【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-勾股定理和弦图-1星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-勾股定理和弦图-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率勾股定理和弦图B1.能够理解勾股定理的概念2.熟练应用勾股定理和弦图来解决相关的几何问题少考知识提要勾股定理和弦图 勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2 + AC2 = BC2 勾股图与弦图 (a+b)2-4ab2=a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2 (a-b)2+4ab2=a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2 精选例题勾股定理和弦图 1. 如下图所示，加油站 A 和商店 B 在马路的 MN 同一侧，A 到 MN 的距离为 5 米，B 到 MN

2、 的距离为 3 米，DC=6 米行人 P 在马路 MN 上行走问：当 P 到 A 的距离和 P 到 B 的距离之和最小时，这个和最小等于 米【答案】10【分析】如下图所示，关于直线 MN 作 B 的对称点 B，那么可知 PB=PB，所以 PA+PB=PA+PB，那么当 A、B、P 共线时，距离之和最小，因为 CD=6，DA+CB=5+3=8，那么根据勾股定理可得此时距离和为 10 米 2. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草【答案】5【分析】依题意，这条路和长方形花圃的两条边恰好形成一个直角三角形，由勾股定理可以

3、计算出，这条路的长度为 5m少走了 3+4-5=2(km) 3. 下图中有三个直角三角形请问 x= 厘米【答案】15【分析】、 两个直角三角形完全一样，所以 、 两直角三角形的两直角边分别为 9 cm和 12 cm，由勾股定理得，x2=92+122=152，所以 x=15(厘米) 4. 如图，AEAB 且 AEAB，BCCD 且 BCCD，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为 【答案】40.5【分析】由弦图知：AF=2,AG=6,CG=3,CH=2,则FH=2+6+3+2=13,梯形 EFHD 的面积为(6+3)132=58.5,原图形面积为58.5-(26+23)=40.5

4、. 5. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是 【答案】C【分析】A：242+152202；B：202+152242；D：24 和 20 写反了；C：242+72=252，152+202=252 6. 如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是 米【答案】8 米【分析】由勾股定理，折断处以上的长度是 5 米，总长度为 3+5=8（米） 7. 有一个直角边为 1 和 1 的直角三角形，以它的斜边和 1 为直角边，向外作另一个直角三角形重复以上操作，如下图求第 10

5、23 个直角三角形的斜边长度是 第 个直角三角形的斜边长度是 17【答案】32；288【分析】第 n 个直角三角形的斜边长度的平方为 n+1，1023+1=1024=322，172=289=1+288 8. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7 cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为 cm【答案】49【分析】将左上的小正方形的面积计为 S1，将右上的小正方形的面积计为 S2，由勾股定理，有 SA+SB=S1，SC+SD=S2，S1+S2=72=49 9. 如下图所示的三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 中，最长的是 【答案】BC【

6、分析】根据勾股定理：AB2=22+42=20，AC2=12+52=26，BC2=32+52=34显然 BC 最长10. 如下图所示的等腰梯形上底长度等于 3，下底长度等于 9，高等于 4这个等腰梯形的周长等于 【答案】22【分析】两边的直角三角形的较短直角边为 (9-3)2=3，腰长的平方为 32+42=52，所 以周长为 3+5+9+5=2211. 如下图所示，长方体的三条棱长分别为 3、4、12，对角线 AC= 【答案】13【分析】如下图所示，根据勾股定理，边长为 3 和 4 的长方形的对角线长为 5，这条对角线和长为 12 的边垂直，在直角三角形 ABC 中，AC2=52+122，所以

7、AC 长为 1312. 甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了 4 km，乙往南走了 3 km，此时甲、乙两人相距 km【答案】2【分析】依题意，甲、乙的最终位置和他们的出发点形成一个直角三角形，这个三角形的直角边分别为 3 km 和 4 km，因此由勾股定理，这时候甲、乙两人相距 5 km13. 如下图所示，一个 14 圆中有一个正方形，阴影正方形的面积是 16，那么图中的扇形面积是 （ 取 3）【答案】30【分析】给图中标上字母，如下图所示，由于阴影正方形的面积为 16，则边长为 4，OC=CH=ED=2,OD=2+4=6，根据勾股定理，可知扇形的半径满足：r2=22+62=40.所

8、以图中扇形的面积为：1440=30.14. 如下图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于 1680 平方厘米阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于 平方厘米【答案】105【分析】如下图所示，设小圆半径为 r，大圆半径为 R，则 (R-r)2+R2=(R+r)2，R=4r，所以大圆面积是小圆的 16 倍，所以小圆面积为 168016=105(平方厘米)15. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 AB 上有一点 D，已知 CD=5，BD-AD=2，那么三角形 ABC 的面积是 【答案】24【分析】等腰直角三角形，面积等于

9、斜边高的平方过 C 点做斜边 AB 的垂线，交 AB 于点 E，由于 BD-AD=2，得到 DE=1根据勾股定理，CE2=CD2-DE2=52-12=24.所以 SABC=24.16. 分别别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1，S2，S3 表示，则它们之间的关系是 【答案】S3+S2=S1【分析】根据圆的面积公式，圆的面积与其直径的平方成正比，而在直角三角形 ABC 中，由勾股定理，有AC2+CB2=AB2,因此这三个圆的面积也同样满足上述关系，即 S3+S2=S117. 如图，小明在广场上先向东走 10 米，又向南走 40 米，再向西走 20 米，又向南走 4

10、0 米，再向东走 70 米求小明到达的终止点与原出发点的距离【答案】100 米【分析】小明往南一共走了40+40=80(米),往东一共走了70+10-20=60(米),由勾股定理，802+602=10000=1002,距离为 100 米18. 求下面各三角形中未知边的长度【答案】13；3；8【分析】c2=122+52=169，c=13；a2=52-42=9,a=3；b2=262-242-62=64,a=819. 已知：ABC 中，AB13，AC15，BC 边上的高 AD12，求 ABC 的面积【答案】84 或 24【分析】需要分两种情况讨论，当高 AD 在三角形 ABC 内部的时候，如左图，此

11、时由勾股定理，BC=BD+DC=5+9=14，当高 AD 在三角形 ABC 外部的时候，如右图，此时由勾股定理，BC=CD-CB=9-5=4，再通过三角形的面积公式，ABC 的面积为 84 或 2420. 如图，已知四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积【答案】36【分析】连接 AC，在直角三角形 ABC 中，AC2=AB2+BC2=32+42=52,所以 AC=5在三角形 ACD 中，由于AC2+CD2=25+122=169,而AB2=132=169,AC2+CD2=AB2,所以 ACD=90所以SABCD=SABC+SACD=

12、12ABBC+12ACCD=1234+12512=36.21. 一个零件的形状如图所示，已知 AC=3，AB=4，BD=12求 CD 的长【答案】13【分析】在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得 BC2=AC2+AB2=32+42=25，在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=1322. 如图，两个长方形大小相同，长、宽分别是 12 和 8，求阴影部分的面积是多少？【答案】略【分析】如图，连接 AC，DC=8-7=1；根据勾股定理：AC2=AD2+DC2=AB2+BC2,所以BC2=122+12-82=81,BC=9,则四边形

13、 ABCD 的面积是12121+1289=42,阴影部分的面积是128-42=54.23. 计算右图中 BE 的长度【答案】13【分析】如下图所示，过 B 点作 DE 的垂线，垂足为 G则 BGE 为直角三角形且 AB+BG=EF，则 7+BG=19，BG=12又 CB=DG=3，且 DG+GE=DE=8，3+GE=8，GE=5再根 据勾股定理：BE2=BG2+GE2=132所以 BE=1324. 请画一个面积是 5 平方厘米的正方形【答案】【分析】5=12+2225. 如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积【答案】60【分析】如图，做 EFAD 于 F，在直角三角形 AED 中，AD2=

14、AE2+DE2=82+62=100=102,所以 AD=10，由三角形面积公式，SAED=12AEED=12EFAD,所以EF=AEEDAD=6810=245,SABCD=12(AD+BC)EF=1210+15245=60.26. 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5 m，长 13 m，宽 2 m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？【答案】612 元【分析】地毯在水平部分的长度总和为 12 米，总共需要12+5218=612(元).27. 科技小组演示自制的机器人若机器人从点A向南行走 1.2 米，再向东行走 1 米，接着又向南行走 1

15、.8 米，再向东行走 2 米最后又向南行走 1 米到达 B 点则 A 点与 B 点的距离是多少米？【答案】5 米【分析】往南一共走了1.2+1.8+1=4(米),一共向东走了2+1=3(米),由勾股定理，AB2=32+42=25=52,所以AB=5(米).28. 根据图中所给的条件，求梯形 ABCD 的面积【答案】144【分析】作 DFBC 于 F，则 DF=AE=12，在直角三角形 ABE 中，BE2=AB2-AE2=152=122=81=92,BC=BE+EC=9+10=19,在直角三角形 DFC 中，FC2=DC2-DF2=132-122=25=52,所以 FC=5，AD=CF=CE-F

16、C=10-5=5，SABCD=12AD+BCAE=125+1912=144.29. 如图是一个直角三角形，沿三角形的斜边旋转一周得到的立体图形的体积是多少？（ 取 3）【答案】28.8【分析】斜边上的高为345=125,所以V=13(125)25=1445=28.830. 如下图所示，分别以直角三角形的三个边为直径作半圆，这三个半圆交出两个月牙形的区域（即阴影部分），求这两个月牙形面积之和【答案】30【分析】因为 ABC=90，由勾股定理 AC2=AB2+BC2，又 S大半圆=14AC2，S中半圆=14BC2，S小半圆=14AB2，所以 S大半圆=S中半圆+S小半圆，那么S月牙=S中半圆+S小

17、半圆+SABC-S大半圆=SABC=12512=30.31. 有一个直角三角形 PQR，直角在 Q 点，以其三边为直径作三个半圆矩形 STUV 的各边与半圆相切且平行于 PQ 或 QR，如下图所示如果 PQ=6 厘米，QR=8 厘米，则 STUV 的面积是多少平方厘米？【答案】144【分析】由勾股定理得大半圆的直径为 10 厘米，则三个半圆的半径分别为 3 厘米，4 厘米，5 厘米可知：SV=3+4+5=12(厘米)，ST=5+3+4=12(厘米)面积为 1212=144(平方厘米)32. 在下图中，线段 AB 是圆 C 的直径，在线段 AB 上作两个半圆 APC 及 CQB圆 PQR 分别与这三个半圆都相切若 AB=28 厘米，试求圆 PQR 的半径的长度【答案】143【分析】如下图所示，设小圆半径为 x 厘米，则 (14-x)2+72=(x+7)2，x=14333. 如图，求阴影部分的面积【答案】24【分析】阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上两个直径分别为 6 和 8 的半圆面积减去直径为 10 的半圆的面积，1268+12622+12822-121022=24.注：这就是著名的希波克拉底模型，结合了勾股定理的运用