上海市杨浦高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 WORD版含答案.docx

1、杨浦高级2020学年度第一学期期末测试高二数学试卷时间90分钟 满分100分一、填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.若复数（是虚数单位），则 .2.直线（是参数，）的一个方向向量是 .3.已知复数，为纯虚数，则实数 .4.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则 .5.若实数，满足则的最大值为 .6.若双曲线的渐近线方程为，它的焦距为，则该双曲线的标准方程为 .7.过点作倾斜角为的直线，与抛物线交于、两点，则 .8.已知、，若经过的直线与线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 .9.在直角坐标平面中，动点在圆：上，则的取

2、值范围为 .10.已知椭圆：，为短轴顶点，椭圆上两个不同点满足，则直线恒过的定点的横坐标为 .二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号的空格内填入代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.平面上到两定点，的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（ ）A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线12.以下关于复数的说法正确的有 个（ ） 若，则在复平面中的轨迹是线段若在复平面中对应的点在轴上，则是纯虚数 A.0 B.1 C.2 D.313.已知、，直线：，：，则“”是“直线与平行”的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 B.充要条件 D.

3、既非充分又非必要条件14.已知两点，给出下列曲线方程：；在曲线上存在点满足的所有曲线是（ ）A. B. C. D.三、解答题（本大题共有5小题，满分分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知直线过点且与直线垂直，圆与直线相交于，.（1）求弦长；（2）直线过原点且与已知圆相切，求直线与的夹角.（用反三角函数表示）16.关于的方程，的两个复数根为，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.17.已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹.（1）求曲线的方程；（2）斜率为1的直线与曲线相交于点，弦长，求直线的方程；（3）求斜率为1的直线交曲线的弦的中点的轨迹方程.18

4、.某校运会上进行无人机飞行表演，飞行水平距离总长60米（即线段长度为60米）。飞行轨迹如图所示，起点离地30米（），最低点离地10米，从起点飞到最低点水平距离经过20米。最高点离地50米，从起点到最高点的轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为，),达到最高点后的轨迹为线段，终点N与点等高.建立合适平面直角坐标系，并求（1）线段所在直线与水平线（地面）的夹角的正切值；（2）在与等高的处有摄像机拍摄，与的水平距离为10米，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.（精确到）19.已知双曲线：（，）的焦距为4，直线：（）与交于不同的点、，且时与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.（1）求双曲线的

5、方程；（2）若坐标原点在线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：为定值.杨浦高级2020学年度第一学期期末测试高二数学答案一、填空题1.2.3.4.5.46.，7.88.9.【解析】因为，设，则，10.0二、选择题11.D；12.C；13.D；14.B.三、解答题（本大题共有5小题，满分分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.，【提示】（1）直线方程为，圆心到直线的距离（2）：16.（1）解：由韦达定量，方程判别式，若方程有实根，则，此时，由韦达定量，（符合）；若方程有虚根，则，设两个复数根

6、为（，），由，则，因此，则（）.（2）解：若方程有实根，则，则，显然，若方程有虚数根，则，由共轭虚根定理，从而，则，综上所述，或者.17.（1）（2），（3）点，坐标如（1）中所设，设直线的方程为，代入，得，则，设是轨迹上任意一点，则，消去是，即所求的轨迹方程为（在已知椭圆内的部分）.18.，若以过作地面的垂线为轴，地面为轴建系，与相切若以为坐标原点建系，与相切19.（1）（2）或（3）【解析】（1）当直线：与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，又焦距为4，则，解得，则所求双曲线的方程为（2）设，由，得，则，且，又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，即，即，则，即，则，即实数的取值范围（3）线段在轴上的射影长是.设，由（1）得点，又点是线段的中点，则点，直线的斜率为，直线的斜率为，又，则直线的方程为，即，又直线的方程为，联立方程，消去化简整理，得，又，代入消去，得，即，则，即点的横坐标为，则.故线段在轴上的射影为定值.