【九年级上册】24.18 切线性质和判定定理（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题24.18 切线性质和判定定理（知识讲解）【学习目标】1.理解并掌握切线的判定和性质；2.运用切线的性质定理和判定定理进行证明或求值。.【要点梳理】圆的切线定义：圆的切线是指一直线若与一圆有交点，且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。要点一、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.要点

2、二、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.特别说明：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 【典型例题】类型一、切线的理解1如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A以OA为半径的圆B以OB为半径的圆C以OC为半径的圆D以OD为半径的圆【答案】D【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断解：于，以为圆心，为半径的圆与直线相切，故选：D【点拨】本题考查直线与圆的位置关系相切，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键【变式1】如图，点B在A上，

3、点C在A外，以下条件不能判定BC是A切线的是（）AA50，C40BBCACAB2+BC2AC2DA与AC的交点是AC中点【答案】D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论解：A、A50，C40，B180AC90，BCAB，点B在A上，AB是A的半径，BC是A切线；B、BCA，BA+C，A+B+C180，B90，BCAB，点B在A上，AB是A的半径，BC是A切线；C、AB2+BC2AC2，ABC是直角三角形，B90，BCAB，点B在A上，AB是A的半径，BC是A切线；D、A与AC的交点是AC中点，ABAC，但不能证出B90，不能判定BC是A切线；故选：D【点拨】本题考查了切线的

4、判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键【变式2】下列说法正确的是（）A与圆有公共点的直线是圆的切线B到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线C垂直于圆的半径的直线是圆的切线D过圆的半径外端的直线是圆的切线【答案】B【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确注意排除法在解选择题中的应用解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；C、经过半径的外端且垂直于这条半径的

5、直线是圆的切线，故本选项错误；D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误故选：B【点拨】此题考查了切线的判定此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键类型二、构成切线的条件2在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是_（写一个条件即可）【答案】ABT=ATB=45（答案不唯一）【分析】根据切线的判定条件，只需要得到BAT=90即可求解，因此只需要添加条件：ABT=ATB=45即可解：添加条件：ABT=ATB=45，ABT=ATB=45，BAT=90，又AB是圆O的直径，AT是圆O的切线，故答案为：ABT=ATB=45（答案不唯一）【点

6、拨】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键【变式1】如图，A、B是O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果AOB=120，那么当CAB的度数等于_度时，AC才能成为O的切线【答案】60【分析】由已知可求得OAB的度数，因为OAAC，AC才能成为O的切线，从而可求得CAB的度数解：AOB中，OA=OB，AOB=120，当OAAC即OAC=90时，AC才能成为O的切线，当CAB的度数等于60，即OAAC时，AC才能成为O的切线故答案为：60【点拨】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键【变式2】如图，已知

7、，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当_cm时，与OA相切.【答案】4【分析】过M作MNOA于点N，此时以MN为半径的圆与OA相切，根据30角所对直角边为斜边的一半可得OM的长.解：如图，过M作MNOA于点N，MN=2cm，OM=4cm，则当OM=4cm时，与OA相切.故答案为4.【点拨】本题主要考查切线判定，直角三角形中30角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.类型三、证明直线为圆的切线3如图，在ABC，ACBC，以BC为直径的O与底边AB交于点D，过D作DEAC，垂足为E求证：DE为O的切线【分析】连接OD，证得，可知DEOD，即可证得DE为O的切线解

8、：连接OD，如图所示，ACBC，又DEAC，DEOD，DE为O的切线【点拨】本题主要考查的是切线的判定，准确做出辅助线，证得平行是解题的关键【变式1】如图所示，的半径为1，直线CD经过圆心，交于C、D两点，直径，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于于点N，点P是直线CD上另一点，且(1)当点M在内部，如图一，试判断PN与的关系，并写出证明过程；(2)当点M在外部，如图二，其它条件不交时，（1）的结论是否还成立？请说明理由【答案】(1)相切，见分析(2)成立，见分析【分析】（1）连接，根据已知条件可知、，再通过即可判断PN与的关系；（2）连接，根据已知条件可知、，在中，

9、即有，再由即可判断PN与的关系(1)解：（1）与相切证明如下：如下图，连接，则，是的半径，与相切(2)成立理由如下：如下图，连接，则，在中，是的半径，与相切【点拨】本题考查了圆的切线的判定，解题关键是掌握圆与直线的位置关系的判定方法【变式2】如图，正方形的边长为的直径，E是上一点（不与A，B重合），将正方形的一个角沿折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合(1)判断直线与的位置关系？并说明理由；(2)若的半径为1，求的长？【答案】(1)见分析 (2)【分析】（1）如图所示，连接OF，OC，只需要证明OCFOCD得到OFC=ODC=90，即可得到结论；（2）先证明O、E、F三点共线，设AE=x，则BE

10、=AB-AE=2-x，OE=OF+EF=3-x，在RtAEO中，由勾股定理得到，则，据此求解即可(1)解：直线CF与圆O相切，理由如下：如图所示，连接OF，OC，由折叠的性质可知，CF=BC，四边形ABCD是正方形，CD=BC，ODC=90，CF=CD=BC，AD是圆O的直径，F在圆O上，OF=OD，又OC=OC，OCFOCD（SSS），OFC=ODC=90，直线CF与圆O相切； (2)解：AD是圆O的直径，圆O的半径为1，四边形ABCD是正方形，AD=AB=2，ABC=BAD=90，由折叠的性质可知EFC=EBC=90，EB=EF，由（1）得OFC=90，OFC+EFC=180，O、E、F三

11、点共线，设AE=x，则BE=AB-AE=2-x，OE=OF+EF=3-x，在RtAEO中，解得，【点拨】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，圆切线的判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键类型四、切线的性质4如图，AB是O的直径，=，AC与BD相交于点E连接BC，BCF=BAC，CF与AB的延长线相交于点F(1) 求证：CF是O的切线；(2) 求证：ACD=F；(3) 若AB=10，BC=6，求AD的长【答案】(1)见分析 (2)见分析( 3)AD=【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得ACO+OCB=90，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得

12、结论；（2）根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；（3）设OH为x，则CH为（5-x），根据勾股定理可得方程，求得OH的长，再根据三角形中位线定理可得答案(1)证明：连接OC，AB是直径，ACB=90，ACO+OCB=90，OA=OC，BAC=ACO，BCF=BAC，BCF+OCB=90，OCF=90，OCCF，CF是O的切线；(2)证明：=，CAD=BAC，BCF=BAC，CAD=BCF，=，CAD=CBD，BCF=CBD，BDCF，ABD=F，=，ACD=ABD，ACD=F；(3)解：如图：BDCF，OCCF，OCBD于点H，设OH为x，则CH为（5-x），根据勾股定理，62-（5-x

13、）2=52-x2，解得：x=，OH=，OH是中位线，AD=2OH=【点拨】此题考查的是圆周角定理、切线的判定和性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键【变式1】如图，AB与O相切于点B，AO的延长线交O于点C，连接BC(1)若A36，求C的度数；(2)若弦BC24，圆心O到弦BC的距离为6，求O的半径（结果用根号表示） 【答案】(1)；(2)(1)解：连接OB， AB为圆O的切线，ABOB，BOC为AOB的外角，BOCOBA+A126，OBOC，COBC=27；(2)解：过O作ODBC于D，如图， OB=OC，ODCD，D为BC中点，即BDCD=BC12，在RtCOD中，

14、OD6，CD12，则OC=,即O的半径为【点拨】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键【变式2】如图，ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于E，过B作O的切线，交AC的延长线于D求证：CBDCAB 【分析】连接AE，利用等腰三角形的性质易证BAE=CAE=CAB，由切线的性质定理可得CBD=BAE，所以CBD=CAB证明：连接AE， AB是圆的直径，AEBC，即AEB=90，AB=AC，AE平分BAC，BAE=CAE=CAB，BD是O的切线，CBD+ABC=90，AEB=90，BAE+ABC=90，CBD=BAE，CBD=CAB【点拨】本题

15、考查了切线的性质定理、圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是正确的添加辅助线，利用等腰三角形的性质解题类型五、切线的性质与判定综合5.如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作的延长线于点E，已知DA平分(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径和AD的长 【答案】(1) 见分析 (2) 5，【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果(1)证明：如下图，连接OA，DA平分，又，OA是半径，是切线； (2)解：如上图，取CD中点F，连接OF，于点F，四边形AEF

16、O是矩形，在RtOFD中，在RtAED中，的长是【点拨】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质【变式1】如图所示，AB为O的直径，在ABC中，AB=BC，AC交O于点D，过点D作DEBC，垂足为点E(1)证明DE是O的切线；(2)AD=8，P为O上一点，P到弦AD的最大距离为8尺规作图作出此时的P点，保留作图痕迹；求DE的长【答案】(1)见分析 (2)见分析；DE=4.8【分析】（1）连接OD、BD，求出BDAC，可得AD=DC，根据三角形的中位线得出ODBC，推出ODDE，根据切线的判定推出即可；（2）利用垂径定理作出AD的垂直平分线

17、即可；根据垂径定理以及勾股定理求得O的半径和FO，再根据中位线中位线定理求得BD，然后根据三角形面积公式即可求解(1)证明：连接OD，BD，AB为O的直径，BDAD， 又AB=BC，ABC是等腰三角形，BD又是AC边上的中线，OD是ABC的中位线，ODBC，又DEBC，DEOD，OD是O的半径，DE是O的切线；(2)解：如图，作AD的垂直平分线与O相交于点P，点P即为所求 如图，AD的垂直平分线与AD相交于点F，连接BD，PFAD，AF=AD=4，设O的半径为r，在RtAFO中，AF2+FO2=AO2，即42+(8r) 2=r2，解得r=5FO=PFPO=3，FO是ABD的中位线，BD=2FO

18、=6，AB为O的直径，BDAC，又AB=BC，ABC是等腰三角形，AD=DC=8，BC=AB=10，在RtBDC中，SBDC=BDCD=BCDE，DE=4.8【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线等知识点的综合运用【变式2】如图，PA和PB是的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且(1)求证：(2)若，当是多少度时，？请说明理由(3)若，当_时，四边形DEPF为菱形【答案】(1)见分析(2)70，理由见分析(3)60【分析】（1）连接AO、BO、OP，根据切线的性质及全等三角形的判定证明APOBPO，即可求解；（2

19、）由（1）得到AP=BP，根据三角形内角和定理得到PABPBA70，证明AFDBDE，根据全等三角形的性质得到AFDBDE，根据三角形的内角和，得到答案；（3）根据菱形的性质与直角三角形的性质证明BD=BE=DE，得到BDE是等边三角形，根据三角形内角和即可求解解：(1)连接AO、BO、OP，PA和PB是的两条切线，A，B为切点，OAAP，OBBP，OAP=OBP=90，又AO=BO，OP=OP，APOBPO（HL），AP=BP；(2)当是70度时，证明如下：由（1）可得PAPB，PABPBA（18040）70，在AFD和BDE中，AFDBDE（SAS）AFDBDE，EDF180BDEADF180AFDADFFAD70，故是70度时，（3）如图， 当四边形DEPF为菱形时，APD=BPD，EP=DE=DF=PF，AP=BP，DP=DP，APDBPD（SAS），AD=BD，DPAB，BDP是直角三角形，DE=EP，DPE=PDE，DPB+DBP=PDE+BDE=90，DBP=BDE，DE=BE，BD=BE=DE，BDE是等边三角形，DBE=60=PAD，APB=180-DBE-PAD =60，故答案为：60【点拨】本题考查的是切线的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键