小学数学讲义秋季五年级超常第8讲排列组合进阶超常体系.pdf

1、1第 9 级下 超常体系教师版第 8 讲四年级春季排列组合初步五年级暑假枚举法进阶五年级秋季排列组合进阶五年级秋季几何计数进阶五年级春季概率初识介绍捆绑法，插板法，插空法等计数方法.漫画释义知识站牌第八讲排列组合进阶2第 9 级下超常体系教师版有 10 个年轻人到一家饭馆去吃饭,为座位该如何安排的问题发生了争吵.饭馆的老板给他们提了一个建议，他们便停止了争吵，并非常愿意接受老板的建议.老板的建议是：“假如你们今天按一个排列的次序坐，明天来吃午饭时，再按另一个次序入座.这样，当你们 10 个人的次序都变换完了，再也不会有新的次序出现的时候，从那天起，我免费供应你们最好的午餐.”但一连过了几个月，

2、新的次序还没有排完，这些年轻人仔细一算，才知道，要这样吃下去根本吃不到免费的午餐.为什么？答案：10987654321=3628800 种3628800/3659942 年如果要想排到不再有新的次序，需要轮上差不多 9942 年.所以根本吃不到免费午餐.1.熟悉排列组合常用的几种方法2.灵活运用排列组合的特点用对应的方法解决对应的题目.排列组合公式：1.排列数公式：(1)(2)(1)mnAn nnnm2.全排列公式：!(1)(2)2 1nnAnnnn 3.组合数公式：(1)(2)(1)!mnn nnnmCm4.关于组合数的几个重要结论：01nnnCCmn mnnCC0122nnnnnnCCCC

3、排列组合常用的方法：1.优限法（特殊位置/元素优先考虑）2.捆绑法（相邻问题）3.插空法（不相邻问题）4.大除法（有相同元素排列，圆圈排列，平均分组等问题）5.插板法（相同元素分组问题）6.排除法（正难则反）7.对应法（化归策略）经典精讲教学目标课堂引入3第 9 级下 超常体系教师版第 8 讲1.已知：(1)(2)(1)mnAn nnnm，如255420A .试计算下面几题：34_A；26_A；310_A；35_A.2.已知：!(1)(2)2 1nnnAn nn，如333!32 16A .试计算下面几题：4!_；5!_；6!_；7!_.3.已知：(1)(2)(1)!mmnnAn nnnmCmm

4、，如225554102!2 1AC.试计算下面几题：24_C；35_C；27_C；36_C.4.已知：mn mnnCC，如2355CC.试计算下面几题：34_C；45_C；57_C；98100_C.【分析】1.24，30，720，602.24，120，720，50403.6，10，21，204.4，5，21，4950例 1：优限法例 2：捆绑法例 3：插空法例 4：大除法例 5，6：插板法例 7：对应法例 8：排列组合综合4 名男生，5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：甲不在中间也不在两端；甲、乙两人必须排在两端；男、女生分别排在一起；男女相间【分析】先排甲，9 个位置除

5、了中间和两端之外的 6 个位置都可以，有6 种选择，剩下的8 个人随意排，也就是8 个元素全排列的问题，有888 76 54 3 2 140320A (种)选择由乘法原理，共有640320241920(种)排法知识点回顾例 1例题思路4第 9 级下超常体系教师版 甲、乙先排，有222 12A (种)排法；剩下的7 个人随意排，有7776 54 3 2 15040A (种)排法由乘法原理，共有 2504010080(种)排法 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有222 12A (种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4 个元素与 5 个元素的全排列问题，分别有444 3 2

6、 124A (种)和5554 3 2 1 120A (种)排法由乘法原理，共有 224 1205760(种)排法 先排 4 名男生，有444 3 2 124A (种)排法，再把 5 名女生排到 5 个空档中，有5554 3 2 1 120A (种)排法由乘法原理，一共有24 1202880(种)排法4 个男生 2 个女生共 6 人站成一排合影留念，有_种不同的排法;要求 2 个女生紧挨着有_种不同的排法;如果要求 2 个女生紧挨着排在正中间有_种不同的排法.【分析】4男 2 女 6 人站成一排相当于 6 个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一个位置的人，有 6 种选择；第二步

7、，确定第二个位置的人，有 5 种选择；第三步，排列第三个位置的人，有 4 种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择根据乘法原理，一共有65432 1720 种排法法 1：分为三步：第一步：4 个男的先排，一共有 432 124 种不同的排法；第二步：2 个女的排次序一共有 2 种方法；第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有 5 个位置可插根据乘法原理，一共有2425240种排法法 2：将 2 个女生当成一个人，这样就相当于 5 个人排队，共有5!120种排法，但 2 个女生还可以左右换位置，所以共有 2120=240 种排法.（3）根据题意分为两步来排列第一步，先

8、排 4 个男生，一共有432 124 种不同的排法；第二步，将 2 个女生安排完次序后再插到中间一共有 2 种方法根据乘法原理，一共有 24248种排法【铺垫】停车站划出一排12 个停车位置，今有 8 辆不同的车需要停放，若要求剩余的 4 个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?【分析】把4 个空车位看成一个整体，与8 辆车一块进行排列，这样相当于9 个元素的全排列，所以共有99362880A【巩固】A、B、C、D、E、F、G 七位同学在操场排成一列，其中学生 B 与 C 必须相邻请问共有多少种不同的排列方法？【分析】法1:七人排成一列，其中 B 要与 C 相邻，分两种情况进行考虑若 B

9、 站在两端，B 有两种选择，C 只有一种选择，另五人的排列共有55A 种，所以这种情况有552 1240A 种不同的站法若 B 站在中间，B 有五种选择，B 无论在中间何处，C 都有两种选择另五人的排列共有55A 种，所以这种情况共有55521200A 种不同的站法所以共有 24012001440种不同的站法法 2:由于 B 与C 必须相邻，可以把 B 与C 当作一个整体来考虑，这样相当于6 个元素的全排列，另外注意 B、C 内部有2 种不同的站法，所以共有6621440A种不同的站法例 25第 9 级下 超常体系教师版第 8 讲6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 站成一排.（1）若 A、B

10、 两人必须相邻，一共有_种不同的站法；（2）若 A、B 两人不能相邻，一共有_种不同的站法；（3）若 A、B、C 三人不能相邻，一共有_种不同的站法.（学案对应：带号 1）【分析】（1）若 A、B 两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左因此站法总数为2525AA=2120=240（种）（2）法 1：排除法.A、B 两个人不能相邻与 A、B 两个人必须相邻是互补的事件，因为不加任何条件的站法总数为66A=720（种），所以 A、B 两个人不能相邻的站法总数为720-240=480（种）法 2：插空法.先排 C

11、，D，E，F 四人，共有 4！=24 种排法，这时四人共产生了 5 个空位（包含两端），在这 5 个空位上选 2 个位置站人，一定不会相邻.因此共有2524480A种站法.（3）注：此题若用排除法，需要排除三人相邻及任意两人相邻的情况，不是特别简单.插空法.343!624144A【巩固】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有_种不同的放法.【分析】四盆黄花摆好后，剩下 5 个位子可插进红花，选三个位置将三盆红花插入，35543=1032 1C ，所以有 10 种选择.【巩固】学校乒乓球队一共有 4 名男生和 3 名女生某次比赛后他们站成一排照相，请问：如果要求男

12、生不能相邻，一共有多少不同的站法？【分析】要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里因为有 3 名女例 3阶乘与双阶乘阶乘(factorial)是基斯顿卡曼(Christian Kramp,1760 1826)于 1808 年发明的运算符号.阶乘，也是数学里的一种术语,指从 1 乘以 2 乘以 3 乘以 4 一直乘到所要求的数.如：!(1)(2)2 1nnnn另外，数学家定义，0！=1.通常我们所说的阶乘是定义在自然数范围里的，小数没有阶乘，像 0.5！，0.65！，0.777！都是错误的.双阶乘用“!m”表示.当 m 是自然数时，表示不超过 m 且与 m 有相同奇偶性的

13、所有正整数的乘积.如：(21)!1 3 5(21)nn (2)!2462nn 6第 9 级下超常体系教师版生，考虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位则站法总数为：3434AA624144（种）（1）6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 站成一排.若 A 必须在 B 的前面（可以不相邻），则有_种站法；若 A 在 B 的前面（可以不相邻），B 在 C 的前面（可以不相邻），则共有_种站法.（2）6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 站成一圈，共有_种站法.（旋转后相同算一种）（3）6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 平均分成三组，每组两个人，共有_种分法.（组与组不做区分）（学案对应：超常

14、1）【分析】（1）A 在 B 前面，可认为全排列后，除去 AB 之间的排列方式，即 6!3602!种.A，B，C定序时，可需要在全排列的基础上，除去 ABC 之间的排列方式，即 6!1203!种.（2）法 1：可先固定一人，其他人就只有 5！=120 种站法.法 2：6 人站一圈，共有 6！种站法，但每种站法都可以旋转 6 次，因此要除以 6 才是不同实质的站法.答案为 6!1206.（3）法 1：6 人中先选 2 人作为第一组，再剩下 4 人中选 2 人作为第二组，最后的 2 人作为第 3 组，因为组与组不做区分，因此要除以组数的全排列.答案为222642153!CCC法 2：随意排 6 个

15、人，共有 6！种排法，将人按 2 人一组截开，组内人可以互换，三个组也可以互换，因此共有6!152!2!2!3!种分法。【巩固】10 个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？【分析】法 1:大除法按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有 7 种选择，总共就有 7 1070种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，却算作了两种，所以最后的结果应该是(101 1 1 )10235(种)法 2:排除法可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合

16、数为210C，而被选的两个人相邻的情况有 10 种，所以共有2101045 1035C(种)10 个相同的球完全分给 3 个小朋友.（1）若每个小朋友至少得 1 个，那么共有_种分法.（2）若每个小朋友至少得 2 个，那么共有_种分法.（3）若可以有小朋友不得，那么共有_种分法.（学案对应：超常 2）【分析】（1）题是标准的插板法.只要在 10 个球的 9 个间隔中插入 2 个板就可以达到题目的要求.因此（1）题答案为299 8362 1C.（2）题每人至少 2 个，不符合插板法，但我们可以先拿出 3 个球放在每个人的面前，现在例 5例 47第 9 级下 超常体系教师版第 8 讲就变成 7 个

17、球完全分给 3 个小朋友了，答案为2665152 1C.（3）题可以有人不得，可以先分完后，再借 3 个球，在每人面前放一个，这样每人的面前都至少是 1 个.而此时相当于 13 个球分给 3 个小朋友，每人至少一个了.答案为21212 11662 1C.【巩固】12 个苹果分给 4 个人，每人至少 1 个，则共有_种分法.【分析】31111 10916532 1C【巩固】15 个苹果分给 4 个人，每人至少 2 个，则共有_种分法.【分析】315 4 1109 812032 1C 【巩固】小红有 10 块糖，每天至少吃 1 块，7 天吃完，她共有多少种不同的吃法？【分析】10 块糖有9 个空，

18、选6 个空放挡板，有639984CC(种)不同的吃法【拓展】插板法：前提：1.物品相同；2.人不同；3.完全分完，并且完整；4.每人至少 1 个.结论：m 个相同的物品完全分给 n 个人（1）若每人至少 1 个，则共有11nmC 种分法；（2）若每人至少 k 个，则共有11(1)nmn kC 种分法；（3）若有人可以不得，则共有11nm nC 种分法.应用：以下字母均为整数，求下面几式的解的个数.（1）10(,1)xyzx y z答案：299 8362 1C（2）10(,2)xyzx y z答案：2665152 1C（3）(,)xyzmx y zk答案：21(1)mn kC （4）10(,0)

19、xyzx y z答案：21212 11662 1C（5）123()niaaaamak答案：11(1)nmn kC 【拓展】一支足球队除了守门员还有 10 个队员上场比赛，教练在比赛前会按照“后场，中场，前场”的位置把这 10 个人排兵布阵比如常见阵型“4，3，3”就代表后场 4 人，中场 3 人，前场 3 人这样的阵型当然，你也可以排出“0，0，10”这样疯狂进攻的阵型（后场中场都不要人了，全跑前场去）现在，请你算一算一共可以排出多少种不同的阵型（管他输赢呢）【分析】21266C（1）数字和为 8，且不含 0 的三位数有_个；（2）数字和为 8，且每个数字不小于 2 的三位数有_个；（3）数字

20、和为 8 的三位数有_个；（4）小于 1000，且数字和为 8 的数有_个；（5）数字和为 10 的三位数有_个.例 68第 9 级下超常体系教师版（学案对应：超常 3，带号 2）【分析】插板法的应用.（1）相当于将 8 个球分给 3 个人，每人至少 1 个，共有2721C 个（2）相当于将 8 个球分给 3 个人，每人至少 2 个，共有246C 个.（3）相当于将 8 个球分给 3 个人，可以有人不得，但第 1 个人必须得至少 1 个，因此共有28 3 1 136C 个.（4）相当于将 8 个球分给 3 个人，可以有人不得，共有21045C个.注：这种算法若第 1人不得，相当于百位为 0，即

21、相当于 2 位数或 1 位数.（5）百位至少为 1，之后三个位置分 9 个数，共有29 3 155C 个数，但不能出现（9，0，0）的情况，因此共有 55-1=54 个.圆周上有 12 个点，其中一个点涂红色，还有一个点涂了蓝色，其余 10 个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点(蓝点)的多边形称为红色(蓝色)多边形不包含红点及蓝点的称无色多边形试问，以这 12 个点为顶点的所有凸多边形(边数可以从三角形到 12 边形)中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？（学案对应：超常 4，带号 3，带号 4）【分析】从任

22、意一个双色的 N 边形出发(5N 时)，在去掉这个双色多边形中的红色顶点与蓝色顶点后，将得到一个无色的2N 边形；另一方面，对于一个任意的无色的 M 边形，如果加上红色顶点和蓝色顶点，就得到一个双色的2M 边形，所以无色多边形与双色多边形中的五边形以上的图形是一一对应的关系，所以双色多边形的个数比较多，多的是双色三角形和双色四边形的个数而双色三角形有 10 个，双色四边形有21045C个，所以双色多边形比无色多边形多104555个【拓展】有 49 个相同的苹果，小明要用 7 天吃完，每天至少吃 1 个，问有多少种不同的吃法？有 49 个相同的苹果，小明要用 7 天吃完，问有多少种不同的吃法？有

23、 49 个相同的苹果，小明要用 7 天吃完，且每天必须吃奇数个，问有多少种不同的吃法？有 49 个不同的苹果，小明要用 7 天吃完，问有多少种不同的吃法(同一天所吃的苹果之间不考虑顺序)？有 49 个不同的苹果，小明要用 7 天吃完，问有多少种不同的吃法(同一天所吃的苹果之间考虑顺序)？【分析】49 个苹果分在 7 天，每天至少一个，因此有648C种不同的吃法.题目没有规定每天都必须吃一个，也就是允许有些天吃的数目为 0，因此有7 1649 7 155CC 种不同的吃法.这个问题不同于我们前面所说的三种基本类型，我们就得想办法把不会解决的类型转化成我们熟悉的三种类型之一，我们来看看要求的不同：

24、题目要求我们每天都吃奇数个苹果，也就是说可以吃 1，3，5，7，插板法要求我们每天吃的个数为正整数就可以了，也就是说吃 1，2，3，4，怎样把奇数变成正整数而且保持一一对应的关系呢？我们发现，我们把奇数加上 1 然后除以 2，就可以变成对应的正整数了（因为奇数都可以表示成(21)n 的形式，加1 除以 2 之后就和正整数一一对应了），7 天都吃的奇数个苹果，所以我们把苹果的总数加上 7 然后除以 2，相当于(497)228个苹果，同样分成7 天，每天至少吃 1 个，这种情况与原来情况下的吃法是一一对应的关系.例 79第 9 级下 超常体系教师版第 8 讲天数第一天第二天第三天第四天第五天第六天

25、第七天总数实际1a2a3a4a5a6a7a49对应112a 212a 312a 412a 512a 612a 712a 497282因此一共有627C 种不同的吃法.如果同一天的苹果不考虑顺序，我们可以把 7 天看作 7 个筐，然后把不同的 49 个苹果一个一个扔到筐里，有多少种扔的方法，就有多少种吃的方法，因为每个苹果都有可能扔进7 个筐中的任意一个，因此吃法的总数应该是497种.如果是 49 个相同的苹果，我们在第问中已经解决过了，一共有655C种不同的吃法，也就是说把所有的苹果排成一排，有655C种插板的方法.但是如果苹果不同，就会产生不同的排列，在每一种排列下都会出现655C种插板的方

26、法，而 49 个苹果排列的种数为4949A，因此一共有4964955AC种不同的吃法.8 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？【分析】法 1：冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：3212372423AAA3360CC（种）同时满足第一、三个条件，并且满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：32222

27、62322AAAA960C（种）因此同时满足三个条件的站法总数为：33609602400（种）法 2：相邻问题捆绑，小光和小亮有 2！种站法；之后让除小慧和大智外其他 5 人（注：小光和小亮可视为 1 人）排列，共 5！种方法，但冬冬在小悦和阿奇中间的可能性为 13；最后由插空法放入小慧和大智，共26A 种方法。综上，共有262!5!24003A种站法.例 8已知：!(1)(2)2 1nnnn，并特殊规定：0!1，那么，你能否在下式中等号左边填上适当的符号（四则运算符号或阶乘），使等号成立。1111=240000=24答案：(1 1 1 1)!24(0!0!0!0!)!2410第 9 级下超常

28、体系教师版排列组合公式：1.排列数公式：(1)(2)(1)mnAn nnnm2.全排列公式：!(1)(2)2 1nnAnnnn 3.组合数公式：(1)(2)(1)!mnn nnnmCm4.关于组合数的几个重要结论：01nnnCCmn mnnCC 0122nnnnnnCCCC1.5 个人站成一排，小明不在两端的排法共有_种.【分析】小明有 3 种位置可以排，其他 4 人无所谓，共有34!72种排法.2.四年级三班举行六一儿童节联欢活动整个活动由 2 个舞蹈、2 个演唱和 3 个小品组成请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有_种不同的出场顺序.【分析】要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆

29、绑法”先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列，再分别在各类节目内部排列具体节目的次序因此出场顺序总数为：32233223AAAA=144（种）3.用 1，2，3，4，5 各一次，可以组成_个偶数不相邻的五位数.【分析】法 1：排除法，共可以构成 5！=120 种不同的五位数，其中偶数相邻的共有 24！=48 种，所以符合要求的数共有 120-48=72 种.法 2：插空法，1，3，5 共可以组成 3！=6 种不同的三位数，这时产生 4 个空位，从 4 个空位中选 2 个放 2，4，共有 43=12 种方法.所以共有 612=72 种符合要求的数4.甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共

30、 3 串，有一串是红气球 3 个，有一串是黄气球 2 个，有一串是绿气球 4 个，而且每次射击必须射最下面的气球，则有_种不同的射法.绿黄红【分析】根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气球，二个黄色气球，四个绿色气球，即 9个物体的排列，当然有9!种排列方法但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排列的情况，所以应该除以 3!，其他黄色气球、绿色气球依此类推家庭作业知识点总结11第 9 级下 超常体系教师版第 8 讲所以共有射击方法：9!12603!2!4!本题也可以这样想：任意一种打法都对应 9 个物体的排列，从中先选出 3 个位置给红色气球，

31、有39C 种选法；这 3 个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再从剩下的 6 个位置中选出 2 个给黄色气球，有26C 种选法；它们之间也只有一种排列顺序；剩下的 4 个位置给绿色气球，它们之间也只有一种排列顺序所以，根据乘法原理，共有3249641260CCC种不同的射法5.有 12块糖，小光要 6 天吃完，每天至少要吃 1 块，问共有种吃法【分析】将 12 块糖排成一排，中间共有 11 个空，从 11 个空中挑出 5 个空插挡板，把 12 块糖分成6 堆，则这样的每一种分法即对应一种吃法，所以共有51111 109874621 2345C 种6.共有_个数字和为 12

32、且不含 0 的三位数.【分析】相当于将 12 个球分给 3 个人，每人至少 1 个.但要去掉（1，1，10）的三种组合，因此共有211352C 个数.7.圆周上有 12 个点，连接其中的一些点可以构成多边形，设边数小于六的多边形（包括三角形）共 A 个，边数大于六的多边形共 B 个，则 A 和 B 谁大，大多少？【分析】边数小于 6 的有 3，4，5，边数大于 6 的有 7，8，9，10，11，12.因为共 12 个点，所以三角形的个数与九边形的个数对应；四边形的个数与八边形的个数对应；五边形的个数与七边形的个数对应.因此 B 大，大的就是十边形，十一边形及十二边形的个数和.101112211

33、21212121212126612179CCCCCC 8.一台晚会上有6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目求：当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【分析】先将 4 个舞蹈节目看成1个节目，与6 个演唱节目一起排，则是 7 个元素全排列的问题，有777!765432 15040A (种)方法第二步再排4 个舞蹈节目，也就是 4 个舞蹈节目全排列的问题，有444!432 124A (种)方法根据乘法原理，一共有504024120960(种)方法 首先将6 个演唱节目排成一列(如下图中的“”)

34、，是6 个元素全排列的问题，一共有666!65432 1720A (种)方法第二步，再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或 2 个演唱节目之间(即上图中“”的位置)，这相当于从7 个“”中选 4 个来排，一共有477654840A(种)方法根据乘法原理，一共有720840604800(种)方法【超常班学案 1】用六种不同的颜色（全用到）染一个正方体，则不同的染色方式共有_种.（旋转后一样的视为一种）【分析】6 种不同的颜色共有 6！种染色，但想将正方体定好，可以先定一个底面及一个侧面，因此超常班学案12第 9 级下超常体系教师版共有 6!3064【超常班学案 2】光明小学甲、乙、丙三个班组织了一次

35、文艺晚会，共演出十四个节目.如果每个班至少演出三个节目，那么，这三个班演出节目数的不同情况共有多少种?【分析】法 1：14可以分解成三个数之和(每个数都大于等于 3)，共有 5 组，3，3，8；4，4，6；4，5，5；3，4，7；3，5，6.其中前3 组，每组的三个数有3种排列方法；后2组，每组的三个数有3 26种排列方法.由加法原理，一共有3 36221 种不同的排列方法.每种排列方法对应三个班演出节目数的一种情况，所以共有 21 种不同的情况.法 2：用插板法.2721C 种【超常班学案 3】2007 的数字和是 9，问:大于 2000 小于 3000 的四位数中数字和等于 9 的数共有多

36、少个？【分析】法 1：大于 2000 小于 3000 的四位数千位数字是 2，则其余三位数字和是 7，因为，百位数字至多是 7，于是根据百位数进行分类：第一类，百位为 7 时，只有 2700 一个；第二类，百位为 6 时，只有 2610,2601 两个；第三类，百位为 5 时，只有 2520,2511,2502 三个；第四类，百位为 4 时，只有 2430,2421,2412,2403 四个；第五类，百位为 3 时，只有 2340,2331,2322,2313,2304 五个；第六类，百位为 2 时，只有 2250,2241,2232,2223,2214,2205 六个；第七类，百位为 1 时

37、，只有 2160,2151,2142,2133,2124,2115,2106 七个；第八类，百位为 0 时，只有 2070,2061,2052,2043,2034,2025,2016,2007 八个；根据加法原理，总计 1+2+3+4+5+6+7+8=36 个法 2：首位为 2，其他三个数位的数字之和为 7，但可以出现 0，因此相当于 7 个球分给 3个人，可以有人不得.根据插板法，答案为27 3 198362 1C 个.【超常班学案 4】如果一个大于 9 的整数，其每个数位上的数字都比它右边数位上的数字小，那么我们称它为“迎春数”那么，小于 2008 的“迎春数”共有个【分析】小于 2008

38、 的“迎春数”，只可能是两位数、三位数和 1000 多的数计算两位“迎春数”的个数，它就等于从 19 这 9 个数字中任意取出 2 个不同的数字，每一种取法对应于一个“迎春数”，即有多少种取法就有多少个“迎春数”所以两位的“迎春数”共有2936C 个同样计算三位数和 1000 多的数中“迎春数”的个数，它们分别有3984C 个和3856C 个所以小于 2008 的自然数中，“迎春数”共有368456176个【超常 123 班学案 1】在 1，2，3，7，8 的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有_种【分析】这 8 个数之间如果有公因子，那么无非是 2 或 38 个数中的 4 个偶数一定不

39、能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插空法”123 班学案13第 9 级下 超常体系教师版第 8 讲即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入但在偶数插入时，还要考虑 3 和 6 相邻的情况奇数的排列一共有 4!24种对任意一种排列 4 个数形成 5 个空位，将 6 插入，可以有符合条件的 3 个位置可以插再在剩下的四个位置中插入 2、4、8，一共有 43224种所以一共有 243241728 种【超常 123 班学案 2】如果自然数 a 的各位数字之和等于 5，那么称 a 为“龙腾数”将所有的“龙腾数”从小到大排成一列，2012 排在这一列数中的第_个【分析】先计算

40、前三位“龙腾数”的个数，相当于不定方程5abc的自然数解(,)a b c 的组数，显然有2721C 组；再计算以 1 开头的四位“龙腾数”的个数，相当于不定方程4abc的自然数解(,)a b c 的组数，显然有2615C 组考虑到 2012 是第二个以 2 开头的四位“龙腾数”，因此答案是 2012 是这一列数中的第 38 个【超常 123 班学案 3】数 3 可以用 4 种方法表示为一个或几个正整数的和，如 3，12，21，1 1 1 问：1999 表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【分析】法 1：相当于 1999 个球分给 1 或 2 或 3 或 4 或或 1999 人，由插板法知

41、共有0121998199819981998199819982CCCC.法 2：我们将 1999 个 1 写成一行，它们之间留有 1998 个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“”号例如对于数 3，上述 4 种和的表达方法对应：1 1 1，1 1 1，1 1 1，1 1 1可见，将 1999 表示成和的形式与填写 1998 个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“”号和不填“”号 2 种可能，因此 1999 可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222个 相乘种【超常 123 班学案 4】有一类各位数字各不相同的五位数 M，它的千位数字比左右两个数字大，

42、十位数字也比左右两位数字大另有一类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两位数字小请问符合要求的数 M 与W，哪一类的个数多？多多少？【分析】M 与W 都是五位数，都有千位和十位与其它数位的大小关系，所以两类数有一定的对应关系比如有一个符合要求的五位数 MABCDE(A 不为 0)，那么就有一个与之相反并对应的五位数(9)(9)(9)(9)(9)ABCDE必属于 W 类，比如13254 为M 类，则与之对应的86745 为W 类所以对于 M 类的每一个数，1n 类都有一个数与之对应但是两类数的个数不是一样多，因为 M 类中0 不能做首位，而W 类中 9 可以做首位所以W 类的数比 M 类的数要多，多的就是首位为 9 的数。设 W 类中首位为 9 时，其他四个数分别为1234aaaa，且1234aaaa，则符合条件的数有132423141423241334129,9,9,9,9a a a aa a a aa a a aa a a aa a a a 5 种。但这 4 个数是从 0-8 中选出的，因此共有495630C 个。