小学数学讲义暑假四年级超常第3讲等差数列进阶.pdf

1、1第 7 级上超常体系教师版第 3 讲漫画释义三年级寒假速算与巧算之四则运算三年级春季等差数列初步四年级暑假等差数列进阶四年级春季整数与数列五年级暑假分组与配对复杂的等差数列问题;等差数列的应用与构造知识站牌第三讲等差数列进阶2第 7 级上超常体系教师版观察下列数列,指出它们的共同特征（1）0,5,10,15,20,（2）21,24,27,30,（3）50,46,42,38,34,（4）1,1,2,2,3,5,3,5,8,4,7,11,（5）2,2,2,2,2,【分析】（1）,（2）,（3），（5）都是基本等差数列，（4）是三个等差数列的综合备注：老师在此处可开始等差数列的复习：可用自然数列和

2、奇数等差数列来进行复习：项数、首项、末项以及求和（包括中项定理）的计算方法，因为这两个数列应用很多，此处可跟孩子强调求和公式：自然数列的和=(1)2n n，从 1 开始奇数的等差数列的和=2n（1）熟练掌握等差数列的基本公式；（2）灵活运用等差数列公式解决问题.（3）简单构造等差数列等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an表示；数列的和：这一数列

3、全部数的和，一般用 sn表示.基本公式：通项公式：an=a1+(n1)d项数公式：n=(ana1)d+1公差：d=（ana1）(n1)数列和公式：sn=(a1+an)n2关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的关系式子.经典精讲教学目标课堂引入3第 7 级上超常体系教师版第 3 讲基本题型：1.求项数（n）；2.求总和（sn）；3.求单项（an）；4.求公差（d）.模块一：等差数列拓展例一：双重等差数列和分组构造等差数列例二：二次等差数列模块二：等差数列简单应用例三：等差数列在应用题中的简单运用例四：等差数列在数阵中的运用例五：等差数列在整除性问题中的运用例六：等差数列在几何计数中的运用模块三

4、：等差数列的变形应用例七、八：等差数列在应用题中的复杂应用计算：（1）12457810245247248250（2）10009999989979969957654321【分析】（1）方法一：此题不是一个直接的等差数列，我们观察可知，缺某些项，所以我们可以把此数列变成等差数列：123456724724824925036912249=31375 10458=20917方法二：把这个数列拆分为两个数列1471013247250和25811245248，对它们分别求和：原式12508422488321054210375=20917（）（2）（2）本题也可以按照上题的方法做，但还有更简便的办法，把式子中

5、的减法都计算出来可以得到下式：1000199717141 1 这是100099774和1 11 1 的组合，分别计算结果即可：原式1000433321 333167500（）有一列数：1，2，4，7，11，16，22，29，37，问这列数第 101 个数是多少?【分析】从题目中可以看出第二个数与第一个数差 1，第三个数与第二个数相差 2，第四个数与第三个数相差 3，依此类推，以后每一项与前一项的差都会依次增加 1，因此有以下规律：第 1 个数：11，第 2 个数：21 1 ，例 2例 1例题思路4第 7 级上超常体系教师版第 3 个数：4221 12 ，第 4 个数：7341 123，第 5

6、个数：114741 1231 1234 ，第 6 个数：1651151 12341 12345 ，第 n 个数：1 12345(1)n 第 101 个数为：1 12345(101 1)1 123451005051 公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，有了很大的发展，他们用石子、沙子记数和计算。在众多的学派中，毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出。那什么是形数呢？即有形状的数。毕达哥拉斯学派研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生了一系列的形数。毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是 1、3、6、10、等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这

7、些数叫做“三角形数”。如图所示：不难看出，前四个三角形数都是一些连续自然数的和，记每一个三角形数为ia（i=1、2、3、n）则：123410011231236123410123451005050aaaaa 就这样，毕达哥拉斯借助生动的直观的几何图形，很快就发现了自然数的一个规律：从 1 开始的连续自然数的和都是三角形数。如果用字母 n 表示最后一个加数，那么 1+2+3+n 的和即是一个三角形数，而且正好是第n 个三角形数。(1)12342n nn 5第 7 级上超常体系教师版第 3 讲（1）1100 中是 5 的倍数的数的和是多少？（2）1100 中除以 5 余 2 的数的和是多少？（3）1

8、100 中不是 5 的倍数的和是多少？（4）1100 中既是 5 的倍数也是 2 的倍数的数的和是多少？（5）1100 中是 5 的倍数或是 2 的倍数的数的和是多少?（6）1100 既不是 5 的倍数也不是 2 的倍数的数的和是多少？【分析】1、5100202=10502、297202=9903、（1100的和）-（5 的倍数的和）=50501050=40004、就是求 10 的倍数的和，10100102=5505、容斥原理，5 的倍数+2 的倍数-10 的倍数=1050+2100502550=30506、5050-3050=2000如下图所示的表中有 55 个数，那么它们的和等于多少？17

9、1319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511 172329354147535965【分析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加（比较慢，这里不写具体过程）方法二：先算出 1 到 65 的自然数和，再减去数列 6，12，18，60 的和：16565266010221453301815（）（）方法三：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和 中间项 项数 第 6 列作为中间项，求和再乘以项数：313233343511181

10、5（）第 3 行为中间数列，求和再乘以项数：3915212733394551576351815（）方法四：因为数表中数关于中心对称，所以，和 中间数 个数16525533551815（）如图所示，白色和黑色的三角形按如下顺序排列 已知第一个图形有 1 个黑色三角形，第二个图形有 3 个黑色三角和 1 个白色三角形，例 5例 4例 36第 7 级上超常体系教师版(1)(2)(3)(4)（1）第七个图形里有多少个白色三角形？（2）第七个图形里有多少个黑色三角形？（3）从第一个图形到第七个图形一共有多少个小三角形？（4）第几个图形黑色三角形与白色三角形相差 12 个，其中白色三角形有多少个？（5）如

11、果我们用若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成上图的形状，照这样摆下去，到第十个图形，一共需要多少根火柴棒？【分析】（1）根据图形规律，第七个等边三角形里白色有 1+2+3+4+5+6=21。（2）第七个等边三角形里黑色有 1+2+3+4+5+6+7=28（3）14916253649=140（4）由前面的规律发现：黑色与白色的个数差几就是第几个图形。所以此题就是问第 12个图形里有多少个白色三角形。即：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66。（5）如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三角形(向上的三角形 2 个，向下的三角形1个)看作第二层，那么这个图中

12、一共有10 层三角形这10 层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和自上而下依次为：3，6，9，3 10它们成等差数列，而且首项为 3，公差为3，项数为10 求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即36930330102335165（）(根)所以，一共要放165根火柴六个好朋友 A、B、C、D、E、F 比赛吃汉堡，比赛规则很简单，那就是每一个人都必须不断地、尽量地吃，直到吃不下去为止，看看最后谁吃得最多，A 首先退出了这场比赛他实在吃吐了，成为另外五人的笑料，剩下每人吃了 3 个后，B 也退出比赛，每人又吃了 3 个，C 终于无法坚持，直到 F 撑不下去了，一旁的店主替

13、他们计算了一下：这六个人一共吃了 63 个汉堡，那么，每个人各吃了多少个？【分析】第一次六人共吃了 633 5343332318（个），所以 A 吃了1863（个）B 吃了 336（个），C 吃了639（个），D 吃了 9312（个），E 吃了12315（个），F 吃了15318（个）例 67第 7 级上超常体系教师版第 3 讲有 37 个人排成一行依次报数，第一个人报 1，以后每人报的数都是把前一人报的数加 3报数过程中有一个人报错了，把前一个人报的数减 3 报了出来，最后这 37 个人报的数加起来恰好等于 2011那么是第_个报数的人报错了【分析】可以采用鸡兔同笼的办法.假设这 37 个人

14、都报对，则这 37 个人报的数加起来恰好是1(13)(123)(13 3)(1363)373(12336)3719982035 这比实际的和多 2035201124从开始报错的那个人起，每个人比该报的正确的数少报 6，说明报错的数有2464人，所以报对的有 33 人，故而是从第 34 个人开始报错.盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1 只球，将它变成 3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出 2 只球，将每只球各变成3 只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出10 只球，将每只球各变成 3 只球后放回到盒子里这时盒子里共有多少只乒乓球？【分析】一只球变成3 只球，实际上多了 2 只球

15、第一次多了 2 只球，第二次多了 22只球 第十次多了 2 10只球因此拿了十次后，多了2 12 22 102(1210)2 55110 (只)加上原有的3 只球，盒子里共有球1103113(只)综合列式为：(3 1)(1210)32(1 10)1023113(只)火车站的钟声小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床车站大楼的钟，每敲响一下延时3 秒，间隔1 秒后再敲第二下假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟？分析与解：从第一下钟声响起，到敲响第6下共有5个“延时”、5个“间隔”，共计（3+1）5=20 秒当第6下敲响后，小明要判

16、断是否清晨6点，他一定要等到“延时3秒”和“间隔1秒”都结束后而没有第7下敲响，才能判断出确是清晨6点因此，答案应是：（31）6=24（秒）例 8例 78第 7 级上超常体系教师版1.对于数列 4、7、10、13、16、19，第10 项是多少？49 是这个数列的第几项？第100项与第50 项的差是多少？【分析】可以观察出这个数列是公差为3 的等差数列根据刚刚学过的公式：第 n 项 首项 公差1n（），项数(末项 首项)公差 1，第 n 项 第m 项 公差nm（）第10 项为：4310142731（），49 在数列中的项数为：4943 116（），第100项与第50 项的差：310050150（

17、）2.下列数阵中有 100 个数，它们的和是多少？1112131920121314202113141521222021222829【分析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加（比较慢，这里不再写具体过程）方法二：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和 中间项 项数先看行，因为是偶数行没有中间项，首项11 12201120102155（），末项2021292029102245（）或者15510110245（）这100 个数之和1552451022000（）按列算同上方法三：从右上到左下的对角线上的数都是 20，沿此对角线对折，上下重叠的

18、两数之和都是 40，所以这 100 个数的平均数是 20，这 100 个数之和20 10020003.有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？【分析】从图中可以看出，除去最上层 1 个球外，第二层（次上层）有（12345）15 个球，以后每层比上一层多 6、7、8、9、10 个球，共 7 层.15621，21728，28836，36945，451055，1152128364555201。答：共有 201 个球。附加题9第 7 级上超常体系教师版第 3 讲基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示；公差：数列中任意相邻两个

19、数的差，一般用 d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an表示；数列的和：这一数列全部数的和，一般用 sn 表示.基本公式：通项公式：an=a1+(n1)d项数公式：n=(ana1)d+1公差：d=（ana1）(n1)数列和公式：Sn=(a1+an)n2基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn，通项公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可以求第四个.1.计算 2461984198619881351983 19851987（）（）【分析】根据求项数公式可知两个括号内的算式都各有 994 项原式12 1432 14

20、3(1988 1987)1 1 11994 994个（）（）（）（）2.一个等差数列的第 1 项是 21，前 7 项的和为 105，这个数列的第 10 项是多少？【分析】第四项为105715，21 156，216333.已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，问 2009 是这个数列的第多少项？【分析】偶数项的排列规律是：1、3、5、7，奇数项的排列规律是：2、4、6、8，方法一：可以看出两个数列都是等差数列由于 2009 是奇数，所以在偶数项数列中，它的项数是：2009121005（），所以在整个数列中，2009 的项数是100522010，所以 2009 是这个数列的第2010 项方法二

21、：仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数 1，偶数的项数是该数 1，所以 2009 是这个数列的第200912010项4.电子跳蚤在一条标有刻度(单位:毫米)的尺上某点 K,向右跳所显示的刻度越来越大,第一步从 K向左跳 1 毫米,第二步再向右跳 2 毫米,第三步再向左跳 3 毫米,第四步再向右跳 4 毫米,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在尺子上的刻度所表示的数恰好是205毫米,则电子跳蚤开始时家庭作业知识点总结10第 7 级上超常体系教师版落在尺上的点 K 的刻度是多少毫米？一共跳了多少毫米？【分析】1 由题意可知，12345699100205155KK，(2)12345100

22、5050 毫米5.已知一个等差数列的前 15 项之和为 450，前 20 项之和为 750，请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？【分析】第 8 项为4501530，第 18 项为(750450)560，那么公差为(6030)103；首项为 307396.从 401到1000 的所有整数中，被8 除余数为1的数有_个？【分析】因为被8 除余数为1的整数组成公差是 8 的等差数列，最小的是 401，最大的是 993，于是项数9934018 175 （）7.一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？【分析】方法一：不难发现，这堆钢管每一层都比上一层多1

23、根，也就是从上到下每层钢管的数量构成了一个等差数列，而且首项为3，末项为10，项数为8由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量：3 108252（）（根）方法二：我们可以这样假想：通过对几何图形进行旋转，从而达到配对的目的是解决问题的关键（如图）这个槽内的钢管共有8 层，每层都有 3 1013（根），所以槽内钢管的总数为：3 108104（）（根）取它的一半，可知例题图中的钢管总数为：104252（根）8.有 100 个人排成一行报数，第一个人报 1，后面每一个人报的数都是在前一个人报数的基础上加 3中间有一个人报错了，应该加 3 结果加了 1，最后把这 100 个人报的数加起来等于 148

24、84那么是第_个人报错了【分析】与例题相同的方法.答案是 6811第 7 级上超常体系教师版第 3 讲【超常班学案 1】观察数组（1,2,3），（3,4,5），（5,6,7），（7,8,9）的规律，求：（1）第 20 组中三个数的和；（2）前 20 组中所有数的和.【分析】1、根据题意，观察末位：第 1 组为 3，第 2 组为 5，第 3 组为 7，第 4 组为 9，第 20组的最后一个数为 41，所以第 20 组的三个数的和为：39+40+41=120；2、第 1 组的所有数和为 6，第 2 组的所有数和为 12；第 3 组的所有数和为 18第 20组的所有数和为 120.所以，前 20 组

25、的所有数的和为：61202012602【超常班学案 2】有一列等差数列，它的前 7 项的和为 30，前 14 项的和为 100，它的前 21 项的和是多少？【分析】根据题意可知第 8 到 14 项的和是 100-30=70，由于这是一个等差数列，所以前 7 项的和，第 8 到 14 项的和，第 15 到 21 项的和也成等差数列（公差为原公差的 49 倍），所以第 8到 14 项的和是这个新等差数列的平均数，即前 21 项的和为 703210【超常班学案 3】建筑工地有一批砖，摆成如图形状，最上层两块砖，第 2 层 6 块砖，第3 层10 块砖，依次每层都比其上面一层多 4 块砖，已知最下层有

26、 2106 块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？【分析】如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，容易知道这是一个等差数列2106 是第 2106241527（）层，中间一层是第 52712264（）层，那么中间一层有：2264141054（）块，这堆砖共有：1054527555458(块)【超常班学案 4】小马虎计算 1 到 2006 这 2006 个连续整数的平均数。在求这 2006 个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按 2006 个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小 1。小马虎求和时漏掉的数是。【分析】少的这个数应该给每一个数都补上 1，才能使结果正确，

27、共要补上 2006，因此这个漏掉的数是 2006。超常班学案12第 7 级上超常体系教师版【超常 123 班学案 1】从 1 到 100 的 100 个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过 100有几种不同的取法？【分析】1 至 100 的自然数每次取出两个不同的自然数相加，超过 100 的和共有 101199 共 99 种取法和是 199 的取法：100+99 和是 198 的取法：10098和是 197 的取法：10097，9998和是 196 的取法：10096，9997和是 195 的取法：10095，9996，9897和是 194 的取法：10094，9995，9896

28、以此规律作进一步推想：和为 193 的取法有 4 种，和为 192 的取法也有 4 种；和为 191 的取法有 5 种，和为 190 的取法也有 5 种；，和为 103 的取法有 49 种，和为 102 的取法也是 49 种；和为 101 的取法有 50 种和超过 100 的取法种数总和是：1 1223349495012349250 （）149492 25050 495050 502500（）(种)【超常 123 班学案 2】在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为 656，且第一名的分数超过了 90 分（满分为 100 分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的

29、分数是多少？【分析】他们的平均分为 6568=8282+1、82+2、82+3都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为 12=2、22=4、32=6若第四名为 82+1=83 分，则第一名为 83+（4-1）2=89 分，不符合题意；若第四名为 82+2=84 分，则第一名为 84+（4-1）4=96 分，不符合题意；若第四名为 82+3=85 分，则第一名为 85+（4-1）6=103 分，不符合题意。因此，第四名为 84 分，公差为 4，所以第三名为 84+4=88 分。【超常 123 班学案 3】将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第 1 个图形中有 6 个小圈，第 2 个图形中有

30、 10 个小圈，第 3 个图形中有 16 个小圈，第 4 个图形中有 24个小圈，依此规律，第 6 个图形有_个小圈。超常 123 班学案13第 7 级上超常体系教师版第 3 讲【分析】除周围 4 个小圆外，中间小圆的规律是 12，23，34，第 6 个图有 67446 个小圆。【超常 123 班学案 4】小马虎计算 51525360，抄写时不慎漏写一个加号，把两个两位数当成一个四位数，计算结果正好是 6000，这个四位数是.【分析】51 525360(51 60)102555，而算错之后的结果比它多算了 60005555445.设被漏写加号的两个数分别为 a 和1a ，则100(1)(1)544555aaaaa，所以这个四位数是 5556.