专题01 三角函数与解三角形-【大题精做】冲刺2023年高考数学大题突破 限时集训（新高考专用）（解析版）.docx

1、专题01 三角函数与解三角形三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，解三角形主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，主要题型：1 三角函数图像及性质问题 ，2 结构不良试题 3 三角形面积周长问题4三角形三线问题5 三角函数实际应用问题在新课标中强调情景复杂化，更容易将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.题型一：三角函数的图象及其性质1，已知点A，B是函数的图像与直线的两个交点.且的最小值为.(1)求函数的单调递增区间；(2)若对于都有，求m的取值范围.【答案】(1)(2) ， ，当 时单调递增，即 时单调递增

2、；（2）当 时， ， ， ，原不等式等价于： ，即 ，解得 ；m的取值范围是 .此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为的形式，再结合正弦函数的性质研究其相关性质（1）已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如或（其中0）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错（2）函数图象的平移变换解题策略：对函数，或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|个单位，都是相应的解析式中的x变为x|，而不是x变为.注意平移前后两个函数的名

3、称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.1 已知函数，(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最大值和最小值；(3)若，求的值【答案】(1)(2)最大值为，最小值为.(3)【详解】（1），.，的最小正周期为.（2）因为，所以令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.且，所以，的最大值为，最小值为.（3）因为，所以，又因为所以，故，所以，.题型二：结构不良试题设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在以下、中选择一个作为条件，并加以解答，如果、都做，则按给分向量与向量平行(1)确定角A和角B之间的关系；(2)若D为线段BC上一点，且满足BDAD4，若2a3b，求b【

4、答案】(1)2BA(2)（1）若选：因为向量与向量平行，所以，由正弦定理，可得，或（舍）或2BA，即2BA若选：，所以，由正弦定理，可得，或（舍）或2BA，即2BA若选：，所以上式化为，即（2）如图，作出ABC示意图如下：2a3b，由正弦定理，可得，过D向AB作垂线，垂足为H，因为BDAD，所以H是AB中点，ABc6因为BDAD，所以BBAD，因为BAC2BBADCAD，所以BADCAD，AD是BAC的角平分线，即有，解得1已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，分别是角的对边，若为上一点，且满足_，求的面积.请从；为的中线，且；为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并

5、作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)，(2)答案见解析【详解】（1），由，得，函数的单调递增区间为，；（2）由，得，又中，可知；若选：由，可知，可化为，又，则，又中，故，所以，则，故；若选：为的中线，且在中，则有，在中，在中，又，则则，又知，故；故；若选：为的角平分线，且.由题意知，即，整理得又在中，则有，故解之得，故.题型三：三角形面积，周长问题1 中，.(1)若，求；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1），由，得.，.（2）法一：，又，又，由正弦定理得，又，又，.法二：在上取点，使得，又，.，.又，.1在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别

6、为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.(1)求的值；(2)若，求的周长.【答案】(1)(2)（1）由为在方向上的投影向量，则，即，根据正弦定理，在锐角中，则，即，由，则，整理可得，解得.（2）由，根据正弦定理，可得，在中，则，由（1）可知，则，由，则，解得，根据正弦定理，可得，则，故的周长.题型四：三角形三线问题1已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)若O是的内心，且，求面积的最大值.【答案】(1)或(2)【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 所以，因为，所以， 因为，所以或（2）因为，且，所以由余弦定理得，所以A为锐角，由（1）知. 因为是的内心，所以，

7、在中，由余弦定理得，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以面积的最大值为.1 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且(1)求A；(2)已知的面积为，设M为BC的中点，且，的平分线交BC于N，求线段AN的长度【答案】(1)(2)（1）由题意知中，由正弦定理边角关系得：则，又，所以，即（2）如下图所示，在中，为中线，题型五 三角函数实际应用问题1 如图，在中， ，为外一点，(1)求角的大小，并判断的形状；(2)求四边形的面积的最大值【答案】(1)，等边三角形(2)【详解】（1）由题知,即解得或(舍),所以因为,所以所以的形状为等边三角形（2）设,在中由余弦定理得的面积的面积四边形AB

8、CD的面积当,等号成立所以四边形ABCD的面积的最大值为1 如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.(1)若，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理可得的大小，再根据正弦定理可得，进而求得扇形的半径，从而得到种植花卉区域的面积（2）设，根据直角三角形中的关系可得关于的表达式，从而得到平行四边形的面积表达式，从而根据三角函数的最值求解即可【详解】（1）由余弦定理，故，又由正弦定理有，

9、故，所以扇形的半径，故种植花卉区域的面积（2）设，则，故，故平行四边形绿地占地面积，因为，故要面积最小，则当，即，时面积取得最小值，即多大时，平行四边形绿地占地面积最小1如图,在平面四边形中,.(1)试用表示的长;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）（）,，则在中,则.（2）在中,则当时,取到最大值.故的最大值是2已知平面四边形中，若，的面积为(1)求的长；(2)求四边形周长的最大值【答案】(1)(2)周长的最大值为【详解】（1）在中，由题意有，解得，又由余弦定理得， 所以 （2），设，四边形周长设为，则，由题可知，在中，由余弦定理得( ，则 所以，即 ， 当且仅当 时等号成立

10、，所以 ，即四边形周长的最大值为3记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知是与的等比中项(1)求A(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）因为是与的等比中项，所以，由正弦定理及两角和的正弦公式，得因为，所以，即因为，所以，所以，即又，所以，所以，即（2）由正弦定理，得，所以因为是锐角三角形，所以所以，所以，所以的取值范围是4在ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，(1)求角B的大小；(2)当ABC面积最大时，求BAC的平分线AD的长【答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定理可得，由余弦定理得，又，（2）在ABC中，由余弦定理得，即，当且仅当时取

11、等号，当且仅当ac2时，又ABC面积为，当且仅当ac2时ABC面积最大当ac2时，又为的角平分线，在ABD中，在ABD中，由正弦定理得5某地区组织的贸易会现场有一个边长为的正方形展厅，分别在和边上，图中区域为休息区，及区域为展览区(1)若的周长为，求的大小；(2)若，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积最大，并求出最大值【答案】(1)(2)当时，展览区的面积最大，最大值为【详解】（1）设，则，又的周长为，则，整理可得：，因为，（2）设，则，在中，边上的高为，则当，即时，取得最大值，此时取得最小值，则当时，展览区的面积最大，最大值为.一、解答题1（2022全国统考高考真题）记的内角的对边分别为

12、，已知(1)证明：；(2)若，求的周长【答案】(1)见解析(2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.【详解】（1）证明：因为，所以，所以，即，所以；（2）解：因为，由（1）得，由余弦定理可得， 则，所以，故，所以，所以的周长为.2（2022全国统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求B；(2)求的最小值【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；（2）由（1）知，再利用正弦定理以及二倍角公式将

13、化成，然后利用基本不等式即可解出【详解】（1）因为，即，而，所以；（2）由（1）知，所以，而，所以，即有，所以所以当且仅当时取等号，所以的最小值为3（2022全国统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知(1)求的面积；(2)若，求b【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【详解】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.4（2022北京统考高考真题）在中，(1)求；(2)若，且的面

14、积为，求的周长【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，所以，的周长为.5（2021全国统考高考真题）记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.【详解】（1

15、）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即又因为，所以（2）方法一【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，在中，由得，整理得又因为，所以，解得或，当时，（舍去）当时，所以方法二：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，而，即，故有，从而由，即，即，即，故，即，又，所以，则方法三：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得在中，由正弦定理得又，所以，化简得在中，由正弦定理知，又由，所以在中，由余弦定理，得故方法四：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E，则由，得在中，在中因为，所以，整理得又因为，所以，即或下同解法1方法五：平面向量基本定理因为，所以以向量为基底，有所以，即，

16、又因为，所以由余弦定理得，所以联立，得所以或下同解法1方法六：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则由（1）知，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动设，则由知，即联立解得或（舍去），代入式得，由余弦定理得【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理

17、和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.6（2021全国统考高考真题）在中，角、所对的边长分别为、，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，故.