专题05 一线三等角（K型图）模型（从全等到相似）（原卷版）.docx

1、专题05 一线三等角（K型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.一线三等角（K型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180与三角形内角和为180，证得两个三角形全等。【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE证明思路

2、：+任一边相等异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等证明思路：+任一边相等1（2022湖南湘潭中考真题）在中，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、(1)特例体验：如图，若直线，分别求出线段、和的长；(2)规律探究：如图，若直线从图状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；如图，若直线从图状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图中，延长线段交线段于点，若，求2（2022黑龙江九年级期末）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC90，AB=AC，直线m经过点A，BD直

3、线m， CE直线m，垂足分别为点D、E证明DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状3（2022江苏九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以

4、下问题，把你的感知填写出来：如图1，是等腰直角三角形，AE=BD，则_；如图2，为正三角形，则_；如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F若，则的长为_【模型应用】（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为_【模型变式】（3）如图5所示，在中，于E，ADCE于D，求的长模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180，三角形的内角和为180，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似 1（2022四川

5、一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在ABC中，D、A、E三点都在直线m上，并且有试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形于是，学习小组又研究以下问题：如图2，ABC中，将一把三角尺中30角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合设当在许可范围内变化时，取何值总有ABPPCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有ABPQCP？（3）试探索有无可能使ABP、QPC、ABC两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程

6、）；若不可能，请说明理由2（2022河南新乡二模）如图，ABC和ADE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，DAEBAC90，ADAE，ABAC6，D在线段BC上，从B到C运动，点M和点N分别是边BC，DE的中点(1)【问题发现】若点D是BC边的中点时， ，直线BD与MN相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值3（2022山东菏泽三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：（2）探究：若将90角改为锐角或钝角（如图

7、2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由（3）应用：如图3，在中，以点A为直角顶点作等腰点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似 1（2022湖南郴州中考真题）如图1，在矩形ABCD中，点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F(1)求证：；(

8、2)如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG点M是线段BC的中点，连接GM求的最小值；当取最小值时，求线段DE的长2（2022山东济宁二模）情境观察:将含45角的三角板的直角顶点R放在直线上，分别过两锐角的顶点M，N作的垂线，垂足分别为P， Q，（1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是_，与相等的角是_(2)问题探究直角中，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角中，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，

9、DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果，试探究TE与TH之间的数量关系，并证明你的结论.3.（2022浙江嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图：在ABC中，ACB90，ACBC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：ADCCEB(1)探究问题：如果ACBC，其他条件不变，如图，可得到结论；ADCCEB请你说明理由(2)学以致用：如图，在平面直角坐标系中，直线yx与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为，且tan，请你求出直

10、线CD的解析式(3)拓展应用：如图，在矩形ABCD中，AB4，BC5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD若DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长课后专项训练：1（2022贵州铜仁三模）（1）探索发现：如图1，已知中，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E求证：（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于

11、点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R求点R的坐标2（2022广东汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB=90，CB=CA，直线ED经过点C，过A作ADED于D，过B作BEED于E求证：BECCDA；（2）模型应用：已知直线AB与y轴交于A点，与轴交于B点，sinABO=，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=25

12、上的一点，若APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标3（2022黑龙江桦南县九年级期中）如图1，在中，直线经过点，且于，于(1)由图1，证明：；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，请猜想出，的等量关系并说明理由；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问，又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）4（2022山东九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图，垂足分别为，求的长”，请直接写出此题答案：的长为_（2）探索证明：如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，且求证：（3）拓展应用：如图，在中，点在边上，点、在线段上，若的面积为15，则与的面积之

13、和为_（直接填写结果，不需要写解答过程）5（2022无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BDm，CEm，垂足分别是D、E求证：BDCEDE；（2）如图2，直线m经过ABC的顶点A，ABAC，在直线m上取两点 D、E，使ADBAEC，补充BAC （用表示），线段BD、CE与DE之间满足BDCEDE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件ADBAEC （用表示）通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明6（2022河南新乡九年级期中）某学习小组在探究三角

14、形相似时，发现了下面这种典型的基本图形（1）如图1，在ABC中，BAC90，k，直线l经过点A，BD直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E求证：k（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，k，D、A、E三点都在直线l上，并且有BDAAECBAC，其中为任意锐角或钝角请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I求证：I

15、是EG的中点直接写出线段BC与AI之间的数量关系： 7（2022湖北武汉模拟预测）问题背景（1）如图1，是等腰直角三角形，直线过点，垂足分别为，求证：；尝试应用（2）如图2，三点共线，求的长；拓展创新（3）如图3，在中，点，分别在，上，若，直接写出的值为 8（2022黑龙江齐齐哈尔三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维(1)原型题：如图1，于点B，于点D，P是上一点，则_，请你说明理由(2)利用结论，直接应用：如图2，四边形、都是正方形，边长分别为a、b、c，A、B、N、E，F五点在同一条直线上，则_，_（用含a、b的式子表

16、示）如图3，四边形中，以上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且，则圆心O到弦的距离为_(3)弱化条件，变化引申：如图4，M为线段的中点，与交于点C，且交于点F，交于点G，连接，则与的关系为：_，若，则_9（2022郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中边长为4的等边OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD2AC，DEAB，连接CD、CE，当点E坐标为 时，CDE与ACE相似10（2022广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，、分别为三边、上的点，且，与相似吗？请说明理由.（2）模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线

17、上的点处，且.如图2，当点在线段上时，求的值；如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比.11（2022山西晋中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图，在中，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：（1）探究问题：如果，其他条件不变，如图，可得到结论；请你说明理由（2）学以致用：如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式（3）拓展应用：如图，在矩形中，点为边上个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，若为直角三角形

18、时，请你探究并直接写出的长12（2022山东青岛九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EFAE，交直线CB于点F（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FHAE于F，过H作HGBD于G则下列结论

19、：AFFH；HAE45；BD2FG；CEH的周长为8正确的结论有 个（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EFAE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H给出下列四个结论，AEEF；DECF；SAEMSMCF；BEDE+BF；正确的结论有 个【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MNDM，垂足为M，交CBE的平分线与点N，求证：MDMN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则FMN和NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明【拓展延伸】（7）已知MON90，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OBOA点C在线段OA的延长线上，且ACOB如图7，在线段BO上截取BE，使BEOA，连接CE若OBA+OCE，当点B在射线OM上运动时，的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由（8）如图8，正方形ABCD中，AD6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将EFG沿EF翻折，得到EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则EDM的面积是