河南省南阳市第一中学2022-2023学年高二数学上学期12月月考试卷（PDF版附解析）.pdf

1、试卷第 1页，共 4页南阳一中 2022 年秋期高二年级第三次月考数学学科试题1-16 黄光华17-22 靳小芳一、单选题(共 60 分)1在空间直角坐标系Oxyz中，点 1,2,3A与点 1,2,3B （）A关于原点对称B关于 xOy 平面对称C关于 y 轴对称D关于 z 轴对称2已知2,1,3,1,2,9axby，如果/ab，则 xy（）A43B0C 43D13已知直线 l 经过点 2,3,1A，且1,0,1n 是 l 的方向向量，则点 4,3,2P到 l 的距离为（）A 12B 3 22C22D 24已知向量2,1,2a，1,2,3b，则向量b 在向量 a 上的投影向量为（）A4 22,

2、3 33B2 12,3 33C 42 4,33 3D 21 2,33 35某省新高考采用“3 12 ”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择 1 个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物 4 个科目中选择 2 个科目已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（）A4 种B6 种C8 种D12 种6如图，已知四棱锥 PABCD的底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，且3DAB，PD 底面 ABCD，若点 D 到平面 PAC 的距离为2，则 PD （）A 2 2B2C1D27如图，在平行六面体1111ABCDA

3、 B C D中，AC 与 BD的交点为 M，若11C MxAByADzAA，则,x y z （）A1 1,12 2B 1 1,12 2C11,122 D11,1228已知,4,1ax，2,1by，3,2,cz，ab，bc，则+a c 与+b c 夹角的余弦值为（）A219B 219C 2 3819D2 38199已知空间向量 a，b，且2ABab ，56BCab ，72CDab，则一定共线的三点是（）A、ABCB BCD、C ABD、D ACD、试卷第 2页，共 4页10阅读材料：空间直角坐标系Oxyz中，过点 000,P xy z且一个法向量为,na b c的平面 的方程为0000a xxb

4、 yyc zz，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为3570 xyz，直线l 是两平面370 xy与 4210yz 的交线，则直线l 与平面 所成角的正弦值为（）A1035B75C715D145511正方体1111ABCDA B C D中，E、F、G、H 分别为1CC、BC、CD、1BB 的中点，则下列结论不正确的是（）A1BGEFB平面 AEF 平面111AA D DADC1/A H平面 AEFD向量1A Buuur与向量1ADuuur的夹角是 6012如图，在四棱锥 PABCD中，PD 底面 ABCD，底面 ABCD为矩形，3,4,PDDCADM是线段 PA 的中点，N 是线段

5、PC上一点（不与,P C 两点重合），且 PNPC若直线 MN 与 BD所成角的余弦值是 2 2121，则（）A 12B 13C 14D 15二、填空题(共 20 分)13已知 ABC，三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若向量11=+32OPOAOBOC，且点 P 与 ABC，共面，则实数 _14把标号为 1，2，3，4 的四个小球放入标号为 1，2，3，4 的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则 1 号球和2 号球都不放入 1 号盒子的方法共有_种15如图，在平行六面体1111ABCDA B C D中，1 2AB AD AA，1160A ABA AD ，90BAD，则1AC 的长为16如

6、图所示，三棱锥VABC的侧棱长都相等，底面 ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 为线段 AC 的中点，F 为直线 AB 上的动点，若平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为，则cos 的最大值为三、解答题(共 70 分)17、(10 分)已知 a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,求:(1)a,b,c;(2)a+c 与 b+c 所成角的余弦值.试卷第 3页，共 4页18、(12 分)已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线 A

7、B 上,是否存在一点 E,使得OE b?(O 为原点)。若存在，求出 E 点，若不存在，说明理由。19、(12 分)如图，在直三棱柱111ABCA BC-中，ABAC，2ABAC，14AA，点 D 是 BC 的中点.(1)求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值(2)求直线CD 与平面1ADC 所成角的正弦值.20、（12 分）在如图所示的五面体 ABCDFE 中，面 ABCD是边长为 2 的正方形，AE面 ABCD，/DF AE，且112DFAE，,M N 分别为,CD BE 的中点.(1)证明：/NF平面 ABCD；(2)求点 A 到平面 MNF 的距离.21、(12 分)如图所示，

8、已知四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD 为正方形，三角形 PAB为正三角形，侧面 PAB 底面 ABCD，M 是棱 AD 的中点（1）求证：PCBM；（2）求二面角 BPMC的正弦值试卷第 4页，共 4页22、(12 分)如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD是菱形，2PAAB，60BAD.（1）求证：直线 BD 平面 PAC；（2）设点 M 在线段 PC上，且二面角CMBA的余弦值为 57，求点 M 到底面 ABCD 的距离.答案第 1页，共 7页南阳一中 2022 年秋期高二年级第三次月考数学学科试题参考答案：1-5DACCB6-10DCACA11-12 D

9、B7C【详解】由已知，在平行六面体1111ABCDA B C D中，AC 与 BD的交点为 M，所以11112C MCCCACMCC1111()22AAACAAABAD 111122ABADAAxAByADzAA 所以11,122x y z.8A【详解】解：因为/a b，所以4121xy，解得=2x，4y ，故=(2b,4,1)，又因为bc，所以0b c，即 680z，解得=2z所以=(2a,4,1)，=(3c,2,2)，所以+=(5a c,2,3)，+=(1b c,6,1)，所以(+)(+)=5 12+3=4a cb c，|+|=25+4+9=38a c，|+|=1+36+1=38b c，设

10、 ac 与bc 的夹角为，则+42cos+,+=193838+a cb ca c b ca cb c 10A【详解】平面 的方程为3570 xyz，平面 的法向量可取3,5,1m 平面370 xy的法向量为1,3,0a，平面 4210yz 的法向量为0,4,2b，设两平面的交线l 的方向向量为(,)nx y z，由30420n axyn byz ，令3x，则1y ，2z ，所以3,1,2n，则直线l 与平面 所成角的大小为，210sincos,351435m nm nm n 11D【详解】解：因为11BCB C，111BCA B，1111B CA BB，111,B C A B 平面11A B

11、CD，所以1BC 平面11A B CD，又 E、F 分别为1CC、BC 的中点，所以1/EF BC，所以 EF 平面11A B CD，1B G 平面11A B CD，所以1BGEF，故 A 正确，连接1AD 和1BC，E、F、G、H 分别为1CC、BC、CD、1BB 的中点，可知11/EF BCAD，所以 E、F、A、1D 四点共面，所以平面 AEF 平面111AA D DAD，故 B 正确；由题知，可设正方体的棱长为 2，以 D 为原点，DA为 x 轴，DC 为 y 轴，1DD 为 z 轴，答案第 2页，共 7页则12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0ACE

12、AHF所以110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A HAFEFAA，设平面 AEF 的法向量为,nx y z，则00n AFn EF ，即200 xyxz ，令1y ，得2,2xz，得平面 AEF 的法向量为2,1,2n，所以10A H n，1A H 平面 AEF，所以1/A H平面 AEF，故 C 正确；因为112,0,2,2,2,0,2,0,0,0,0,2ABAD110,2,2,2,0,2A BAD 向量1A Buuur与向量1ADuuur的夹角为，则11111141coscos,22 22 2A B ADA B ADA BAD ，又0,，所以120 ，故 D 错误，12B【详

13、解】因为 PD 平面 ABCD，DC 平面 ABCD，AD 平面 ABCD，所以 PDDC，PDAD因为底面ABCD为矩形，所以 DCAD所以 DP，DC，DA 两两互相垂直以 D 为原点，DA、DC、DP 所在直线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，则0,0,0D，(4,3,0)B，(0,0,3)P，(4,0,0)A，(0,3,0)C，32,0,2M 所以(0,3,3)PC，(4,3,0)BD 因为0,3,30,1PNPC，所以(0,3,33)N，则32,3,32MN 设直线 MN 与 BD 所成角为，则232,3,3(4,3,0)2|cos|2518954MN BDMNB

14、D 222|89|1811446425525189189544因为22181144642 21255211894，则22811446410025211894，化简得29921247190，即答案第 3页，共 7页(31)(33719)0，解得13 或71933 （舍去）13 161412【详解】由于 1 号盒子不能放 1 号球和 2 号球，则 1 号盒子可以放 3 号球或 4 号球，有 2 种方法，剩下的 3 个盒子各放一个球有33A 种方法，则由分步乘法原理可得一共有332 A12种方法故答案为：12152【详解】111ACA AACAAABAD，又：1 2AB AD AA，1160A AB

15、A AD ，90BAD，221111ACACACAAABAD222111222AAABADAA ABAA ADAB AD 122211112c2cosos2cosA AAAABADAAABAAADABADABADBAD2222222 2 2 cos602 2 2cos600 2.1663【详解】底面 ABC 与侧面VAC 都是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，则 Rt ABC RtVAC，VAVCABBC，设2VAVBVCABBC，则2 2AC，E 为 AC 的中点，则2VEBE，222VEBEVB，即VEBE，以 E 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A、(0,2,0)C、(2

16、,0,0)B、(0,0,2)V，设(,)F x y z，AFAB，0,1，则 AFAB，而,2,AFx yz，2,2,0AB，2x、22y、0z，(2,22,0)F，0,2,2VC、2,0,2VB、0,0,2EV、2,22,2VF，设面VEF 的一个法向量1111(,)nx y z，则1100n EVn VF ，即1111202(22)20zxyz，令11y ，则11,1,0n，设面VBC 的一个法向量2222(,)nxy z，则2200n VCn VB ，即2222220220yzxz，令21x ，则21,1,1n，面VEF 与面VBC 所成锐二面角的平面角为，则答案第 4页，共 7页121

17、221211coscos,113n nn nnn 221111322132()22，当12 时max6(cos)3，即cos 的最大值为63.17.解(1)因为 ab,所以x-2=4y=1-1,解得 x=2,y=-4,这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为 bc,所以bc=0,即-6+8-z=0,解得 z=2,所以 c=(3,-2,2).（6 分）(2)由(1)得 a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以 a+c 与 b+c 所成角的余弦值 cos=5-12+338 38=-219.（10分）18.解(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-

18、5,5),故|2a+b|=02+(5)2+52=5 2.（6 分）(2)OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),（8 分）若OE b,则OE b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得 t=95,（10 分）因此存在点 E,使得OE b,此时点 E 的坐标为 E-65,-145,25.（12 分）19.（1）在直三棱柱111ABCA BC-中，ABAC，2ABAC，14AA，点 D 是 BC 的中点以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，1AA 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（2

19、 分）(0A，0，0)，1(0A，0，4)，(2B，0，0)，1(0C，2，4)，(1D，1，0)，1(2,0,4)A B，1(1,1,4)C D ，答案第 5页，共 7页设异面直线1A B 与1C D 所成角为，则异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值为：1111|183 10cos10|2018A B C DA BC D；（6 分）（2）平面1AC D 的法向量(2,2,1)n，（8 分）(1,1,0)CD 设直线CD 与平面1AC D 所成角为，0,2 ，则2202 2sin|cos,|3|4411 10CDCDCDnnn ，（11 分）所以直线CD 与平面1AC D 所成角的正弦

20、值为 2 23（12 分）20.（1）法一：以 A 为坐标原点，,AB AD AE 正方向为,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，（2 分）则0,0,0A，1,2,0M，1,0,1N，0,2,1F，0,0,2E，1,2,0NF，0,2,1MN，0,2,1AF，0,0,2AE；AE Q平面 ABCD，平面 ABCD的一个法向量为0,0,2AE，（4 分）0NF AE，NFAE，则平面 ABCD外直线/NF平面 ABCD.（6 分）法二：取 AB 中点 P,证明 NF 平行且等于 PD.（做对给 6 分）（2）设平面 MNF 的法向量,nx y z，则2020NF nxyMN nyz ，

21、令1y ，解得：2x，2z，2,1,2n，（9 分）点 A 到平面 MNF 的距离222443212AF ndn.（12 分）21解：（1）取 AB 的中点 O，连接OP，并过 O 点作 BC 的平行线OE，交CD 于 E，则OEAB三角形 PAB为正三角形 POAB平面 PAB 底面 ABCD且平面 PAB 底面 ABCDAB PO 底面 ABCD（2 分）以 O 为坐标原点，OB的方向为 x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系（3 分），令2PBAB，答案第 6页，共 7页则 1,0,0B，0,0,3P，1,1,0M，1,2,0C1,2,3PC，2,1,0BM 122 1300PC BM

22、 PCBM（6 分）（2）1,1,3PM ，2,1,0CM 设平面 PMB 的一个法向量为,mx y z则00PM mBM m 即3020 xyzxy 令1x ，31,2,3m（8 分）设平面 PMC 的一个法向量为,na b c则00PM nCM n 即3020abcab 令1a ，1,2,3n（10 分），所以6cos,4m nm nmn ，（11 分）所以22610sin,1cos,144m nm n 二面角 BPMC的正弦值为104（12 分）22（1）由菱形的性质可知 BDAC，（1 分）因为 PA 平面 ABCD所以 BDAP，（2 分）且 APACA，所以直线 BD 平面 PAC

23、；（4 分）（2）以点 A 为坐标原点，AD，AP 方向为 y 轴，z 轴正方向，答案第 7页，共 7页如图所示，在平面 ABCD 内与 AD 垂直的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，（6 分）设,M x y z，且01PMPC，由于0,0,2,3,3,0,3,1,0,0,0,0PCBA，故：,23,3,2x y z，据此可得：3322xyz ，即点 M 的坐标为3,3,22M（7 分），设平面 CMB 的法向量为：1111,xny z，则：111111111,0,2,020,33,1 3,220n CBx y zyn MBx y z ，据此可得平面 CMB的一个法向量为：12,0,3n，（8 分）设平面 MBA 的法向量为：2222,nx y z，则：2222222222,3,1,030,33,1 3,220nABxyzxynMBxyz ，据此可得平面 MBA 的一个法向量为：231,3,1n（10分），二面角CMBA的余弦值为 57，故：22325173713(1)，整理得214196=0，解得：16=27或（11 分）.由点 M 的坐标为3 3,122M 或6 3 18 2,777M.易知点 M 到底面 ABCD的距离为1或者 27（12 分）