专题 二次根式求值的常用方法（解析版）.docx

1、八年级下册数学第十六章 二次根式专题 二次根式求值的常用方法题型一 利用二次根式的性质求值【例题1】（2022春黄冈期中）已知等式5xx3=5xx3成立，化简|x6|+(x2)2的值【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再将x代入化简即可求值【解答】解：由题意得，5x0x30，3x5，|x6|+(x2)26x+x24【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键【变式1-1】（2022秋海陵区校级期末）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简b2(b+c)2(ca)2【分析】先根据数轴判断b，b+c，ca的正负性，再根据二次根式的性质进行化简即可求解【

2、解答】解：由题意可知：ac，b0，c0，|b|c|，b+c0，ca0，b2(b+c)2(ca)2|b|b+c|ca|b+（b+c）（ca）b+b+cc+aa，【点评】本题主要考查了数轴和二次根式，理解题意掌握二次根式的性质是解题的关键【变式1-2】（2022秋农安县期中）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置化简：a2|ab|+(ca)2+|b+c|【分析】先根据数轴判断a，b，c的正负数，再根据绝对值的意义化简求解【解答】解：根据数轴可得：cb0a，ab0，ca0，b+c0，a2|ab|+(ca)2+|b+c|a（ab）（ca）（b+c）aa+bc+abca2c【点评】本题考查了二次根

3、式的化简与求值，绝对值的化简是解题的关键【变式1-3】先化简，再求值：2nmmnm2+n25n2mn(m+2n)22mn，其中m+1+(n3)2=0【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值，再把m，n的值代入，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案【解答】解：2nmmnm2+n25n2mn(m+2n)22mn=2nmmnm2+n25n2mnm2+4n2+4mn2mn =2nmmnmnm24n2(m+2n)22mn =2nmmnmn(m2n)(m+2n)(m+2n)22mn =m+2n2mn，m+1+(n3)2=0，m+10，n30，m1，n3原式=m+2n2mn=1+2323(1)=56【

4、点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键【变式1-4】（2022秋如东县期末）x，y为实数，且yx1+1x+3，化简：|y3|y28y+16【分析】先根据x1、1x有意义的条件可得x10，1x0，解可求x1，再把x1代入yx1+1x+3中，易求y3，从而可对所求式子化简，并合并即可【解答】解：x10，1x0，x1，x1，x1，又yx1+1x+3，y3，|y3|y28y+16=3y（4y）1故答案为1【点评】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简求值解题的关键是注意被开方式是0的【变式1-5】（2022秋崇川区校级月考）已知：y3x2+23x+2，求y24y+42

5、y+53x的值【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，以此即可得到结果【解答】解：由y3x2+23x+2可得，3x2023x0，x=23，y2，y24y+42y+53x=(y2)22y+5323 =y22y+52 1+522【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出x=23，y2是解题关键【变式1-6】（2021春睢县期中）已知a、b满足4ab+1+13b4a3=0，求2a（ba1b）【分析】根据非负数性质可得关于a、b的方程组，求得a、b的值代入计算即可【解答】解：根据题意，得：4ab+1=013b4a3=0，解得：a=1b=3，故2a（ba1b）2（

6、1）（3113）2（33）236【点评】本题主要考查二次根式的求值及非负数的性质，根据非负数性质列出方程组是解题的前提，代入求值是关键【变式1-7】（2021秋金牛区校级月考）若等式(3x+1)(2x)=3x+12x成立，试化简：|x4|+9x2+6x+1+|x2|【分析】根据题意求出x的取值范围，根据完全平方公式和a2=|a|化简，根据绝对值的性质化简即可【解答】解：根据题意得：3x+10，2x0，13x2，x40，x20，原式|x4|+(3x+1)2+|x2|x4|+|3x+1|+|x2|4x+3x+1+2xx+7【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握a2=|a|是解题的关键【变式1-8

7、】（2022春藁城区校级期中）求代数式a+12a+a2的值其中a1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程（1） 的解法是错误的；（2）求代数式a+2a26a+9的值，其中a2022【分析】（1）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断；（2）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，最后代入求值【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，理由如下：原式a+(1a)2，a1011，1a0，原式a+a12a12101112021，故答案为：小亮；（2）原式a+2(a3)2，a2022，a30，原式a+2（3a）a+62a6a6（2022）6+2022202

8、8【点评】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握利用完全平方公式分解因式的技巧是解题关键题型二 化简后直接代入求值【例题2】（2022秋青浦区校级期中）先化简再求值：x2xy+yxy1x+2xy+y，其中x=13+22，y=1322【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可【解答】解：原式=(xy)2(x+y)(xy)（x+y）2（xy）（x+y）xy，当x=13+22=322(3+22)(322)=322，y=1322=3+22时，原式（322）（3+22）42【点评】本题考查的是二次根式的化简求

9、值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键【变式2-1】（2022秋长泰县期中）先化简，再求值：(a3)(a+3)a(a4)，其中：a=3+1【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可【解答】解：(a3)(a+3)a(a4)a23a2+4a4a3，当a=3+1时，原式4（3+1）343+4343+1【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键【变式2-2】（2022春谷城县期末）已知x23，求代数式（7+43）x2+（22+6）x1的值【分析】先求出x2的值，代入后先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减

10、法则进行计算即可【解答】解：x23，x2（23）2443+3743，（7+43）x2+（22+6）x1（7+43）（743）+（22+6）（23）14948+4226+26321=2【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键【变式2-3】（2022春范县期中）先化简，再求值（6xyx+3yxy3）（4yxy+36xy），其中x=121，y=12+1【分析】首先把二次根式进行化简，然后再去括号合并同类二次根式，再代入xy的值即可【解答】解：原式（6xy+3xy）（4xy+6xy），6xy+3xy4xy6xy，=xy，当x=121，y=12+1时，xy

11、=121=1，则原式1【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是正确化简二次根式【变式2-4】（2021春连山区期中）给出以下式子：（x24x24x+41x2）x+1x+2，先简化，然后从1，2，2+23三个数中，选个合适的数代入求值【分析】先算括号里面的减法，再根据发送到除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为2，2，1，取x2+23，再代入求出答案即可【解答】解：（x24x24x+41x2）x+1x+2(x+2)(x2)(x2)21x2x+2x+1（x+2x21x2）x+2x+1=x+21x2x+2x+1 =x+1x2x+2x+1 =x+2x2，由题意得，x2

12、0，x+20，x+10，则x2，x2，x1，当x=2+23时原式=2+23+22+232=23+423=1+233【点评】本题考查了分式和二次根式的化简求值，能灵活运用分式和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序【变式2-5】（2022秋宝山区期中）已知a=12+3，求1+2a+a2a+1a24a+4a22a的值【分析】先利用分母有理化可得a23，然后再代入到化简后的式子，进行计算即可解答【解答】解：a=12+3=23(2+3)(23)=23，a20，1+2a+a2a+1a24a+4a22a=(1+a)2a+1(a2)2a(a2) a+12aa(a2)a+1+1a23+1+（2

13、+3）23+1+2+35【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键【变式2-6】（2022春曹县期中）先化简，再求值（6xyx+3yxy3）（4yxy+36xy），其中x=32，y27【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得【解答】解：原式（6xxyx+3yyxy）（4yxyy+6xy）6xy+3xy4xy6xy=xy，当x=32、y27时，原式=3227=922【点评】本题主要考查二次根式的混合运算化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则【变式2-7】（2022秋虹口区校级月

14、考）先化简，再求值：4ab+a+bbaab+abbaab，其中a1，b2【分析】利用二次根式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可【解答】解：4ab+a+bbaab+abbaab=4ab+2abaab =4(ab)(a+b)+2aab(ba) =4abab(ab)(a+b)2a(a+b)ab(a+b)(a+b) =2ab+b =2(abb)abb2，a1，b2，原式=2(22)24=22【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值的方法是解决本题的关键【变式2-8】（2022秋崇川区校级月考）当x=1+20222时，多项式4x32025x2022的值为（）A

15、3B3C1D1【分析】求出2x1+2022，再变形得出4x32025x2022（4x22025）x2022，再依次代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可【解答】解：x=1+20222，2x1+2022，4x32025x2022（4x22025）x2022（1+2022）22025x2022（1+2022+220222025）x2022（2+22022）x20222（1+2022）1+202222022（1+2022）（1+2022）20222022120221，故选：D【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键题型三 利用整体思想代入求值【例

16、题3】（2022峄城区校级模拟）已知a=526，b=5+26，则a2+b23ab的值为（）A5B65C95D135【分析】由已知可得ab46，ab1，因为原式（ab）2ab，再整体代入即可【解答】解：a=526，b=5+26，ab46，ab1，原式（ab）2ab96195故选：C【点评】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握计算法则是关键【变式3-1】（2021秋邵阳县期末）若a1+2，b12，则代数式a2+b23ab的值为（）A3B3C5D9【分析】首先把所求的式子化成(ab)2ab的形式，然后代入数值计算即可【解答】解：原式=(ab)2ab=(22)2(1)=8+1=3故选：A【点评】本题考查

17、了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键【变式3-2】（2022春藁城区校级月考）已知a=3+1，b=31，则baab的值为（）A23B23C43D43【分析】由题意可得ab2，ab2，a+b23，再整理所求的式子，代入运算即可【解答】解：a=3+1，b=31，ab（3+1）（31）2，ab=3+1（31）2，a+b=3+1+3123，baab=b2a2ab =(a+b)(ab)ab =2322 =23故选：A【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握【变式3-3】（2022秋澧县期末）已知x=1322，y=13+22，xy+yx4 【分析】先分母有

18、理化，进一步得到xy，x+y，再将xy+yx4变形后代入计算即可求解【解答】解：x=1322=3+22，y=13+22=322，x+y6，xy981，xy+yx4=x2+y2xy4=(x+y)22xyxy4=3621434430故答案为：30【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，分母有理化，关键是求出xy，x+y的值【变式3-4】（2022春渝中区校级期中）已知：x=2+1，y=21，求下列各式的值（1）x2+2xy+y2；（2）x2+y2【分析】先计算出x+y与xy的值，再把代数式变形得到（1）x2+2xy+y2（x+y）2；（2）x2+y2（x+y）22xy，然后分别利用整

19、体代入的方法计算【解答】解：x=2+1，y=21，x+y22，xy211，（1）x2+2xy+y2（x+y）2（22）28；（2）x2+y2（x+y）22xy8216【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值利用整体代入的方法可简化计算【变式3-5】计算求值 a，b为实数，且a+b8，ab8，求bba+aab的值【分析】首先由a+b8，ab8，求得a2+b248，然后化简二次根式，代入即可求得答案【解答】解：a+b8，ab8，a，b同号，且均为负数，a2+b2+2ab64，ab8，a2+b248，原式babaaabb=（baab）ab=a2+b2abab=

20、4888=122【点评】此题考查了二次根式的化简求得a2+b248是解题的关键【变式3-7】已知x23x+10，求x2+1x22的值【分析】把已知等式两边除以x得到x+1x=3，再利用完全平方公式变形得到原式=(x+1x)24，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：x23x+10，x3+1x=0，即x+1x=3，原式=(x+1x)24=324 =5【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可也考查了代数式的变形能力【变式3-8】（2022秋虹口区校级月考）已知a(a+b)=3b(a+5b)，则2a+3b+abab+ab的值为 【

21、分析】根据已知可得（a5b）（a+3b）0，从而可得a=5b，进而可得a25b，然后代入式子中进行计算即可解答【解答】解：a(a+b)=3b(a+5b)，（a）2+ab=3ab+15（b）2，（a）22ab15（b）20，（a5b）（a+3b）0，a+3b0，a5b=0，a=5b，a25b，2a+3b+abab+ab=50b+3b+5b25bb+5b =58b29b 2【点评】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键【变式3-9】（1）已知39+x215+x2=2，求39+x2+15+x2的值（2）已知29x215+x2=2，求29x2+15+x2的值【分析】（1）根据平方

22、差公式可以解答本题；（2）根据题目中的式子，进行变形建立与所求式子之间的关系，注意所求的式子的结果是正值【解答】解：（1）39+x215+x2=2，（39+x215+x2）（39+x2+15+x2）2（39+x2+15+x2），39+x215x22（39+x2+15+x2），242（39+x2+15+x2），39+x2+15+x2=12；（2）29x215+x2=2，（29x215+x2）24，29x2+15+x2229x215+x2=4，29x215+x2=20，（29x2+15+x2）2=29x2+15+x2+229x215+x2=44+22084，29x2+15+x2=84=221【点评

23、】本题考查二次根式的化简求值，解答此类问题的关键是明确二次根式化简求值的方法题型四 利用二次根式的整数部分和小数部分求值【例题4】已知a，b为实数，m，n分别表示57的整数部分和小数部分，且am+bn0，求代数式a2b+34的值【分析】根据已知首先求出m，n的值，进而化简原式得出2a+3b0，b0，求出即可【解答】解：m，n分别表示57的整数部分和小数部分，m2，n57237，am+bna2+（37）b2a+（37）b0，ab=732a2b+34=12732+34=74【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的根据是求出m，n的值【变式4-1】（2021秋普陀区校级月考）如果5+5和52小

24、数部分分别为a，b，那么ab+2 【分析】先估算5，进而求得a、b的值，再代值计算便可【解答】解：253，75+58，0521，5+5和52小数部分分别为a，b，a5+57=52，b=52，ab+2=5252+21+23，故答案为：3【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式除法运算，正确估算无理数的大小是解题的关键【变式4-2】（2022秋宛城区校级月考）已知x=12+3，y=123（1）求x2+y2xy的值；（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（xb）2y的值【分析】（1）利用分母有理化化简x和y，并将所求式变形后代入可答案；（2）根据无理数的估算可知0231，3

25、2+34，可得a和b的值，代入所求式可得答案【解答】解：（1）x=12+3=23(2+3)(23)=23，y=123=2+3(23)(2+3)=2+3，x2+y2xy（x+y）23xy（23+2+3）23（23）（2+3）16313；（2）132，0231，32+34，a0，b2+33=31，5a2021+（xb）2y50+（233+1）2（2+3）（323）2239123+122319133【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和分母有理化是解本题的关键【变式4-3】（2022秋滨江区校级期中）（1）已知7+7的小数部分是a，77的小数部分是b，求a+b的值；（2

26、）设5+3的整数部分用a表示，小数部分用b表示，33的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求abcd的值【分析】（1）由479，得出273，确定7+7的小数部分，可得a的值，然后确定用77的小数部分，可得b的值，把a、b值代入代数式a+b中计算即可；（2）同理估算3的大小，确定a，b，c，d的值，代入所求式计算即可【解答】解：（1）479，273，97+710，4775，7+7的整数部分是9，小数部分a=7+79=72，77的小数部分是77437，a=72，b37，a+b=72+37=1；（2）134，132，65+37，1332，a6，b5+36=31，c1，d33123，abcd6（31）

27、1（23）6362+3=738【点评】本题考查的是估算无理数的大小，应从估算无理数7或3的范围入手【变式4-4】（2022秋古田县期中）已知a+b33+|b+3|b+3，x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分求2x3y的值【分析】由a+b33+|b+3|b+3，可得a+b33，再根据x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分，确定x、y的值，代入计算即可【解答】解：由a+b33+|b+3|b+3，可得a+b33，5336，x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分，x5，y=335，2x3y103（335）25333，答：2x3y的值为25333【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平

28、方根的意义是解决问题的关键【变式4-5】（2022春大观区校级期末）阅读下列材料：134，即132，3的整数部分为1，小数部分为31请根据材料提示，进行解答：（1）14的整数部分是 ，小数部分是 （2）如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m+n26的值（3）已知：10+32=a+b，其中a是整数，且0b1，请直接写出a，b的值【分析】（1）估算14的大小即可；（2）估算无理数6和21的大小，进而确定m，n的值，再代入计算即可；（3）估算无理数32的大小，进而确定10+32的大小，确定a，b的值即可【解答】解：（1）91416，即3144，14的整数部分是3，小数部分是143，故答案为

29、：3，143；（2）263，4215，m=62，n4，2m+n262（62）+426264+4260；（3）5326，1510+3216，10+32的整数部分是15，小数部分是10+3215=325，10+32=a+b，其中a是整数，且0b1，a15，b=325【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键【变式4-6】（2022秋西安月考）观察：因为459，即253，所以5的整数部分为2，小数部分为52请你观察上述规律后解决下面的问题：（1）规定用符号m表示实数m的整数部分，例如：230，62按此规定，那么10+1的

30、值为 （2）若11的整数部分为a，小数部分为b，|c|=11，求c（ab6）+12的值【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数10的大小，进而确定10+1的大小即可；（2）估算无理数11的大小，确定a、b的值，再根据绝对值的定义得出c的值，再代入计算即可【解答】解：（1）91016，即3104，410+15，10+1的整数部分为4，即10+14，故答案为：4；（2）91116，即3114，11的整数部分a3，小数部分b=113，|c|=11，c11，当a3，b=113，c=11时，c（ab6）+12=11（311+36）+1211+121；当a3，b=113，c=11时，c（ab6）+12=11（311+36）+1211+1223；答：c（ab6）+12的值为1或23【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义估算无理数的大小，进而确定整数部分、小数部分是正确解答的前提