小学数学讲义秋季五年级A版第14讲方程法解行程优秀A版.pdf

1、1第 9 级下 优秀 A 版教师版第 14 讲四年级春季相遇追及综合五年级秋季电梯与发车五年级秋季方程法解行程五年级寒假时钟问题五年级春季比例法解行程从行程中找到等量关系，并利用方程解决行程问题.漫画释义知识站牌第十四讲 方程法解行程2第 9 级下优秀 A 版 教师版数学是一门具有广泛应用性的科学，我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”数学应用题的类型很多，比较简单的是方程应用题，又以一元一次方程应用题最为基础，方程应用题种类繁多，以行程问题最为有趣而又多变行程问题的三要素是：距离(s)、速度(v)、时间(t)，行

2、程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧1.会画线段图分析相遇、追及问题，并能根据线段图找出等量关系；2.会列方程解决行程问题.一、列方程解应用题的基本步骤1.审题分析题意，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，它们之间有什么等量关系.2.设未知数根据题目中的等量关系，用字母表示题目中的未知数，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写.3.列方程列方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量.4.解方程方程

3、的变形应根据等式性质和运算法则.5.答题检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位，写出答案经典精讲课堂引入教学目标3第 9 级下 优秀 A 版教师版第 14 讲二、解行程问题的应用题要用到路程、速度、时间之间的关系，s、v、t 三个量的关系为 s=vt，或v=st，或 t=sv.三、相遇问题基本公式：速度和相遇时间=相遇路程四、追及问题基本公式：速度差追及时间=追及路程1、(1)男生与女生共有 55 人，已知男生有 x 人，则用 x 表示女生的人数：_（2）共 40 人参加一次测验，成绩分优，良，差三等.得优的有 a 人，得良的人数是得优的 2 倍，用 a 表示得差的人数:_

4、(3)表示比 a 的 4 倍少 18 的数:_(4)列出含字母 a 和 b 的方程，a 与 b 的和的 5 倍等于 18：_（5）列出含字母 a 的方程，一个数 a 与比 a 的 9 倍多 3 的数的和为 20：_【分析】（1）55-x(2)40-a-2a(3)4a-18(4)5(a+b)=18(5)a+(9a+3)=202、张飞的速度是 a 米/秒，刘备的速度是 b 米/秒，两人从相距 200 米的路上相向而行，经过 20 秒相遇，列出关于 a,b 的方程：_【分析】200 米是相遇路程张刘二人共同走的，20a+20b=200 或 20（a+b）=2003、乌龟的速度是 m 米/分,蜗牛的速

5、度是 n 米/分，乌龟在蜗牛的后面 200 米处同时前进，经过 5 分钟乌龟追上蜗牛，列出关于 m，n 的方程：_【分析】200 米是追及路程乌龟比蜗牛多走的路程差，5m-5n=200 或 5（m-n）=200模块 1：例 1、例 2、例 3:行程基本问题模块 2：例 4:行程综合问题模块 3：例 5:多人相遇学生版中只有（1）（5）武西和艾迪从相距 200 米的地方同时、相对而走，武西每步迈 a 米，艾迪每步迈 b 米（ba），如果知识点回顾例题思路例 14第 9 级下优秀 A 版 教师版两人每秒各迈 1 步.（1）武西迈 10 步，走了多少米？（2）艾迪迈 t 步，走了多少米？（3）两人各

6、迈一步，一共走了多少米？（4）两人同时迈 20 步，距离拉近了多少米？还差多少米相遇?（5）两人相遇时各迈了多少步？（6）两人相遇时艾迪比武西多走了多少米？（7）若两人相遇时，艾迪比武西多走了 30 米，求相遇时间.【分析】相遇问题.这里的 200 表示相遇路程，a,b 即为速度，步数相当于时间.（1）武西路程 10a（2）艾迪路程 bt（3）共走路程 a+b（4）共走路程：20（a+b），200-20（a+b）（5）相遇时间：200（a+b）（6）路程差：200()ba ab（7）相遇时间：30()ba想想练练：艾迪在武西后面 200 米的地方，两人同时、同向而走，武西每步迈 a 米，艾迪每

7、步迈 b米（ba），若两人每秒各迈 1 步.（1）两人各迈 1 步，艾迪比武西多走了多少米？（2）两人各迈 10 步，艾迪比武西多走了多少米？（3）两人各迈多少步，艾迪能把武西追上？【分析】追及问题.这里的 200 米表示追及路程，a,b 即为速度，步数相当于时间.（1）b-a（2）10（b-a）（3）200()ba花果山和高老庄两地相距 65 千米，孙悟空的速度是 10 千米/分，猪八戒的速度是 2 千米/分，孙悟空先出发半小时，猪八戒才出发.（1）若两人分别从两地出发，相对而行，问八戒出发后几分钟与孙悟空相遇？（2）若两人都从花果山去高老庄，悟空到达后按原路返回.问八戒经过多长时间与孙悟空

8、相遇？（学案对应：学案 1）【分析】（1）求相遇时间，直接设元.解：设悟空出发后 x 分与八戒相遇.0.5 10(210)65x解得5x（2）两人相遇共走了 2 个全程.解：设经过了 y 分与乙相遇.0.5 10(102)652y解得51212y 想想练练：某工程兵队修铁路开凿山洞的长是 300 米，两个班从两端开始凿山洞，甲班每天凿出 5米，乙班每天凿出 6 米，甲班比乙班先开凿了 4 天，问乙开凿多少天后，还差 60米没有凿通？【分析】设乙开凿 x 天后，还差 60 米没有凿通.54(56)60300 x解得20 x 例 25第 9 级下 优秀 A 版教师版第 14 讲红太狼在灰太狼后面

9、500 米之处追赶灰太狼，两狼同时同向出发，已知红太狼每分钟比灰太狼每分钟走的 3 倍还少 6 米，经过 5 分钟追上.（1）求红太狼每分钟走了多少米？（2）若追上后两狼继续前进，并且红太狼先到达青青草原后掉头按原路返回，请问再经过多长时间，红太狼会在距离青青草原 200 米的地方与灰太狼迎面相遇.（学案对应：学案 2）【分析】（1）追及问题，反求速度，方程优于算术法.利用两者速度关系设元，根据公式追及路程=速度差时间列方程.设灰太狼的速度为 x 米/分，则红太狼的速度为（3x-6）米/分.(36)5500 xx解得53x.红太狼：3x-6=3 53-6=153 米/分（2）这种给出距离的多次

10、相遇问题可以理解成追及问题的变形，抓住两个量同时走的一段进行分析，不难发现红比灰多走了两个 200 米即为路程差，再利用速度差反求时间.法 1：200 2 （153-53）=4（分钟）法 2：设再经过 y 分钟.(15353)2002y解得4y【拓展】某城市东西路和南北路交汇于路口 A,甲在路口 A 南边 560 米处的 B 点，乙在路口 A 处.甲向北，乙向东同时匀速行走.4 分钟后二人距 A 的距离相等，在继续行走 24 分钟后，二人距 A 的距离也相等.问：甲、乙二人的速度各多少？【分析】设 x 为甲的速度，设 y 为乙的速度，第一次距 A 相等时，甲与乙的路程和为 560；第二次距 A

11、 相等时，甲与乙的路程差为 560时.因此可列出方程组如下：4()56028()560 xyxy解得：8060 xy步长测距法同学们可能很想知道日常生活中一些身边的距离到底是多少米，但又不会随身带着尺子之类度量长度的工具。其实不需要尺子，我们一样可以估算一段比较长的距离。其实，每人都有一副灵便的尺子，随时带在身边，这副尺子就是我们的双脚。用双脚测量距离，首先要知道自己的步子有多大。成年人一步的距离大约在75 厘米到85 厘米之间，而同学们的步子会小一些。但是无论如何，每个人在一段时间内的身高变化不会太大，而迈步的幅度又已经养成了习惯，因此步子大小变化也不会太大。接下来，当确定了我们每一步走出的

12、距离后，就可以通过数步数的方法简单地计算我们所走过的距离了。在这里需要注意的是，迈步要自然，与平时走路的幅度、频率基本相同，这样才能保证我们测出的数据是基本准确的。例如我们每迈一步能走 60厘米，从跑道的一端走到另一端，一共走了 200 步，我们就能够计算出来，跑道两端之间的距离是：60200100120（米）。这种测距离的方法是不是很方便呢？同学们可以在生活中尝试使用哦！例 36第 9 级下优秀 A 版 教师版甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲 26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行 50 米，求 A、B 两地的距离（学案对应：学案 3）

13、【分析】先画图如下：DC262666乙甲BA设甲的速度是 x 米/分钟那么有(50)26(50)6xx解得80 x AB 两地的距离为(8050)6780(米)，或(8050)26780(米)甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 67.5 米，丙每分钟走 75 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相遇，问：（1）经过多长时间丙与乙相遇？（2）求东西两镇间的路程有多少米？（学案对应：学案 4）【分析】丙与乙相遇时，甲乙相差的距离恰好等于 2 分钟丙与甲的路程和.设经过x 分钟丙与乙相遇.（67.5-60）x=(60+75)2解得：

14、x=36因此东西镇的路程为 36（67.5+75）=5130 米.想想练练：甲、乙两车的速度分别为 52 千米/时和 40 千米/时，它们同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 小时后乙车也遇到了这辆卡车.求这辆卡车的速度.【分析】法 1：设这两卡车的速度为 x 千米/小时.(5240)6(40)1x 解得 x=32法 2：甲乙两车最初的过程类似追及，速度差追及时间=路程差；路程差为 72 千米；72 千米就是 1 小时的甲车和卡车的路程和，速度和相遇时间=路程和，得到速度和为72 千米时，所以卡车速度为 72-40=32 千米时.【拓展】在一条长 1

15、2 米的电线上，黄甲虫在 8：20 从右端以每分钟 15 厘米的速度向左端爬去，8：30 红甲虫和蓝甲虫从左端分别以每分钟 13 厘米和 11 厘米的速度向右端爬去，红甲虫在什么时刻恰好在蓝甲虫和黄甲虫的中间?【分析】8：30 时黄甲虫距左端：1200-1510=1050(cm)设再经过 t 分钟，红甲虫位于蓝甲虫和黄甲虫的中间(如下图所示)此时，红甲虫距蓝甲虫(13-11)t 厘米，距黄甲虫1050-(15+13)t厘米，可得方程：（13-11）t=1050-（15+13）t，解得：t=35，所以从 8：30 再经过 35 分钟，即 9：05时红甲虫恰在蓝甲虫和黄甲虫中间.例 4例 57第

16、9 级下 优秀 A 版教师版第 14 讲【拓展】甲、乙、丙三人依次相距 300 米，甲、乙、丙每分钟依次走 100 米、90 米、85 米如果甲、乙、丙同时同向出发，那么经过几分钟，甲第一次与乙、丙的距离相等【分析】出发时三者的位置关系如下图：甲与乙、丙的距离相等有两种情况：一种是乙追上丙时；另一种是甲位于乙、丙之间（1）乙追上丙需：300(90-85)=60(分)（2）设甲位于乙、丙之间且与乙、丙等距时如下图所示：设此时三人走了 t 分钟，则由方程：100t-(90t+300)=(85t+600)-100t，t=36经比较甲第一次与乙、丙的距离相等需 36 分钟.甲、乙两人同时从 A 地出发

17、前往 B 地，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 60 米.甲到达 B 地后，休息了半个小时，然后返回 A 地，甲离开 B 地 15 分钟后与正向 B 地行走的乙相遇.问从乙出发到与甲相遇共行了多少分钟？【分析】设乙从出发到与甲相遇共行了 x 分钟.60 x+1580=80（x-30-15）60 x+1200=80 x-36004800=20 xx=240杯赛提高某人上午八点从山脚出发，沿山路步行上山，晚上八点到达山顶。不过，他并不是匀速前进的，有时慢，有时快，有时甚至会停下来。第二天，他早晨八点从山顶出发，沿着原路下山，途中也是有时快有时慢，最终在晚上八点到达山脚。试着说明：此人一定在这两天的

18、某个相同的时刻经过了山路上的同一个点。答案：把这个人两天的行程重叠到一天去，换句话说想象有一个人从山脚走到了山顶，同一天还有另一个人从山顶走到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。这就说明了，这个人在两天的同一时刻都经过了这里。8第 9 级下优秀 A 版 教师版1.行程问题的基本公式：svt，svt，stv2.相遇与追及问题的基本公式：相遇路程=速度和相遇时间追及路程=速度差追及时间判断相遇与追及问题的关键是：路程和，路程差.3.列方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量.1.甲的速度为 x 米/分,乙的速度为甲的 5 倍，则乙的速度为_米/分，甲乙的速度和为_米/分，甲乙

19、的速度差为_米/分.若甲乙从相遇 a 米的地方同时相向而行，_分后相遇；若乙在甲后 b 米，两人同时出发，_分后乙追上甲.【分析】5x,6x,4x,6ax，4bx2.A、B 两地相距 230 千米，甲从 A 地出发 2 小时后，乙从 B 地出发与甲相向而行，乙出发 20 小时后与甲相遇，已知乙的速度比甲的速度每小时快 1 千米，求甲、乙的速度各是多少？【分析】设甲的速度为 x 千米/时，则乙的速度为(x+1)千米/时.根据甲走的路程+乙走的路程=230 千米可列出方程.（20+2）x+20(x+1)=230解得：x=5.乙的速度为 5+1=6 千米/时3.两列客车从 A、B 相向而行，甲车每小

20、时行 30 千米，乙车每小时行 25 千米.相遇时，甲比乙多行 15 千米，求 A、B 两地相距多少千米？【分析】设经过 x 小时相遇30 x-25x=155x=15x=3A、B 两地相距：（30+25）3=165（千米）4.甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲 18 分钟赶上乙；如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知甲每分钟行 50 米，求乙的速度【分析】设乙速度是 x米/分钟.根据路程（和/差）相等列方程：18 506 50 xx，解得25x.乙的速度是 25 米/分钟.家庭作业知识点总结9第 9 级下 优秀 A 版教师版第 14 讲5.小王的步行速度是 4.8

21、千米/小时，小张的步行速度是 5.4 千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是 10.8 千米/小时，从乙地到甲地去.他们 3 人同时出发，在小张与小李相遇后 5 分钟，小王又与小李相遇.问：经过多长时间小张与小李相遇？【分析】如图：设经过了 x 小时小张与小李相遇.5(10.84.8)(5.44.8)60 x解得136x 即 130 分钟.6.如图：甲，乙两人同时匀速从 A 地出发到 B 地，甲到 B 地后直接返回，在 C 地与乙相遇，共用时 30 分，且知道甲每分走的路程比乙每分走的路程的 2 倍少 30 米.（1）若 AB 的距离为 2700 米，则乙的速度为_米/分.（

22、2）若 BC 的距离为 750 米，则乙的速度为_米/分.乙甲CBA【分析】（1）设乙的速度为 x 米/分，则甲的速度为（2x-30）米/分.两人相遇共走了 2 个全程，因此可列出方程：（x+2x-30）30=27002解得：x=70（2）设乙的速度为 y 米/分，则甲的速度为（2y-30）米/分.两人相遇时，甲比乙多走了 2 个 BC，因此由追及问题可列出方程：（2y-30-y）30=7502解得：y=80注：此题说明了相遇与追及问题的实质为：路程的和差【学案 1】南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，两船经过 8 小时相遇，

23、问从上海开出的船每小时行多少千米？【分析】设从上海开出的船每小时行 x 千米.(28)8392x解得21x【学案 2】甲乙两车从相距 350 米的 AB 两地同时同向出发，已知乙每秒走的路程比甲每秒走的路程的 2 倍多 5 米，经过 20 秒两者相距 50 米，求甲车每秒钟行驶多少米？【分析】情况一：乙在甲后面 50 米.解：设甲的速度为 x 米/秒，则乙的速度为（2x+5）米/秒.A 版学案10第 9 级下优秀 A 版 教师版（2x+5-x）20=350-50 解得 x=10.情况二：乙超过甲 50 米.解：设甲的速度为 y 米/秒，则乙的速度为（2y+5）/秒.（2y+5-x）20=350

24、+50 解得 y=15答：甲的速度为 10 米/秒或者 15 米/秒.【学案 3】一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以 35 千米/小时的速度前进.突然 1 号队员以45 千米/小时的速度独自行进，行进 10 千米后掉转车头，仍以 45 千米/小时的速度往回骑，直到与其他队员会合.1 号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？【分析】从 1 号队员离队开始计算，当他行进 10 千米时，所用的时间：102459小时，之后 1 号与其他人相差的距离等于 1 号与其他人相遇的距离.设返回的时间为 x 小时.则2(4535)(4535)9x，解得136x,因此共经过了 2119364（小时）【学案 4】甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时 5.4 千米，乙速度是每小时 4.2 千米，他们二人顺时针方向行走，丙的速度为每小时 3 千米，逆时针方向行走，甲和丙相遇再过 5 分钟，乙与丙相遇.那么绕湖一周的路程是多少？【分析】设甲丙经过 x 小时相遇，由乙丙 5 分钟走的路程和等于甲乙 x 小时的路程差可列出方程如下：5(4.23)(5.44.2)60 x，解得：0.5x，因此绕湖一周的路程为（5.4+3）0.5=4.2 千米.