重视逻辑推理 关注全局变化——2022年高考“三角函数与解三角形”专题解题分析.pdf

1、下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究根据普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）（以下简称标准），三角函数作为函数主线中的重要组成部分，成为高中数学教学的主要内容，也是历年高考的热点之一.一方面，作为研究周期性现象的重要数学模型，三角函数是函数主线不可或缺的内容，在现行各版本高中数学教材中，三角函数知识基本上由三部分构成，即“三角函数”“三角恒等变换”“解三角形”.其主要内容有：任意角三角函数的定义、同角三角函数的关系式、诱导公式、三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等.另一方面，三角函数部分的教学在提升学生逻辑推

2、理、直观想象和数学运算等素养方面起到了较大的作用.在 2022 年的高考数学试题中，既有对三角函数基础知识和基本方法的考查，也出现了体现知识的综合性和三角函数的工具性等有一定难度的试题，对学生的基本运算能力和知识综合应用能力有一定的要求.下面通过对2022年部分高考试题的解答与分析，归纳三角函数与解三角形的知识和方法，总结出一般的解题方法和解题规律，并对高考复习备考提出合理建议.一、试题特点分析2022年高考数学试卷中，对三角函数与解三角形考查最多的是浙江卷，分值将近30分；考查最少的是全国甲卷（文、理科），只考查了两道客观题，分值为10分；其余试卷基本以一道客观题和一道主观题的形式考查.整体

3、来看，与前几年的高考考查情况基本持平，难度稳中有升.从命题风格上看，与过去一致，三角函数与解三角形试题未出现创新形式的命题，结构不良试题未在此内容中进行考查.从内容上看，有以下两个层次的分析.1.从考查题型分析，分为客观题和主观题客观题以三角函数的图象与性质和三角恒等变换为主，囊括了对方程思想、函数思想、化归思想和数形结合思想的考查，灵活多变，对学生的基础知识和基本运算能力要求较高.除常规的三角函数性质考查外，以函数观点解读三角函数的性质解决三角函数有关问题成为命题的新趋势，所占比重越来越大，这符合 标准 中对“函数”部分的要求：选取“函数”为核心，将整个领域的知识组织成以“函数”为核心的辐射

4、状的网络体系，并以“函数”的某些子概念与其他领域知识的联系为载体，发展不同领域间的联系.解答题常以三角形为命题背景，以正弦定理和余弦定理为工具，结合适当的三角恒等变形解决三角形的边角关系，难度不大，属于基础题.除全国新高考卷要求较高外，其他均属于容易题.全国新高考卷第18题综合考查了三角恒等变换、正弦定理，以重视逻辑推理关注全局变化2022年高考“三角函数与解三角形”专题解题分析陆萍，王剑（扬州大学附属中学）摘要：通过对2022年高考三角函数与解三角形有关试题的归类解析，对比近几年高考中本专题考查的几个侧重点，分析考查的变化.在此基础上总结解决三角函数问题的一般思想方法，并给出三角函数与解三角

5、形的教学建议与高考复习备考建议关键词：2022年高考；三角函数；解三角形；试题分析；解法分析；备考建议收稿日期：2022-07-05作者简介：陆萍（1975），女，中学高级教师，主要从事数学教学与中学教学研究 41下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究及运用方程思想和函数思想解决问题，除对基础公式的考查外，对逻辑推理和数学运算等素养有较高要求.2.从考查方式分析，可分为显性考查和隐性考查三角函数的图象与性质、图象变换、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理都是显性考查的主要对象，命题形式也是历年高考三角函数部分的常规形式；隐性考查包括用作为数学工具的

6、三角函数来解决平面向量、立体几何、解析几何和函数等问题，以及在这些章节内容中出现的与三角函数相关的且可结合三角函数知识来解决的内容.运用三角函数知识解决有关问题，着重考查了数学建模、数学运算和逻辑推理等素养，对学生的综合能力要求较高.二、优秀试题分析通过分析近年来高考数学中三角函数与解三角形的试题，可以看到该部分试题对学生素养的考查比较全面，关注对数学基本技能和基本思想方法的考查，关注对数学问题解决的通性、通法的考查，重视逻辑推理，关注全局变化.具体表现为：关注数形结合和整体代换，关注“角”“名”“次”恒等变换，关注公式、方程、函数之间的转换，关注三角综合性问题的全局分析，关注多角度运用三角函

7、数解题，等等.1.关注数形结合和整体代换例 1（全国新高考卷9）已知函数 f()x=sin()2x+()0 的图象关于点 23，0中心对称，则（）.（A）f()x 在区间 0，512单调递减（B）f()x 在区间-12，1112有两个极值点（C）直线 x=76 是曲线 y=f()x 的对称轴（D）直线 y=32-x 是曲线 y=f()x 的切线目标解析：此题综合考查了三角函数 y=A sin()x+的单调性、对称性、极值及切线问题.除切线问题外，其余都是高考中的常见考查目标，需要运用整体代换思想和数形结合思想解决，考查了学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等素养.解法分析：各版本教材在研究函数

8、y=sin x 的周期性后，根据研究函数的经验，给出了研究函数 y=A sin()x+性质的方法.令 t=x+，则 y=A sin t.利用复合函数的研究方法，得到函数 y=A sin()x+的单调性、奇偶性、对称性及最值等性质，就可以获得该题的如下解题过程.由题意，得 f 23=sin43+=0.所以 43+=k，k Z，即 =-43+k，k Z.因为 0 0.由 sin B=13，得 cos B=1-132=2 23.所以 ac=1cos B=3 24.则 SABC=12 ac sin B=28.（2）由正弦定理，得bsinB=asinA=csin C.所以b2sin2B=asinA cs

9、inC=acsin A sin C=3 2423=94.则bsin B=32，解得 b=32sin B=12.试题分析：对于求出三角形中独立的边、角，学生训练较多，难度不大.但是第（1）小题中，求面积不是一定需要求出单独的基本量，知道ac整体的值也可以.这就弱化了条件，需要学生在分析时结合已知公式寻找这一结构特质，对学生的思维有一定要求.同样地，由第（2）小题中的条件结构可以联想到正弦定理，但是需要整体考虑.在解三角形中，需要三个独立条件，如果缺失条件，往往需要运用整体结构求值.可见，在解三角形中，学生除了要对公式熟悉以外，还要加强对未知量的个数和方程的个数的观察.这决定了：是求出独立的边、角

10、，还是求出整体的值？是可求值，还是需要运用函数分析？2022年全国乙卷理科第17题也运用了这样的思路，整体求出边的和 b+c，进而求出三角形的周长.而2021年全国新高考卷第19题也体现了这样的思维，难度更大.类题赏析：高考中的三角函数与解三角形解答题多以三角形作为命题背景，重点考查以正弦定理、余弦定理为工具计算求解三角形的边、角关系，突出对数学运算素养的考查，基本历年皆有.然而，“数学运算”并不是简单的数学计算能力，主要是对运算对象、运算法则、运算思路和运算方法的理解、掌握、探究和选择.例如，2019年全国卷理科第17题主要考查利用转化与化归思想对正弦定理、余弦定理及两 44下半月（高中版）

11、2022年第78期（总第267268期）解题研究角和与差的三角函数公式的灵活应用，体现了标准对数学运算素养的考查方向，即理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序和求得运算结果.4.关注三角综合性问题的全局分析例 4（全国新高考卷18）记ABC 的内角A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，已 知cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B.（1）若 C=23，求B；（2）求 a2+b2c2的最小值.目标解析：该题将三角函数中的三角恒等变换和正弦定理等知识与基本不等式结合考查，是一道具有较高要求的综合题，体现了方程思想和函数思想等数学思想方法在解题中

12、的应用，对学生的逻辑推理和数学运算素养要求极高.解法分析：（1）因为cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B，sin 2B1+cos 2B=2 sin B cos B2 cos2B=sin Bcos B，所以 sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos()A+B=-cos C=12.由 0 B 0.所以 2 C ，0 B 0，所以 A 0，2，得 4-A2 0，4.由 B ()0，得 4-A2=B.试题分析：解决此题的“拦路虎”就是条件中的三角变换.学生不明变换的方向，解题过程出现障碍.我们可以从以下几个角度来看该题的变换方向.角度 1：角的变换.条件等式的左

13、边是角 A，而右边是角 B 的二倍角，由此想到将右边角 B 的二倍角展开.而为使分母变得简洁，可以选择公式 cos 2B=2 cos2B-1，从而达到化简的目的.角度 2：次数的变换.等式的右边是角 B 的二倍角，可以理解为角 B 的三角函数的二次式，运用二倍角公式可以升次降角，达到化简的目的.而将右边等式化简后，分式化为整式，也是从三角函数次数进行考虑的.从这个角度来看，等式的左边也可以将角A看成 A2 的二倍角进行展开.角度3：函数名的变换.在第（1）小题中，等式右边化为 sinBcosB 后，也可以化为 tan B.如果走这个途径，就需要将等式左边的式子化为正切，得到角度4.角度 4：“

14、1”的变换.在三角函数中，经常将常数“1”转化为“sin2+cos2”“tan4”.通过以上这几个角度的思考，我们就能找到三角恒等变换的方向，而这是历年来高考的重要考点，如2019年江苏卷第13题和2021年全国新高考卷第6题.条件转化为 sin B=-cos C 或 tan4-A2=tan B 后，是运用方程思想得到角之间的等量关系.考虑关系sin B=-cos C 是不同名的三角函数且有符号问题，将sin B 转化为-cos2+B，得到 cos2+B=cos C.而忽略角的范围是学生解三角方程最容易出错的地方.45下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究因 为 B，

15、C ()0，所 以 sin B 0，cos C 0的部分图象，则下列说法正确的有（）.6231Oxy图1（下转第57页）47下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究四、典型模拟题1.已知数列 an 的通项公式为 an=n-32n-11，则数列 an 的前 n 项和的最小值为（）.（A）29（B）-73（C）-12463（D）-4621答案：C.2.（多选题）已知数列 an 满足 a1=1，an=an+1+ln()1+an+1()n N*，则（）.（A）0 a2 1（C）an an+1（D）0 an 1答案：ACD.3.已知数列 an 和 bn 满足：a1=2，b1=1，

16、an+1=34 an+14bn，bn+1=34bn+14 an，其中 n N*.（1）证明：数列an-bn 是等比数列；（2）若 cn=3an+bn，求数列ncn 的前 n 项和.答案：（1）略；（2）3n2+3n+4-n+22n-1.参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 教育部考试中心制定.中国高考评价体系M.北京：人民教育出版社，2019.（A）f()x f 56（B）f()x 在 0，2 有且仅有两个极小值点（C）f()x 在 0，2 有且仅有四个零点（D）f()1 f()2答案：BCD.2.已

17、知 cos+6+sin =33，则 sin2+6的值是（）.（A）-29（B）-13（C）-23（D）-79答案：B.3.在条件 a()sin A-sinC=()b-c()sin B+sin C，2b cosC-3=a+c，3ab cosC=tanB+tanC 中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且.（1）求角B的大小；（2）若ABC 是钝角三角形，且 b=3，求 a+c的取值范围.答案：（1）3；（2）()3，3.4.椭圆 x26+y24=1 上任意两点P，Q，若OPOQ，则|OP|OQ 的最小值为.答案：245.参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 教育部基础教育课程教材专家工作委员会.普通高中数学课程标准（2017年版）解读M.北京：高等教育出版社，2018.3 闫旭，王恩波.2021年高考“三角函数”专题解题分析J.中国数学教育（高中版），2021（7/8）：39-44.4 刘莉.2021年高考“三角函数”专题命题分析J.中国数学教育（高中版），2021（7/8）：34-38，50.（上接第47页）57