专题03 分式【八大题型】（举一反三）（解析版）.docx

1、专题03 分式【八大题型】【人教版】【题型1 分式有、无意义的条件】2【题型2 分式的值为0的条件】4【题型3 分式的基本性质的运用】5【题型4 分式的运算】6【题型5 分式的化简求值】8【题型6 分式运算的实际应用】10【题型7 分式中的规律探究】14【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】17【知识点 分式】1.分式的定义一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。注：A.B都是整式，B中含有字母，且B0。2.分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C0）。3.分式的约分和通分定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分

2、子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。4.分式的乘除乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。除法法则：。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分别乘方。整数负指数幂：。5.分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。同分母分式的加减：；异分母分式的

3、加法：。注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。【题型1 分式有、无意义的条件】【例1】（2023吉林统考中考真题）若代数式1x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx0，解得：x2，故选：B【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握【变式1-1】（2023湖北统考中考真题）若x=-1使某个分式无意义，则这个分式可以是（）Ax-12x+1B2x+1x+1C2x-1x-1Dx+12x+1【答案】B【分析】根据分式无意义分母为零即可判断【详解】A、当x1时，分母2x110，所以分式x-12x+1有意义；故本选项不符合题意；B、当x

4、1时，分母x10，所以分式2x+1x+1无意义；故本选项符合题意；C、当x1时，分母x-1=-20，所以分式2x-1x-1有意义；故本选项不符合题意；D、当x1时，分母2x+1-10，所以分式x+12x+1有意义；故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了分式有(无)意义的条件从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零【变式1-2】（2023黑龙江绥化统考中考真题）若式子x+5x有意义，则x的取值范围是 【答案】x-5且x0/x0且x-5【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可【

5、详解】式子x+5x有意义，x+50且x0，x-5且x0，故答案为：x-5且x0【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键【变式1-3】（2023四川统考中考真题）使式子1x+3+4-3x在实数范围内有意义的整数x有( )A5个B3个C4个D2个【答案】C【详解】式子1x+3+4-3x在实数范围内有意义x+30，4-3x0， 解得：-30且a1Ba0Ca0且a1Da0【答案】D【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出a的取值范围【详解】解： |a|a-a2=1a-1， |a|a-a2=-a-a(a-1)=1a-1，a

6、0，故选：D【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出a的符号是解题关键【变式3-2】（2023山东济南中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A2+xx-yB2yx2C2y33x2D2y2(x-y)2【答案】D【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、2+3x3x-3y2+xx-y，错误；B、6y9x22yx2，错误；C、54y327x22y33x2，错误；D、18y29x-y22y2x-y2，正确；故选：D【点睛】本

7、题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键.【变式3-3】（2023安徽芜湖统考二模）化简：a2-2a+11-a2 【答案】1-a1+a【分析】根据完全平方公式、平方差公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可【详解】解：原式=(1-a)2(1+a)(1-a)=1-a1+a，故答案为：1-a1+a【点睛】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式【题型4 分式的运算】【例4】（2023内蒙古赤峰统考中考真题）化简4x+2+x-2的结果是（）A1Bx2x2-4Cxx+2Dx2x+2【答案】D【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案

8、【详解】解：4x+2+x-2=4+x+2x-2x+2=x2x+2故选D【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则【变式4-1】（2023贵州统考中考真题）化简a+1a-1a结果正确的是（）A1BaC1aD-1a【答案】A【分析】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可【详解】解：a+1a-1a=a+1-1a=1，故A正确故选：A【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，准确计算【变式4-2】（2023黑龙江绥化统考中考真题）化简：x+2x2-2x-x-1x2-4x+4x-4x2-2x= 【答案】1x-2/1-2+x【分析】先根据分式

9、的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解【详解】解：x+2x2-2x-x-1x2-4x+4x-4x2-2x=x+2x-2-xx-1xx-22xx-2x-4=x2-4-x2+xxx-22xx-2x-4=1x-2；故答案为：1x-2【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键【变式4-3】（2023湖北统考中考真题）关于式子x2-9x2+6x+9xx+3，下列说法正确（）A当x=3时，其值为0B当x=-3时，其值为2C当0x3时，其值为正数D当x0时，其值为负数【答案】A【分析】根据分式的乘除法法则.平方差公式.完全平方公式对分式进行化简，再根

10、据化简后的分式对选项一一进行分析，即可得出答案【详解】解：x2-9x2+6x+9xx+3=x+3x-3x+32x+3x=x-3x，A.当x=3时，原式=3-33=0，故该说法正确，符合题意；B.当x=-3时，分母x+3=-3+3=0，原式没有意义，不能计算求值，故该说法不正确，不符合题意；C.当0x3时，则x-30，x-3x0，故该说法不正确，不符合题意；D.当x0时，则x-30，故该说法不正确，不符合题意故选：A【点睛】本题考查了分式有意义的条件.分式的乘除法.平方差公式.完全平方公式，解本题的关键在正确对分式进行化简分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式

11、的除法法则：分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘【题型5 分式的化简求值】【例5】（2023福建统考中考真题）已知1a+2b=1，且a-b，则ab-aa+b的值为 【答案】1【分析】根据1a+2b=1可得b+2a=ab，即ab-a=b+a，然后将ab-a=b+a整体代入ab-aa+b计算即可【详解】解：1a+2b=1b+2aab=1，b+2a=ab，即ab-a=b+aab-aa+b=a+ba+b=1【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到ab-a=b+a是解答本题的关键【变式5-1】（2023山东烟台统考中考真题）先化简，再求值：a2-6a+9a-2

12、a+2+52-a，其中a是使不等式a-121成立的正整数【答案】a-3a+3；-12【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可【详解】解：a2-6a+9a-2a+2+52-a=a-32a-22+a2-a2-a+52-a=a-32a-24-a2+52-a=a-32a-22-a3+a3-a=a-3a+3，解不等式a-121得：a3，a为正整数，a=1，2，3，要使分式有意义a-20，a2，当a=3时，a+2+52-a=3+2+52-3=0，a3，把a=1代入得：原式=1-31+3=-12【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解

13、不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算【变式5-2】（2023四川攀枝花统考中考真题）已知x-yy=2，求1x-y+1x+yx(x-y)2的值【答案】1【分析】由x-yy=2可知x=3y，然后对分式进行化简，进而问题可求解【详解】解：由x-yy=2可知x=3y，1x-y+1x+yx(x-y)2=x+yx-yx+y+x-yx-yx+yx(x-y)2=2xx+yx-yx-y2x=2x-yx+y=23y-y3y+y=1【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键【变式5-3】（2023四川成都统考中考真题）若3ab-3b2-2=0，则代数式1-2ab-b2a2a

14、-ba2b，的值为 【答案】23【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得ab-b2，再将3ab-3b2-2=0变形，即可得到答案【详解】解：1-2ab-b2a2a-ba2b，=a2-2ab+b2a2a2ba-b，=a-b2a2a2ba-b，=ab-b2，3ab-3b2-2=0，3ab-3b2=2，ab-b2=23，故原式的值为23，故答案为：23【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键【题型6 分式运算的实际应用】【例6】（2023河北廊坊统考二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是abba0(1)再往杯中加入mm0克糖，生活经验告诉

15、我们糖水变甜了用数学关系式可以表示为_(2)请证明（1）中的数学关系式【答案】(1)m+am+bab(2)见解析【分析】（1）先表示出入mm0克糖后，糖水的浓度为：m+am+b，根据糖水变甜，浓度变大，得出m+am+bab；（2）理由作差法进行证明即可【详解】（1）解：再往杯中加入mm0克糖后，糖水的浓度为：m+am+b，糖水变甜了，即糖水的浓度变大了，m+am+bab；故答案为：m+am+bab（2）证明：m+am+b-ab=bm+abm+b-am+bbm+b=mb+ab-ma-abbm+b=mb-mabm+b=mb-abm+b，ba0，m0，mb-a0，bm+b0，mb-abm+b0，m+

16、am+bab【点睛】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算【变式6-1】（2023福建福州校考模拟预测）福州的市花是茉莉花“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为a米(a1)的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为a-1米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？【答案】“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高，见解析【分析】先表示出两种茉莉花的单位面积产量，利用求差法比较大小即可【详解】根据题意，“飘香1号”茉莉花单位面积产量为300a2-12kg/m2，

17、“飘香2号”茉莉花单位面积产量为300(a-1)2kg/m2300a2-12-300(a-1)2=300a-1-300a+1(a-1)2a+1=-600(a-1)2a+10，-x-y20，当x=y时，-x-y22x+y=0，即2xyx+y=x+y2，两种加油方式的平均单价相同；当xy时，即-x-y22x+y0，即2xyx+yx+y2，小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱【点睛】本题考查分式方程的实际应用；作差法比较两个实数的大小：对于任意两个实数a，b，若ab0则ab；若ab=0则a=b；若ab0则ab【变式6-3】（2023浙江杭州模拟预测）甲乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千

18、米（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间（2）若甲从A地出发，先以12V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲乙谁先到达B地?（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为100-ax千米，乙距离终点为100-bx千米分式100-ax100-bx对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件【答案】（1）4.5小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是a=b【分析】（1）根据“时间=路程速度”

19、分别求出两段路程的时间，再求和即可得；（2）根据“时间=路程速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得；（3）设100-ax100-bx=k，从而可得100-100k+(kb-a)x=0，再根据无关型问题求解即可得【详解】（1）由题意得：t=100220+100225，=2.5+2，=4.5（小时），答：走完全程所用的时间为4.5小时；（2）甲走完全程所用的时间为100212V+10022V=100V+25V=125V，乙走完全程所用的时间为100V，因为100V125V，所以乙先到；（3）设100-ax100-bx=k，则100-ax=k(100-bx)，整理得：100-100

20、k+(kb-a)x=0，分式100-ax100-bx对一切有意义的x值都有相同的值，k的值与x的取值无关，kb-a=0，即a=kb，100-100k=0，解得k=1，a=b，故a，b应满足的条件是a=b【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键【题型7 分式中的规律探究】【例7】（2023安徽中考真题）观察以下等式：第1个等式：11+02+1102=1，第2个等式：12+13+1213=1，第3个等式：13+24+1324=1，第4个等式：14+35+1435=1，第5个等式：15+46+1546=1，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：_；

21、（2）写出你猜想的第n个等式：_(用含n的等式表示)，并证明【答案】（1）16+57+1657=1；（2）1n+n-1n+1+1nn-1n+1=1，证明见解析【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证【详解】（1）观察可知第6个等式为：16+57+1657=1，故答案为：16+57+1657=1；（2）猜想：1n+n-1n+1+1nn-1n+1=1，证明：左边=1n+n-1n+1+1nn-1n+1=n+1+n(n-1)+n-1n(n+1)=n(n+1)n(n+1)=1，右边=1，左边=右边，原等式成立，

22、第n个等式为：1n+n-1n+1+1nn-1n+1=1，故答案为1n+n-1n+1+1nn-1n+1=1【点睛】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键【变式7-1】（2023山东中考真题）观察下列各式：a1=23,a2=35,a3=107,a4=159,a5=2611,， 根据其中的规律可得an= （用含n的式子表示）【答案】n2+-1n+12n+1【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1

23、）n+1；依此即可求解【详解】解：由分析得an=n2+(-1)n+12n+1，故答案为：an=n2+(-1)n+12n+1【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案【变式7-2】（2023湖北恩施统考一模）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14利用以上的规律计算：f12023+f12022+f12021+f12+f1+f2+f2021+f2022+f2023= 【答案】40452【分析】根据fx=x1+x，得到fx+f1x=x1+

24、x+1x1+1x=1，即可得到答案；【详解】解：fx=x1+x，fx+f1x=x1+x+1x1+1x=1，f1=11+1=12，f12023+f12022+f12021+f12+f1+f2+f2021+f2022+f2023=12+2022=40452，故答案为：40452；【点睛】本题考查分式化简求值及规律，解题的关键是得到fx+f1x=x1+x+1x1+1x=1【变式7-3】（2023安徽合肥合肥市第四十二中学校考模拟预测）观察下列各式：12+22+3212+22+2=2，22+32+5222+32+6=2，32+42+7232+42+12=2，42+52+9242+52+20=2，；按照

25、以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：_；(2)写出你猜想的第n个等式：_（用含n的等式表示），并证明.【答案】(1)62+72+13262+72+42=2(2)n2+(n+1)2+(2n+1)2n2+(n+1)2+n(n+1)=2；证明见解析【分析】（1）观察每个式子右边都等于2，左边分子、分母共有三项相加，第n个式子的前两项是n2，n+12，分子第三项是2n+12，分母第三项是nn+1，根据此规律写出第6个等式即可；（2）根据解析（1）发现的规律写出第n个式子即可；根据分式性质化简分式即可【详解】（1）解：第6个等式为62+72+13262+72+42=2；故答案为：62+72+1

26、3262+72+42=2（2）解：第n个等式为n2+(n+1)2+(2n+1)2n2+(n+1)2+n(n+1)=2，左边=n2+n2+2n+1+4n2+4n+1n2+n2+2n+1+n2+n=6n2+6n+23n2+3n+1=23n2+3n+13n2+3n+1=2=右边故答案为：n2+(n+1)2+(2n+1)2n2+(n+1)2+n(n+1)=2【点睛】本题是一道找规律的题，主要考查了分式的化简，用代数式表示数字规律，解题的关键是如何用一个统一的式子表示出分式的规律【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】【例8】（2023浙江杭州模拟预测）规定一种新的运算“x+JXAB”，其中A和B是关

27、于x的多项式，当A的次数小于B的次数时x+JXAB=0；当A的次数等于B的次数时，x+JXAB的值为A、B的最高次项的系数的商，当A的次数大于B的次数时，x+JXAB不存在，例如：x+JX2x-1=0，x+JXx2+22x2+3x-1=12，若AB=2-3x-14x2-10xx2-1，则x+JXAB的值为 【答案】12【分析】根据已知条件，化简分式即可求出答案【详解】解： AB=(2-3x-1)4x2-10xx2-1=(2x-2-3x-1)2x(2x-5)(x+1)(x-1)=(2x-5x-1)(x+1)(x-1)2x(2x-5)=x+12x=x+12x，A的次数等于B的次数， JXx+AB=

28、12，故答案为：12【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键【变式8-1】（2023河北统考二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算：abcd=ad-bc，按照此规定，x-1x+1x+1化简的结果为（）Ax2Bx+1xCx+1x-1D1【答案】D【分析】根据题目规定的运算法则来进行计算，然后化简即可【详解】解：abcd=ad-bc,x-1x+1x+1=xx+1-1x+1=x+1x+1=1,故选：D【点睛】本题考查了新定义运算，充分理解题目规定的运算法则来进行计算是解此题的关键【变式8-2】（2023江苏盐城统考一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为

29、“N分式”例如.分式3x+1 与 3x1+x互为“三分式”(1)分式 12+x3+2x 与_互为“六分式”；(2)若分式aa+4b2 与2ba2+2b互为“一分式”（其中a，b为正数），求ab的值；(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式5xx+y2 与 5xx2+y 互为“五分式”【答案】(1)6+11x3+2x(2)ab=12(3)见解析【分析】（1）根据新定义，用6-12+x3+2x即可求解；（2）根据定义可得aa+4b2+2ba2+2b=1，根据分式的加减进行计算，即可求解；（3）根据题意首先利用倒数关系，将x、y进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断【详解】（1）解：

30、依题意，6-12+x3+2x=18+12x-12-x3+2x=6+11x3+2x，分式 12+x3+2x 与6+11x3+2x互为“六分式”，故答案为：6+11x3+2x；（2）解：分式aa+4b2 与2ba2+2b互为“一分式”aa+4b2+2ba2+2b=1即aa2+2b+2ba+4b2a+4b2a2+2b=1a3+2ab+2ab+8b3=a3+2ab+4a2b2+8b3，即4a2b2=2ab，a，b为正数ab=12（3）正数x，y互为倒数，xy=15xx+y2+5yx2+y=5xx+1x2+5xx2+1x=5x3x3+1+5x3+1=5x3+1x3+1=5分式5xx+y2 与 5xx2+

31、y 互为“五分式【点睛】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键【变式8-3】（2023四川统考中考真题）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1，2x-3x+1=2x+2-5x+1=2x+2x+1+-5x+1=2+-5x+1，则x+1x-1和2x-3x+1都是“和谐分式”(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：_（填序号）；x+1x2+x2x+2x+1y2+1y2(2)将“和谐分式”a2-2a+3a-1化成一个整式与一个分子为常

32、数的分式的和的形式为：a2-2a+3a-1=_+_；(3)应用：先化简3x+6x+1-x-1xx2-1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数【答案】(1)(2)a-1，2a-1(3)x=-3时，当该式的值为整数【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐个进行判断即可；（2）将分子改写为a2-2a+1+2，根据完全平方公式和分式的运算法则，即可化为“和谐分式”；（3）先根据分式混合运算法则，以及题目所给“和谐分式”，将原分式化简，再根据x和该分式的值为整数，得出符合条件的x的值即可【详解】（1）解：x+1x=xx+1x=1+1x，故是“和谐分式”，符合题意；2+x2=22+x2=1+x2，

33、x2不是分式，不是“和谐分式”，不符合题意；x+2x+1=x+1+1x+1=x+1x+1+1x+1=1+1x+1，故是“和谐分式”，符合题意；y2+1y2=y2y2+1y2=1+1y2，故是“和谐分式”，符合题意；故答案为：；（2）解：a2-2a+3a-1=a2-2a+1+2a-1=a-12+2a-1=a-12a-1+2a-1=a-1+2a-1，故答案为：a-1，2a-1；（3）解：3x+6x+1-x-1xx2-1x2+2x=3x+1+3x+1-x-1xx+1x-1xx+2=3x+1x+1+3x+1-x-1xxx+2x+1x-1=3+3x+1-x+2x+1=3+1-xx+1，=3-x+1-2x+1=3-x+1x+1+2x+1=3-1+2x+1=2+2x+1，原式值为整数，x为整数，x+1能被2整数，且x+1为整数， x+1=1,-1,2,-2，解得：x=0,-2,1,-3，x+10,x-10,x0,x+20，x-1,1,0,-2，x=-3，x=-3时，当该式的值为整数【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则，以及理解题目所给“和谐分式”的定义