小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第11讲进位制进阶.pdf

1、1第 11 级下超常体系教师版第 11 讲六年级暑期数论中的计数六年级秋季数论中的规律六年级秋季进位制进阶六年级寒假 数论模块综合选讲（一）六年级春季 数论模块综合选讲（二）掌握进位制间的相互转化，利用 n 进制解决数论相关问题漫画释义知识站牌第十一讲进位制进阶第 11 级下超常体系教师版21.掌握进制间的互化，尤其是特殊进制间的简便互化；2.掌握用进位制的思想解决问题；3.探索其他进制下小数的意义二进制在计算机中的运用由于人的双手有十个手指，人类发明了十进位制记数法然而，十进位制和电子计算机却没有天然的联系，所以在计算机的理论和应用中难以畅通无阻究竟为什么十进位制和计算机没有天然的联系？和计

2、算机联系最自然的计数方法又是什么呢？这要从计算机的工作原理说起计算机的运行要靠电流，对于一个电路节点而言，电流通过的状态只有两个：通电和断电计算机信息存储用硬磁盘和软磁盘，对于磁盘上的每一个记录点而言，也只有两个状态：磁化和未磁化近年来用光盘记录信息的做法也越来越普遍，光盘上每一个信息点的物理状态有两个：凹和凸，分别起着聚光和散光的作用由此可见，计算机所使用的各种介质所能表现的都是两种状态，如果要记录十进位制的一位数，至少要有四个记录点（可有十六个信息状态），但此时又有六个信息状态闲置，这势必造成资源和资金的大量浪费因此，十进位制不适合于作为计算机工作的数字进位制那么该用什么样的进位制呢？人们

3、从十进位制的发明中得到启示：既然每种介质都是具有两个状态的，最自然的进位制当然是二进位制二进位制所需要的计数的基本符号只要两个，即 0 和 1可以用 1 表示通电，0 表示断电；或 1表示磁化，0 表示未磁化；或 1 表示凹点，0 表示凸点总之，二进位制的一个数位正好对应计算机介质的一个信息记录点用计算机科学的语言，二进位制的一个数位称为一个比特（bit），8 个比特称为一个字节（byte）那么生活中常用的十进制数在计算机中是怎么用二进制表示呢？一、进制的认识我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于 1 的自然数进位制。比如二进制，八进制，十

4、六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”，因此二进制中只用两个数字 0和 1。二进制的计数单位分别是02、12、22、32、，二进制数也可以写成展开式的形式，例如 100110 在二进制中表示为：54321021001101 202021 21 202 。二进制的运算法则：“满二进一，借一当二”。n 进制：n 进制的运算法则是“逢 n 进一，借一当 n”，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。经典精讲课堂引入教学目标3第 11 级下超常体系教师版第 11 讲二、进制间的转化进制间的转换我们只研究整数之间的转换

5、，如下图所示。十进制向其他进制转换。一个数从十进制向其他进制转换时，方法是统一的，连续除以进制，每步写出余数，最后把余数倒写即可。例如求 1082011则 10820113733 其他进制向十进制转换。一个数从其他进制向十进制转换，方法也是统一的，按照位值原理拆开相加即可。例如求 5101234321051012341 52 53 54 5194 二进制与八进制互相转换二进制向八进制转换时，从个位开始取三位合成一位，缺位处用 0 填补，然后按位值原理分别转换，最后合并即可。例如求 281010100111121117，20011，21015，20102，所以最后结果是82517八进制向二进制转

6、换时，则把每一位按照位值原理都分成三位，最后合并即可。例如求82356123011，25101，26110，21001，所以最后结果是211101110001(4)二进制与十六进制互相转换二进制向十六进制转换时，从个位开始取四位合成一位，缺位处用 0 填补，然后按位值原理分别转换，最后合并即可。十六进制向二进制转换时，则把每一位按照位值原理都分成四位，最后合并即可。三、进制的判断判断一个式子在何种进制下成立，一般依靠以下两个方法：1、数字特征在n 进制下，每个数字都不能大于(1)n，如在八进制下，每个数字都不能大于 7；反过来说，若n 进制下出现 7 这个数字，则n 必定大于 7，起码为八进制

7、2、尾数特征观察这个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果，再对比式子结果的尾数，找出进位进了多少，再推断进制如：等式345236 在什么进制下成立？（1）尾数 4520，而得数的尾数为 6，说明 20614恰好可进若干位因此，进制应为 14第 11 级下超常体系教师版4的因数；（2）式子出现了 6，因此进制必须大于 6，可能为 7 或 14，验算可知七进制时等式成立四、进位制中的“弃(1)n 法”根据位值原理，一个十进制的数21kaa a满足：01212112310101010kkkaa aaaaa10 除以 9 的余数为 1，根据余数加法与乘法原理可知，21123(mod9)kkaa aaa

8、aa这个数与它的各位数字之和模 9 同余这就是我们常说的“弃九法”在了解进制的概念后，我们不难得知，“弃九法”只在十进制下成立相应地，在 n 进制下，012121123()kknkaa aanananann 除以(1)n 的余数为 1，同理有21123()(mod(1)knkaa aaaaan即在 n 进制下，一个数与它的各位数字之和模(1)n 同余如：6(24102)除以 5 的余数与624102(13)除以 5 的余数相等，再次求数字和可知余数为4实际上，我们可以将和为(1)n 倍数的若干个数字划去，通过剩下的数字快速求余数1.(1)请用“二进制”写出前10 个正整数；(2)请用“三进制”

9、写出前10 个正整数；【分析】22222222221,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010；33333333331,2,10,11,12,20,21,22,100,101；2.把21110101（）改写成十进制数【分析】由于所给出的数位数比较多，我们先从低位写起：211101011 1021 40 81 161 321 64 （）210141632111010164117（）（）3.把下列各数转化成十进制数：8463（）；122BA（）；165FC（）【分析】284634 86 83（）4646 83 25648310307（）21222 1211 1210

10、BA（）2881321010430（）知识点回顾5第 11 级下超常体系教师版第 11 讲21655 1615 1612FC（）128024012101532（）4.将1042（）写成二进制数【分析】要将1042（）写成二进制数，参见右式根据除二倒取余数法，即：10242101010（）（）22222101010125100212 425.把9865 转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的【分析】102(9865)(10011010001001)105(9865)(303430)108(9865)(23211)6.计算：2210110110111（）（）；2210110110111（）

11、（）；221011011011（）（）；221010101110011（）（）【分析】列竖式：列竖式：+1000100101111011011011010111101101得：22210110110111=1000100（）（）（）得：22210110110111=10110（）（）（）第 11 级下超常体系教师版6 列竖式：列竖式：1111011111011011011101101101101101101100111001110011101010111001100110得：2221011011011111101111（）（）（）得：22210101011100111001（）（）（）一、n

12、进制的认识例 1：n 进制的计算例 2：n 进制的互化例 3：n 进制的判断二、n 进制的应用例 4：实际问题的应用例 5：挑次品例 6：弃1n 法例 7：n 进制中的数字谜三、n 进制的构造例 8222(101)(1011)(11011)_；2222(11000111(10101(11()）；4710(3021)(605)()；88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)_；若(1030)140n，则n _（学案对应：超常 1）【分析】对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制：222101010102(101)(1011)

13、(11011)(5)(11)(27)(28)(11100)；可转化成十进制来计算：222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000）；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11）进行除法计算，只是每次借位都是 2，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000）；本题涉及到 3 个不同的进位制，应统一到一个进制下统一到十进制比较适宜：32471010103021)(605)(3 4241)(675)(500)(；十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为

14、“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在 n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整 n 原式88888(63121)(1247)(26531)(16034)(1744)8888(63121)(30000)(20000)(13121)；例 1例题思路7第 11 级下超常体系教师版第 11 讲若(1030)140n，则33140nn，经试验可得5n 在 6 进制中有三位数 abc，化为 9 进制为 cba，求这个三位数在十进制中为多少？【分析】26()66366abcabcabc ；29()99819cbacbacba 所以 366819abccba，于是 35380abc因为 35a

15、是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数所以 3b 也必须是 5 的倍数，则b 也是 5 的倍数，所以，0b 或 5若0b ，则3580ac，即716ac；由于(7,16)1，并且a、c 都不为 0，所以16a，7c，但是在 6、9 进制下，不可以有一个数字为 16若5b，则353 580ac ，即73 16ac；考虑两边除以 7 的余数，可知 2c 除以 7余 4，那么c 除以 7 余 2，所以2c 或者 27k(k 为整数)因为有 6 进制，所以不可能有 6或者 6 以上的数，于是2c 那么 3515802a，可得5a 于是266()(552)5 65 62212abc 所以，这个三位数在

16、十进制中为 212【巩固】在 7 进制中有三位数abc，化为 9 进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？【分析】首先还原为十进制：27()77497abcabcabc；29()99819cbacbacba 于是 497819abccba；得到 48802acb，即2440acb因为 24a 是 8 的倍数，40c也是 8 的倍数，所以 b 也应该是 8 的倍数，于是0b 或 8但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字于是0b，2440ac，则35ac所以 a 为 5 的倍数，c 为 3 的倍数所以，0a 或 5，但是，首位不可以是 0，于是5a，3c ；所以77()(503)54932

17、48abc 于是，这个三位数在十进制中为 248算式15342543214是几进制数的乘法？（学案对应：超常 2，带号 1）【分析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520，但是现在为 4，说明进走20416，所以进位制为 16 的约数，可能为 16、8、4 或 2因为原式中有数字 5，所以不可能为 4、2 进位，而在十进制中有1534253835043214，所以在原式中不到 10 就有进位，即进位制小于 10，于是原式为 8 进制在宇宙中有一个使用三进制的星球小招移居到这个星球后更换身份证，要把年龄从十进制数变为三进制数表示小招发现，只要在原来十进制年龄末尾添个“0”，就是

18、三进制下的年龄请问小招多少岁？（学案对应：带号 2）例 4例 3例 2第 11 级下超常体系教师版8【分析】设小招为 a 岁，得(10)(3)0aa，又10(3)(10)030 33aaa，解得0a，不合题意，所以小招的年龄不可能是一位数设小招是 ab岁，由题意得：(10)(3)0abab因为(10)10abab，(3)0930 193ababab ，所以1093abab，即2ab又因为0ab 是三进制数，a，b 都小于 3，所以2a，1b 所以，小招为 21 岁设小招为 abc 岁，由题意有，(10)(3)0abcabc，因为(10)10010abcabc，32(3)03332793abca

19、bcabc ，所以100102793abcabc即 732abc又a、b、c 都小于 3，所以上述等式不成立综上可知小招的年龄是 21 岁小马虎有 10 箱钢珠，每个钢珠重 10 克，每箱 600 个但这 10 箱钢珠中不小心混进了 1 箱次品，次品钢珠每个重 9 克，那么，要找出这箱次品最少要称几次？小马虎装了 10 箱零件但他没有注意自己的马虎性格，混进了几箱次品进去，已知每件零件重10 克，次品比标准品轻 1 克，聪明的你能不能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来么？（每箱的零件足够多）小马虎装零件又出错了！这次他虽然只装 6 箱零件，却把次品、不及格品各混了几箱进去已知标准零件重 1

20、0 克，每个次品比标准重 1 克，不及格品比标准轻 1 克这次还能不能只称量一次就能把装有次品、不及格品的箱子分辨出来？小马虎怕再次出错，于是找来了朋友小迷糊帮忙，结果反而把零件搞得更乱了！这次 6 箱零件中混进了次品、不及格品每个标准零件重 10 克，每个次品比标准重 1 克，不及格品比标准轻 0.5 克小马虎想照搬上次的方法却失败了！请你再为他想一个好方法将箱子分辨出来！【分析】将 10 箱钢珠分别编为 110 号，然后从 1 号箱中取 1 个钢珠，从 2 号箱中取 2 个钢珠，这样共取了12345678910=55 （个）钢珠，重量是：55 10=550（克），二进制与八卦二进制是德国数

21、学家莱布尼茨（Leibniz，16461716）最早明确提出的在他发明了系统的二进制后，他收到了曾在中国工作过的传教士寄的伏羲六十四卦次序图与伏羲六十四卦方位图看到这两幅图后，莱布尼茨对“八卦”大加赞赏，并对创造“八卦”的伏羲氏十分敬佩，对易经给予了非常高的评价原来，在莱布尼茨的二进制中，通过 0 与 1 引申，就可以表示一切数字，如 000，001，010，011，100 分别代表 0-4 这几个数字而在易经八卦中，通过阴阳引申，就可以表示宇宙万有的原理如果把阴爻看作 0，把阳爻看作 1，所有的卦象于是也就可以看成 0 和 1 的组合比如坤卦就是 000000，乾卦就是 111111，大有卦

22、就是 111101 等等伏羲图的六十四个卦象，也正好可以看作二进制算术从 0 到 63 的数字例 59第 11 级下超常体系教师版第 11 讲如果轻了 n（110n）克，那么第几号箱就是次品在这个方法中，第 10 号箱也可不取，这样共取出 45 个钢珠，如果重 450 克，那么 10 号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品总结：不同的进制数与十进制数的对应关系，即：每个十进制数都能表示成一个相应的二进制数，反之，也是我们用二进制的思想解决这一问题将 10 箱钢珠分别编为 110 号，从 1 号箱中取 1 个钢珠，从 2 号箱中取 2 个钢珠，从 3 号箱中取 4 个钢珠，从 4 号箱中取 8

23、个钢珠从10 号箱中取 512 个钢珠，即每箱分别取2(1)、2(10)、2(100)、2(1000)2(1000000000)个钢珠若全是标准品，重量和应为(123512)1010230（克）实际重量比 10230轻了 n 克，是因为有某几箱的每个零件都轻了 1 克因此只需看 n 是由1，2，4，8，16，512中的哪些数字组成，即看 n 的二进制表示中哪几位为 1 即可如实际重量和为 9956 克，2102309956274(0100010010)（补上第 10 位的 0），即第 2、5、9 箱为次品现在零件 3 种状态，分别为标准、次品、不及格品，因此我们构造三进制区分三种状态每箱分别取

24、零件3(1)、3(10)、3(100)、3(100000)，即 1、3、9、243 个这次我们假设全是次品，那么重量和应为(139243)114004（克）实际重量比 4004 轻了 n 克，是因为有某几箱的每个零件轻了 1 或 2 克因此只需看 n 是由 1，3，9，243中的哪些数字组成，即看 n 的三进制表示中哪几位为 1 或 2 即可其中 1 表示比次品轻 1克，即标准品；2 表示比次品轻 2 克，即不及格品如实际重量和为 3580 克，340043580424(120201)，即第 1、6 箱为标准品；第 2、4箱为次品；第 3、5 箱为不及格品题目中的 0.5 克不好处理但我们可以

25、假设每两个零件可以拼成一个大零件，那么题目可变为：每个次品比标准重 2 克，每个不及格品比标准轻 1 克现在零件也有 3 种状态，若将标准重量看作 1，那么次品、不及格品重量分别为 0、3，由于有 3 的存在，因此我们需要构造四进制才可区分三种状态与上题类似，每箱分别取零件4(1)、4(10)、4(100)、4(100000)，即 1、4、16、1024 个，假设全是次品，和应为(14161024)1115015（克）实际重量比 15015轻了 n 克，是因为有某几箱的每个零件轻了1或1.5 克因此只需看2n 是由 1、4、16、1024 的那些数字组成，即看2n 的四进制表示中哪几位为 2

26、或 3 即可其中 2 表示比每两个零件比次品轻 2 克，即标准品；3 表示每两个零件比次品轻 3 克，即不及格品如实际重量和为 13198 克，15015131981817，4181723634(320302)，即第 1、5箱为标准品，第 2、4 箱为次品、第 3、6 箱为不及格品已知正整数 N 的八进制表示为8(12345654321)N，那么在十进制下，N 除以 7 的余数与 N 除以 9 的余数之和是（学案对应：超常 3，带号 3）【分析】与十进制相类似，有：288(12345654321)(111111)根据 8 进制的弃 7 法，8(111111)被 7 除的余数等于其各位数字之和，

27、为 6，而2636除以7 的余数为 1，所以8(111111)的平方被 7 除余 1，即8(12345654321)除以 7 的余数为 1；另外，89(11)，显然8(111111)能被8(11)整除，所以其平方也能被8(11)整除，即8(12345654321)除以 9 的余数为 0例 6第 11 级下超常体系教师版1因此两个余数之和为101【巩固】在十六进制中，一个多位数的数字和为十进制中的 243，求这个多位数除以 15 的余数为多少？【分析】类似于十进制中的“弃九法”，十六进制中应用“弃十五法”，243 15163，因此余数为3下面是一个八进制下的数字谜，其中七个不同的汉字代表 07

28、中的七个不同数字请问哪一个数字没有出现在数字谜中？请你找出这个数字，并尝试用其他数字填写出一种答案+2012八进 制十 分 有 趣【分析】八进制下可以使用“弃七法”，得数除以 7 余 5，因此七个汉字的数字和除以 7 也余 5，没有用上的数字为2 除 2 外的七个数字之和为26，26521 2173，因此式子进了三次位，三个数位的运算结果依次应为7、8、10，不难填出其中一个答案：6501734+2012计算2003(21)除以 7 的余数（学案对应：超常 4，带号 4）【分析】由于328除以 7 余 1，而200336672，所以200321 除以 7 的余数为2213 本题也可以转化为 2

29、 进制进行计算：200322003121(1111)个，27(111)，所以20032220031(21)7(1111)(111)个而 200336672，所以2220031(1111)(111)个余2(11)3 所以2003(21)除以 7 的余数为 3例 7例 81第 11 级下超常体系教师版第 11 讲答案：断开第三环，从而得到 1，2，4 环的三段，第一个月拿走一环，第二个月以一换二，第三个月取一环，第四个月以三换四，第五个月再取一环，第六个月以一换二，第七个月再取一环1.（1）将二进制小数2(101001.101)化为十进制小数（2）将32.64转化为五进制小数（3）将0.8 转化为

30、二进制小数【分析】（1）211(101001.101)11 1 18 132 141.62582 （2）整数部分：105(32)(112)；小数部分 0.6453.23 ，0.2511 所以这个数是532.64(112.31)（3）0.821.610.621.210.220.400.420.80每四位一次循环，因此102(0.8)=1100（0.）2.小招移居到新星球前，曾被食人族抓到他们的部落但是小招表演了一个数学游戏后，大家都感叹小招的聪明才智，最后留下了小招帮忙发展部落当时小招对食人族首领说：“我手上有 10 张卡片，每张卡片上写了一个数字1000 以内的任何数，我都可以用其中若干张的和

31、表示出这个数”接着他把这些数字卡片从小到大排列起来，让食人族首领随便挑一个数首领想了想，说“962！”小招马上翻开第二、七、八、九、十张卡片，这 5 张卡片的和果然是 962！这些卡片上的数字分别是多少？你能解释其中的道理吗？【分析】这些数是 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512由于2222221(1),2(10),4(100)8(1000),16(10000),32(100000)观察发现，这些数字与二进制中的222222(1),(10),(100),(1000),(10000),(100000)对应，其他的数字都可以用这些二进制相加得来老师可以在黑板上给学生列竖式演示此

32、道理，说明取 1，2，4，8，16，32，64，128，256，有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付可是不付又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有 7 环对长工说：“我不是要拖欠工资，只是想连这一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本人说话，从不食言，可以请大老爷作证”大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分文不取，并会以命相拼也要兑现的这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的一环三个月的工钱也不止老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提到一项附加条件，就是这

33、样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！”当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月，顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？附加题第 11 级下超常体系教师版1512 的道理3.将 6 个灯泡排成一行，用和表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5那么表示的数是_54321 【分析】从图中数字 1、2、4 的表示可知：自右向左第一个灯亮表示 1，第二个灯亮表示 2，第三个灯亮表示 4，第四个灯亮表示 8，第五个灯亮表示 16，第六个灯亮表示 32因此问题当中的表示168226 4.

34、智能文具公司用以下方式计算原子笔：12 支原子笔算为1打，12 打原子笔算为1箩，用记号8 116代表6 箩11打又 8 支原子笔。请问 3 710与 6 83相差多少支原子笔？【分析】本题实际上是一个十二进制计算问题，我们可以将其转化为十进制数计算问题来做，相差的原子笔支数是(103)12 12(87)12(63)993支。5.10 个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为_克【分析】由于无论怎样放都不能使天平平衡，首先可以知道这 10 个砝码的重量各不相同最轻的那个砝码至少为 1 克，次轻的至少为 2 克，由于123，接下来的至少为 4 克，由此想到

35、我们熟悉的 2 的次幂，当 10 个砝码的重量分别为 1 克，2 克，4 克，8 克，16 克，512 克时满足题意，所以这堆砝码的总重量至少为12485121023 克6.N 是整数，它的 b 进制表示是 777，求最小的正整数b，使得 N 是十进制整数的四次方【分析】设b 是所求的最小正整数，24777bbxxN，因为质数 7 能整除2777bb，所以也能整除x，不妨设7xm，m 是大于 0 的自然数则：427777bbm，化简得：23417bbm，易知，b 的值随m 的增大而增大，当1m 时，18b 一、进制的判断1、数字特征：n 进制下每个数字不超过(1)n 2、尾数特征：进位部分的因

36、数二、进位制中的“弃(1)n 法”在 n 进制下，一个数与它的各位数字之和模(1)n 同余实际上，我们可以将和为(1)n 倍数的若干个数字划去，通过剩下的数字快速求余数知识点总结1第 11 级下超常体系教师版第 11 讲1.852567(）；在八进制中，1234456322 _；在九进制中，1443831237120117705766 _【分析】本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111）；原式1234(456322)12341000234；原式14438(31235766)(712011770)14438100002000044382.一个三位数 abc，它

37、的八进制形式恰好为8(1)cba，请问这个三位数是多少？【分析】根据位值原理可知，10010512648abccba，整理得9(117)2(256)acb因此256b必是 9 的倍数，4b 代入得11756ac，即117(8)ac，因此必8c 是 11的倍数，3c，最后计算除7a 这个三位数是 7433.在几进制中有125 12516324？【分析】注意101010(125)(125)(15625)，因为1562516324，所以一定是不到 10 就已经进位，才能得到 16324，所以10n 再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)，而 16324 的末位为 4，于是 25421进到上

38、一位所以说进位制 n 为 21 的约数，又小于 10，也就是可能为 7 或 3因为出现了 6，所以 n 只能是 74.用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果5()ade，5()adc，5()aab是由小到大排列的连续正整数，那么5()cde所表示的整数写成十进制的表示是多少？【分析】注意555()(1)()adcaab，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则0b，而555(10)(1)(4)c，则4c 而555()(1)()adeadc，所以1ec ，则3e 又1da，所以1d ，2a 那么，5()cde为25(413)4 51 53108 即5()cde所表示的整

39、数写成十进制的表示是 1085.皮卡丘是口袋妖怪中很高人气的精灵另一种精灵百变怪很羡慕皮卡丘的人气，因此也将自己变成皮卡丘的形象现在有四群精灵，外貌都长得与皮卡丘相同，但实际上其中有几群全是百变怪只有将它们捕捉带回研究所才能分辩是哪种精灵请问应如何捕捉，才能一次分辩出这四个群体中哪一个是百变怪群体？【分析】我们用二进制的思想解决这一问题将 4 个群体分别编为 14 号，分别捕捉 1、2、4、8只精灵，即取2(1)、2(10)、2(100)、2(1000)若实际有 n 只百变怪，只需观察 n 是由 1，2，4，8 中的哪些数字组成，即看n 的二进制表示中哪几位为 1 即可 如 5 只百变怪，51

40、4，即 1 号群体和 4 号群体是百变怪群体6.在 8 进制中，一个多位数的数字和为十进制中的 68，求这个多位数除以 7 的余数为多少？【分析】类似于十进制中的“弃九法”，8 进制中也有“弃 7 法”，也就是说 8 进制中一个数除以 7 的余数等于这个数的各位数字之和除以 7 的余数家庭作业第 11 级下超常体系教师版1本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为 68，而 68 除以 7 的余数为 5，所以这个数除以 7 的余数也为 57.下面是一个九进制下的数字谜，其中三个加数由 08 中的九个不同数字组成请问哪一个数字没有出现在数字谜中？请你找出这个数字，其中由“我爱数学”组成的最大四位数

41、是多少+32013我爱数学九进制【分析】九进制下可以使用“弃八法”，得数除以 8 余 6，因此三个加数的数字和除以 8 也余 6，而1+2+3+8=36，因此没有用上的数字为 630(213)83，因此式子进了三次位，进而得到：“九”=1，“爱+进”=8，（只有 088符合），“数+制”=“我+学”=9（27459），因此“我爱数学”最大为 7852.8.试求2006(21)除以 992 的余数是多少？【分析】注意到被除数与 2 的次幂有关，所以，可以通过 2 进制来解决先将被除数和除数都转化成 2 进制：200622006121(1111)个，2992(1111100000)在2进 制 中

42、25150(111110000)个个或以上一 定 能 被2(1111100000)整除，于是25150(11110000)k个个或以上也能被2(1111100000)整除，因为222200612000160(1111)(11110000)(111111)个个个，且22000160(11110000)个个能被2(1111100000)整除，所以220061(1111)个除以2(1111100000)的余数为2(111111)将2(111111)转化为 10 进制：543212(111111)22222163，所以2006(21)除以 992的余数是 63【超常班学案1】将二进制数 1110100

43、11011 转换为十六进制数【分析】在转换为高于 9 进制的数时，遇到大于 9 的数用字母代替，如：A 代表 10、B 代表 11、C代表 12、D 代表 13根据取四合一法，二进制 111010011011 转换为十六进制为9.E B【超常班学案2】在几进制中有 4 13100？【分析】利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)，由于式中为 100，尾数为 0，也就是说已经将 12 全部进到上一位所以说进位制 n 为 12 的约数，也就是 12，6，4，3，2 中的一个但是式子中出现了 4，所以 n 要比 4 大，不可能是 4，3，2 进制另外，由于101010(4)(

44、13)(52)，因为52100，也就是说不到 10 就已经进位，才能是 100，于是知道10n，那么 n 不能是 12所以，n 只能是 6超常班学案1第 11 级下超常体系教师版第 11 讲【超常班学案3】算式14265253641215566在八进制下是否正确？能不能快速验证呢？【分析】我们可以用“弃七法”求各数除以7 的余数，再利用余数定理验证在八进制下，14265 除以7 余4，2536 除以 7 余2 根据余数定理，得数应与 428除以7 的余数相等，即1，而41215566 除以7 余2，因此式子在八进制下不正确【超常班学案4】如果 21n 能被 31 整除，那么自然数 n 应满足什

45、么条件？【分析】要使2n 除以 31 余 1，由于02、12、22、32、42、52 除以 31 的余数分别为 1、2、4、8、16、1，每 5 个一循环，当 n 是 5 的倍数时 2n 除以 31 余 1，所以 n 应满足的条件是能被 5 整除另解：本题也可以从二进制进行考虑由于(2)3111111，(2)2100000000n(n 个 0)，(2(2)21100000000111111n (n 个 1)，要 使 21n 能 被 31 整 除，就需 要使(2)11111(n 个 1)能被(2)11111整除，也就是要使 n 能被 5 整除【123班学案1】算式 21431050 在几进制下成

46、立？【分析】观察尾数4312，得数尾数为 0，即 12 全部进位，因此这个进制应是 12 的因数又因为出现了数字 5，因此是六或十二进制，验算可知六进制下等式成立【123班学案2】在美洲的一个小镇中，对于 200 以下的数字读法都是采取 20 进制的如果十进制中的 147 在 20 进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的 49 在 20 进制中的读音是“nawha dew ugens”，那么 20 进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数【分析】102014777（）（），10204929（）（），所以 ha 代表十位，ugens

47、 代表个位，dew 代表 9，naw 代表 2201092（）=（182），所以答案是 182【123班学案3】一个自然数在四进制表示当中的各位数字之和是 5，在五进制表示当中的各位数字之和是 4，那么这个自然数除以 3 的余数是，满足要求的最小自然数是(用十进制表示)【分析】在十进制中，一个数除以 9 的余数等于它的各位数字之和除以 9 的余数，类似地，在四进制中，一个数除以 3 的余数等于这个数的各位数字之和除以 3 的余数本题中，这个数在四进制表示当中的各位数字之和是 5，5 除以 3 的余数为 2，所以这个自然数除以 3 的余数是 2；在五进制表示当中的各位数字之和是 4，那么除以 4

48、 的余数为 0，也就是这个自然数除以 3余 2，除以 4 余 0，满足这两个条件的数为 8，20，32，44，56，要求满足条件的最小自然数，可以将上面数列中的数从小到大依次进行检验，即分别化成四进制和五进制，看在这两种情况下的数字和是否分别为 5 和 4，如果是则满足条件，如果不是则检验下一个由于48(20)，不满足；420(110)，不满足；432(200)，不满足；4544(230)(134)，不满足；4556(320)(211)，满足条件，所以满足要求的最小自然数是 56123 班学案第 11 级下超常体系教师版1【123班学案4】计算2003(31)除以 26 的余数【分析】题中有3的次幂，令人联想到将题中的数转化成 3 进制下的数再进行计算20033332003200331(1000.0)(1)(2222)个2个0，而326(222)，所以，2003332003(31)26(2222)(222)个2由于3(222)整除3(222)，200336672，所以332003(2222)(222)个2余3(22)8 所以2003(31)除以 26 的余数为 8