【课后延时】小学数学专项《应用题》经典方阵问题基本知识-1星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、应用题-经典应用题-方阵问题基本知识-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率方阵问题基本知识B1.明确空心方阵和实心方阵的概念及区别2.掌握空心方阵和实心方阵的变化规律少考知识提要方阵问题基本知识 概述在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为方阵问题。在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。 实心方阵的特点总人（或物）数=每边人（或物）数 每边人（或物）数 空心方阵的特点总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数 - 层数） 层数 4 奇数层：总人数=中间层总数 层数偶数层：总人

2、数=（外层 + 内层） 层数 2 若最外层每边有 a 人，内部虚方阵每边有 b 人，则空心方阵共有 (a2-b2) 人。 变化规律相邻两边之间相差 2；相邻两层之间相差 8；每层人（或物）数=每边人（或物）数 4-4 =每边人（或物）数 -1 4 精选例题方阵问题基本知识 1. 运动会上，五年级学生排成一个方队（横竖行人数相等），已知最外层为 60 人，这个方队共有 人【答案】256【分析】最外层每边有 604+1=16(人)，共有 1616=256(人) 2. 一个实心方阵，最外一层每边 18 人，（1）那么整个方阵一共 人；（2）最外面一层有 人；（3）从外向内数，第 2 层每边有 人，一

3、共有 人；（4）如果考虑最外面三层，那么这三层共有 人【答案】324；68；16，60；180【分析】（1）182=324；（2）174=68 或 184-4=68；（3）18-2=16；154=60 或 68-8=60；（4）603=180 3. 一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加 13 人这个长方形队列原来最少有 人【答案】11【分析】增加一横行和一竖行，就要增加 13 人，那么原方阵的长与宽的和为 13-1=12，所以人数最少时，12=1+11，有 111=11(人) 4. 小朋友们排成方阵做广播体操，小明恰好站在方阵的正中心，此时无论是从前往后或者从后往前数他都排在第 5

4、 个，无论是从左往右或者从右往左数时他都排在第 6 个，则这个方阵中一共有 位小朋友【答案】99【分析】小明前后各有 5-1=4(人)，那么每列就有 4+1+4=9(人)；小明左右有 6-1=5(人)，那么每行就有 5+1+5=11(人)，这个方阵共有 911=99(位) 小朋友 5. 三年级广播体操比赛采用了方阵的形式，每个方阵有 5 行，每行 8 人，3 个这样的方阵有多少人？【答案】120 人【分析】583120（人），答：3 个这样的方阵有 120 人 6. 某班所有学生恰好可以排成一个每边为 8 人的三角阵，请问：这个班共有多少人？【答案】36 人【分析】每边为 8 人的三角阵共有：

5、1+2+3+8=36 人 7. 176 个棋子摆成一个四层空心方阵，最内层每边有多少棋子？【答案】9 个【分析】最内层与最外层总数和为 1764288（个），则则最内层有 (88-38)2=32（个），则每边有 324+1=9（个） 8. 用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖 400 块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外圈铺的是红色瓷砖，由外到内的第二圈是绿色瓷砖，第三圈是红色瓷砖，第四圈又是绿色瓷砖这样依次铺下去请问这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？【答案】红色；40 块【分析】共有 400 块瓷砖，所以整个方阵是一个 2020 的方阵，共有 10 层，从外向里依次为红、绿两种颜色相

6、间排列，最里一层为绿色；从外向里，每层红色瓷砖都比它里面相邻的那层绿色瓷砖多 8 块，所以红色比绿色多 58=40 块 9. 有 225 枚棋子，摆成一个 1515 的正方形，甲、乙两人从最外一层起，轮流取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了多少没枚棋子？【答案】31【分析】甲取走的是 56,40,24,8，乙取走的是 48,32,16,1，甲比乙多取 31 枚10. 某学校三年级同学 180 人，排成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？【答案】18【分析】中间层总数为 180360（人），则每边有 604+1=16（人），所以最外层每边有 16+2=18（人）11. 同学们

7、参加了广播操比赛，排成每行 9 人，每列 9 人的实心方阵，问方阵中共有多少学生？【答案】81【分析】可以根据“实心方阵总人数=每边人数每边人数”得到 9 行 9 列的实心方阵人数为：99=81(人)12. 一批同学站成一个 1010 的方阵，请问：最外一层共有多少人？从外向里的第 3 层有多少人？【答案】36 人；20 人【分析】最外层每边 10 人，共有 104-4=36 人从外向里的第 3 层有：36-82=20 人13. 三年级学生排成一个实心方阵进行体操表演，最外一层的人数为 32 人，问这个方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？【答案】每边 9 人，共 81 人【分

8、析】每边有324+1=9(人)共92=81(人)14. 一个实心体操方阵，最外层有 32 人这个体操方阵有多少人？【答案】81【分析】最外层每边人数：(324)43649（人）；9981（人）；答：这个体操方阵有 81 人15. 节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心方阵花坛，最外面的一层每边摆了 12 盆花，一共 3 层，一共用去多少盆花？【答案】108【分析】方法一：最外层共有124-4=44(盆)第二层共有44-8=36(盆)第三层共有36-8=28(盆)所以共有44+36+28=108(盆)方法二：第二层每边有12-2=10(盆)第二层共有104-4=36(盆)所以共有363=10

9、8(盆)16. 一个实心方阵，最外面一层共有 56 人，那么这个方阵一共有多少人？【答案】225【分析】最外层每边有：564+1=15 人，所以共有 1515=225 人17. 一个 1313 的方阵中，最外一层一共有多少人？从里向外的第 3 层有多少人？【答案】48 人；16 人【分析】最外层共有：134-4=48 人；最里边一层只有 1 人，里边第二层有 8 人所以从里向外第 3 层有 16 人18. 士兵排成一个实心方阵，最外一层一周的人数为 80 人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有多少士兵？【答案】21；441 人【分析】804121（人）；2121441（人）答：方阵外层每边有

10、 21 人，这个方阵共有 441 士兵19. 小明用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又用 28 枚棋子摆成了另外一个单层的空心方阵，摆完后他发现两个方阵正好可以拼在一起，组成一个新的三层空心方阵，那么他原来用了多少枚棋子？【答案】32 或 80【分析】如果单层空心方阵放在双层空心方阵的里面，那么原有棋子 (288)(2888)80 枚；如果单层空心方阵放在双层空心方阵的外面，那么原有棋子 (28-8)(28-8-8)32 枚；所以原来用了 80 枚棋子或 32 枚棋子20. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有 10 人，共有多少层？13 层一共有多少人？【答案】5；36【分析】1

11、025（层），236（人），6636（人），所以共有 5 层，13 层一共有 36 人21. 某学校三年级同学 180 人，排成个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？【答案】18【分析】中间层总数为1803=60(人)则每边有604+1=16(人)所以最外层每边有16+2=18(人)22. 用 64 枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？【答案】44【分析】方阵相邻两层棋子数差为 8，又知两层棋子数和为 64，由和差问题，外层有(64+8)2=36(枚)如果再增加一层，需要增加36+8=44(枚)23. 一个实心体操方阵，最外层有 72 人这个体操方阵有

12、多少人？【答案】361【分析】最外层每边人数：(724)476419（人）；1919361（人）；答：这个体操方阵有 361 人24. 若干学生排成一个实心方阵，倒数第二层每边比第二层多 10 人，共有多少层？【答案】8【分析】(102)+128（层），所以共有 8 层25. 一个实心方阵，最外面一层共有 36 人，如果要让这个方阵增加一行一列，需要增加多少人？【答案】21 人【分析】最外层 36 人，每边 364+1=10 人，增加一行一列需要 1111-1010=21 人26. 有一个 6 层的空心方阵，最外层每边 25 人，问要多少学生才能排出这个空心方阵？【答案】456 人【分析】(2

13、5-6)641924456（个），答：要 456 个学生才能排出这个空心方阵27. 一个实心方阵，最外面一层共有 44 人，请问：（1）这个方阵共有多少人？（2）如果让这个方阵减少一行一列，一共需要减少多少人？【答案】（1）144；（2）23【分析】（1）“最外一层共有 44 人”，说明最外层每边有：444+1=12 人，所以，这个方阵是一个 1212 的方阵，共有 1212=144 人（2）减少一行一列，也就是变成一个 1111 的方阵，需要减少 144-1111=23 人28. 如图所示，小刚在用棋子摆好的实心方阵上又填了 17 枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来的

14、实心方阵有多少枚棋子？【答案】64【分析】填上 17 枚棋子，正好可以增加一排一列，此时每条边有(17-1)2+1=9(枚)那么原来的方阵每条边有91-1=8(枚)原来实心方阵的总棋子数：88=64(枚)29. 共有 200 人排成一个 5 层空心方阵，这个方针最外面一层每边多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？【答案】15；31【分析】中间层共有：2005=40 人，所以最外层共有：40+82=56 人，每边有 564+1=15 人；增加一行一列需要：1616-1515=31 人30. 共有 240 人排成一个 5 层空心方阵，这个方阵最里面一层每边多少人？如果要在内部加一

15、层，变成 6 层空心方阵，还需要增加多少人？【答案】32；24【分析】5 层中间一层共有：2405=48 人，所以最内一层共有：48-82=32 人，每边 324+1=9 人，内部增加一层需要 32-8=24 人31. 学而思运动会上，五年级的女生们准备出一个团体操的节目现在的人数刚好排成一个方阵（每一行人数和每一列人数相等）后来又加入了 23 个女生，恰好还可以组成一个方阵那么你能算出加入 23 人之前，方阵共有多少人吗？【答案】121 人【分析】依题意，前后两次的学生总人数都是完全平方数不妨设前者人数是 B2，后者人数是 A2. 那么根据平方差式，A2-B2=A+BA-B=23因为 A+B

16、 和 A-B 是同奇偶的，所以 23 也应该拆成 2 个同奇偶性的数的乘积因此A+BA-B=231A+B=23A-B=1A=12B=11则加入 23 人之前，方阵有 1111=121 人32. 若干名同学站成一个 1515 的方阵，请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里向外的第七层有多少人？【答案】56；8；48【分析】最外层每边 15 人，但角落上的 4 个人每人都同时位于两条边上，所以最外层共有：154-4=56 人；每人往里一层，每边人数会减少 2 个，最里层的每边应该有：15-27=1 人，共有 7+1=8 层；从里向外第 7 层每边有：1+2(7-1)=13 人，所以这一层共有：134-4=48 人