专题03 一次函数的概念与图象（1大考点 4种题型）（解析版）.docx

1、专题03 一次函数的概念与图象（1大考点+4种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一、一次函数的概念题型一：识别一次函数题型二：根据一次函数的定义求参数题型三：求一次函数自变量或函数值题型四：列一次函数解析式并求值考点一、一次函数的概念（1） 一般地，解析式形如（，是常数，且）的函数叫做一次函数；（2） 一次函数的定义域是一切实数；（3） 当时，解析式就成为（是常数，且），这时y是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4） 一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数它的自变量由所讨论的问题确定题型一：识别一次函数【例1】（2023下上海徐汇八年级统考期末）下列函数中，一次函数是（

2、）ABCD【答案】A【分析】根据一次函数的定义分别进行判断即可【详解】解：A、是一次函数，故此选项符合题意；B、当时，是一次函数，故此选项不符合题意；C、，右边不是整式，不是一次函数，故此选项不符合题意；D、自变量最高次数是二次，不是一次函数，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，自变量次数为1【变式1】（2023下上海长宁八年级上海市延安初级中学校考期中）下列函数中，是一次函数的是（）ABC（k、b是常数）D【答案】D【分析】根据一次函数的定义逐项判断即得答案.【详解】解：A、不是一次函数，故本选项不符合题意；B、不是一次函数，故本

3、选项不符合题意；C、（k、b是常数），当时不是一次函数，故本选项不符合题意；D、是一次函数，故本选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了一次函数的概念，熟知形如（k、b是常数，且）叫一次函数是解题的关键.【变式2】（2023下上海浦东新八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（）A4个B3个C2个D1个【答案】B【分析】根据一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可【详解】解：（1），是一次函数；（2），是一次函数；（3），不是一次函数；（4），是一次函数；（5），不是一次函数，综上，（1）（2）（4）是一次函数，共3个；故选：B【点

4、睛】本题考查的是一次函数的定义，解决本题的关键是明确一次函数的定义，一般地，形如是常数的函数，叫做一次函数题型二：根据一次函数的定义求参数【例2】（2023下上海浦东新八年级校考期末）当 时，函数是一次函数，且不是正比例函数【答案】【分析】根据一次函数的解析式为：，则；根据题意，则，即可【详解】函数是一次函数，且不是正比例函数，解得：，故答案为：【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的定义【变式1】（2021下上海长宁八年级校考期中）若函数是关于x的一次函数，那么k的取值范围是 【答案】【分析】根据一次函数的定义即可求得【详解】解：是关于x的一次函数，即，故k的取值范围是故答

5、案为：【点睛】本题考查了利用一次函数的定义求参数的取值范围，掌握一次函数的定义是解决本题的关键【变式2】（2023下上海八年级专题练习）已知函数；(1)当取何值时，这个函数是正比例函数？(2)当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？【答案】(1)当时，这个函数为正比例函数(2)当时，这个函数是一次函数【分析】（1）根据正比例函数的定义求解即可；（2）根据一次函数的定义求解即可【详解】（1）解：函数是正比例函数，当时，这个函数为正比例函数；（2）解：函数是一次函数，当时，这个函数是一次函数【点睛】本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，熟知二者的定义是解题的关键题型三：求一次函数自变量或函数

6、值【例3】（2023下上海八年级专题练习）已知点在一次函数的图象上，则等于（）ABC0D1【答案】D【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法求得一次函数的解析式，解答即可，关键是根据待定系数法求得一次函数的解析式【详解】解：点在一次函数的图象上，解得：，故选：D【变式1】（2023下上海普陀八年级统考期末）已知一次函数，那么 【答案】1【分析】直接将代入函数解析式，进行求解即可【详解】解：；故答案为：1【点睛】本题考查求一次函数的函数值解题的关键是正确的进行计算【变式2】（2023下上海八年级专题练习）已知一次函数，当 时，；当 时，【答案】 【分析】本题主要考查了一次

7、函数的性质已知的范围，代入求的范围.【详解】解：当，即，解得：；当，则，解得：故答案为：；【变式3】（2023下上海宝山八年级统考期末）已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是 【答案】【分析】在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，说明此点的横纵坐标的相等，那么，且为正数，据此作答【详解】解：设，点A为直线上的一点，又点A在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，且为正数，解得：，故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是根据点A在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，列出方程【变式4】（2023下上海静安八年级

8、统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 【答案】或【分析】设，由等距点的定义列方程计算即可，注意分类讨论，求出不同情况下的值即可【详解】点B在直线上，设，点到x、y轴的距离中的最小值为，当时，此时点到x、y轴的距离中的最小值为，由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，解得或（舍去），此时；当时，此时点到x、y轴的距离中的最小值为，由A，B两点为“坐标轴等距点

9、”可得，解得或（舍去），此时；当时，此时点到x、y轴的距离中的最小值为，A，B两点不是“坐标轴等距点”；综上所述，点B的坐标为或【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“坐标轴等距点”题型四：列一次函数解析式并求值【例4】（2022下上海嘉定八年级统考期中）若直线的图像过点，则 【答案】-3【分析】将A点坐标代入直线中即可得到m值【详解】将A点坐标代入直线中得：m=-3故答案为：-3【点睛】本题考查一次函数的解析式将点坐标代入求出解析式是解决本题的关键【变式1】（2021下上海松江八年级统考期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱

10、中剩余油量（升）与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是 【答案】y=60-10x【分析】由剩余油量=原有油量-耗油量可得解析式【详解】解：原有油量为60升，每小时耗油10升，y=60-10x故答案为：y=60-10x【点睛】本题考查一次函数求解析式，解题关键是通过题意列出代数式【变式2】（2020上上海黄浦八年级上海市格致初级中学校考期中）如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数ykx（k0）上，点D落在直线y2x上，且点D的横坐标为a（1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求出k的值；（3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形AB

11、CD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式【答案】（1）点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）k；（3）y（3-）x或y=x【分析】（1）点D的横坐标为a，则点D(a，2a)，则ABAD2a，进而 求解；（2）将C点坐标代入y=kx即可求得k；（3）根据题干，可求得直线OF的的解析式为，当y=2a时，可求出点E( ，2a)，由SDEFS正方形ABCD，可列方程进而求出m【详解】解：（1）点D的横坐标为a，则点D（a，2a），则ABAD2a，则点A、B、C的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a），故点A、B、C、D的坐

12、标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）将点C的坐标代入ykx得，2a3ak，解得k；（3）设AFm，则点F（a，m），设直线OC旋转后交AD于点F，交CD于点E，则直线OF的表达式为，当y2a时，y，解得x=，故点E（，2a），由题意得：SDEFS正方形ABCD，即，解得：m，则函数的表达式为y（3）x当y（3+）x时，直线与正方形没有公共点故舍去第二种情况，旋转后直线OC和线段BC相交，同理可得k= 则函数表达式为y（3-）x或y=x【点睛】本题考查一次函数的性质、正方形的性质、面积的计算等，掌握一次函数的性质是解题关键【变式3】（2022上上海金山八年级校联

13、考期末）如图，在中， ， ，点 D 是边 上的动点（点 D 与点 A、B 不重合），过点 D 作 交射线 于点 E，联结 ，点 F是 的中点，联结、 (1)当点 E在边 上（点 E与点C不重合）时，设， ，求出y关于x的函数关系式及定义域；当平分时，求出的长；求证： 是等边三角形(2)如果，请直接写出的长【答案】(1) （）；证明见解析(2)1或2【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后再根据进行解答即可； 利用角平分线的性质定理可得，再建立方程求解即可；先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，然后即可证明是等边三

14、角形； （2）先求出的长度，在中，再利用勾股定理求出，再分点E在上与在射线上两种情况求解【详解】（1）解：， ，；平分， ，在中， ， ，解得，；证明：在和中， 点F是的中点， ， ，即， ， 是等边三角形（2）， ， 在中， 当点E在上时， 当点E在射线上时，如图， 的长是1或2【点睛】本题主要考查了角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等边三角形的判定，列一次函数的关系式，综合性较强，只要仔细分析也不难解决一、单选题1（2023上上海青浦八年级校考期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（）A圆的面积和半径B一条边长确定的长方形，其面积

15、和另一边长C路程一定，速度和时间D人的年龄和体重【答案】B【分析】本题考查正比例函数的应用，理解并掌握正比例的定义是本题的关键根据正比例的定义，分别分析判断即可【详解】解：A、圆的面积半径，两个变量不成正比例，故本选项错误B、一条边长确定的长方形，长方形的面积=一条边长另一边长，两个变量成正比例，故本选项正确；C、路程一定，则依题意得路程=速度时间，两个变量不成正比例，故本选项错误；D、一个人的体重和年龄不成正比例，故本选项错误故选：B2（2023上安徽宿州八年级统考期中）若函数是一次函数，则m的值为（）ABC1D2【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据形如（k、b是常数且）的函

16、数叫做一次函数进行求解是解题的关键【详解】解：函数是一次函数，故选C3（2023上贵州毕节八年级校考期中）下列函数中，y是关于x的正比例函数的是（）ABCD【答案】D【分析】本题考查正比例函数的识别，根据形如的函数是正比例函数求解即可【详解】解：A、是一次函数，故该选项不符合题意；B、是一次函数，故该选项不符合题意；C、是二次函数，故该选项不符合题意；D、是正比例函数，故该选项符合题意；故选：D4（2024下全国八年级假期作业）在中，若y是x的正比例函数，则k的值为（）A3B3C3D不等于3的任意实数【答案】A【解析】略5（2023上江西吉安八年级校联考期中）下列函数；中，是一次函数的有（）A

17、1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】本题考查了一次函数的定义，根据“一般形如，（k，b是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，所以说正比例函数是特殊的一次函数”逐项进行判断即可【详解】解：是一次函数，是反比例函数，需要添加这个条件才是一次函数，是二次函数，故选：C6（2023上江苏徐州八年级校考阶段练习）已知函数是正比例函数，则、n的值为（ ）A，B，C，D，【答案】A【分析】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为根据函数是正比例函数，可知且，综合条件即可得到、n的值【详解】解：函数是正比例函数，且，解得：，故选：二、

18、填空题7（2024全国八年级假期作业）已知函数是关于的一次函数，则 ，若该函数是正比例函数，则 ， 【答案】 0【分析】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数根据一次函数的定义，正比例函数的定义求解即可【详解】解：当函数是关于x的一次函数时，且，解得；当函数是关于x的正比例函数时，且，解得，故答案为：，08（2021下上海长宁八年级上海市第三女子初级中学校考期中）当 时，函数是一次函数【答案】1【分析】根据一次函数的定义可得，解之即可得到答案【详解】解：函数是一次函数，解得

19、：，当时，函数是一次函数，故答案为：1【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键9（2021下上海闵行八年级校考期中）如果函数是一次函数，那么的取值范围为 【答案】【分析】根据一次函数的定义得到：，由此求得的值【详解】解：依题意得：，解得故答案为：【点睛】本题考查了一次函数的定义关键是掌握正比例函数的比例系数不等于010（2021下上海长宁八年级校考期中）已知一次函数满足，则 【答案】2【分析】将代入函数解析式进行计算即可【详解】解：，解得故答案为：2【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式11（2023上江苏扬州八年级校

20、联考阶段练习）已知是一次函数，则 【答案】【分析】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义条件是：k、b为常数，自变量次数为1，可得答案【详解】是一次函数，解得，故答案为：12（2023上江苏盐城八年级校联考阶段练习）写出一个一次项系数为2的一次函数 【答案】（不唯一）【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义写出答案即可；掌握一次函数的一般形式（，b为常数）是解题的关键【详解】解：根据一次函数的定义，结合题意可得：一次项系数为2的一次函数为（不唯一）故答案为：（不唯一）13（2023上内蒙古包头八年级包钢第三中学校考期中）已知一次函数，当时，函数y的最小值为 【答案】【分

21、析】本题考查一次函数的图象和性质根据一次函数的性质，得到当时，函数值最小，进行求解即可【详解】解：，随着的增大而减小，当时，函数值最小，最小值为；故答案为：14（2023上四川成都八年级校考期末）已知函数的图象上存在点P，且点P到x轴的距离等于4，则点P的坐标为 【答案】或【分析】本题考查点到坐标轴轴的距离，一次函数图象上点的坐标特征由于点P到x轴的距离等于4得到点P的纵坐标为4或，然后分别计算函数值4和所对应的自变量的值即可得到P点坐标即可【详解】解：点P到x轴的距离等于4，点P的纵坐标为4或，当时，解得，此时P点坐标为；当时，解得，此时P点坐标为故答案为：或15（2023下上海普陀八年级校

22、考阶段练习）已知一次函数，则 【答案】【分析】将代入函数解析式进行计算即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式16（2023上上海金山八年级校考期中）现定义为函数的特征数，若特征数为，这个正比例函数的解析式是 【答案】【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，根据特征数的定义代入即可,属于基础题【详解】解：由于特征数为，该函数是正比例函数，解得：，正比例函数的解析式是：，故答案为：三、解答题17（2023下上海八年级专题练习）下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）（4）是

23、一次函数，（1）是正比例函数【分析】根据一次函数和正比例函数的定义，即可求解【详解】解：（1）是正比例函数，也是一次函数；（2）自变量在分母中，不是一次函数，也不是正比例函数；（3）自变量的次数是2，不是一次函数，也不是正比例函数；（4）是一次函数，不是正比例函数所以（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握形如 （k、b为常数，且 ）的形式的函数是一次函数，当 时，一次函数 （k、b为常数，且 ）变为 ，此时的函数称为正比例函数是解题的关键18（2023下上海八年级专题练习）写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值(1)(2)(3

24、)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）根据定义写出、的值；（2）根据定义写出、的值；（3）根据定义写出、的值；（4）先化为一般形式，然后根据定义写出、的值即可求解【详解】（1），则，；（2），则，；（3），则，；（4），则，【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（，为常数，的次数为，且），那么就叫做一次函数19（2023下上海八年级专题练习）已知函数（1）当为何值时，是的一次函数，并写出关系式；（2）当为何值时，是的正比例函数，并写出关系式【答案】（1）当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，

25、关系式为；（2）当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；（2）根据正比例函数的定义即可求出结论【详解】解：（1）由题意可得，n可以取任意实数解得：m=-2当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；（2）由题意可得，解得：当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为【点睛】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题关键20（2023下上海八年级专题练习）正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是Sx2如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情

26、况：x11.021.041.061.08S11.0401.0821.1241.166（1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少；（2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？【答案】（1）面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）不可以，猜测：面积与边长不成一次函数关系【分析】（1）根据表格中的数据，计算出x的相邻两个值之间所对应的面积之差即可求解；（2）比较（1）计算计算的差值，看看是否相等，相

27、等即为一次函数，若不相等，则不是一次函数【详解】解：（1）1.04010.040，1.0821.0400.042，1.1241.0820.042，1.1661.1240.042，即x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）因为x由1变到1.08时，正方形面积S的变化值不是定值，所以正方形的面积S不可以看成边长x的一次函数，猜测：面积与边长不成一次函数关系【点评】本题考查了一次函数的定义，能理解一次函数的定义是解此题的关键，注意：形如ykx+b（k、b为常数，k0）的函数叫一

28、次函数21（2023下上海八年级专题练习）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值【答案】（1），y是x的一次函数；（2）【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）甲、乙两地相距120km火车与甲地的距离表示为：（km），即；

29、当火车到达甲地时，即，即火车行驶1.5h到达甲地y是x的一次函数；（2）根据（1）的结论，得：【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解22（2023上上海松江八年级统考期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数我们称这样的两个函数互为相关函数例如：正比例函数，它的相关函数为(1)已知点在正比例函数的相关函数的图象上，则m的值为_；(2)已知正比例函数这个函数的相关函数为_；若点在这个函数的相关函数的图象上，求n的值【答案】(1)(2)；或【分析】（1）根据题意把点代入求解即可；（2）根据相关函数的定义求解

30、即可；分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可【详解】（1）解：点在正比例函数的相关函数的图象上，把点代入得，故答案为：；（2）解：由题意可得，正比例函数的相关函数为，故答案为：；点在这个函数的相关函数的图象上，当时，把点代入得，当时，把点代入得，或23（2022下上海八年级阶段练习）如图，ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：yx+3上(1)当ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；(2)当ABC的面积为4时，求点A的坐标；(3)在直线l上是否存在点A，使BAC90？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由【答案】(1)A（2，2）；(2)（2，2

31、）或（10，2）；(3)在直线l上存在点A，使BAC90，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）【分析】（1）以BC为底的等腰三角形，点A是BC的中垂线与直线l的交点，据此求解即可；（2）根据ABC的面积求得点A的纵坐标，把点A的纵坐标代入直线方程即可求得其横坐标；（3）设点A的坐标为，根据两点间距离公式表示出，再利用勾股定理建立方程，求解即可【详解】（1）如图，当ABC是以BC为底的等腰三角形时，点A在BC的中垂线上B（0，0），C（4，0），BC的中垂线为x2又点A在直线l：yx+3上，y2+32，即A（2，2）；（2）设A（a，b）则依题意得BC|b|4，即4|b|4，解得|b|2b2当b2时，2a+3，解得 a2则A（2，2）；当b2时，2a+3，解得 a10则A（10，2）综上所述，点A的坐标是（2，2）或（10，2）；（3）设点A的坐标为， B（0，0），C（4，0），BAC90，即，解得或，所以，在直线l上存在点A，使BAC90，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及勾股定理等知识点解（2）题的过程中，一定要对点A的纵坐标进行分类讨论，以防漏解