专题03 轴对称与等腰三角形（解析版）.docx

1、专题03 轴对称与等腰三角形思维导图核心考点聚焦1、 轴对称图形2、轴对称的性质3、轴对称与坐标变换4、线段垂直平分线的性质5、等腰三角形的性质6、等边三角形的性质7、直角三角形的性质8、翻折变换9、等腰三角形的判定10、等边三角形的判定11、等腰三角形的综合问题12、等边三角形的综合问题1轴对称（1） 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；（2） 两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，

2、折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；（3） 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合；（4） 轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；（5） 画轴对称图形的方法：找在原图形上找特殊点（如线段的端点）；画画各个特殊点关于对称轴对称的点；连依次连接各对称点2垂直平分线（1）垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

3、；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（4）对称的两个图形是全等的；（5）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（6）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3坐标与轴对称（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；（3）P（a，b）关于直线x=m的对称点P的坐标为（2ma，b）；（4）P（a，b）关于直线y=n的对称点P的坐标为（a，2nb）4等腰三角形的性质与

4、判定（1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合【三线合一】（3）等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等【简称：等角对等边】说明：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法等腰三角形的判定和性质互逆；在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的平分线，但不能作未来底边的中线.5等边三角形（1）等边三角形定义：三条边都相等的三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）（

5、2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都是60；等边三角形的每条边都存在三线合一（3）等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形1.关于坐标轴对称的点的坐标特点：（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称反之也成立2.判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有两边相等的

6、三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）【注意】“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定3.等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一种非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件同时等边三角形又是

7、特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60的角判定 考点剖析考点1、轴对称图形例1人教版数学教材中有“探究、归纳、观察与猜想、思考”等栏目图标，其中属于轴对称图形的是（）ABCD【答案】D【解析】A该图形不是轴对称

8、图形，故此选项不符合题意；B该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D该图形是轴对称图形，故此选项符合题意故选D考点2、轴对称的性质例2如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，连接点关于直线，的对称点分别是点，若，则点，之间的距离可能是（）A0B5C7D9【答案】B【解析】如图，连接，点关于直线，的对称点分别是点，且，在中，故选B考点3、轴对称与坐标变换例3如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上(1)在网格中画出向下平移3个单位得到的；(2)在网格中画出关于直线m对称的；(3)在直线m上画一点P，使得的值最小

9、【解析】（1）如图，即为所求；（2）如图，即为所求；（3）连接交直线m于点P，则点P即为所求点考点4、线段垂直平分线的性质例4如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点已知的周长为，则的长为（）ABCD【答案】D【解析】是的垂直平分线，是的垂直平分线，的周长为，的长为；故选D考点5、等腰三角形的性质例5如图，在中，点，分别在边，上，若，则的度数为 【答案】/度【解析】，设，则，故答案为：考点6、等边三角形的性质例6如图，为等边三角形，平分，是等边三角形，下列结论中：；，正确的个数为（）A4B3C2D1【答案】A【解析】为等边三角形，平分，正确；又是等边三角形，正确；由得，正确；易证得

10、，正确，都正确，故选A考点7、直角三角形的性质例7如图，是等边边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，若，则的长为 【答案】3【解析】如图，连接，是等边边上的中线，是的垂直平分线，故答案为：3考点8、翻折变换例8如图，在中，点在边上，将沿翻折得到，设与交于点F(1)若的周长为12，的周长为4，求的长；(2)若，证明：【解析】（1）设，由翻折的性质得：，的周长为4，即：，的周长为12，即：，解得：，（2）由翻折的性质得：，即：，考点9、等腰三角形的判定例9如图，是等腰三角形，点D是上一点，过点D作交于点E，交延长线于点F(1)求证：是等腰三角形；(2)若，且，直接写出的长为_【解析】（1），

11、是等腰三角形；（2），是等边三角形，考点10、等边三角形的判定例10如图，在等腰中，是的中线，于点E，于点F(1)若，求证：是等边三角形；(2)求证：；(3)若，求的长【解析】（1），是等边三角形；（2），是的中线，在与中，；（3），是中线，考点11、等腰三角形的综合问题例11和都是以点B为顶点的等腰直角三角形，(1)如图1，当边恰好在的边上时，连接，易证，从而证明；（写出证明过程）(2)如图2，当和如图摆放，连接，其中与相交于点F那么与的位置关系是否发生变化，请说明理由；(3)如图3，当和如图摆放，F为的中点，连接，并在的延长线上取一点G，连接，使，求证：【解析】（1）延长交于点F，如图，和

12、是等腰直角三角形，在和中，且，即（2）没有发生变化，理由如下：如图，在和中，即（3）延长到H，使得，连接CH.如图，F为的中点，在和中，在和中，则，那么考点12、等边三角形的综合问题例12已知等边，点是直线上一点，以为边在的右侧作等边，连接(1)如图1，若点在线段上，求证：；(2)如图2，若点在的延长线上，直接写出线段，的数量关系为_；(3)在（2）问条件下，把沿翻折得到，连接，若恰好平分，求线段的长【解析】（1）都为等边三角形，,， 在和中， ，即（2）都是等边三角形， ，,， ， 在和中， ，；故答案为：.（3）延长，交于点F，如图所示：为等边三角形，根据解析（2）可知，根据折叠可知，为等

13、边三角形，平分，又，为等边三角形， 过关检测一、单选题1下列新能源汽车品牌图标是轴对称图形的是（）AB CD【答案】B【解析】由题意知，是轴对称图形，故选B2如图，中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，的周长为18，则的周长为（）A8B10C12D15【答案】C【解析】边的垂直平分线分别交，于点D，E，的周长为18，的周长为，故选C3如图，在中，则的面积为（）ABCD【答案】C【解析】如图，过作交CA的延长线于D，的面积，故选4如图，中，是的平分线，延长至E，使得，连接下列判断：；平分；，不一定成立的个数是（）A4B3C2D1【答案】D【解析】如图，延长交于，即是等腰三角形，是的平分线，是线段

14、的垂直平分线，也是边上的中线，一定成立，故不符合要求；是边上的中线，为中线交点，则，一定成立，故不符合要求；是边上中线的一部分，与不一定相等，即不一定平分；不一定成立，故符合要求；，即，一定成立，故不符合要求.故选D5如图，已知是等边三角形，点分别在边、上，、交于点，为的角平分线，点在的延长线上，连接、；，其中说法正确的是（）ABCD【答案】A【解析】是等边三角形，在和中，故正确，符合题意；如图，作交的延长线于，作于，为的角平分线，.在和中，.由知，.在和中，是等边三角形，故正确，符合题意；由知，若，则，从而，这与相矛盾，故错误，不符合题意；， ，故正确，符合题意.综上所述，正确的有，故选A二

15、、填空题6剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为 【答案】【解析】点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，解得，故答案为：7已知等腰三角形一个内角的度数为，则这个等腰三角形底角的度数为 【答案】或【解析】分两种情况：当的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数；当的角为等腰三角形的底角时，其底角为.故它的底角度数是或故答案为：或8如图，在中，于点E，于点D，则的度数为 【答案】【解析】，而，于点E，于点D，故答案为：9如图，点，在射线ON上，点，在射

16、线OM上，均为等边三角形如果，则的边长为 【答案】【解析】是等边三角形，又，故的边长为1同理可得，故的边长为，故的边长为的边长为当时，的边长为故答案为：10如图，在四边形中，点E、F分别是线段、上的动点（1） ；（2）当的周长最小时，的度数为 【答案】 【解析】（1）四边形内角和为，故答案为：；（2）如图，作点关于，的对称点，延长到点，则，的周长，当，四点共线时，的周长最小，故答案为：三、解答题11已知：如图，角的两边上的两点M、N，求作：点P，使点P到的距离相等，且.（不写作法，保留作图痕迹）【解析】如图所示：12如图，中，垂直平分，交于点，交于点，垂足为，且，连接(1)求证：；(2)若的周

17、长为，则的长为多少？【解析】（1）垂直平分，；（2）的周长为,，,，13如图，点D在上，(1)说明的理由；(2)若，求的度数【解析】（1），即，在和中，；（2），14如图，在等边三角形中，点M为边上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P，于点H(1)求证：；(2)若，求线段的长【解析】（1）如图，过点作，交的延长线于点，是等边三角形， ，在和中，在和中，（2），；，三角形为等边三角形，15已知：在中，点是的中点，点是边上一点(1)直线垂直于，垂足为，交于点（如图1）请说明：；(2)直线垂直于，垂足为，交的延长线于点（如图2）那么图中是否存在与相等的线段？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明

18、理由【解析】（1）点是的中点，在和中，；（2）图中存在与相等的线段，理由：在和中，16如图，是边长为的等边三角形，动点同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由(2)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由(3)当t为何值时，是直角三角形？【解析】（1）当点Q到达点C时，理由如下：，当点Q到达点C时，则，点P为的中点，；（2）能，为等边三角形，时，为等边三角形，解得；（3）根据题意得，当时，即，解得；当时，同理可得，解得综上所述：当或时，是直角三角形