小学数学讲义秋季五年级超常第10讲几何计数进阶超常体系.pdf

1、1第 9 级下 超常体系 教师版第 10 讲漫画释义五年级暑假枚举法进阶五年级秋季排列组合进阶五年级秋季几何计数进阶五年级春季概率初识六年级暑假数论中的计数用加乘原理、排列组合、容斥原理数组合图形;熟悉对应法.知识站牌第十讲 几何计数进阶2第 9 级下超常体系 教师版(一)京沪线高铁是我国著名的一条线路，途径北京，天津，济南，德州，苏州，南京，上海 7 个主要城市。总共可以制作多少种不同的车票？（二）一群孩子经过一个食品店，看见蛋糕师把刚炸好的麻球排成底座是正方形的共 5 层的“四棱锥”。他数也不数，就向他的助手报出这一堆麻球有 55 个。孩子们很奇怪问师傅使用什么方法计数的，师傅笑了笑说：“

2、把麻球一层一层的取下来，平铺在桌面上，你就知道其中奥妙了。”旁边又有一个被排成底层是正三角形的 5 层“三棱锥”，你能数出来有多少个吗？1.理解几何计数中的对应法；2.灵活运用排列组合等知识解决对应的几何计数；3.理解并运用排除法解决正面困难的问题.图形计数就是数图形，而本讲主要学习利用排列组合来数数，目的是让学生从低年级单纯的枚举法转变习惯应用对应法和排列组合解决问题。本讲还定位于从低年级的计数方法到高年级思想方法的过度和转变，树立对应、转化意识，强化对应法，排除法，分类讨论思想的运用。计数中的常见结论：1.共有2nC 条线段.（角，三角形同理）anan-1a4a3a2a12.共22mnCC

3、个长方形bm-1bmb4b3b2b1anan-1a4a3a2a13.若字母 A 的上方有 m 条线，下方有 n 条线，左边有 a 条线，右边有 b 条线，则包含 A 的长方形教学目标课堂引入经典精讲3第 9 级下 超常体系 教师版第 10 讲共有 mnab 个A4.三角形最后一条边有 n 个点，则平行四边形个数为：413nC.1、图中有多少个长方形？【分析】25=10C个2、图中共有多少个正方形？【分析】共5 5443 3221 155 个3、图中共有多少个三角形？知识点回顾4第 9 级下超常体系 教师版【分析】边长为 1 的三角形 1+3+5+7=16 个；边长为 2 的三角形：7 个；边长

4、为 3 的三角形：3 个；边长为 4 的三角形：1 个。共 30 个。模块 1：例 1-2，基本问题模块 2：例 3-6，复杂对应及排除法模块 3：例 7-8，分类讨论（1）图 1 中有多少条线段？（2）图 2 中有多少个角？（3）图 3 中有多少个三角形？（4）图 4 中有多少个长方形？（5）ABCDEFMN、互相平行，则图 5 中梯形个数与三角形个数的差是多少？图 1图 2图 3图 4图 5（学案对应：超常 1，带号 1）【分析】（1）每条线段对应两个不同的点，相当于从六个点中选两个：2615C（2）每个角对应两条射线2510C（3）所有三角形都有一个相同的顶点，因此每个三角形对应底边一条

5、线段，即两个不同的点：2510C（4）每个长方形对应一个长和一个宽，即水平和竖直方向各选取一条线段：225410660CC（5）梯形的个数为224560C C 个，三角形的个数为25440C个，它们的差为 20 个。由 20 个边长为1的小正方形拼成的一个 45含有“”的长方形中。（1）如图 1 中含有“”的所有长方形（含正方形）有多少个？（2）如图 2 中含有两个“”的长方形有多少个？（3）如图 2 中只含一个“”的长方形有多少个？例题思路例 2例 15第 9 级下 超常体系 教师版第 10 讲（4）如图 2 中不含“”的长方形有多少个？（5）如图 2 中至少含一个“”的长方形有多少个？图

6、1图 2【分析】（1）法 1：含的一行内所有可能的长方形有：(八种)含的一列内所有可能的长方形有：(六种)分两个方向数，横行有8 个单位长方形，竖列有6 个单位长方形，所以共有长方形 8648（个）法 2：含星小正方形左上角有 6 个点，右下角有 8 格点，即6 848 法 3：在星号的上，下，左，右各选一条线，即可唯一确定一个包含星号的长方形。因此共有11112432243248CCCC （2）含两个“”最小长方形（此图为正方形）左上角有 4 个点，右下角有 6 个点，即46=24（3）只含一个：容斥原理：6 86 92480 （4）不含：排除法：2265802446CC（5）至少含一个：8

7、0+24=104【巩固】图中不含有*图案的长方形共有_个.*【分析】包含左上角的*的小长方形，共有：49=36 个；包含右下角的*的共有 49=36 个；两个*都包括的小长方形有：44=16 个；所以包含*的共有：72-16=56 个。6第 9 级下超常体系 教师版共有长方形2255100CC个。不含*图案的长方形共 100-56=44 个如图，请问图中有多少个平行四边形？EONXYASMDCFPQRB（学案对应：超常 2）【分析】法 1：对应法：平行四边形按方向分成三类：竖直，左斜，右斜，由旋转不变性可知，只要数其中 1 类再乘 3 即可。因为直接数比较麻烦，所以考虑把平行四边形对应成点。不

8、妨先数竖直的平行四边形，由点 A 构成的竖直平行四边形个数等于点 A 的对面点（对角线另一端的点）的个数，如果第一行看为点 A，第二行 0 个，第三行只有点 E，第四行只有 M,N，第五行有 Q,R,S，共 1+2+3=6 个。再由点 B 作为上端点构成的平行四边形：第三行 0 个，第四行有 N，第五行有 Q,R，共 1+2=3 个，同理点 C 也有 3 个，总共 3 26个，再由点 D、E、F 生成的竖直平行四边形各 1 个。竖直总数：63 2 1 315 。平行四边形总数：15 345 法 2：另一种对应法：每个平行四边形都看成由两组平行线构成，而每条平行线对应底边XY 某个点，则 1 个

9、平行四边形对应 4 个点。但是比如平行四边形 ADRF 却对应最后一行 3正方形能分解成多少个小正方形？众所周知，一个正方形可以分解成 4 个小正方形，此外，还可以分解成 6，7，8 个正方形。用这个方法也可以将正方形分成 6+3，7+3，8+3个正方形。因此可以把正方形分成 4、6 以及 6 个以上的小正方形。也就是说一个正方形不能分成 2，3，5 个正方形。以下图中给出了 3k,3k+1,3k+2 的基本分割法（k 最小值是 2），其他所要求的 8 以上数目的小正方形可按上述 3 种基本分割法构造。因此，正方形的分解问题已经得到彻底解决。例 37第 9 级下 超常体系 教师版第 10 讲个

10、点，可见最后一行点数不够多。如果将大三角形再往下延长一层，那么底边上的点就从5 个变成 6 个。同时，所有与平行四边形 ABCD 方向相同的平行四边形各边延长线都会与新的底边交于 4 个点，因此，新的底边上的四个点的选取方法和原图中与平行四边形 ABCD方向相同的平行四边形是一一对应的。因此图中与 ABCD 方向相同的平行四边形总数为：4615C（个）总数：153=45老师可以总结如下结论：如果最后一行有 n 个点，则平行四边形总数为413nC FECBDA如图，木板上钉着 12 枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？（学案对应：带号 2）【分析】从 12 个钉

11、子中选择 3 个钉子组成三角形，一共有312220C个，但是有 3 个点在同一条直线上的情况，需要排除，水平方向共有34312C个，竖直方向有1 44个，斜着有 4 个，这样的话总共有2201244200个。【铺垫】如图所示，在一个圆周上有 8 个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？【分析】（1）线段有：2887282 1C（条）（2）三角形有：388765632 1C （个）（3）四边形有：48876570432 1C （个）例 48第 9 级下超常体系 教师版如图，两条线段上分别有 6，7 个点，以这 13 个点为顶点，共可以连出多少个四边形？已知

12、两条线段中各任取 1 点的连线的交点互不重合，在两条已知线段之间可产生多少个交点？（学案对应：超常 3，带号 3）【分析】上面选 2 个点，下面选 2 个点，可以确定唯一的一个四边形，而一个四边形的对角线相连，可以确定唯一的一个交点，因此这两问的结果都一样.为22671521315CC在一个 66 的方格阵内，以棋盘上的交点（含边界点和角上的点）为顶点的、面积为 1 的直角三角形有多少个？【分析】满足条件的直角三角形可能是直角边为 1 和 2 的直角三角形，也可能是面积为 1 的等腰直角三角形，但无论是哪一种，都一定刚好能放在一个1 2 的小长方形中（或者换句话说：不同的1 2长方形中的满足要

13、求的直角三角形，一定不会是同一个三角形）；每个1 2 的小长方形中共有 6 个满足要求的直角三角形，故只需求出不同的1 2小长方形的个数即可；1 2 小长方形的个数是容易计数的，共有65260 个，故本题答案为 660360个.如图，在3 3 的方格表内，每个小正方形的面积为 1。请问：(1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 4 的三角形？(2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 3 的三角形？(3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 1.5 的三角形？（学案对应：超常 4，带号 4）【分析】（1）如下图，诸如此类的直角三角形共有 4 个例 7例 6例 59第 9 级下 超常体系 教师版第

14、10 讲（2）底为 2（水平），高为 3（竖直）的三角形 16 个；底为 3（水平），高为 2（竖直）的三角形 16 个；底为 2（竖直），高为 3（水平）的三角形 16 个；底为 3（竖直），高为 2（水平）的三角形 16 个；重复计算 16 个，所以总共 48 个。（3）有至少一条边在表格上：底为 3（水平），高为 1（竖直）的三角形 24 个；底为 1（水平），高为 3（竖直）的三角形 24 个；底为 3（竖直），高为 1（水平）的三角形 24 个；底为 1（竖直），高为 3（水平）的三角形 24 个；重复计算 24 个，所以总共 72 个。如图，三条边都不在表格上：每个 2 2 正方形

15、中有 4 个这样的三角形，共有 16 个。或者如图还有一种情况：这样的情况一共有 4 个三角形。所以总共7216492个。在一个圆周上均匀分布 10 个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形和锐角三角形？(补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周内，则这三点构成钝角三角形)【分析】由于 10 个点全在圆周上，所以这 10 个点没有三点共线，故只要在 10 个点中取 3 个点，就可以画出一个三角形，如果这三个点其中两点构成的线段小于直径，并且第三个点在被其余两点分割的较小的圆周上，则这三个点构成钝角三角形，

16、这样所有的钝角三角形可分为三类，第一类是三角形长边端点之间仅相隔一个点，这样的三角形有10 110 个，第二类是长边端点之间相隔两个点，这样的三角形有10220个，第三类是长边端点之间相隔三个点，这样的三角形有10330个，所以一共可以画 出 60 个钝角三角形令圆周上相邻点之间的圆弧弧长称之为一个单位弧长，这样所有锐角三角形可分为两类，一类是三角形三个顶点之间的弧长分别是 2，4，4另一类三角形的三个顶点之间的弧长分别为 3，3，4，两类三角形的个数都为 10，一共有 20 个不同的锐角三角形例 810第 9 级下超常体系 教师版1.如下图在钉子板上有 16 个点，每相邻的两个点之间距离都相

17、等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形【分析】先看横着的正方形如下图，可以得到 94114个正方形，再看斜着的正方形如下图可以得到 4 个正方形，如下图可以得到 2 个正方形这样一共可以得到144220个正方形2.如图，44 的方格纸上放了 16 枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个附加题3 根木棒最多可以摆出多少个直角?答案：12 个。11第 9 级下 超常体系 教师版第 10 讲【分析】根据正方形的大小，分类数正方形共能组成五种大小不同的正方形(如右图)1 1 的正方形：9 个；22的正方形：4 个；3 3 的正方形：1 个；以1 1 正方形对角线为边长的正方形：4 个；以1 2 长方形

18、对角线为边长的正方形：2 个故可以组成 9414220(个)正方形1.共有2nC 条线段.（角，三角形同理）anan-1a4a3a2a12.共22mnCC个长方形bm-1bmb4b3b2b1anan-1a4a3a2a13.若字母 A 的上方有 m 条线，下方有 n 条线，左边有 a 条线，右边有 b 条线，则包含 A 的长方形共有 mnab 个A4.三角形最后一条边有 n 个点，则平行四边形个数为：413nC 知识点总结12第 9 级下超常体系 教师版.1.下图共多少个长方形？【分析】22671521315CC2.如图，这是一个 48的矩形网格，每一个小格都是一个小正方形。请问：（1）包含有两

19、个“”的矩形共有多少个？（2）至少包含一个“”的矩形有多少个？【分析】（1）按照长方形四条边的选取来计算有1111352130C C C C 个。（2）包含左边的的长方形有1111364172C C C C 个，包含右边的的长方形有11114523120C C C C 个。所以至少包含一个“”的矩形有1207230162个。3.如图，有多少个菱形？（注：四边相等的四边形是菱形）EONXYASMDCFPQRB家庭作业13第 9 级下 超常体系 教师版第 10 讲【分析】对应法：边长为 1 的菱形与其对角线可产生一一对应关系，如 BC 对应 ABEC。则现在变成数内部线段的条数，内部共 18 条线

20、段，共 18 个边长为 1 的菱形，但还有 3 个边长为 2 的菱形，因此总数 18+3=21 个。4.如图，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？【分析】从 9 个点中选出 3 个，只要这 3 个点不在一条直线上，就能连成一个三角形。图中直径上的四个点共线，其余任意三点均不共线所以要计算三角形的总数，只要算出选取三个点的总取法，再从中减去无法连成三角形的选法总数，得到的就是能画出的三角形的总个数：3394CC84480（个）5.圆上有 9 个点，画出这些点之间的全部连线，已知这些连线的交点没有出现重合；以这些连线为边，会在圆内形成三角形（如下图，例如图中的阴影

21、三角形）；请问这样的三角形一共有多少个？【分析】本题条件看似复杂，但观察每一个这样的三角形会发现，它唯一地对应着圆周上的 6 个不同的点，因此答案为6984C 个.6.如图，一个 66的网格中，取出一个由三个小方格组成的形，一共有多少种不同的方法？【分析】如图 1，每个 L 形对应一个两条线的交点 A，如图 2 每一个交点附近都可以通过旋转生成有 4 种 L 形。网格中共5 525 个交点，则254100种不同的选法。7.如图，方格纸上放了 20 枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？14第 9 级下超常体系 教师版【分析】除了图中的 9 个正方形之外，还可以连出许多的斜三角形，经过

22、尝试不难看出，斜三角形只有下列四种形式：容易数出，第一种有 4 个，第二种有 2 个，第三种有 4 个，第四种有 2 个。综上，总共9424221个。8.如图，用 12 个点将圆周 12 等分，以这些点为顶点的梯形共有多少个？【分析】分两类考虑，首先，如下左图，连接相邻两点作为最短线段作出平行线。这样的话共有 6 条平行线，从中选 2 条就可以组成梯形，但是其中有 3 个矩形。这样作为一组的话一个圆上共有 12 个点，每两个相邻点就组成一组这样的平行线，共有 6 组（对称的不算），这样的话，共有 263672C 个；其次，如上右图，两点相连（中间隔 1 点）作为最短线段作出平行线。跟上一类同样

23、的接法，共有 252648C 个。而如果两点相连（中间隔 2）作为最短线段作出平行线就与第一类情况相同。同样的道理，隔 3 个点，隔 4 个点也是重复情况。综上，总共有7248120个。15第 9 级下 超常体系 教师版第 10 讲【超常班学案 1】下图中共有多少个长方形？【分析】横大长方形内有长方形：225330CC（个）竖大长方形内有长方形：225330CC（个）中间重复的长方形有：22339CC（个）故图中共有长方形：3030951（个）【超常班学案 2】如图，边长为 7 的等边三角形每条边被七等分，则边长为 1 的小三角形的个数与所有平行四边形的个数之比是多少？【分析】小三角形：1+3

24、+5+7+9+11+13=49 个平行四边形个数：493378C个数比：49：378=7：54【超常班学案 3】一个三角形的 3 条边上各有 3 个点，画出这 9 个点之间的全部连线（同一条边上的两点不画）后，发现在这些连线的交点没有出现过重合；请问三角形内共有多少个交点？【分析】每一个交点唯一对应一个四边形，故49C 之后还要减去有 4 点共线及 3 点共线的情况.431936312618108CCC 个【超常班学案 4】如图，一个 23 的网格中，每个小正方形的面积都是 1.以这些格点为顶点，可以连成多少个面积为 1 的三角形？【分析】如下第一个图，水平方向底为 2，竖直方向高为 1 的三

25、角形一共有4832个；如下第二个图，水平方向高为 1，竖直方向底为 2 的三角形一共有3618个；我们还漏了几个，如下第三个图水平方向底为 1，竖直方向高为 2 而且两条边不在格点图上的三角形有2612个；如下第四个图竖直方向底为 1，水平方向高为 2 而且两条边不在格点图上的三角形有 248 个。总共 321812870个。超常班学案765432116第 9 级下超常体系 教师版【超常 123 班学案 1】如图，共有多少个长方体（包含正方体）？【分析】长宽高三个方向各选一条线段即可唯一对应一个长方体：22243363 354CCC 【超常 123 班学案 2】在一个半圆上有 15 个点，以这

26、些点为顶点，共可以画出：（1）多少个三角形？（2）多少个四边形？（3）多少个五边形？【分析】（1）33157420CC（2）4431157781050CCC C（3）541321578781722CC CC C【超常 123 班学案 3】如图，正方形上有 14 个点，4 条边上分别有 2、3、4、5 个点；画出这 14 个点之间的全部连线（同一条边上的两点不画）后，发现在这些连线的交点没有出现过重合；请问正方形内共有多少个交点？【分析】每一个交点唯一地对应着一个四边形，故共有4313143141431141045951001 11401905854CCCCCCCCC 个.123 班学案17第

27、9 级下 超常体系 教师版第 10 讲【超常 123 班学案 4】下图中的正方形被分成 9 个相同的小正方形,它们一共有 16 个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的 3 个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?【分析】为方便起见,不妨设原正方形的边长为 3,则小正方形的边长是1,阴影三角形的面积是2323.所求的三角形可分两种情形:(1)三角形的一边长为 2,这边上的高是 3.这时,长为 2 的边只能在原正方形的边上,这样的三角形有24432(个)；(2)三角形的一边长为 3,这边上的高是 2.这时长为 3 的边是原正方形的一边（形如AJD）或平行于一边的分割线（形如ENH）.其中与(1)重复的三角形（形如ALD）不再算入,这样的三角形有8216(个).因此,所求的三角形共321648(个)(包括图中开始给的三角形.)JKGFNOLHDMAPEICB