《解析》湖南省郴州市2020-2021学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷 WORD版含解析.docx

1、 湖南省郴州市 2020-2021 学年高二下学期数学期末考试试卷 一、单选题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合 ，则 （）A.B.C.D.2.若复数 的模为 5，虚部为-4，则复数 （）A.B.C.或 D.3.已知等比数列 中，数列 是等差数列，且 ，则 （）A.3 B.6 C.7 D.8 4.刘徽(约公元 225 年295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核

2、心思想是将一个圆的内接正 边形等分成 个等腰三角形如图 1 所示，当 变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到 的近似值为（）A.B.C.D.5.设 ，则（）A.B.C.D.6.已知平面向量 ，满足，若 ，则 的最大值为（）A.1 B.C.D.2 7.为了加强新冠疫苗的接种工作，某医院欲从 5 名医生和 4 名护士中抽选了 3 人(医生和护士均至少有一人)分配到 ，三个地区参加医疗支援工作(每个地区一人)，方案要求医生不能去 地区，则分配方案共有（）A.264 种 B.224 种 C.200 种 D.236 种 8.已知函数 （且 ）若函数 的图象上有且只有

3、两个点关于原点对称，则 的取值范围是（）A.B.C.D.二、多选题(每小题 4 分，共 20 分)9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为 甲 乙，则（）A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高 B.甲的成绩比乙稳定 C.甲 一定大于 乙 D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 10.已知 ，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.11.关于函数 有下述四个结论，其中正确的结论是（）A.是偶函数 B.在 上有 3 个零点 C.在 上单调递增 D.的最大值为 2 12.如图所示，正三棱柱 各棱的长度均相等，为 的中点，分别是线段 和线段 上的动点(含端点)，且满足

4、 ，当 运动时，下列结论中正确的是（）A.是等腰三角形 B.在 内总存在与平面 垂直的线段 C.三棱锥 的体积是三棱柱 的体积的 D.三、填空题:每小题 4 分，共 20 分请把答案填在答题卡的相应位置 13.已知直线 是函数 的一条对称轴，写出 的一个可能值为_.14.已知随机变量 ，满足 ，_.15.已知 的展开式中的各项系数的和为 2，则该展开式中的常数项为_ 16.已知扇形 半径为 1，弧 上的点 满足 ，则 的最大值是_；最小值是_.四、解答题(共 70 分)17.在 中，内角 ，的对边分别为 ，且 （1）求 ；（2）若 的面积为 ，为 的中点，求 的最小值.18.已知正项数列 的前

5、 项和为 ，对 有 .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求 的前项和 .19.如图，矩形 中，为 的中点，把 沿 翻折，满足 .（1）求证：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.20.足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机 App(应用程序)公司为了了解居民使用这款 App 使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展 5 个月的调查活动，从使用这款 App 的人数的满意度统计数据如下：月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80（1）请利用所给数据求不满意人数 与月份 之间的回归直线方程 ，并预测该小区

6、10 月份的对这款 App 不满意人数：（2）工作人员发现使用这款 App 居民的年龄 近似服从正态分布 ，求 的值；（3）工作人员从这 5 个月内的调查表中随机抽查 100 人，调查是否使用这款 App 与性别的关系，得到如表：使用 App 不使用 App 女性 48 12 男性 22 18 能否据此判断有 99%的把握认为是否使用这款 App 与性别有关？参考公式：，.附：随机变量：，则 ，(其中 )P（K2k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 21.已知圆 经过两点 ，且圆心 在直线 上.（1）求圆

7、的方程；（2）设 ，是圆 上异于原点 的两点，直线 ，的斜率分别为 ，且 ，求证：直线 经过一定点，并求出该定点的坐标.22.某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都举行“快乐体育”活动.在一次“套圈圈”的游戏中，规则如下：在规定的 4 米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于 3 次称为“最佳拍档”，甲乙两人同一组，甲乙两人丟圈套中的概率为别为 pi ，p2，假设两人是否套中相互没有影响.（1）若 ，设甲乙两人丟圈套中的次数之和为 ，求 的分布列及数学期望 .（2）若 ，则游戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数

8、为 16 次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时 ，的值.答案解析部分 一、单选题 1.设集合 ，则 （）A.B.C.D.【答案】C 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解：故答案为：C 【分析】根据交集的定义求出 AB 即可.2.若复数 的模为 5，虚部为-4，则复数 （）A.B.C.或 D.【答案】C 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数求模 【解析】【解答】设 ，解得 ，.故答案为：C 【分析】设复数 ，根据复数的模求出 x 的值，即可求出复数 z 的值。3.已知等比数列 中，数列 是等差数列，且 ，则 （）A.3 B.6 C.7 D.8【答案】D 【考点】等差数列的性质

9、 【解析】【解答】因为 等比数列，且 ，解得 ，数列 是等差数列，则 ，故答案为：D.【分析】因为 等比数列，且 可得 ，解得 ，数列 是等差数列，则 可得答案。4.刘徽(约公元 225 年295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 边形等分成 个等腰三角形如图 1 所示，当 变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到 的近似值为（）A.B.C.D.【答案】B 【考点】扇形的弧长与面

10、积 【解析】【解答】解：将一个单位圆分成 120 个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为 ，这 120 个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，故答案为：B 【分析】将一个单位圆分成 120 个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为 3，由这 1820 个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，能求出 sin3的近似值.5.设 ，则（）A.B.C.D.【答案】D 【考点】对数的运算性质，换底公式的应用，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】，而 ，.故答案为：D 【分析】利用对数的换底公式、运算法则、对数函数的单调性即可得出大小关系.6.已知平面向量 ，满足，若 ，则 的最大值

11、为（）A.1 B.C.D.2【答案】D 【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 【解析】【解答】由题意知：，则 ，则 ，易知 为等边三角形，则 ，又 ，当 时，的最大值为 2.故答案为：D 【分析】由题意知：，则 ，则 ，易知 为等边三角形，可得当 时，的最大值为 2。7.为了加强新冠疫苗的接种工作，某医院欲从 5 名医生和 4 名护士中抽选了 3 人(医生和护士均至少有一人)分配到 ，三个地区参加医疗支援工作(每个地区一人)，方案要求医生不能去 地区，则分配方案共有（）A.264 种 B.224 种 C.200 种 D.236 种【答案】C 【考点】排列、组合及简单计数问题

12、【解析】【解答】当选取的是 1 名医生 2 名护士，共有 种选法，分配到 A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去 A 地区，共有 种，即一共 种方案；当选取的是 2 名医生 1 名护士，共有 种选法，分配到 A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去 A 地区，共有 种，即一共 种方案.综上所述：分配方案共有 200 种.故答案为：C.【分析】分类计数，考虑选取 1 名医生 2 名护士和 2 名医生 1 名护士两类情况求解.8.已知函数 （且 ）若函数 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案

13、】C 【考点】分段函数的应用 【解析】【解答】当 时，函数 关于原点对称的函数为 ，即 ，若函数 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数 与 只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若 时，与函数 有唯一的交点，满足条件；当 时，若 时，要使 与函数 有唯一的交点，则要满足 ，即 ，解得故 ；综上 的取值范围是 故答案为：C 【分析】利用函数的对称性，画出函数的图象，通过数形结合转化求解即可.二、多选题 9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为 甲 乙，则（）A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高 B.甲的成绩比乙稳定 C.甲 一定大于 乙 D.甲的成

14、绩的极差大于乙的成绩的极差【答案】B,C 【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【解答】对于 A 选项，第二次月考，乙的成绩比甲的成绩要高，A 选项错误；对于 B 选项，甲组数据比乙组数据的波动幅度要小，甲的成绩比乙稳定，B 选项正确；对于 C 选项，根据图象可估计出 甲 ，乙 ，甲 一定大于 乙，C 选项正确；对于 D 选项，根据图象可知甲的成绩的极差比乙的成绩的极差小，D 选项错误.故答案为：BC.【分析】根据图象可判断 A 选项的正误;根据甲、乙两组数据的波动幅度大小可判断 B 选项的正误;根据图象判断甲、乙两组数据估计平均数的分布，可判断 C 选项的正误;根据图象判

15、断甲、乙两组数据极差的大小关系，可判断出 D 选项的正误，由此可得出结论.10.已知 ，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】A,B 【考点】对数函数的单调性与特殊点，基本不等式，不等式的基本性质 【解析】【解答】，则 ，A 符合题意；，当且仅当 时取等号，又 ，B 符合题意；，C 不符合题意；取 时，此时 ，D 不符合题意.故答案为：AB.【分析】根据题目所给不等式判断 a,b 的大小及符号，然后运用不等式的性质判断 A，利用基本不等式判断 B 选项，利用不等式的性质及对数函数的单调性判断 C 选项，举反例判断 D 选项。11.关于函数 有下述四个结论，其中正确的结论是（）A.是

16、偶函数 B.在 上有 3 个零点 C.在 上单调递增 D.的最大值为 2【答案】A,D 【考点】函数奇偶性的判断，函数的零点，正弦函数的零点与最值 【解析】【解答】A：且 ，即 是偶函数，正确；B：，零点有无数个，错误；C：由 B 知：上 为常数，不单调，错误；D：由 B 知：在 上，当 ，时最大值为 2，正确.故答案为：AD 【分析】利用奇偶性的定义判断 A；利用特殊值判断 B；求出函数的零点判断 C；求出函数的最小值判断 D。12.如图所示，正三棱柱 各棱的长度均相等，为 的中点，分别是线段 和线段 上的动点(含端点)，且满足 ，当 运动时，下列结论中正确的是（）A.是等腰三角形 B.在

17、内总存在与平面 垂直的线段 C.三棱锥 的体积是三棱柱 的体积的 D.【答案】A,B,D 【考点】棱柱的结构特征 【解析】【解答】对于 A 选项，依题意可知 、是 的中点、，所以直角梯形 和直角梯形 全等（当 ，即 和 重合、和 重合时是全等的三角形），所以 ，所以 是等腰三角形，A 选项正确.对于 B 选项，设 分别是 的中点，连接 ，由于 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，由于在正三棱柱中，平面 平面 ，两个平面的交线为 ，且等边三角形 中，所以 平面 ，所以 平面 ，所以 B 选项正确.对于 C 选项，设正三棱柱的边长为 ，所以正三棱柱 的体积为 .根据正三棱柱的性质可知 到平面

18、 的距离等于 到平面 的距离，结合等边三角形的性质可知这个距离为 ，所以 ，所以三棱锥 的体积是三棱柱 的体积的 ，C 选项错误.对于 D 选项，设 ，则 ，由余弦定理得 ，由于 ，所以 ，所以 D 选项正确.故答案为：ABD 【分析】根据正三棱柱的结构特征，逐项进行分析，可得答案。三、填空题 13.已知直线 是函数 的一条对称轴，写出 的一个可能值为_.【答案】(答案不唯一，形如 ，都可以)【考点】正弦函数的奇偶性与对称性 【解析】【解答】解：因为直线 是函数 的一条对称轴，所以 ，即 .故答案为：(答案不唯一，形如 ，都可以).【分析】利用 x=1 是函数的对称轴，列出关系式，即可得到结果

19、.14.已知随机变量 ，满足 ，_.【答案】4 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】解：因为随机变量 满足 ，所以 ，又因 ，所以 .故答案为：4.【分析】由随机变量 ，先求出 E(X)=1，再由变量 Y=3X+1，得 的值。15.已知 的展开式中的各项系数的和为 2，则该展开式中的常数项为_ 【答案】40 【考点】二项式定理 【解析】【解答】令 x=1 可得 ，即 a=1，则 ，分别求出 的展开式中的含 和 x 和的项的系数分别为-40，80，所以展开式中的常数项为 40.【分析】先求出 a 的值，再把 按照二项式定理展开，可得 的展开式中常数项.16.已知扇形 半径为 1，

20、弧 上的点 满足 ，则 的最大值是_；最小值是_.【答案】2；【考点】平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用 【解析】【解答】以 为 x 轴，过 作 的垂线作 轴，建立平面直角坐标系，,，则 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以当 ，即 时，取得最大值 2.所以 ，因为 ，所以 ，所以当 ，即 时，取得最小值 .故答案为：2；.【分析】建立坐标系，设BOP=，用 表示出 P 点坐标，得出+及 关于 的表达式，根据 的范围和三角函数的性质得出答案.四、解答题 17.在 中，内角 ，的对边分别为 ，且 （1）求 ；（2）若 的面积为 ，为 的中点，求 的最小值.【答案】（1）由 及正弦定

21、理 可得：（2）由题意知 ，得 .由余弦定理得 ，当且仅当 且 ，即 ，时取等号，所以 的最小值为 .【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件，然后通过余弦定理求解角 C 的大小;（2）利用三角形的面积公式和余弦定理及不等式的应用求出结果.18.已知正项数列 的前 项和为 ，对 有 .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求 的前项和 .【答案】（1），当 时，解得 ；当 时，由 得 ，化为 ，有 ，.数列 是以首项为 1，公差为 1 的等差数列.（2）由（1）得 ，.【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】(1)当 n=1 时计算可知 ，当 n2 时

22、通过作差整理可知 数列 是以首项为 1，公差为 1 的等差数列，进而计算可得结论;(2)通过(1)可知 ，进而利用错位相减法计算即得结论.19.如图，矩形 中，为 的中点，把 沿 翻折，满足 .（1）求证：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】（1）证明：由已知可得 ，在 中，满足 ，且 ，、平面 ，平面 又 平面 ，平面 平面 .（2）解：法一：(几何法)如图所示，连接 ，取 中点 ，连接 ，过 作 交 于 点，连接 、，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ，又 ，平面 ，所以 即为所求的二面角的平面角，由 ，又 ，二面角 的余弦值为 .法二：(向量法)取 的中点 ，连接 平面 平面

23、 ，平面 平面 ，平面 ，如图所示，以 为坐标原点，以 ，分别为 ，轴，过 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，设 为平面 的法向量，有 不妨令 ，则 ，而平面 的其中一个法向量显然为 二面角 的余弦值为 .【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1）根据勾股定理可证得 ，得 平面 ，根据面面垂直的判定定理可得平面 平面 ；（2）法一：(几何法)如图所示，连接 ，取 中点 ，连接 ，得 ，即为所求的二面角的平面角，；法二：(向量法)以 ，分别为 ，轴，过 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量和平面 的其中一个法向量，利用向量法可

24、求出二面角 的余弦值.20.足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机 App(应用程序)公司为了了解居民使用这款 App 使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展 5 个月的调查活动，从使用这款 App 的人数的满意度统计数据如下：月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80（1）请利用所给数据求不满意人数 与月份 之间的回归直线方程 ，并预测该小区 10 月份的对这款 App 不满意人数：（2）工作人员发现使用这款 App 居民的年龄 近似服从正态分布 ，求 的值；（3）工作人员从这 5 个月内的调查表中随机

25、抽查 100 人，调查是否使用这款 App 与性别的关系，得到如表：使用 App 不使用 App 女性 48 12 男性 22 18 能否据此判断有 99%的把握认为是否使用这款 App 与性别有关？参考公式：，.附：随机变量：，则 ，(其中 )P（K2k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】（1）由表中的数据可知，所以 ，故 ，所以所求的回归直线方程为 ；令 ，则 （人）所以 10 月该小区对这款 App 的不满意人数为 37 人；（2）依题意得 （3）由表中的数据计算可得：，根据临界值可得，有 99

26、%的把握认为是否使用这款 App 与性别有关【考点】线性回归方程，独立性检验的基本思想 【解析】【分析】（1）由表中的数据可知，根据公式求出 ，即可求出回归直线方程，令 ，可求出小区 10 月份的对这款 App 不满意人数；（2）依题意得 计算即可；（3）由表中的数据计算求得 K2 ，即可的结论。21.已知圆 经过两点 ，且圆心 在直线 上.（1）求圆 的方程；（2）设 ，是圆 上异于原点 的两点，直线 ，的斜率分别为 ，且 ，求证：直线 经过一定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）设圆 的方程为：，由题意得：，圆 的方程：.（2）设直线 ：，由 ，设 ，代入 得 ，直线 必过定点 .【考点

27、】圆的一般方程，直线和圆的方程的应用 【解析】【分析】（1）设圆 的方程为：，由题意得：，可得圆 的方程；（2）设直线 ：，由 ，利用韦达定理可得 ，解得 ，进而得出直线 必过定点 .22.某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都举行“快乐体育”活动.在一次“套圈圈”的游戏中，规则如下：在规定的 4 米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于 3 次称为“最佳拍档”，甲乙两人同一组，甲乙两人丟圈套中的概率为别为 pi ，p2，假设两人是否套中相互没有影响.（1）若 ，设甲乙两人丟圈套中的次数之和为 ，求 的分布列及数学期

28、望 .（2）若 ，则游戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为 16 次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时 ，的值.【答案】（1）两人丢圈套中的次数值和为，则 的值可能为 0，1，2，3，4，分布列如下表：0 1 2 3 4 .（2）他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率为 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，令 ，以 ，则 ，当 时，他们小组在 轮游戏中获“最佳拍档”次数 满足 ，由 ，则 ，所以理论上至少要进行 27 轮游戏，此时 ，.【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1）两人丢圈套中的次数值和为 ，则 的值可能为 0，1，2，3，4，求出对应的概率，即可求出 的分布列及数学期望 ；（2）他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率为 ，由 ，得 ，推导出 ，令 ，以 ，则 ，当 时，他们小组在 轮游戏中获“最佳拍档”次数 满足 ，由此求出结果。