【机构秘籍】小学奥数题库《数论》整除-整除的判定-1星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、数论-整除-整除的判定-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率整除的判定C1、理解并掌握整除的一些基本性质。2、熟练运用整除的基本性质解决基本的整除问题。3、能够结合数论的相关知识综合应用。少考知识提要整除的判定 整除的判定1、末位判定法一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2、数字求和法一个数个位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；3、奇偶位求差法如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的

2、差能被11整除，那么这个数能被11整除；简称：奇位和与偶位和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。4、截断作和如果一个数从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除，那么这个数就能被99整除。5、截断作差对于位数较小数的数：如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；对于位数较大数的数：如果一个整数，从个位开始每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。 整除的性质性质1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。性质

3、2：如果 b 与 c 的积能整除 a ，那么b与c都能整除 a 。性质3：如果 b 、 c 都能整除 a ，且 b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a 。性质4：如果 c 能整除 b ， b 能整除 a ，那么 c 能整除 a 。精选例题整除的判定 1. 将最小的 10 个合数填到图中所示表格的 10 个空格中，要求满足以下条件：（1）填入的数能被它所在列的第一个数整除；（2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大那么，最后一行中 5 个数的和最小是 【答案】66【分析】最小的 10 个合数分别是 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18这 10 个合数当中 10 和

4、15 一定是在 5 的下面，其中 15 在最后一行；4、8、14、16 一定是在 2 和 4 下面，其中 14 一定在 2 的下面；剩下的 6、9、12、18 在 3 或 6 下面，其中 9 一定在 3 的下面，对 2 和 4 所在的列和 3 和 6 所在的列分别讨论4、8、14、16，这四个数中最大的数 16 一定在最后一行，最小的数 4 一定在第二行，所以 2 和 4 所在的列中最后一行的数的和最小是 16+8=24，当 14、16 在 2 下面，4 和 8 在 4 下面时成立；6、9、12、18，这四个数中最大的数 18 一定在最后一行，最小的数 6 一定在第二行，所以 3 和 6 所在

5、的列中最后一行的数的和最小是 18+9=27，当 12 和 18 在 6 下面，6 和 9 在 3 下面时成立所以最后一行的 5 个数的和最小是 24+15+27=66 2. 若六位数 201ab7 能被 11 和 13 整除，则两位数 ab= 【答案】48【分析】由 11 的整除特征可知：(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0或11,若a+4-b=11,a-b=7,只有8-1=9-2=7,六位数 201817、201927 都不能被 13 整除若a+4-b=0,则a+4=b,只有 0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9 等情况，构成的六位数 20104

6、7，201157，201267，201377，201487，201597 中只有 201487 能被 13 整除，则 ab=48 3. 从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右 1 至 11 报数，报到 11 的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是 【答案】1331【分析】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是 11 的倍数；第二次报数后留下的同学，

7、他们最初编号都是 112=121 的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是 113=1331 的倍数因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是 1331 4. abc 是三位数，若 a 是奇数，且 abc 是 3 的倍数，则最小是 【答案】102【分析】a 为奇数，且要求最小，则 a=1，b=0又要求为 3 的倍数，则 a+b+c 为 3 的倍数，所以 b=0，c=2 5. 判断下列各数是否能被 3 整除：2574,38974,587931.【答案】2574 能被 3 整除；38974 不能被 3 整除；587931 能被 3 整除【分析】因为2+5+7+4=18,1

8、8 能被 3 整除，所以 2574 能被 3 整除；因为3+8+9+7+4=31,31 不能被 3 整除，所以 38974 不能被 3 整除；因为5+8+7+9+3+1=33,33 能被 3 整除，所以 587931 能被 3 整除 6. 用 0、3、4、5 四个数字，按要求排列成一个没有重复数字的四位数既能被 2 整除，又能被 5 整除；能被 2 整除，但不能被 5 整除；能同时被 3 和 5 整除【答案】3450，3540，4350（答案不唯一）；3504，3054，5304（答案不唯一）；3450，3540，4350（答案不唯一）【分析】能同时被 2、5 整除的数必须具备：个位上的数是

9、0能被 2 整除，但不能被 5 整除的数必须具备：个位上的数是 2，4，6，8能同时被 3、5 整除的数必须具备：个位上的数是 0 或 5，各个数位上的数的和能够被 3 整除 7. 已知数 298329832983n个298302 能被 18 整除，那么 n 的最小值是多少？【答案】4【分析】298329832983n个298302 能被 2 和 9 整除，其各位数字之和 22n+2 是 9 的倍数，所以 n 的最小值是 4 8. 23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407（1）这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被

10、8 整除？（2）哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？（3）哪些数能被 3 整除？哪些数能被 9 整除？【答案】见解析【分析】（1）能被 4 整除的数有：3568,5880,6512,864；能被 8 整除的数有：3568,5880,6512,864；（2）能被 25 整除的数有：8875,93625；能被 125 整除的数有：8875,93625；（3）能被 3 整除的数有：23487,6765,5880,198954,864；能被 9 整除的数有：198954,864 9. a 是一个三位数它的百位数字是 4，a+9 能被 7 整除，a-7 能被 9 整除，问 a 是多少？【答

11、案】439【分析】a+9 能被 7 整除，说明 a+9-7=a+2 能被 7 整除；a-7 能被 9 整除，说明 a-7+9=a+2 能被 9 整除；79=63，则 63-2=61 符合上述两个条件因 63-2=61，则 a 可以写成这样的形式：a=63?+61又 a 是一个百位数字是 4 的三位数，估算知，a=636+61=43910. 张经理给 45 名员工发完工资，将总钱数记在一张纸上，后来记账的这张纸破了两个洞，只剩下 678 元，张经理只记得每位员工的工资都一样，并且都是整数元，那么这 45 名员工的总工资可能是多少钱呢？【答案】67680 或 67185【分析】由于该数为 45 的

12、倍数，则末位为 5 的倍数，所以末位能为 0 或者 5若末位为 0，则令该五位数为：67a80，则数字和应为 9 的倍数，有：21+a 应为 9 的倍数，所以 a=6，这时的五位数为 67680；若末位为 5，则令该五位数为：67a85，则数字和应为 9 的倍数，有：26+a 应为 9 的倍数，所以 a=1 这时的五位数为 6718511. 在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有多少个【答案】18【分析】两位数字中能被 11 整除的数字是 11、22、99 这些数字中显然没有这样的数，三位数，设这个三位数为 abc，有 a+b+c=13 和 a+c-b=

13、11，显然有 a+c=12，b=1，所以就有 913，814，715，616，517，418，319 这 7 个，四位数，设这个四位数为 abcd，（1）有 a+b+c+d=13 和 (a+c)-(b+d)=11 中，若 a+c=12，b+d=1 则 a=3 或 4 有 2 种组合，b 和 d 有 2 种，因此有 4 种；（2）有 a+b+c+d=13 和 (b+d)-(a+c)=11，a+c=1，b+d=12，则只能 a=1，c=0，b 和 d 有 7 种组合，综上所述，这样的数有 7+4+7=18 个12. 173 是一个四位数数学老师说：“我在其中的方框内先后填入 3 个数字，所得到的

14、3 个四位数：依次可被 9,11,6 整除”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？【答案】19【分析】173，设填入的数为 a，由能被 9 整除知，1+7+3+a=11+a 是 9 的倍数，由于 a 是一位数，所以 a=7，即第一次填入的数是 7；由能被 11 整除知，(7+a)-(1+3)=3+a 是 11 的倍数，a=8，即第二次填入的数是 8；由能被 6 整除知，这个数能被 2、3 同时整除，所以 a 是偶数且 1+7+3+a=11+a 是 3 的倍数，所以 a=4，即第三次填入的数是 4三个数的和是 7+8+4=1913. 判断下面 11 个数的整除性：23487,3568,8

15、875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407（1）这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被 8 整除？（2）哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？（3）哪些数能被 3 整除？哪些数能被 9 整除？（4）哪些数能被 11 整除？【答案】见解析【分析】（1）末两位能被 4 整除，该数即能被 4 整除；末三位能被 8 整除，该数即能被 8 整除所以，能被 4 整除的数有：3568,5880,6512,864；能被 8 整除的数有：3568,5880,6512,864；（2）末两位是 25 的倍数，该数就能被 25 整除；末三位是 125 的

16、倍数，该数就能被 125 整除所以能被 25 整除的数有：8875,93625；能被 125 整除的数有：8875,93625；（3）数字和是 3 的倍数即能被 3 整除，数字和为 9 的倍数即能被 9 整除所以，能被 3 整除的数有：23487,6765,5880,198954,864；能被 9 整除的数有：198954,864；（4）从末位开始，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果为 11 的倍数，即为 11 的倍数则为 11 的倍数的有：6765,6512,40714. 在 7315、58674、325702、96723、360360 中，7 的倍数有哪些？13 的倍数有哪些？【答案】

17、7 的倍数有 7315，58674，360360；13 的倍数有 325702，360360【分析】简答：牢记被 7 和 13 的整除的数的判断方法15. 有一个四位数 3aa1，它能被 3 整除，则 a 代表几？【答案】1，4，7【分析】根据被 3 整除的数的性质：33aa13(3+a+a+1)3(2a+4)0a9a=1,4,7.16. 六位数 356a29 能被 3 整除，数字 a=？【答案】2，5 或 8【分析】3+5+6+a+2+9=25+a 使 25+a 能被 3 整除，数字 a 只能是 2，5 或 8即符合题意的 a 是 2，5 或 817. 已知道六位数 20279 是 13 的

18、倍数，求 中的数字是几？【答案】1【分析】本题为基础题型，利用 13 的整除判定特征 279-20136 即可知道方格中填 118. 判断下列数中哪些能被 7 整除？能被 8 整除？能被 9 整除？能被 11 整除？能被 13 整除？674152325868585757929922009【答案】能被 7 整除的有：6741，2009；能被 8 整除的有：5232，2992；能被 9 整除的有：6741，5868，585；能被 11 整除的有：7579，2992；能被 7 整除的有：585，7579【分析】略19. 有如下 5 个自然数：12345、189、72457821、333666、542

19、89其中能被 9 整除的有哪些？【答案】189，72457821，333666【分析】简答：判断能除否被 9 整数，看数字和20. 如果 abcde 能被 6 整除，那么 2(a+b+c+d)-e 也能被 6 整除【答案】见解析【分析】因为 6=23，所以 2abcde，所以 2e，所以 63e因为 3abcde，所以 3a+b+c+d+e，所以 62(a+b+c+d+e)，所以 62(a+b+c+d+e)-3e，所以 62(a+b+c+d)-e21. 一个三位数 52 的十位数字未知请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被 3 整除，“”可能等于多少？（2）如果要

20、求这个三位数能被 4 整除，“”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除，如果有可能，“”可能等于多少？【答案】（1）2,5,8；（2）1,3,5,7,9；（3）5【分析】（1）数字和保证是 3 的倍数，则可填写 2,5,8；（2）能被 4 整除，则末两位能被 4 整除，则可填写 1,3,5,7,9；（3）既能被 3 又能被 4 整除，则两者均需符合，应填 522. 试说明一个 4 位数，原序数与反序数的和一定是 11 的倍数（如 1236 为原序数，对应的反序数为 6321，它们的和 7557 是 11 的数）【答案】见解析【分析】设原序数为 abcd，则反序数为 d

21、cba，则abcd+dcba=(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=1001a+110b+110c+1001d.因为等式的右边能被 11 整除，所以 abcd+dcba 能被 11 整除23. 下面有 9 个自然数 48、75、90、122、650、594、4305、7836、4100其中能被 4 整除的有哪些？能被 25 整除的有哪些？【答案】48，7836，4100；75，650，4100【分析】简答：能被 4 或 25 整除，只需看末两位24. 六位数 257a38 能被 3 整除，数字 a=？【答案】2，5 或 8【分析】2+5+7+a+3+8=2

22、5+a，要使 25+a 能被 3 整除，数字 a 只能是 2，5 或 8即符合题意的 a 是 2，5 或 825. 在数列 3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除，哪些数能被 3 整除，哪些数能被 11 整除？【答案】能被 4 整除的数有 3124、312、5588；能被 3 整除的数 有 312、5289、7314；能被 11 整除的数有 3124、558826. 有如下 9 个三位数：452,387,228,975,525,882,715,775,837这些数中哪些能被 3 整除？哪些能被 9 整除？哪些能被 2 整除？哪些能被

23、 5 整除？哪些能被 4 整除？哪些能被 25 整除？【答案】见解析【分析】能被 3 整除的数应为数字和为 3 的倍数，有：387,228,975,525,882,837；能被 9 整除的数应为数字和 9 的倍数，有：387,882,837；能被 2 整除的数应该末位能被 2 整除，有：452,228,882；能被 5 整除的数应该末位能被 5 整除，有：975,525,715,775；能被 4 整除的数应该末两位能被 4 整除，有：452,228；能被 25 整除的数应该末两位能被 25 整除，有：975,525,77527. 同时能被 2，3，5 整除的最小三位数是几？【答案】120【分析

24、】能被 5 整除的三位数是：100,105,110,115,120,125,其中，第一个能同时被 2，3 整除的数是 120（它是偶数，且 1+2+0=3），故 120 为所求28. 某个自然数既能写成 9 个连续自然数的和，还同时可以写成 10 个连续自然数的和，也能写成 11 个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？【答案】495【分析】本题所体现的是一个常用小结论，即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数任意偶数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数，并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数证明方法很简单，以连续 9 个奇数为例子：我们可以令连续 9 个奇数为：a-4

25、,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4 则他们的和为 9a，即为 9 的倍数对于连续 10 个自然数，可以为 a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4,a+5，则它们的和为 10a+5=5(2a+1)，即是 5 的倍数且除以 5 后商是奇数所以本题中要求的数是 5，9，11 的最小公倍数的倍数即 495 的倍数，最小值即 49529. 将 2009 除以一个两位数，所得的余数为 7，则满足条件的两位数共有多少个？【答案】7【分析】2009-7=2002=271113.两位数有 14111322267791 共 7 个30. 若 4b+2c+d=3

26、2，试问 abcd 能否被 8 整除？请说明理由【答案】见解析【分析】由能被 8 整除的特征知，只要后三位数能被 8 整除即可bcd=100b+10c+d，有 bcd-(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c) 能被 8 整除，而 4b+2c+d=32 也能被 8 整除，所以 abcd 能被 8 整除31. （1）从 1 到 3998 这 3998 个自然数中，有多少个数能被 4 整除？（2）从 1 到 3998 这 3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被 4 整除？【答案】（1）999 个，（2）999 个【分析】（1）由于每连续 4 个自然数中必有一个被 4 整除，39

27、984=9992因此从 1 到 3998 这 3998 个自然数中能被 4 整除的一共有 999 个（2）为了方便，将 0 到 3999 这 4000 个整数都看成四位数 abcd（不足四位则在前面补零，如 12=0012）由于 b、c、d 各有 10 种数字可任意选择，而且当 b、c、d 选定后，为满足 a+b+c+d 能被 4 整除，千位数字 a 必唯一确定事实上，若 b+c+d=4K 时，则 a=0；若 b+c+d=4K+1 时，则 a=3；若 b+c+d=4K+2 时，则 a=2；若 b+c+d=4K+3，则 a=1（K 为整数）综上所述，在 0 到 3999 这 4000 个整数中有

28、 1101010=1000(个) 数的各位数字之和能被 4 整除因此，从 1 到 3998 这 3998 个自然数中有 1000-1=999(个) 数的各位数字之和能被 4 整除32. 在所有的五位数中，各位数字之和等于 43 且能够被 11 整除的数有哪些？【答案】97999,99979,98989【分析】设这个五位数为 abcde，由题意(a+c+e)-(b+d)=11a+b+c+d+e=43解得a+c+e=27b+d=16,所以 a=c=e=9，b+d 为 7+9 或者 8+8，abcde 有三种可能：97999,99979,9898933. 下面五个自然数：128114、94146、6

29、4152、6139、491678，哪些能被 7 整除？哪些能被 11 整除？哪些能被 13 整除？【答案】被 7 整除：128114,6139；被 11 整除：64152,491678；被 13 整除：94146【分析】因为 128-114=14，146-94=52，152-64=88，139-6=133，678-491=187，所以能被 7 整除的有：128114,6139；能被 11 整除的有：64152,491678；能被 13 整除的有：9414634. 由 1，3，5，7 这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被 3 整除？【答案】12【分析】在 1，3，5，7 这四个数中

30、，任取三个，共有 4 组：1,3,5;1,3,7;1,5,7;3,5,7.其中，1+3+5 和 3+5+7 能被 3 整除，所以，由 1，3，5 或 3，5，7 写成的没有重复数字的三位数能被 3 整除由 1，3，5 可写成 135，153，315，351，513，531 六个三位数；同理，由 3，5，7 也能写成 6 个三位数所以，符合题意的三位数有62=12(个).35. 由 0，1，3，5 写成的没有重复数字的四位数中，有哪些能被 5 整除？【答案】见解析【分析】个位数是 0 的有：135015303150351053105130;个位数是 5 的有：1305103530153105.3

31、6. 有如下 5 个自然数：3124、3823、45235、5289、5588其中能被 11 整除的有哪些？【答案】3124，5588【分析】简答：判断能否被 11 整除，看奇位和偶位和的差37. 由 0，3，5 写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被 5 整除？【答案】350，530，305【分析】因为个位数为 0 或 5 的数才能被 5 整除，所以由 0，3，5 写成的没有重复数字的三位数中，只有 350，530，305 三个数能被 5 整除38. 在小于 100 的正整数中，能被 2 或 3 整除，且不能被 6 整除的数共有多少个？【答案】50 个【分析】小于 100 的正整数中，能被

32、 2 整除的有 49 个，能被 3 整除的正整数有 33 个，能同时被 2 和 3 整除的有 16 个，则满足条件的数有 49+33-162=50 个39. 一个三位数，它的反序数也是一个三位数，用这个三位数减去它的反序数得到的差不为 0，而且是 4 的倍数那么，这样的三位数有多少个？【答案】60 个【分析】设三位数为 100a,10b,c，反序数就是 100c,10b,a，前面减后面就是 99a-99c，要是 4 的倍数，说明 a-c 是 4 的倍数啊，不是 4 就是 8，所以总共是有 9b5,8b4,7b3,6b2,5b1,9b1，b 是 0 到 9 的任意自然数，总共是 60 个40.

33、在下面的每个三位数的 里填入一个数字，使它符合所提要求（1）28,32 能被 2 整除，又能被 3 整除；（2）15,22 能被 3 整除，又能被 5 整除；（3）50,4 同时能被 2、3、5 整除；【答案】（1）282,288；312,342,372；（2）315,615,915；225；（3）510,540,570；420,450,480【分析】（1）设 28a 能被 2 整除，又能被 3 整除，则 a 是偶数，且 2+8+a=10+a 是 3 的倍数，把 0,2,4,6,8 分别带入试验知 a=2 或 a=8；设 3b2 能被 2 整除，又能被 3 整除，由于末位是偶数，所以只需要 3

34、+b+2=5+b 是 3 的倍数，b=1 或 b=4 或 b=7；（2）设 a15 满足题中的条件，由于末位是 5 能被 5 整除，所以只需要 a+1+5=a+6 能被 3 整除，a=3 或 a=6 或 a=9；设 22b 满足题中的条件，由于被 5 整除，b=0 或 b=5，验算知只有 b=5 满足能被 3 整除；（3）设 5a0 和 4bc 满足题中的条件，5a0 显然能被 2、5 整除，所以只需要 5+a 能被 3 整除，a=1 或 a=4 或 a=7；4bc 能被 2、5 整除，只有 c=0，满足能被 3 整除，只需 4+b+c=4+b 能被 3 整除，b=2 或 b=5 或 b=84

35、1. 一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数已知这两个 4 位数的和是以下五个数中的一个： 9864； 9866； 9867； 9868； 9870这两个 4 位数的和到底是多少？【答案】9867【分析】设这个 4 位数是 abcd，最新的 4 位数是 bcda，两个数的和为 abcd+bcda=1001a+1100b+110c+11d，右边是 11 的倍数，所以两个 4 位数之和为 11 的倍数题目中的五个数只有 9867 能被 11 整除，这两个四位数的和为 986742. 四个学生各任意写一个六位数且个位不为 0把个位数字移到首位，其它位数字依次向后移一位把得到的新

36、的六位数与原六位数做和，得到以下结果：172536、568741、620708、845267哪个结果有可能是正确的？【答案】620708【分析】设原六位数是 abcdef，那么转换后得到的新六位数是 fabcde，abcdef+fabcde=110000a+11000b+1100c+110d+11e+100001f 是 11 的倍数，因此只有 620708 有可能是正确的43. 多位数 200920092009n个2009736，能被 11 整除，n 最小值为多少？【答案】3【分析】奇数位数字之和为 6+7+2n，偶数位数字之和为 3+9n，这个多位数整除 11，即 (3+9n)-(6+7+2n)=7n-10 能整除 11，n 最小取 344. 12+22+32+20012+20022 除以 7 的余数是多少？【答案】0【分析】由于12+22+32+20012+20022=2002200340056=100120031335而 1001 是 7 的倍数，所以这个乘积也是 7 的倍数，故 12+22+32+20012+20022 除以 7 的余数是 0；