【最高考】2022届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第30讲 概率统计、计数原理.docx

1、第30讲概率统计、计数原理 江苏高考考这部分内容时，一般第1问考概率的计算，第2问考分布列、期望的计算重点考查随机变量的分布列与期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，同时考查数学分类思想，难度可能有所提升概率统计考试说明序号内容要求ABC1离散型随机变量及其分布列2超几何分布3条件概率及相互独立事件4n次独立重复试验的模型及二项分布5离散型随机变量的均值和方差计数原理考试说明序号内容要求ABC1加法原理与乘法原理2排列与组合3二项式定理例1 如图，设P1，P2，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为

2、随机变量S.(1) 求S的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)解：(1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，其中S的为有一个角是30的直角三角形(如P1P4P5)，共6212种，所以P.(2) S的所有可能取值为，.S的为顶角是120的等腰三角形(如P1P2P3)，共6种，所以P.S的为等边三角形(如P1P2P5)，共2种，所以P.又由(1)知P，故S的分布列为SP所以E(S).设为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，0，当四点不共面时，的值为四点组成的四面体的体积(1) 求概率P(0)；(2) 求的分布列，并求

3、其数学期望E()解：(1) 从正方体的八个顶点中任取四个点，共有C70种不同取法其中共面的情况共有12种(6个侧面，6个对角面)，则P(0).(2) 任取四个点，当四点不共面时，四面体的体积只有以下两种情况： 四点在相对面且异面的对角线上，体积为14，这样的取法共有2种 四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为.这样的取法共有7012256种 的分布列为0P数学期望E().例2 口袋中有n(nN*)个白球，3个红球依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球记取球的次数为X，若P(X2).求：(1) n的值；(2) X的概率分布

4、与数学期望解：由题知P(X2)，即7n255n420，即(7n6)(n7)0，因为nN*，所以n7.(2) 由题知，X的可能取值为1、2、3、4，所以P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)1，所以X的概率分布表为X1234P所以E(X)1234.故X的数学期望是.袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为.现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止用X表示取球终止时取球的总次数(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)解：(1) 设袋中原有n个白球，则从9

5、个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知，即，化简得n2n300.解得n6或n5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6.(2) 由题意，X的可能取值为1，2，3，4.P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4).所以取球次数X的概率分布列为X1234P所求数学期望为E(X)1234.例3 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数的分布列和数学期望解：(1) 设甲同学在5次投篮中，恰有x次投中，“至少有4

6、次投中”的概率为P，则PP(x4)P(x5)CC.(2) 由题意1，2，3，4，5.P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5).的分布列为12345P的数学期望E()12345.在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次某同学在A处的命中率q10.25，在B处的命中率为q2.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345p0.03p1p2p3p4(1) 求q2的值；(2) 求随机变量的数学期望E；(3) 试比较该同学选择都在B

7、处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小解：(1) 设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A、B相互独立，且P(A)0.25，P()0.75，P(B)q2，P()1q2.根据分布列知：0时，P()P()P()P()0.75(1q2)20.03，所以1q20.2，q20.8，(2) 当2时，P1P(BB)P(B)P(B)0.75q2(1q2)21.5q2(1q2)0.24，当3时，p2P(A)P(A)P()P()0.25(1q2)20.01，当4时，p3P(BB)P()P(B)P(B)0.75q0.48，当5时，p4P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)P

8、()P(B)P(A)P(B)0.25q2(1q2)0.25q20.24，所以随机变量的分布列为02345p0.030.240.010.480.24随机变量的数学期望E00.0320.2430.0140.4850.243.63.(3) 该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBBBBB)P(BB)P(BB)P(BB)2(1q2)qq0.896，该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.480.240.72，由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大例4 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选

9、3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望解：(1) 设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B). 事件A与B相互独立， 观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)P(A)P()P(A)1P(B)(或P(A)(2) 设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C). X可能的取值为0，1，2，3，且取这

10、些值的概率分别为P(X0)P()，P(X1)P(A)P(B)P(C)，P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(X3)P(ABC)， X的分布列为X0123P X的数学期望E(X)0123.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1) 求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2) 已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望解：(1) 设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(

11、A)1P().(2) X所有的可能取值为0，1，2，3.P(X0)C；P(X1)CC；P(X2)CC；P(X3)C.所以X的分布列为X0123P所以E(X)01232.1. (2022江苏卷)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同(1) 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2) 从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1、x2、x3，随机变量X表示x1、x2、x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)解：(1) 取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球所以P.(2) 随机变量X所有可能的取值

12、为2，3，4.X4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X4)；X3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X3)；于是P(X2)1P(X3)P(X4)1.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P因此随机变量X的数学期望为E(X)234.2. 某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%.生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元设生产各种产品相互独立(1) 记X(万元)为生产

13、1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；(2) 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率解：(1) 由题设知，X的可能取值为10、5、2、3，且P(X10)0.80.90.72，P(X5)0.20.90.18，P(X2)0.80.10.08，P(X3)0.20.10.02.由此得X的分布列为X10523P0.720.180.080.02(2) 设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有(4n)件由题设知4n(4n)10，解得n，又nN，得n3或n4.所求概率为PC0.830.20.840.8192.故生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.3. 设整

14、数n4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a、b1，2，3，n，ab.(1) 记An为满足ab3的点P的个数，求An；(2) 记Bn为满足(ab)是整数的点P的个数，求Bn.解：(1) 点P的坐标满足条件1ba3n3，所以Ann3.(2) 设k为正整数，记fn(k)为满足条件以及ab3k的点P的个数只要讨论fn(k)1的情形由1ba3kn3k知fn(k)n3k，且k，设n13mr，其中mN*，r0，1，2，则km，所以Bnfn(k)(n3k)mn，将m代入上式，化简得Bn，所以Bn点评：本题主要考查计数原理，考查探究能力，B级要求，是难题4. 设为随机变量，从棱长为1的正方体的12

15、条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1.(1) 求概率P(0)；(2) 求的分布列，并求其数学期望E()解：(1) 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， 共有8C对相交棱 P(0).(2) 若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对， P()，P(1)1P(0)P()1. 随机变量的分布列是01P() 其数学期望E()1.(本题模拟高考评分标准，满分10分)(2022南京、盐城模考)某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可

16、能的(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)解：(1) 记“恰有2人申请A大学”为事件A，P(A).答：恰有2人申请A大学的概率为.(4分)(2) X的所有可能值为1，2，3.P(X1)，P(X2)，P(X3).X的概率分布列为X123P(8分)所以X的数学期望E(X)123.(10分)(1) 用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图1所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域用不同颜色的鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？图1(2) 用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图2所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，

17、相邻区域使用不同颜色的鲜花图2求恰有两个区域用红色鲜花的概率；记花圃中红色鲜花区域的块数为，求的分布列及其数学期望E()图3解：(1) 根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有432248种(2) 设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图3，当区域A、D同色时，共有5433180种；当区域A、D不同色时，共有54322240种；因此，所有基本事件总数为180240420种(由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为A2AA420种)又A、D为红色时，共有43336种；B、E为红色时，共有43336种；因此，事件M包含的基本事件有363672种所以，P(M).随机变量的分布列为012P所以E()0121.