D,当a=3时f(x)=sinx+x3-3x,f(x)=cosx+3x2-3,令cosx+3x2-3=0,则有cosx=3-3x2.在同一坐标系中作出y=cosx,y=3-3x2的图象易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确.故选ABD.11.已知函数f(x)=x3-3x+m,若关于x的方程f(x)=0在0,2上有根,则实数m的取值

9、范围是.答案-2,2解析令g(x)=x3-3x,x0,2,则易知函数g(x)在0,1内单调递减,在1,2内单调递增,又g(1)=-2,g(2)=2,g(0)=0,函数g(x)=x3-3x,x0,2的值域是-2,2.关于x的方程f(x)=0在0,2上有根,则-m-2,2,可得m-2,2.12.已知函数f(x)=x2-2ln x,若关于x的不等式f(x)-m0在1,e上有实数解,则实数m的取值范围是.答案(-,e2-2解析由f(x)-m0得f(x)m,函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2x-2x=2(x2-1)x,当x1,e时,f(x)0,此时,函数f(x)单调递增,所以f(1)f(x)

10、f(e),即1f(x)e2-2,要使f(x)-m0在1,e上有实数解,则有me2-2.13.已知函数y=x2(x0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中kN+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.答案21解析由于y=2x,则函数y=x2(x0)在点(a1,a12)(a1=16)处(即点(16,256)处)的切线方程为y-256=32(x-16).令y=0,得a2=8.同理函数y=x2(x0)在点(a2,a22)(a2=8)处(即点(8,64)处)的切线方程为y-64=16(x-8).令y=0,得a3=4,依次同理求得a4=2,a5=1.所以a1+a3+a5=

11、21.14.已知函数f(x)=12x2-aln x(aR),(1)若f(x)在x=2时取得极值,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)求证:当x1时,12x2+ln x23x3.(1)解f(x)=x-ax,x=2是一个极值点,2-a2=0,则a=4.此时f(x)=x-4x=(x+2)(x-2)x,f(x)的定义域是(0,+),当x(0,2)时,f(x)0,当a=4时,x=2是一个极小值点,则a=4.(2)解f(x)=x-ax=x2-ax,当a0时,f(x)的单调递增区间为(0,+).当a0时,f(x)=x-ax=x2-ax=(x+a)(x-a)x,当0xa时,f(x)a时,f(x)0,函

12、数f(x)的单调递增区间为(a,+),递减区间为(0,a).(3)证明设g(x)=23x3-12x2-lnx,x1,g(x)=2x2-x-1x=(x-1)(2x2+x+1)x0,g(x)在x(1,+)上单调递增,当x1时,g(x)g(1)=160,当x1时,12x2+lnx23x3.学科素养创新练15.已知函数f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x+a,其中a为常数.(1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)当a12时,求证:对x1x2+ax1+a恒成立.(1)解当a=0时,f(x)=xlnx-x,f(x)=lnx,当x(0,1)时,f(x)0,即f(x)在(1,+)上单调递增.f(x)

13、的极小值为f(1)=-1,无极大值.(2)证明根据题意,要证明对x1,x2(0,+),且x1x2+ax1+a,等价于证明(x1+a)ln1+1x1(x2+a)ln1+1x2.设g(x)=(x+a)ln1+1x,由单调性的定义知要证明原不等式等价于证明g(x)=(x+a)ln1+1x在(0,+)上单调递减.即证g(x)=ln1+1x-x+ax2+x0在(0,+)上恒成立,即证ln1+1xx+ax2+x.a12,x+12x2+xx+ax2+x,只需证明ln1+1xx+12x2+x,等价于证明ln1+1x-x+12x2+x0.设h(x)=ln1+1x-x+12x2+x(x0),令t=1+1x,则t1,h(x)=g(t)=lnt-t2-12t,只需证当t1时,g(t)0.g(t)=-(t-1)22t20,g(t)单调递减,g(t)g(1)=0,故原不等式成立.