【新结构19题模式】2024届雅礼中学高三一模数学试卷 答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司雅礼中学 2024 届高三一模数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合1,2,4,6,8U=，集合2320,4,Mx xxNx xa aM=+=，则()U MN=（）A.6 B.4,6,8 C.1,2,

2、4,8 D.1,2,4,6,8 2.设复数 z 满足1i1zz+=，则 z=（）A.i B.22 C.1 D.2 3.已知,m n 表示两条不同直线，表示平面，则（）A.若m,n ，则m n B.若,mn，则mn C.若,mmn，则n D.若m,mn，则n 4.已知向量()234log 3,sin,log 8,3abm=，若ab，则m=（）A.2 3 B.3 C.2 3 D.3 2 5.函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x -2-1 0 1 2 3 5()f x 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 学科网（北京）股份有限公司A.()xf xkab=

3、+B.()exf xkxb=+C.()f xk xb=+D.()2(1)f xk xb=+6.甲箱中有 2 个白球和 4 个黑球，乙箱中有 4 个白球和 2 个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以12,A A 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以 B 表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A.12,A A 互斥 B.()157P B A=C.()217P A B=D.()1321P B=7.已知等差数列 na（公差不为 0）和等差数列 nb的前n 项和分别为,nnS T，如果关于 x 的实系数方程21003100310030 xSxT+=有实数解，那么

4、以下 1003 个方程()201,2,1003iixa xbi+=中，有实数解的方程至少有（）个 A.499 B.500 C.501 D.502 8.双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左右焦点分别是12,F F，离心率为62，点()11,P x y是C 的右支上异于顶点的一点，过2F 作12F PF的平分线的垂线，垂足是 M，2MO=，若C 上一点T 满足125FT F T=，则T 到C 的两条渐近线距离之和为（）A.2 2 B.2 3 C.2 5 D.2 6二多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部

5、分选对的得部分分，有选错的得 0 分）9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉 12 和 45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）A.中位数不变 B.平均数不变 C.方差不变 D.第 40 百分位数不变 10.已知函数()sin3cos(0)f xxx=+满足：22,063ff=，则（）A.曲线()yf x=关于直线76x=对称 B.函数3yfx=是奇函数 学科网（北京）股份有限公司C.函数()yf x=在 7,66单调递减 D.函数()yf x=的值域为2,2 11.如图所示，有一个棱长为 4 的正四面体 PABC容器，D 是 PB 的中点，

6、E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.直线 AE 与 PB 所成的角为 2 B.ABE的周长最小值为434+C.如果在这个容器中放入 1 个小球（全部进入），则小球半径的最大值为63 D.如果在这个容器中放入 4 个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 2 625三填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）12.在二项式()6112xxx+的展开式中，常数项为_.13.已知圆锥的母线长为 2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时_，圆锥的体积最大，最大值为_.14.对于任意两个正实数,a b，定义aabb=，其中常数2,12.若0uv，且uv与vu都是集

7、合,2nx xn=Z的元素，则uv=_.四解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）15.（13 分）已知函数()3f xxaxa=+.（1）若1x=是函数()f x 的极值点，求()f x 在()()1,1f处的切线方程.（2）若0a，求()f x 在区间0,2 上最大值.学科网（北京）股份有限公司16.（15 分）如图，在平行六面体1111ABCDA B C D中，11,90ABADAADAB=，1121cos,cos,22AA ABAA AD=，点 M 为 BD 中点.（1）证明：1B M 平面11AC D；（2）求二面角1BAAD的正弦值.17.（

8、15 分）一个袋子中有 10 个大小相同的球，其中红球 7 个，黑球 3 个.每次从袋中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回.（1）求第 2 次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P；第 1 次摸到红球的概率为2P；在第 1 次摸到红球的条件下，第 2次摸到红球的概率为3P；在第 1，2 次都摸到红球的条件下，第 3 次摸到红球的概率为4P.求1234,P P P P；（3）对于事件,A B C，当()0P AB 时，写出()()()(),P AP B AP C ABP ABC的等量关系式，并加以证明.18.（17 分）己知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率

9、为 12，且点31,2在椭圆上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若一条斜率不为 0 的直线过点()1,0与椭圆交于,M N 两点，椭圆C 的左右顶点分别为,A B，直线 BN 的斜率为1k，直线 AM 的斜率为2k，求证：221212kkk k+为定值.学科网（北京）股份有限公司19.（17 分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为 m 的倍数，称m 为 a 的约数.设正整数a 共有k 个正约数，即为()12112,kkka aaaaaa.（1）当4k=时，若正整数a 的 k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值

10、；（2）当4k 时，若21321,kkaa aaaa 构成等比数列，求正整数a；（3）记12231kkAa aa aaa=+，求证：2Aa时，由函数()f x 的数据可知，函数()f x 增长越来越快，可排除 C.故选：A.6.C 【解析】因为每次只取一球，故12,A A 是互斥的事件，故 A 正确；由题意得()113P A=，()()()()()211225152413,37373721P AP B AP BP A BP A B=+=+=，故 B，D 均正确；因为()22483721P A B=，故 C 错误.故选 C.7.D 【解析】由题意得：2100310034 10030ST ，其中(

11、)110031003502100310032aaSa+=，()110031003502100310032bbTb+=，代入上式得：250250240ab，要方程()201,2,3,1003iixa xbi+=无实数解，则240iiab，显然第 502 个方程有解.设方程2110 xa xb+=与方程2100310030 xaxb+=的判别式分别为11003,，则()()()22221100311100310031100311003444ababaabb+=+=+()()()2211003502250250250250224 28240,22aaabbab+=等号成立的条件是11003aa=，所

12、以110030,0至多一个成立，学科网（北京）股份有限公司同理可证：210020,0至多一个成立，5015030,0，故22 23uS=，即距离之和为2 2.故选 A.9.AD 【解析】将原数据按从小到大的顺序排列为 12，16，22，24，25，31，33，35，45，其 中位数为 25，平均数是()12 1622242531 333545927+=，方差是2222222221824(15)(11)(5)(3)(2)4681899+=，由40%93.6=，得原数据的第40 百分位数是第 4 个数 24.将原数据去掉 12 和 45，得 16,22,24,25,31,33,35，其中位数为 2

13、5，平均数是()1861622242531 333577+=，方差是222222217432181131455919167777777749+=，由40%72.8=，得新数据的第 40 百分位数是第 3 个数 24，故中位数和第 40 百分位数不变，平均数与方差改变，故,A D 正确，,B C 错误.故选：AD.10.ABD 【解析】()2sin3f xx=+，所以函数()yf x=的值域为2,2，故D 正确；学科网（北京）股份有限公司因为203f =，所以112,33kkZ+=，所以1131,2kkZ=，因为26f =，所以222,632kkZ+=+，所以22121,kkZ=+，所以1231

14、1212kk=+，即1281kk=+，所以1,13,25,37 ，因为()227732sin1212sin 1426632fkk=+=+=，所以曲线()yf x=关于直线76x=对称，故 A 正确；因为()()()()()22222sin1212sin12142sin121333fxkxkxkkx=+=+=+即33fxfx=，所以函数3yfx=是奇函数，故 B 正确；取13=，则最小正周期2271366T=，故 C 错误.故选：ABD 11.ACD 【解析】A 选项，连接 AD，由于 D 为 PB 的中点，所以,PBCD PBAD，又,CDADD AD CD=平面 ACD，所以直线 PB 平面

15、 ACD，又 AE 平面 ACD，所以 PBAE，故A 正确；B 选项，把 ACD沿着CD 展开与平面 BDC 在同一个平面内，连接 AB 交CD 于点 E，则 AEBE+的最小值即为 AB 的长，由于2 3,4ADCDAC=，222222(2 3)(2 3)41cos,232 2 32 3CDADACADCCD AD+=2 2coscossin,23ADBADCADC=+=所以222222 216 62cos2(2 3)2 2 2 31633ABBDADBD ADADB=+=+=+，故16 66164 1,33ABABE=+=+的周长最小值为644 1,3B+错误；C 选项，要使小球半径最大

16、，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O，学科网（北京）股份有限公司取 AC 的中点 M，连接,BM PM，过点 P 作 PF 垂直于 BM 于点 F，则 F 为 ABC的中心，点O 在 PF上，过点O 作ONPM于点 N，因为2,4AMAB=，所以 222 3BMABAM=，同理2 3PM=，则12 333MFBM=，故224 63PFPMMF=，设OFONR=，故4 63OPPFOFR=，因为 PNOPFM，所以 ONOPFMPM=，即4 632 32 33RR=，解得6,3RC=正确；D 选项，4 个小球分两层（1 个，3 个）放进去，要使小球半径要最大，则 4 个小球外切，

17、且小球与三个平面相切，设小球半径为r，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体QVKG，由C 选项可知，其高为2 63r，由C 选项可知，PF 是正四面体 PABC的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于 S，与平面 HIJ交于 Z，则2 6,3QSr SFr=，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的 14，如图正四面体PHIJ中，,3QZr QPr=，正四面体 PABC高为2 663433rrr+=，解得2 62,D5r=正确.故选：ACD.12.-160 【解析】()6661111222xxxxxxxx+=+，因为612xx+的通项公式为()666 21661C(2)C 206,kkk

18、kkkkTxxkkx+=N，所以在612xxx+中，当621k=时，不满足；在612xx+中，当620k=时，3k=，则常数项为3346C 2160T=，故答案为-160.学科网（北京）股份有限公司13.63；16 3 27【解析】设圆锥的底面半径 r，母线为l，高为h，设母线与底面所成的角为02，则cos(0cos1)rl=，则2cosr=，则2222 1 coshlr=，则圆锥的体积为22246118 r(2cos)2 1 cos coscos333Vh=，令cos(01)xx=单调递增，当6,13x时，()()0,fxf x，所以01vu，由已知2,12，所以()210,12vnu=，则

19、()20,2n，又2n Z，所以21n=，即 12vu=，所以2,122uv=，所以()()222,2,2,4uuvv，则()212111,222uunvv=，即()12,4n，因为1n Z，所以13n=，则11322n=，即32uv=.四解答题（本题共 6 小题，共 70 分）15.解：（1）()23fxxa=，又1x=是函数()f x 的极值点，()130fa=，即3a=()()3233,33f xxxfxx=+()()15,10ff=()f x 在()()1,1f处的切线方程为()501yx=+，即5y=，所以()f x 在()()1,1f处的切线方程是5y=（2）()23fxxa=，令

20、()0fx=，得3ax=，()f x在 0,3a单调递减，在,3a+单调递增 学科网（北京）股份有限公司而()()0,28fa fa=当8aa，即4a 时，max()f xa=当08aa，即04a时，max()8f xa=综上，当4a 时，max()f xa=；当04a，得()()()()()(),P ABP ABCP B AP C ABP AP AB=，学科网（北京）股份有限公司所以()()()()()()()()()P ABP ABCP A P B A P C ABP AP ABCP AP AB=.18.（1）解：由椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为 12，且点31,2在椭

21、圆上，可得12ca=，所以22222131124bcaa=，又点31,2在该椭圆上，所以221914ab+=，所以224,3ab=，所以椭圆C 的标准方程为22143xy+=.（2）证明：设()()1122,M x yN xy，由于该直线斜率不为 0，可设:1MNLxmy=，联立方程1xmy=和22143xy+=，得()2234690mymy+=，0恒成立，根据韦达定理可知，()1212121222693,34342myyyymyyyymm+=+，211221,22yykkxx=+，()()()()1212212111212122233,21yxymykmy yykxymyymy yy=+()

22、()221212121211221122331023,.332yyykkkkkkkkkkyyy+=+=+19.解：（1）当4k=时正整数a 的 4 个正约数构成等比数列，比如1,2,4,8 为 8 的所有正约数，即8a=.（2）由题意可知112231,kkkaaaaa aaaa=，因为4k，依题意可知3212112kkkkaaaaaaaa=，所以3222123aaaaaaaaaaa=，学科网（北京）股份有限公司化简可得()()2232231aaaa=，所以232321aaaaa=，因为*3Na，所以*3221Naaaa，因此可知3a 是完全平方数.由于2a 是整数a 的最小非 1 因子，3a

23、是 a 的因子，且32aa，所以232aa=，所以21321,kkaa aaaa 为212222221,kkaaaaa，所以()12,4kaak=.（3）证明：由题意知()1211,1kkikia aa a aaa aaik+=，所以22212112kkkkaaaAaaaaa a=+，因为121121212111111111,kkkkkkkkaaaaa aa aaaaaaaaa=，所以22221211212112111kkkkkkkkaaaAaaaaaa aaaaaa a=+=+2212231111111111kkkaaaaaaaaaa+=，因为11,kaaa=，所以1111kaa，所以22111kAaaaa，即2Aa.