福建省2022届高三数学三模试题（PDF版带解析）.pdf

1、120212022 学年福州第一中学高三校质检数 学 试 题（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）第 卷一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 M，N 是 R 的子集，且 MN，则 M(N)R A MB NC D R2.6(2)xy的展开式中，24x y 项的系数是A 30B 30C 60D 603.若3sin5 ，且3(,)2，则1tan 21tan 2A 12B12C 2D 24.以下四组向量在同一平面的是A(1,1,0)，(0,1,1)，(1,0,1)B(3,0,0)，(1,1,2)，(2,2,4)

2、C(1,2,3)，(1,3,2)，(2,3,1)D(1,0,0)，(0,0,2)，(0,3,0)5.已知函数 2ln(1)cos()fxxxx.则当0,时，()f x 的图象不可能是6.已知函数 sin(0,0)2f xx的图象过点1(0,)2P，现将()yf x的图象向左平移 3个单位长度得到的函数图象也过点 P，则A.的最小值为 2B.的最小值为 6C.的最大值为 2D.的最大值为 67.已知 AB，CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且 ABCD1O，O 分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥 ABCD的体积为18，则该圆柱的侧面积为A 9B12C16D18D.

3、C.B.A.28.数学赋予建筑美感与活力，许多建筑融入数学元素，更具神韵.图（1）是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成的立体图形）型建筑.图（2）是其最细处的部分截面图象，上、下底面与地面平行.现测得下底直径20 10AB 米，上底直径20 2CD 米，AB 与CD 间的距离为80 米，与上下底面等距离的 E 点处的直径等于CD，则该建筑最细处的直径为A10B 20C10 3D10 5二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9设复数1(2izaaR)，当 a 变化时，

4、下列结论正确的是A|=|zz 恒成立B z 可能是纯虚数C1zz可能是实数D|z 的最大值为 1210.某人投掷骰子 5 次，由于记录遗失，只有数据平均数为 3 和方差不超过 1，则这 5 次点数中可能出现的结果是A众数为 3B中位数为 2C极差为 2D最大点数为 511.已知曲线 C 是平面内到定点(0,1)F和定直线:1l y 的距离之和等于 4 的点的轨迹，若00(,)P xy在曲线 C 上，则下列结论正确的是A曲线 C 关于 x 轴对称B曲线 C 关于 y 轴对称C022x D14PF12.已知函数1()lnf xxxx，则下列结论正确的是A()f x 为偶函数B()f x 有且仅有两

5、个零点C()f x 既无最大值，也无最小值D若120 x x 且12()()0f xf x，则121x x 图（1）图（2）3第卷三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上13已知等比数列 na的前 n 项和为nS，11a ，528aa，若31nS，则 n.14.过点(2,3)M的直线与22:(3)16Cxye交于 A，B 两点，当 M 为线段 AB 中点时，CA CBuur uur.15.产品质量检验过程主要包括进货检验（IQC），生产过程检验（IPQC），出货检验（OQC）三个环节.已知某产品 IQC 单独通过率为 34，IPQC 单独通过率为(01

6、)pp，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入 OQC 的概率为 56，则 p.16.在三棱锥 PABC中，AP 平面 PBC，PBPC，24PAPCPB，则三棱锥PABC外 接 球 的表 面 积 为；若 动 点 M 在 该 三 棱锥 外 接 球 上，且MPBMPC，则点 M 的轨迹长为.（第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本题满分10分）已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，

7、c，sinsin2ABbcB.（1）求角 C；（2）若 AB 边上的高线长为 2 3，求ABC面积的最小值.18.（本题满分 12 分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐.某车企调查了近期购车的 200 位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据：购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计男性8020100女性6535100总计14555200（1）根据表中数据，判断能否有 95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；4（2）已知该车企某汽车销售服务 4S 店现有 5 种款式不

8、同的汽车在销售，每种款式的汽车均有新能源和传统燃油两种类型各 1 辆.假设某单位从这 10 辆汽车中随机购买 4 辆汽车，设其中款式相同的汽车的对数为，求 的分布列与数学期望.附：22n adbcKabcdacbd，nabcd .20P Kk0.100.050.0250.0100k2.7063.8415.0246.63519.（本题满分 12 分）已知空间几何体 ABCDE 中，ABE与BCD是全等的正三角形，平面 ABE 平面 ABC，平面 BCD 平面 ABC.（1）求证：AC DE；（2）若 ABBC，求直线 BD 与平面 ADE 所成角的正弦值.20.（本题满分 12 分）设数列 na

9、的前 n 项和为nS，10a，21a ，11(21)(1)10(2)nnnnSnSnSn.（1）证明：na为等差数列；（2）设2 nanb，在nb 和1nb 之间插入 n 个数，使这2n 个数构成公差为nd 的等差数列，求1nd的前 n 项和.21.（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点为(2,0)A，离心率为32.（1）求 C 的方程；（2）设斜率为1的直线l 与 C 交于 P，Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为 M，若PQM的外接圆恰过坐标原点，求直线 l 的方程.22.（本题满分 12 分）已知函数()sin1xf xeax 在区间(0,)2 内有唯一极

10、值点1x.（1）求实数 a 的取值范围；（2）证明：()f x 在区间(0,)内有唯一零点2x，且212xx.20212022 学年福州第一中学高三校质检数 学 答 案 与 评 分 标 准一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12345678CCDBDADB二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9101112ABDACBDBCD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案

11、填在题中的横线上13.514.815.2316.3634；四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解：（1）由已知 ABC，所以 sinsincos222ABCCbbb，1 分所以 cossin2CbcB，由正弦定理得 sincossinsin2CBCB，2 分显然 sin0B，则 cossin2CC，3 分则 cos2sincos222CCC，4 分因为 cos02C，所以1sin 22C，因为 022C，所以 26C，则3C.5 分（2）由112 3sin22ABCScabC，得4abc，7 分由余弦定理2222coscababC，得2222

12、cababababab，8 分即24cc，得4c，当且仅当4abc取等，9 分此时ABC面积的最小值为 4 3.10 分18.（1）依题意可得22200(80356520)18005.6433.841145 55 100 100319K，3 分所以有 95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关.5 分（2）的可能取值有 0，1，2，6 分则44541028(0)21CPC，7 分1225441024(1)7C CPC，8 分254101(2)21CPC，9 分所以 的分布列为012P82147121 10 分所以8412()012.217213E 12 分19.（1）证明：设 M，N 分别为

13、边 AB，边 BC 的中点，连接 EM，DN，因为ABE为等边三角形，所以 EMAB，1 分因为平面 ABE 平面 ABC，且平面 ABE I 平面 ABCAB，所以 EM 平面 ABC，2 分同理可证 DN 平面 ABC，所以 EM DN，3 分因为ABE与BCD是全等的正三角形，所以 EMDN，所以四边形 EMND 为平行四边形，4 分所以 DE MN，因为 MN 为ABC的中位线，所以 MN AC，所以 AC DE.5 分（2）因为 ABBC，以 B 为坐标原点，BCuuur方向为 x 轴，BAuur方向为 y 轴，MEuuur方向为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.6 分设2AB，

14、则(0,0,0)B，(0,2,0)A，(1,0,3)D，(0,1,3)E，.7 分所以(1,2,3)AD uuur，(1,1,0)DE uuur，设平面 ADE 的法向量为(,)mx y zur，则00AD mDE muuur uruuur ur，所以2300 xyzxy ，取(3,3,3)m ur，9 分(1,0,3)BD uuur，设直线 BD 与平面 ADE 所成角为，则621sincos,7421BD mBD mBDm uuur uruuuruuurur，11 分所以直线 BD 与平面 ADE 所成角的正弦值为21.7 12 分20.（1）证明：因为2n 时，11(21)(1)10nn

15、nnSnSnS，则11()(1)()10nnnnn SSnSS，即1(1)10,2nnnanan ，2 分因为21210aa，3 分则*1(1)10,nnnananN ，所以1(1)10,2nnnanan，则得1120,2nnnnananan，即112,2nnnaaan，5 分所以 na为等差数列.6 分（2）na的首项为10a，公差为211aa，所以1nan，所以12nnb，7 分所以111222111nnnnnnbbdnnn，则1112nnnd，8 分记1nd的前 n 项和为nT，则012111112()3()4()(1)()2222nnTn ，所以12311111112()3()4()(

16、)(1)()222222nnnTnn ，9 分则得21111112()()()(1)()22222nnnTn ，10 分所以11()11121(1)()3(3)()122212nnnnTnn，11 分所以116(3)()2nnTn.12 分21.解：（1）依题意2222,3,2.acaabc 2 分解得21ab，3 分所以椭圆 C 的标准方程为221.4xy 4 分（2）设 l 的方程为 yxm，设11(,)P x y，22(,)Q xy，则11(,)M xy.由22,1.4yxmxy消去 y 得，2258440 xmxm，依题意226420(44)0mm，即55m，5 分所以12212854

17、45mxxmx x，6 分所以1212822255mmyyxxmm，所以线段 PQ 的中点坐标为4(,)55m m，所以线段 PQ 的中垂线方程为4()55mmyx，即35myx ，7 分依题意，线段 PQ 的中垂线与 x 轴的交点3(,0)5mE 即为PQM外接圆的圆心，点 E 到直线 l 的距离为25md，22221212816(1)4 22()42()5555mmPQxxx xm，8 分设PQM外接圆的半径为 r，则222()2PQrd240625m，9 分所以PQM外接圆的方程为2223406()525mmxy，10 分因为PQM外接圆恰过原点(0,0)O，所以223406()525m

18、m，解得2 63m ，11 分所以直线 l 的方程为2 63yx.12 分22.解：（1）()cosxfxeax，1 分(0,)2x时，cos(0,1)x，21xee，当1a 时，()0fx，()f x 在(0,)2 上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去.2 分当1a 时，显然()fx在(0,)2 上递增，又因为(0)10fa，2()02fe，所以()fx在(0,)2 上有唯一零点1x，所以1(0,)xx，()0fx；1(,)2xx，()0fx，所以()f x 在(0,)2 上有唯一极值点，符合题意.3 分综上，(1,)a.4 分（2）由（1）知1a ，所以,2x 时，()cos0 xfxe

19、ax，5 分所以1(0,)xx，()0fx，()f x 单调递减；1(,)xx，()0fx，()f x 单调递增，所以1(0,)xx时，()(0)0f xf，6 分则1()0f x，又因为()10fe ，7 分所以()f x 在1(,)x 上有唯一零点2x，即()f x 在(0,)上有唯一零点2x.8 分因为11221111(2)sin 212 sincos1xxfxeaxeaxx，由（1）知1()0fx，所以11cosxeax，则11211(2)2sin1xxfxeex，构造2()2sin1,(0,)2ttp teett，9 分所以2()22(sincos)2(sincos)ttttp teette ett，记()sincos,(0,)2ttett t，则()cossinttett，显然()t在(0,)2 上单调递增，所以()(0)0t，所以()t在(0,)2 上单调递增，所以()(0)0t，所以()0p t，所以()p t 在(0,)2 上单调递增，所以()(0)0p tp，所以12(2)0()fxf x，11 分由前面讨论可知：112xx，12xx，且()f x 在1(,)xx 单调递增，所以122.xx 12 分