小学数学讲义秋季五年级超常第6讲神奇的9超常体系.pdf

1、1第 9 级下 超常体系教师版第 6 讲五年级暑假质数与合数进阶五年级秋季因数与倍数初步五年级秋季神奇的 9五年级寒假因数与倍数进阶五年级春季带余除法综合数字谜和数论的弃九法漫画释义知识站牌第六讲 神奇的 92第 9 级下超常体系 教师版九，这个数字王国中的明珠，它太神奇，太美妙啦！得到人们最高的崇尚，最好的赞扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱.看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美的数 10 差 1，只不过是一个完全平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原因，竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九之规律所在，你会为此兴奋不已，感叹不尽.可你要知道，你这

2、也仅仅是在九的奇妙独特性质的海岸上，拾到的一块小小的贝壳而已！要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，无论是哪个数学爱好者，都必须进行艰苦的探索和顽强的钻研.那么我们今天就研究一下九到底神奇在什么地方？1、掌握加减法数字和与 9 的关系2、掌握多位数的计算中数字和与 9 的关系3、了解 9 在余数与数字谜中的应用9 的整除特征：一个数各数位数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除.1.在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 432是 9 的倍数.请随便填出一种，并检查自己填的是否正确.【分析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 3 2 是 9 的倍数，而 4

3、 3 2 9,所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数依次填入 3、6，因为4 3 3 2 6 18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数.2.一个数字互不相同的四位数乘以 9 后，得到它的反序数，则原数为多少？【分析】10899=98013.计算：123456799【分析】123456799=111111111模块 1：例 1-3，加减法中数字的规律课堂引入知识点回顾例题思路教学目标3第 9 级下 超常体系教师版第 6 讲模块 2：例 4-5，弃九法模块 3：例 6-8，弃九法在数字谜中的应用通过枚举一些数回答下面的问题.(1)A 的数字之和为 5,B 的数字之和为 3,则 A

4、+B 的和的数字之和为_.(2)A 的数字之和为 15,B 的数字之和为 13,A+B 进位 1 次,则 A+B 的和的数字之和为_.(3)A 的数字之和为 15,B 的数字之和为 13,A-B 没有借位,则 A-B 的差的数字之和为_.(4)A 的数字之和为 15,B 的数字之和为 13,A-B 借了 1 次位,则 A-B 的差的数字之和为_.通过上面几道例题,你能否总结出数的加减与数字之和或差的关系.（学案对应：超常 1）【分析】(1)5+3=8,14+12=26,104+3=107,可发现结果为 5+3=8;(2)591+58=649,555+904=1459,可发现结果为 15+13-

5、9=19(3)555-535=20,5127-4126=11,可发现结果为 15-13=2(4)555-418=137,5622-5503=119,可发现结果为 15-13+9=11结论:(1)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A+B 进位 k 次,则和的数字之和为 x+y-9k(2)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A-B 借位 k 次,则差的数字之和为 x-y+9k原因:求和时,会将低位的 10 当成高位的 1 用,因此数字和会减少 9;求差时,会将高位的 1当成低位的 10 用,因此差的数字之和会增加 9.【巩固】A 的数字之和为 46,B 的数字之和为 54

6、,A+B 进位 9 次,则 A+B 的和的数字之和为_.【分析】46+54-99=19如下式,从 1-9 中选出 6 个不同的数字填入方框中,使竖式成立,则方框中的 6 个数字之和为_1 2 0 9 （学案对应：带号 1）【分析】由加法的运算性质可知，这个竖式中，十位，百位相加均进位了，因此共进位 2 次，由例1 的结论可知：原来六个数字之和为 1+2+9+92=30.（1）111111 999999 乘积的各位数字之和为_.（2）33333336666666乘积的各位数字之和为_.（3）1993123999999 乘积的各位数字之和为_.例 3例 2例 14第 9 级下超常体系 教师版（4）

7、k9999.9M 个(其中 M 为自然数，且 Mk9999.9个)乘积的各位数字之和为_（5）1989119891111.11 111.11个个乘积的各位数字之和为_.（学案对应：带号 2）【分析】（1）法1：观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999999 很接近 1000000,于是我们采用添项凑整，简化运算.原式=111111(1000000-1)=1111111000000-1111111=111111000000-111111=111110888889数字之和为 9654法 2：原式=111111(1000000-1)=1111111000000-1111111=11

8、1111000000-111111两式相减，借位 6 次，所以差的数字之和为 6-6+96=54（2）法 1：本题可用找规律方法：36=18；33 66=2178；333 666=221778；3333 6666=22217778；所以：3633.366.6n个n个 2722.2177.78(n-1)个(n-1)个，则原式数字之和26176863法 2：原式99999992222222(100000001)222222222222220000000222222222222217777778所以，各位数字之和为7963法 3：原式99999992222222(100000001)22222222

9、22222200000002222222两式相减，借位 7 次，所以差的数字之和为 6-6+97=63（3）我们可以先求出 1993123 的乘积，再计算与(1000000-1)的乘积，但是 1993123还是有点繁琐设 1993123=M，则(1000123=)123000M(2000123=)246000，所以 M 为 6 位数，并且末位不是 0；令 M=abcdef则 M999999=M（1000000-1）=1000000M-M=000000abcdef-abcdef相减时借位 6 次，所以差的数字之和为（a+b+c+d+e+f）-（a+b+c+d+e+f）+69=54（4）k9099

10、9.91000kMMM个个相减时借位 k 次，因此差的数字之和为 M 的数字之和-M的数字之和+9k=9k5第 9 级下 超常体系教师版第 6 讲（5）198911989119891989119891111.11 111.11999.99 111.11999.999N个个个9个个9，其中 N1989999.99个9所以1989119891111.11 111.11个个的各个位数字之和为：91989=17901根据整除的特征，我们知道一个数能否被 9 整除，只需要看其各个数字之和即可.而一个数除以 9 的余数，也可以用其各个数字之和除以 9 计算.例如 7129 的余数与（7+1+2）9 的余数

11、是一样的.通过以上文字，判断以下（1）（2）（3）题各数除以 9 的余数分别是多少？（整除时，余数认为是 0）（1）57，359，687，2457，35698，123456789（2）1234567891099（3）13579111399（4）1234567891020122013 的数字之和为 A，A 的数字之和为 B，直到某个数字之和为一位数为止，则这个一位数是_.（学案对应：超常 2，带号 3）【分析】（1）除以 9 的余数可以在数中将和 为 9 的数直接划去，再用剩下的数计算余数.结果分别为：3，8，0，0，4，0（2）任意连续 9 个自然数之和必定是 9 的倍数，因此在连续数求除以

12、9 的余数时，可以 9神奇的九九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将天称为“九天”、“九重”、“九霄”；将地划为“九州”、“九域”；将宗庙称为“九庙”；道路谓之“九陌”；山有“九崇”；水曰“九河”；地有“九泉”；人分“九级”；官为“九品”。在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位；作为一个数学爱好者，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。易经上说，九数含有吉祥的意思，如果按照阴阳来说，奇数为阳，偶数为阴，而九是阳数中最大的，称为极阳数。十是一个完美的数，而九接近十而不到十，具有很强的倾向性，数字只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，

13、寓义崇高。也许，就是这个原因，九有着最多的奇妙特点，最多的趣味性质。九有一个非常奇妙的性质，是其它数字所没有的。如果要求一个自然数除以九的余数，则只要将这个数各位数字相加，其和除以九的余数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇妙特点，总使数学爱好者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常用“弃九”法验算学生的算式是否有误。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数是一个非常和谐圆满的数系。例 46第 9 级下超常体系 教师版个数直接划去.99 可以分成 11 组连续 9 个数.因此余数为 0.（3）等差数列中 9 个连续的也可以直接划去.1 到 99 中的奇数共

14、 50 个.509 余数为 5，最终剩下 5 个数，设剩下前 5 个，而 135799 余 7，因此余数为 7.（4）实际是求除以 9 的余数.20139 余 6，剩下前 6 个数.而 1234569 余 3，因此最后剩下的一位数为 3.【拓展】设20092009的各位数字之和为 A，A 的各位数字之和为 B，B 的各位数字之和为C，C 的各位数字之和为 D，那么 D _.【分析】由于一个数除以 9 的余数与它的各位数字之和除以 9 的余数相同，所以20092009与 A、B、C、D 除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则20092009除以 9 的余数与20092除以 9

15、的余数相同，而6264除以 9 的余数为 1，所以33420096 334 5652222除以 9 的余数为52 除以 9 的余数，即为 5另一方面，由于20092009803620091000010，所以20092009的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不超过 9803672324，即72324A；那么 A 的各位数字之和9545B，B 的各位数字之和9218C，C 小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么C 为 5 或 14，C 的各位数字之和为 5，即5D【拓展】123456789101112131420082009 除以 9，商的个位数字是_.【分析】首先看这个多位数是

16、否能被 9 整除，如果不能，它除以 9 的余数为多少.由于任意连续的 9个自然数的和能被 9 整除，所以它们的各位数字之和能被 9 整除，那么把这 9 个数连起来写，所得到的数也能被 9 整除.由于200992232，所以123456789101112131420082009 这个数除以 9 的余数等于 20082009（或者 12）除以 9 的余数，为 3.那么 123456789101112131420082009 除以 9 的商，等于这个数减去 3 后除以9 的商，即 123456789101112131420082006 除以 9 的商，那么很容易判断商的个位数字为 4.如果等式成立，

17、则等式两边除以同一个数的余数也一定是相等的.利用这一特点，如果等式两边除以同一个数的余数不相等，则这个等式一定是错误的.在长期的计算中，人们发现用两边都除以 9可以比较快的验算出等式是否成立.这种方法也叫弃九法.检验下面的算式是否正确：（1）468729537=447156404（2）383831253=1517【分析】（1）46872 是 9 的倍数，4471564049 余 8，即左边是 9 的倍数，而右边不是，因此算式错误.（2）化除为乘，即判断 2531517=383831 是否正确.2539 余 1，15179 余 5，最终左边除以 9 的余数为 15=5.右边 3838319 的余

18、数为 8，因此算式错误.注：弃九法仅能判断出错误，若左右两边余数相等，等式不一定成立.如：18365=6480.左右两边均是 9 的倍数，但算式却是错误的.【拓展】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为 1031如果甲数的数字和为 10，乙数的数字和为 8，那么甲乙两数之和是_.【分析】根据弃九法可得知，乘积是3103131 7 11 13，适当组合可得知两数为 31 7217和例 57第 9 级下 超常体系教师版第 6 讲11 13143，和为 360.（1）从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 10 个数字中，选出 9 个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则

19、其中未被选中的数字是_.+=2010（2）将 0-9 放入下面的 10 个方框中，使等式成立，则减数处的数字是_.+=2010（3）下面算式由 19 中的 8 个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字.那么“数学解题”与“能力”的差的最小值是_.最大值是_.（学案对应：超常 3）【分析】（1）根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差 9 的整数倍由于 2010 的各位数字之和为 3，而 0+1+2+9=45，所以应该从中去掉 6（2）设减数为 x，则左边等于+x-2x，除以 9 的余数与 45-2x 的除以9 余数相同.右边的余数是 3，当 x=3 时

20、，左右余数会相等.所以减数处的数字是 3.（3）9 个数字选 8 个，即有一个数字未选.设未选的数字为 x，则 45-x 除以 9 的余数与 2010除以 9 的余数相同.当 x=6 时成立，即未选中的数字为 6.这样加数的数字之和为 45-6=39，而和的数字之和为 3，差为 36，即进位 4 次.为了“数学解题”与“能力”的差最小，则“数学解题”越小越好.由进位可知，当十位向百位进 2 时，“数学”最小.其他的个位向十位进 1，百位向千位进 1.之后构造出一种答案.184295732010于是差最小为 1842-95=1757.最大值时，十位向百位进 1，其他的个位向十位进 2，百位向千位

21、进 1.之后构造出一种答案.194825372010差最大为 1948-25=1923用数字 0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9 组成五个四位数，要求这5 个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是（学案对应：超常 4，带号 4）例 7例 68第 9 级下超常体系 教师版【分析】由于一个数除以 9 的余数等于这个数的各位数字之和除以 9 的余数，那么这五个四位数的和除以 9 的余数，就等于这五个四位数的各位数字之和除以 9 的余数，而这五个四位数的各位数字之和为0129290，除以 9 的余数为 0，所以这五个四位数的和除以9 的余数也是 0，也

22、就是说这五个四位数的和是 9 的倍数由于每个四位数都小于 10000，所以这五个四位数的和小于 50000，那么这个和的首位不超过 4，由于各位数字都是奇数，所以首位最大为 3，千位和百位最大为 9当前三位分别为 3、9、9 时，要使这个和是 9 的倍数，后两位数字的和除以 9 应余 6，可能为 6 和 15；然而这两个数都是奇数，它们的和为偶数，所以只能是 6，那么这两个数应分别为 5 和 1 才能使和最大，此时最大和为 39951而当这五个四位数分别为 9348，9247，8236，7115，6005 时，它们的和恰好为 39951，因此所求的最大值为 39951注：最值问题，需要证明出理

23、论最值，之后构造成功后才行.下图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9，不同的汉字代表不同的数字.如果“北”和“京”分别代表 1 和 9.请写出“奥运会”所代表的所有的三位整数，并且说明理由.北奥运会=京梦想成真【分析】设“奥运会”对应的字母分别为,A B C;“梦想成真”对应的字母为,D E F G，因为 9“奥运会”=“梦想成真”，“梦想成真”为 9 的倍数于是：“D”“E”“F”“G”为 9 的倍数而：“D”“E”“F”“G”最大为：8765=26最小为：2345=14所以：“D”“E”“F”“G”=18“A”、“B”、“C”、“D”、“E”、“F”、“

24、G”分别代表 2-8所以：“A”“B”“C”=238-18=17可以得出：“A”、“B”、“C”必是下面四组中的一组：8、7、28、6、38、5、47、6、4ABC9DEFG9 倍再加原来的数，即为原来的数的 10 倍。即A B C+D E F GA B C 0根据数字和分析，加数的数字之和为 A+B+C+D+E+F+G=35，和的数字和为 A+B+C+0=17，35-17=18，说明进了两次位，个位一定向十位进一位，百位一定向千位进一位，所以十位没有向百位进位。所以有10CG,1BFC,进而有9234BFG 所以有2,3,4G 例 89第 9 级下 超常体系教师版第 6 讲当2G 时，8C:

25、情况 1：3,4BF,A=6(8,6,3 的组合),有63857426380情况 2：B=4,F=3,A=5(8,5,4 的组合)，有 548+4932=5480（舍）以下只写正确答案.当3G 时，7C,4,2BF,A=6,有64758236470当4G 时，6C,3,2BF,A=8,有83675248360所以“奥运会”有 836，647，638 共 3 种取值结论 1：(1)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A+B 进位 k 次,则和的数字之和为 x+y-9k(2)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A-B 借位 k 次,则差的数字之和为 x-y+9k结论 2：k

26、9999.9M 个(其中 M 为自然数，且 Mk9999.9个)乘积的各位数字之和为 9k.1.A 的数字之和为 100,B 的数字之和为 50,A-B 借了 5 次位,则 A-B 的差的数字之和为_.【分析】100-50+59=952.下边的加法算式中，每个“”内有 1 个数字，所有“”内的数字之和最大可达到知识点总结数字谜有人写了一个横式：ABCDEFF=999999,不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，那么六位数 ABCDEF 是多少？答：ABCDEF=142857家庭作业10第 9 级下超常体系 教师版【分析】法 1：末尾和最大 24，十位和最大 18，百位和最大 18

27、，24+18+18=60法 2：三个数字相加，最高可进 2 位.上式中均可进 2 位，因此方框内的数字之和最大为2+4+96=603.200720073555333个5个乘积的各位数字之和为_.【分析】200720072007320079200795555553339999993N 个 5个5个个个，N 为整数，由结论可知乘积的各位数字之和为 20079=18063.4.将 1 至 2008 这 2008 个 自 然 数，按 从 小 到 大 的 次 序 依 次 写 出，得 一 个 多 位 数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以 9 的余数.【分析】法 1：以

28、 19992000 这个八位数为例，它被 9 除的余数等于 19992000被 9除的余数，但是由于 1999 与 1999被 9 除的余数相同，2000 与2000被 9 除的余数相同，所以 19992000 就与 19992000被 9 除的余数相同由此可得，从 1 开始的自然数 1234567891011121320072008 被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同根据等差数列求和公式，这个和为：12008200820170362，它被 9 除的余数为 1法 2：还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质，将原多位数分成 123456789，10

29、1112131415161718，199920002001200220032004200520062007，2008 等数，可见它被 9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同因此，此数被 9 除的余数为 15.求 4782569352除以 9 的余数.【分析】47819291，2561394，3521091，4782569351除以 9的余数等于1 4 14 6.将数字 1 至 9 分别填入下边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？12008【分析】9 个方框中的数之和为 45三个加数的个位数字之和可能是 8，18；十位数字之和可能是 9，10，1

30、9，20；百位数字之和可能是 8，9，10，其中只有1819845所以三个加数的个位数字之和为 18，十位数字之和为 19，百位数字之和为 8要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填 1，十位填 2，此时另两个加数的百位只能填 3，4；则四位数的加数个11第 9 级下 超常体系教师版第 6 讲位可填 5，另两个加数的十位可填 8，9，个位可填 6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是 11257.在下边的加法算式中，若每个字母均表示 0 到 9 中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相同，也不与算式中已有的数字相同，则 A 与 B 乘积的最大值是多少？910ECFDGAB【分析】因为910

31、ECFDGAB，等号两边除以 9 的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以 9 的余数相等，而所有数字的和是 9 的倍数，所以两边都是 9 的倍数，即10 AB 是 9 的倍数，由于78 15AB，所以8AB，再根据“和一定，差小积大”，所以 A、B 的取值为 3、5 时，A 与 B 乘积的最大值是 158.在下面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数华杯初赛的最大值是.2011兔年十六届华杯初赛【分析】显然“华”=1.总共有 9 个数字，也就是说 0 到 9 中有一个不能用，根据弃九法，5 不能用.每进一位数字和减少 9，0+1+2+3+4+6+7+8+9-(

32、2+0+1+1)=36，所以共进 4 位.所以个位和十位之一需要进两位，有两种可能：(1)个位数字之和为 11，十位数字之和为 20，百位数字之和为 8；(2)个位数字之和为 21，十位数字之和为 9，百位数字之和为 9.为了让“华杯初赛”尽量大，“杯”应尽量大，“十”应尽量小.“十”最少为 2，优先考虑情况(2)，此时“杯”可以等于 7.剩余数字 0，3，4，6，8，9，个位和为 21 的显然是 4+8+9，十位和为 9 的剩下 0+3+6，所以最大为 1769.不必再考虑(1)了.【超常班学案 1】甲数各位数字之和是 9，乙数各位数字之和是 10，当甲数作为被减数，乙数作为减数，用竖式做减

33、法运算时，有 2 次借位.那么甲乙两数之差的各位数字之和是_.【分析】9-10+29=17【超常班学案 2】将从 1 开始的到 103 的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113151719219799101103.则数 a 共有_位，数 a 除以 9 的余数是_.【分析】法 1：一位的奇数有 5 个，两位的奇数有 45 个，再加两个三位奇数，所以 a 是一个5+245+32=101（位）数.从 1 开始的连续奇数被 9 除的余数依次为 1，3，5，7，0，2，超常班学案12第 9 级下超常体系 教师版4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，从 1 开始，每周期为 9 个数

34、1，3，5，7，0，2，4，6，8 的循环.因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被 9 除余数为 0，从 1-89 恰为 5 个周期，所以这个 101 位数 a 被 9 除的余数为 1+3+5+7+0+2+4 被 9 除的余数，等于 4.法 2：一个自然数被 9 除的余数和这个自然数所有数字之和被 9 除的余数相同，利用这条性质，a=135791113151719219799101103 中 13579 的数字和被 9 除的余数是 7，而1113151719219799 所有数字之和被 9 除的余数是 0，101103 的数字和被 9 除的余数是6.所以，a 被 9 除的余数是（7+6）

35、被 9 除的余数，是 4.【超常班学案 3】把 0，1，2，8，9 这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一次，那么加数中的三位数的最小值是多少？2007【分析】从式中可以看出，千位上的方框中的数为 1，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为 10由于三位数的百位上不能为 1 和 0，所以要使三位数最小，它的百位应该为 2，十位应该为 0那么十位向百位的进位为 1，所以四位数的百位为 7，且十位上三个方框中的数之和再加上个位的进位的和为 10又剩下的数字 3，4，5，6，8，9 中除 3+4+5+6=18只向十位进 1 外，其余任选四数字的和都大于 20，由于 3+

36、4+5+6 的尾数不为 7，所以个位上四个数字不能是 3，4，5，6，所以个位向十位进位为 2，也就是十位上的三个方框中的数的和为 8(其中有一个为 0)，而剩下的 3，4，5，6，8，9 中只有 3+5=8，所以个位上的四个方框中的数为 4，6，8，9，那么加数中的三位数最小为 204.【超常班学案 4】用数字 0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9 组成五个四位数，要求这 5 个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最小是【分析】由于一个数除以 9 的余数等于这个数的各位数字之和除以 9 的余数，那么这五个四位数的和除以 9 的余数，就等于这五个四位

37、数的各位数字之和除以 9 的余数，而这五个四位数的各位数字之和为0129290，除以 9 的余数为 0，所以这五个四位数的和除以9 的余数也是 0，也就是说这五个四位数的和是 9 的倍数最高的前 2 位和最小为 10+10+23+24+34=101，而和的数字均是奇数.因此前三位最小为111，要使结果为 9 的倍数，最后 2 位最小可以为 15.即和最小为 11115.构造如下：1099+1088+2547+2646+3735=11115【超常 123 班学案 1】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的 7 个数字，不同的汉字代表不同

38、的数字，恰使得加法算式成立则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的 7 个数字的和等于_123 班学案13第 9 级下 超常体系教师版第 6 讲赛第 十 一0华 杯20届6+【分析】法 1：显然十位和百位都出现了进位，所以有以下的等式：“第”=1，“十”“华”=9，如果“届”“赛”没有出现进位，那么“一”“杯”=10，“届”“赛”=6，那么“届”和“赛”一个是 2另一个是 4，那么“一”“杯”中有一个小于 5 的数必然是 3，另一个是 7，这样的话就不存在不重复的“十”和“华”使它们的和是 9，所以“届”“赛”必定出现进位由于“届”“赛”出现进位，那么“一”“杯”9，“届”“赛”16，所以 7

39、 个汉字代表的 7 个数字之和等于1991635经过尝试“十”、“华”、“一”、“杯”、“届”、“赛”分别是 3、6、4、5、7、9 时可满足条件(答案不止一种)法 2：本题也可采用弃九法由于2006第十一届 华杯赛，所以 第 十 一 届 华 杯 赛+除以 9 的余数等于 2006 除以 9 的余数，为 8由于“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的 7 个数字，且不同的汉字代表不同的数字，假设 19 中的另外两个数为 a 和b，那么 45ab第 十 一 届 华 杯 赛+，故45ab除以 9的余数为 8，则ab除以 9 的余数为 1由题意可以看出“第”1，所

40、以 a、b 不能为 1，则 2028917ab，其中满足除以 9 余 1 的只有 10，所以10ab，45451035ab第 十 一 届 华 杯 赛+【超常 123 班学案 2】如果20103333333333A 个，那么 A 的各位数字之和等于.【分析】20103103033033303330A 个，所以20103320109333033333327300A 个2006个次，3668370333273009370370370369700A 2006个个，数字和为 668 10256705.【超常 123 班学案 3】将12345678910111213.依次写到第 1997 个数字，组成一个

41、 1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 _【分析】本题第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再对数字求和19 共有 9 个数字，1099共有 90 个两位数，共有数字：902180(个),100999共 900 个三位数，共有数字：90032700(个),所以数连续写，不会写到 999,从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602.2，即有 602 个三位数，第 603 个三位数只写了它的百位和十位从 100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是 702，其中 2 未写出来因为连续 9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起

42、来的 9 个自然数也能被 9 整除，702 个数能分成的组数是：702978(组)，依次排列后，它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数为9-27【超常 123 班学案 4】将数字 0-9 填入下面 10 个方框内，使等式成立，则共有_种不同的填法.14第 9 级下超常体系 教师版【分析】设加数的数字之和为 x，和的数字之和为 y，则 x+y=0+1+2+9=45，且 x,y 除以 9 的余数相同，只有 x,y 均为 9 的倍数时符合要求.再由数字谜的特点可知，1，0，9 的位置固定，如下图.910ECFDGAB1+0+A+B 是 9 的倍数，只能等于 9，即 A+B=8=2+6=3+5=5+3=6+2.A，B 共 4 种情况，每种情况下，E，F，G 可以互换，C，D 可以互换.当 A，B 为 2，6 时，C+D=11=3+8=4+7 有 2 种成立的情况.因此共有 53!2!60种不同的情况.