【新教材精创】2.3.2 两点间的距离公式 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册.docx

1、2.3.2 两点间的距离公式 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程，本节课主要学习两点间的距离公式 。本课内容是在直角坐标系下，利用代数方法解决平面几何问题初步基础，是沟通“数”与“形”、建立解析几何理论的基础，两点间的距离是解析法巨大作用的初步体现。培养学生数形结合思想和方程思想。课程目标学科素养A. 掌握平面上两点间的距离公式.B.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.C.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与数形结合思想1.数学抽象：平面上两点间的距离公式. 2.逻辑推理：平面上两点间的距离公式.的推导 3.数学运算：平面上两点间的距离公式的应用 4.直

2、观想象：平面上两点间的距离及其公式 重点：平面上两点间的距离公式的推导与应用难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小?二、探究新知问题1.在数轴上已知两点A、B，如何求A、B两点间的距离？提示：|AB|xAxB|.问题2：在平面直角坐标系中能否利用数轴上两点间的距离求出任意两点间距离？探究.当x1x2，y1y2时，|P1P2|？请简单说明理由提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解答案：如图，在R

3、t P1QP2中，|P1P2|2|P1Q|2|QP2|2，所以|P1P2|.即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|.你还能用其它方法证明这个公式吗？2两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|x2x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|y2y1|.两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|. (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根1.已知点P1(4,2),P2(2,-2),

4、则|P1P2|=.解析:|P1P2|=(4-2)2+(2+2)2=25.答案:25三、典例解析例1.已知ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断ABC的形状.思路分析:可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状.解:(方法1)|AB|=(3+3)2+(-3-1)2=52,|AC|=(1+3)2+(7-1)2=52,|BC|=(1-3)2+(7+3)2=104,|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2.ABC是等腰直角三角形.(方法2)kAC=7-11-(-3)=32,kAB=-3-13-(-3)=-23,kACkAB=-1.ACAB.又

5、|AC|=(1+3)2+(7-1)2=52,|AB|=(3+3)2+(-3-1)2=52,|AC|=|AB|.ABC是等腰直角三角形. 两点间距离公式的应用 两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.跟踪训练1已知点A(-3,4),B(2, 3),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.解:设点P(x,0),则有|PA|=(x+3)2+(0-4)2=x2+6x+25,|PB|=(x-2)2+(0-3)2=x2-4x+7.由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7,解得x=-95.即所求点P为-95,0,且|PA

6、|=(-95+3)2+(0-4)2=21095.例2如图,在ABC中,|AB|=|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点,求证:|AB|2=|AD|2+|BD|DC|.思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-bmb).则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|DC|=|m+b|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,|AD|2+|BD|DC|=a2

7、+b2,|AB|2=|AD|2+|BD|DC|. 坐标法及其应用1.坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;(2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.2.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤:(1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;(2)用坐标表示有关的量;(3)将几何关系转化为坐标运算;(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.跟踪训练2已知

8、正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.解:以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.正三角形ABC的边长为a,B-a2,0,Ca2,0,A0,32a.设P(x,y),由两点间的距离公式,得|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+y-32a2+x+a22+y2+x-a22+y2=3x2+3y2-3ay+5a24=3x2+3y-36a2+a2a2,当且仅当x=0,y=36a时,等号成立,故所求最小值为a2,此时点P的坐标为0,36a.通过生活中两点间距离的问题情境，引出在坐标系下探究两点间距离公式的

9、问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略，最终探索出新的距离公式，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。在典例分析和练习中熟悉公式的基本结构，并体会两点间距离公式的初步应用。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 通过典型例题的分析和解决，让学生逐步感悟运用解析法研究几何问题的方法。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。三、达标检测1.点A(1,-2)关于原点的对称点为A,则|AA|为() A.25B.5C.52D.23解析:因为A(1,-2)关于原点的对称点A(-1,2),所以|AA|=(-1-1)2+(2+2)2=4+16=25.故选A.答案:A 2.

10、设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=()A.25B.42C.5D.210解析:依题意设A(a,0),B(0,b),P(2,-1)为线段AB的中点,a=4,b=-2.A(4,0),B(0,-2).|AB|=(4-0)2+(0+2)2=25.答案:A 3函数y的最小值是()A0 B. C13 D不存在解析：原函数可化为y，设P(x,0)，A(0,1)，B(2，2) 则y|PA|PB|.P是x轴上的动点，A，B是两个定点，|PA|PB|AB|，当P，A，B三点共线时，ymin.答案：B4以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是()A直角三角形 B

11、等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：|AB|AC|，|BC|，故ABC为等腰三角形答案：B5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为_解析：设点P的坐标为(x,0)，由d(P，A)10得10，解得x11或x5.点P的坐标为(5,0)或(11,0).答案：(5,0)或(11,0)6.已知ABC的顶点坐标为A(1,5)，B(2，1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为_.解析： BC的中点坐标为(0,1)，则BC的中线长为.答案：7.点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标. 解析：由题意得A点的纵坐标为3，设A(x，3)，则5

12、，x4.又点A在第四象限，x4(舍)，A(4，3).8正方形ABCD的边长为6，若E是BC的中点，F是CD的中点，试建立直角坐标系，证明：BFAE.证明：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图则A(0,0)，B(6,0)，E(6,3)，F(3,6)kBF2，kAE.kBFkAE1，BFAE.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1.两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题(如根据各边长度判断三角形或四边形的形状)，根据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先

13、后之分2应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是：第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在坐标轴上，并且充分利用图形的对称性，用坐标表示有关的量第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。在教学过程中，积极关注学生的学习行为，通过“问题”平台，调动学生认真思考；通过自主学习、教师深入学生中，察看学生动手、动脑的行为、心理反应，及时纠正错误的行为方式；通过设疑、启发，帮助学生掌握知识存在的差异，提高理解水平，同时，可挖掘学生思维的闪光点；通过师生互动、教师点评，拉近师生的心理距离，提高反馈的及时性和效果。在认知构建中从最基本的感知入手，再慢慢上升到简单模仿，然后到基础应用。培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.