【23押题卷丨金榜猜题卷丨新高考】数学2.docx

1、2023届新高考数学金榜猜题卷（2）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.复数z满足(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是( )A.B.C.D.3.已知，则的值为( )A.B.C.D.4.函数的大致图象为( )A.B.C.D.5.已知函数的最小正周期为，将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是( )A.函数在上是增函数B.函数的图象关于直线对称C.函数是奇函数D.函数的图象关于点中心对称6.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为

2、鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )A.B.C.D.7.已知且，且，且，则( )A.B.C.D.8.已知，是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的上顶点，过点A且斜率为的直线上有一点P，满足是以为顶角的等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是( )A.成

3、绩在内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分10.已知平面向量，则下列说法正确的是( )A.B.b在a方向上的投影向量为C.与b垂直的单位向量的坐标为D.若向量与向量共线，则11.在某市商业区有一个圆形的广场，称为“阿氏圆广场”.阿氏圆是古希腊著名数学家阿波罗尼斯的发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.从广场的外圆周的任意一点P，以同样的速度，到达A商场的所用时间是到达B商场所用时间的2倍.建立平面直角坐标系，点P满足，广场外圆周即点P的轨迹设为C，下列结论正确的是( )A.C的方程为B.居民经过商

4、场B，从广场一侧直线到达另一侧，需走的最短路程为C.过A做广场的切线，切点为M和N，则过点BD.一条市政公路所在直线为，则从广场到公路的最短距离为412.已知三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，.若点O到三棱柱的所有面的距离都相等，则( )A.平面B.C.平面截球O所得截面圆的周长为D.球O的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为_.14.已知直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且，则_.15.已知等比数列的公比，其前n项和为，且，则数列的前2021项和为_.16.已知函数的零点为，函数的零点为，给出

5、以下三个结论：；.其中所有正确结论的序号为_.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角A；(2)若的外接圆半径，求的面积.18.（12分）已知数列的前n项和为.(1)记，证明：是等差数列，并求的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n.19.（12分）在四棱锥中，底面ABCD，.（1）证明：；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.20.（12分）医学权威杂志柳叶刀指出，中国19岁男性平均身高达到175.7厘米，女性达到163.5厘米，位列东亚第一.关老师随机

6、调查了高三(满19岁)100名学生的身高情况，并将统计结果整理如表.末达到平均身高达到平均身高女1045男1530(1)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否达到平均身高与性别有关?(2)现在从本次调查的“达到平均身高”的学生中利用分层抽样的方法随机抽取10人进一步调查，再从这10人中抽取4人作为案例进行分析，记这4人中男生的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：，.0.150.100.050.0250.010.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.（12分）双曲线经过点，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线C

7、的方程；(2)过点P的两条直线，与双曲线C分别交于A，B两点(A，B两点不与P点重合)，设直线，的斜率分别为，若，证明：直线AB过定点.22.（12分）已知函数为的导函数.(1)讨论的极值；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.答案以及解析1.答案：B解析：集合或，则.又，所以.故选B.2.答案：B解析：由题知，复数，则复数z的共轭复数是，故选B.3.答案：C解析：，.4.答案：A解析：本题考查函数的图象.根据函数解析式，因为，所以该函数为偶函数，其图象关于y轴对称，且恒成立，当时，函数值为0，只有选项A符合题意.5.答案：A解析：，得，因此，对于A，由，得，此时单调递减，则函数单调递

8、增，故A正确；对于B，令，得，故B错误；对于C，则函数是偶函数，故C错误；对于D，令，得，当时，故D错误.故选A.6.答案：A解析：如图，取AC的中点为N，连接MN，BN，则且，所以即异面直线BM与CD的夹角或其补角.因为平面BCD，平面BCD，所以，又，所以平面ABC，所以平面ABC，所以.设，则，在中，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为.7.答案：D解析：由，得，.构造函数，则.由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以.画出函数的大致图象，如图所示，故，故选D.8.答案：B解析：由题意易知直线AP的方程为，因为为等腰三角形，所以直线的方程为，联立可得.如图，过点P向x

9、轴引垂线，垂足为H，则，所以，即，所以，故选B.9.答案：ABC解析：由频率分布直方图可得，成绩在内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在内的频率为，因此不及格的人数为，故B正确；C选项，由频率分布直方图可得，平均分约为（分），故C正确；因为成绩在内的频率为，在内的频率为0.3，所以中位数为，故D错误.故选ABC.10.答案：AD解析：选项A：由题意知，则，A正确；选项B：b在a方向上的投影向量为，B错误；选项C：与b垂直的单位向量的坐标为或，C错误；选项D：因为向量与向量共线，所以若存在，使得，则，所以，D正确.11.答案：ABC解析：设点P的坐标为，由得，则，

10、整理得曲线C的方程为，故选项A正确；若过B的路程最短，即需求过点B的最短弦长，即当B与圆心C的连线和弦垂直时弦长最短，由勾股定理得最短弦长为，故选项B正确；由题意可知四点共圆且在以为直径的圆上，圆的方程为.又在上，联立两个方程化简得直线的方程为，则点B在上，所以过点B，故选项C正确；当圆心C与直线垂直时，距离最短，圆心C到直线的距离为.因为圆的半径为2，所以最短距离为，故选项D错误，故选ABC.12.答案：AC解析：三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，根据球的对称性可知三棱柱为直棱柱，所以平面，因此A正确.因为，所以.因为点O到三棱柱的所有面的距离都相等，所以三棱柱的内切球与外接球的球心重合.设

11、该三棱柱的内切球的半径为r，则，所以，因此B错误.由，可知，解得(负值已舍去)，则.易得的外接圆的半径，所以平面截球O所得截面圆的周长为，因此C正确.三棱柱外接球的半径，所以球O的表面积，因此D错误.故选AC.13.答案：135解析：因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得.又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为.故答案为：135.14.答案：2解析：设，联立方程，得，即，又，解得.15.答案：解析：因为，所以，所以，得或（舍去），所以，故.因为，所以.故答案为：16.答案：解析：由题意得，则，易知在R上单调递增，在R上有且仅有一个零点，易知，正确；又

12、，错误；，则，易知，故，正确.综上，所有正确结论的序号为.17.答案：(1).(2).解析：(1)因为，所以由正弦定理，得，所以，所以，所以，即，又，所以.又，故.(2)由题意知.由余弦定理，得，所以，则，故.18.答案：(1)证明过程见解析，.(2)n为5.解析：(1)由，得，即，.即，又，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，.(2)由(1)知.，-，得，是递增数列，使不等式成立的最大正整数n为5.19.答案：（1）证明见解析（2）解析：解：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则.又，所以四边形DCBO为平行四边形.又，所以四边形DCBO为菱形，所以.同理可得，四边形DCOA为

13、菱形，所以，所以.因为底面ABCD，底面ABCD，所以，又，平面ADP，所以平面ADP.因为平面ADP，所以.（2）由（1）知，又，所以，所以三角形ADO为正三角形.过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.则，.设平面PAB的法向量为，则.令，则，所以.设直线PD与平面PAB所成的角为，则，所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.20.答案：(1)在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否达到平均身高与性别有关(2)解析：(1)补全列联表如下：末达到平均身高达到平均身高合计女104555男153045合计25751

14、00则，所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否达到平均身高与性别有关.(2)利用分层抽样的方法可得，在10人中，达到平均身高的女生有6人，男生有4人.所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以X的分布列为X01234P所以数学期望.21.答案：(1).(2)证明过程见解析.解析：(1)由题得双曲线C的一条渐近线方程为，虚轴的一个顶点为，依题意得，即，即，又点在双曲线C上，所以，即，由解得，所以双曲线C的方程为.(2)当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设，则由，解得，即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.不妨设直线AB的方程为，代入，整理得，设，则，由，

15、得，即，整理得，所以，整理得，即，所以或.当时，直线AB的方程为，经过定点；当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.综上，直线AB过定点.22.答案：(1)当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值.(2)取值范围为.解析：(1)由题意知，的定义域为，设，则，当时，在上单调递增，没有极值；当时，若，则在上单调递减，若，则在上单调递增，在处取得极小值，且极小值为在上没有极大值.综上，当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值.(2)由题意知，存在，使得，即存在，使得，构造函数，则，当，即时，在上恒成立，单调递增，所以，得，与矛盾，不满足题意.当，即时，若，则单调递减，若，则，单调递增，此时，由，得，所以，因为，所以不等式不成立.当，即时，在上恒成立，单调递减，所以，得，满足题意.综上，实数a的取值范围为.