专题05三角函数与解三角形A辑（教师版含解析）备战2021年高中数学联赛之1981-2020年高中数学联赛一试试题分专题训练.docx

1、备战 2021 年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题 05 三角函数与解三角形 A 辑历年联赛真题汇编 1【2008 高中数学联赛(第 01 试)】设ABC 的内角 A，B，C 所对的边 a，b，c 成等比数列，则sincot+cossincot+cos的取值范围是()A(0,+)B(0,5+12)C(512,5+12)D(512,+)【答案】C【解析】设 a，b，c 的公比为 q，则=,=2，而sincot+cossincot+cos=sincot+cossinsincos+cossin=sin(+)sin(+)=sin()sin()=sinsin=，因此，只需求 q 的取

2、值范围，因为 a，b，c 成等比数列，最大边只能是 a 或 c，因此 a，b，c 要构成三角形的三边，必须且只需+且+，即有不等式组+2+2 ，即2 1 0，解得152 512或 5+12，从而512 5+12.因此所求的取值范围是(512,5+12).故选 C2【2007 高中数学联赛(第 01 试)】设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数 a，b，c 使得 af(x)+bf(xc)=1 对任意实数 x恒成立，则cos 的值等于()A12B12C1D1【答案】C【解析】令=，则对任意的 xR，都有()+()=2，于是取=12,=，则对任意的 xR，有af()+()=1，由此得c

3、os=1.故选 C更一般地，由题设可得()=13sin(+)+1，()=13sin(+)+1，其中0 2，且tan=23，于是可化为13sin(+)+13sin(+)+=1，即13sin(+)+13sin(+)cos 13cos(+)sin+(+1)=0.所以13(+cos)sin(+)13sinccos(+)+(+1)=0.由已知条件，上式对任意 xR 恒成立，故必有+cos=0sin=0+1=0.若 b=0，则由式知 a=0，显然不满足式.故 b0.所以，由式知 sinc=0，故 c=2k+或 c=2k().当 c=2k 时，cosC=1，则式，矛盾.故 c=2k+(kZ)，cosc=1.

4、由式，知=12，所以cos=1.3【2006 高中数学联赛(第 01 试)】已知ABC，若对任意 tR，|，则ABC 一定为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D答案不确定【答案】C【解析】令ABC=，过 A 作 ADBC 于 D.由|推出|2 2 +2|2|2，令=|2，代入上式，得|2 2|2cos2+cos2|2|2，即|2sin2|2，也即|sin|，从而有|，由此可得=2.故选：C.4【2005 高中数学联赛(第 01 试)】ABC 内接于单位圆，三个内角 A，B，C 的平分线延长后分别交此圆于 A1，B1，C1.则1cos2+1cos2+1cos2sin+sin+sin的值为(

5、)A2B4C6D8【答案】A【解析】如图，联结 BA1，则1=2sin(+2)=2sin(+2+2 2)=2cos(2 2)，所以1 cos2=2cos(2 2)cos2=cos+2+cos+2=cos(2 )+cos(2 )=sin+sin同理1 cos2=sin+sin，1 cos2=sin+sin，所以1 cos2+1 cos2+1 cos2=2(sin+sin+sin)，于是，原式=2(sin+sin+sin)sin+sin+sin=2.故选：A.注本题也可以用“特殊值”法，当ABC 是正三角形时，易知所求的值为 2.5【2004 高中数学联赛(第 01 试)】设锐角使关于 x 的方程

6、2+4cos+cot=0有重根，则 的弧度数为()A6B12或512C6或512D12【答案】B【解析】因方程2+4cos+cot=0有重根，故=16cos2 4cot=0.因为0 2，所以4cot(2sin2 1)=0.得sin2=12，所以2=6或2=56，于是=12或512.故选：B.6【2003 高中数学联赛(第 01 试)】若 512,3，则=tan(+23)tan(+6)+cos(+6)的最大值是()A125 2B116 2C116 3D125 3【答案】C【解析】由题意得=tan(+23)+cot(+23)+cos(+6)=1cos(+23)sin(+23)+cos(+6)=2s

7、in(2+43)+cos(+6)，因为512 3，所以2+43 2,23，+6 4,6，可见2sin(2+43)与cos(+6)在1512,3上同为递增函数.故当=3时，y 取最大值1136.故选：C.7【2001 高中数学联赛(第 01 试)】在四个函数=sin|，=cos|，=|cot|，=lg|sin|中以为周期，在(0,2)上单调递增的偶函数是()A=sin|B=cos|C=|cot|D=lg|sin|【答案】D【解析】可考虑用排除法.=sin|不是周期函数(可通过作图判断)，排除 A；=cos|的最小正周期为2，且在(0,2)上是减函数，排除 B；=|cot|在(0,2)上是减函数，

8、排除 C.故选：D.8【2001 高中数学联赛(第 01 试)】如果满足ABC=60，AC=12，BC=k 的ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是()A=83B0 12Ck12D0k12 或 k=8【答案】D【解析】根据题设，ABC 共有两类，如图，可求得=83或 0 0,cos cos3，则3的取值范围是()A(2+6,2+3),B(23+6,23+3),C(2+56,2+),D(2+4,2+3)(2+56,2+),【答案】D【解析】(1)由sin 0,cos cos3知3终边在第一、三象限的角平分线的上方.选项 A 显然不符合条件(2)，选项 B 取 k=0 时亦知不符合条件(2)，选

9、项 C 与选项 D 有相同部分，只需检验选项 D 中的前部分，显然符合条件(2)，又将其乘以 3，也在第二象限，符合条件(1).故选：D.10【1999 高中数学联赛(第 01 试)】已知点 A(1，2)，过点(5，2)的直线与抛物线 y2=4x 交于另外两点 B，C，那么，ABC 是().A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D答案不确定【答案】C【解析】设(2,2),(2,2),1,1.则直线 BC 的方程为222=222，化简，有2 (+)+2=0，又因为直线 BC 过点(5，2)，故2 5 (+)(2)+2=0，即(+1)(+1)=4，所以 =2221 2221=4(+1)(+1)=1，

10、所以BAC=90，即ABC 是直角三角形.11【1997 高中数学联赛(第 01 试)】设()=2 ,=arcsin13，=arctan54，=arccos(13)，=arccot(54)，则()A()()()()B()()()()C()()()()D()()()()【答案】B【解析】由题意，f(x)的图像关于直线=2对称，且在(,2)单调减少，在(2,+)单调增加.所以，当|1 2|2 2|时，有(1)(2)，又易知0 6,4 3,2 23,34 56，所以0|2|6|2|4|2|3|2|()()().12【1996 高中数学联赛(第 01 试)】设 (12,0)，以下三个数：1=cos(s

11、in)，2=sin(cos)，3=cos(+1)的大小关系是()A3 2 1B1 3 2C3 1 2D2 3 1【答案】A【解析】解法一因为是选择题，我们可以用特殊值法来解决这个问题.设=13，计算题中几个算式的值：cossin=cos12=sin12，sincos=sin 32 sin12，cos(+1)0.解法二令=，则 (0,2)，则0 sin cos sincos=2 0，3=cos 0 2 3.13【1995 高中数学联赛(第 01 试)】login 1cos1,logsin1tan1,loggeos 1sin1,logcos 1 tan 1的大小关系是()Alogsin1cos1

12、logcos1sin1 logsin1tan1 logcos1tan1Blogcos1sin1 logcos1tan1 logsin1cos1 logsin1tan1Clogsin1tan1 logcos1tan1 logcos1sin1 logsin1cos1Dlogcos1tan1 logsin1tan1 logsin1cos1 logcos1sin1【答案】C【解析】由4 1知cos1 sin1 1 tan1.从而logsin1tan1 0且logcos1tan1 0且logcos1sin1 0，于是可排除 A 和 B，只剩 C 和 D，又由logcos1sin1 logcos1cos1

13、=logsin1sin1 0都成立的充要条件是()Aa，b 同时为 0，且 c0B2+2=C2+2 【答案】C【解析】与 a，b 不同时为零时sin+cos+0 所以2+2sin(+)+0，则sin(+)2+2 而式成立的充分必要条件是2+2 1，即2+2 2+2.这一结论含于 C 中，故选 C15【1994 高中数学联赛(第 01 试)】已知 0b1，0 4，则下列三数：=(sin)logsin，=(cos)logcos,=(sin)logcos的大小关系是()A B C D 【答案】A【解析】因为0 1，所以()=log是减函数，又因为0 4，所以0 sin cos logcos 0，所以

14、(sin)logsin .又(sin)logcos (cos)logcos，即 ，故有 0，所以sin=12.从而=30,=60,=90.18【1990 高中数学联赛(第 01 试)】设 (4,2)，则(cos)cos，(sin)cos,(cos)sin的大小顺序是()A(cos)cos (sin)cos (cos)sinB(cos)cos (cos)sin (sin)cosC(sin)cos (cos)cos (cos)sinD(cos)sin (cos)cos (sin)cos【答案】D【解析】因为 (4,2)，所以0 cos 22 sin 1，故(cos)sin (cos)cos，所以(

15、cos)cos 2，进而0 2 2，所以cos sin(2 )=cos，cos sin 0.说明 z 位于第二象限.20【1989 高中数学联赛(第 01 试)】函数()=arctan+12 arcsin的值域是().A(,)B34,34 C(34,34)D2,2【答案】D【解析】f(x)的定义域是1，1，此时4 arctan 4，4 12 arcsin 4.而且arctan和arcsin是单调增加的，从而 f(x)的值域是2,2.21【1987 高中数学联赛(第 01 试)】边长为 5 的菱形，它的一条对角线的长不大于 6，另一条不小于 6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是()A102

16、B14C56D12【答案】B【解析】不妨设菱形 ABCD 的对角线 6,6，令ABD=，则45 arccos35 90，所以+=10(sin+cos)=102sin(+45).注意到90 45+arccos35 +45 135，而 y=sinx 在第二象限递减，所以当+45=45+arccos35时，sin(+45)取得最大值，这时=arccos35，(+)max=10(sin+cos)=14.22【1987 高中数学联赛(第 01 试)】如图，ABC 的顶点 B 在单位圆的圆心上，A，C 在圆周上，ABC=2a(0a3).现将ABC 在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以 A

17、 为中心，使 B 落在圆周上；第二次，以 B 为中心，使 C 落到圆周上；第三次，以 C 为中心，使 A 落到圆周上，如此旋转直到第 100 次.那么，点 A 所走路程的总长度为()A22(1+sin)66B22+683 sin 66C673 D33 66【答案】A【解析】当ABC 依次以 A，B，C(即在图中 A，B1，C2)为中心，在圆内接逆时针方向旋转，使点 B 再次回到圆心时，点 A 所描画的轨迹为圆弧 AA1 及圆弧 A1A2，且它们的半径分别为 1，AC 的长边为 2sina.因为AB1B 与B1C2B 为正三角形，112=2，所以弧 AA1 所对的圆心角为23 2.又由 112以

18、 C2 为中心作第三次旋转时，其边21旋转了3到达 C2B，因而，弧 A1A2 所对的圆心角为3，这样，ABC 每旋转三次，点 A 所走的路程为(23 2)1+3 2sin=23(1+sin)2.故ABC 旋转 100 次，点 A 所走的路程为=1001323(1+sin)2=22(1+sin)66.23【1986 高中数学联赛(第 01 试)】设1a0，=arcsin，那么不等式 sinxa 的解集为()A|2+(2+1),B|2 (2+1),C|(2 1)+2 ,D|(2 1)2+,【答案】D【解析】因为1 0，所以=arcsin (2,0).先求出在区间(,0)中，满足方程 sinx=a

19、 的角=arcsin和=arcsin.从单位圆中，容易看出，不等式 sinxa 的解集为 D.24【1985 高中数学联赛(第 01 试)】已知方程arccos45 arccos(45)=arcsin，则()A=2425B=2425C=0D这样的 x 不存在【答案】D【解析】因为arccos(45)=arccos45，所以原方程为2arccos45 arcsin=，又因为arccos是减函数，所以arccos45 arccos 22=4.又arcsin 2，所以2arccos45 arcsin +B +C16 +2).因为若要=2sin ,只要0 +.故选项 B 也不可能.28【1982 高中

20、数学联赛(第 01 试)】对任何 (0,2)都有()Asinsin cos cos coscosCsincos cos cossinDsincos cos 0，则sin .因为 (0,2)，所以0 sin 2.而 cosx 在区间(0,2)上是减函数，所以cos cossin 由cos (0,1)，又可知sincos cos由式，可知sincos cos cossin.29【1981 高中数学联赛(第 01 试)】条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等.条件乙:两个三角形全等()A甲是乙的充分必要条件B甲是乙的必要条件C甲是乙的充分条件D甲不是乙的必要条件，也不是充分条件【答案】B【解析】若

21、两个三角形全等，则其边对应相等，面积也相等.但若两边对应相等，其夹角互补，则亦有面积相等.其实，由面积相等和两边对应相等，根据面积公式12 sin，只能推得夹角的正弦相等，因此夹角可能相等也可能互补，两个三角形未必全等，故答案为选项 B30【1981 高中数学联赛(第 01 试)】条件甲:1+sin=.条件乙:sin2+cos2=A甲是乙的充分必要条件B甲是乙的必要条件C甲是乙的充分条件D甲不是乙的必要条件，也不是充分条件【答案】D【解析】条件甲即1+sin=|sin2+cos2|0.而当2+4为第三或四象限角时，条件乙sin2+cos2 0.其中 2,=0,1,2,.优质模拟题强化训练 1

22、的三边长分别为=，=，=若=2 2+2 2=2 3+2 3=2 4+2 4，则，中小于0 的个数为()A3B2C1D0【答案】A【解析】如图，以为斜边、2为直角边作Rt ；以为斜边、为直角边作Rt ，使在的延长线上则=2 2+2 2=同理，作Rt 、Rt 、Rt 、Rt ，使=3，=2，有 =2 3+2 3=，=2 4+2 4=可见，图所得到的 就是已知三角形(全等)，这个三角形的三条高线为=2，=2，=3由三角形面积公式有 =2则=2=23，=2=，=2=2从而，中的最大角为由余弦定理得cos=2+222=312 0可见，为锐角，为锐角三角形，得=cos()0同理，0，0选 A.213+12

23、 arccos79=().A38B23C2Darcsin89【答案】C【解析】令=arccos13+12 arccos79，则6 2+12 6=2+12，即3 2 0，必有()Asin+cos=1Bsin+cos 1Csin+cos 0，必有sin+cos=1.故答案为:A 7已知为锐角三角形，()=2+2+，=sin+sin+sin，=cos+cos+cos.则().A()()B()=()C()2 2 0 从而，sin cos.同理，sin cos，sin cos.故 .因cos+cos+cos=1+4sin2 sin2 sin2 1，所以 1.又()在(1,+)内为减函数，因此，()().

24、8=(3+)3的最大值为()A32B1C16325D839【答案】D【解析】令3+=，则=3，sin3=sin(3 )=sin3，=sin(3+)sin3=sin+sin3=4sin(1 sin2)故2=16sin2(1 sin2)(1 sin2)=8(2sin2)(1 sin2)(1 sin2)8 (23)3=6427所以，839，等号在sin2=13时成立9函数=sin cos+sin+cos的值域为()(表示不超过实数的最大整数).A2,1,0,1,2B2,1,0,1C1,0,1D2,1,1【答案】D【解析】=12 sin2+2sin(+4).下面的讨论均视 .(1)当2 2+2时，=1

25、；(2)当2+2 2+34 时，=1；(3)当2+34 2+时，=2；(4)当=2+或2+32 时，=1；(5)当2+2+32 时，=2；(6)当2+32 2+74 时，=2；(7)当2+74 2+2时，=1.综上，2,1,1.故答案为：D10在锐角中，令=tan+tan+tansin+sin+sin.则().A0 1B 2C 3D1 2【答案】B【解析】tan+tan+tan=sin(+)cos+sin(+)cos+sin(+)cos=(coscos+coscos)sin+(coscos+coscos)sin+(coscos+coscos)sin.2(sin+sin+sin)11已知两个不等

26、的锐角、，满足sin+cos=sin，sin+cos=sin，其中，+2，且、.则2 2的值是().A1B0C1D不存在【答案】C【解析】由题意解得 =sincossincossincossincos=2sin()sin2sin2=2sin()2cos(+)sin()=1cos(+)=sec(+)=sin2sin2sincossincos=cos2cos2sin2sin2=sin(+)sin()sin()cos(+)=tan(+)故2 2=sec(+)2 tan2(+)=1.故答案为 C 12设0 2，且满足tan=tan+1cos.那么，2的值是().A12B6C4D3【答案】C【解析】ta

27、n+1cos=1+sincos=1+cos(2 )sin(2 )=2cos2(42)2sin(42)cos(42)=cot(4 2)=tan(4+2)=tan 而0 2，则、4+2都在(0,2)内，即=2+4.所以，2=4.故答案为：C 13锐角的三边长、和面积满足=2()2，且既不是的最大内角，也不是最小内角.则实数的取值范围是().A(0,4)B(4(2 1),4)C(0,4(2 1)D(4,+)【答案】B【解析】不妨设0 2，则2 +2 +.从而，4 2.又=2()2=2(2+22)12sin2=2(1cos)12sin=4tan2在(4,2)上是增函数，所以，4tan8 4tan4 故

28、4(2 1)4.选 B.14在中，sin+sin+sincos+cos+cos=3，则的取值范围是().A(3,2)B(0,2)C3D(4,3)【答案】C【解析】由条件有sin+sin+sin=3(cos+cos+cos)2sin+2 cos2+sin=3(2cos+2 cos2+cos)(23cos+2 2sin+2)cos2=sin 3cos.利用辅助角公式有2sin(3+2)cos2=sin(3)2sin(2 6)cos2=2sin(2 6)cos(2 6)2sin 602(cos 2 cos 602)=0 sin602sin+604sin+604=0，所以，60=0或者 +60=0或者

29、 +60=0,即=60或者=60或者=60,亦即、中有一个为60.若 60,则 60，所以，只能=60，此时，+60，则 60,所以，只能=60，从而，+180，亦矛盾.选 C.15已知 的三边长、满足2 2 2=0,且+2 2+3=0.则 的最大内角的度数是().A150B120C90D60【答案】B【解析】由(+2+2)(+2 2)=32，有2+2+=2，故cos=12.选 B.16已知sin(+2)=35，sin(2 3)=45，12,4，0,12。则sin(8 5)=()。A425B4125C45D45【答案】C【解析】注意到sin(8 5)=sin2(+2)+3(2 3)=sin2(

30、+2)cos3(2 3)+cos2(+2)sin3(2 3)由题设可知+2 12,512，2 3 12,2.故cos(+2)=45，cos(2 3)=35，sin2(+2)=2 35 45=2425，cos2(+2)=2(45)2 1=725，cos3(2 3)=4(35)3 3 35=117125，sin3(2 3)=3 45 4(45)3=44125.则sin(8 5)=2425 (117125)+44125 725=45.故答案为：C 17已知锐角，给出下列判断：长为sin2、sin2、sin2的三线段一定可构成一个三角形；长为cos、cos、cos的三线段一定可构成一个三角形；长为co

31、s、cos、sin的三线段一定可构成一个三角形；长为tan、tan、的三线段一定可构成一个三角形.其中，正确判断有()个.A4B3C2D1【答案】C【解析】sin2+sin2 sin2=2sin(+)cos()2sin cos=2sincos()+cos(+)=4cos cos sin 0同理，sin2+sin2 sin2 0，sin2+sin2 sin2 0.所以，正确.对于，极端考虑：90,90,0,此时，cos 0,cos 0,cos 1不能满足cos+cos cos.所以错误.cos+cos sin=2cos +2 cos 2 2sin 2 cos 2=2sin 2(cos 2 cos

32、 2)=4sin2 sin24 sin24 0.类似地，cos+sin cos 0,cos+sin cos=0.所以正确.对于，举反倒：=45,=60,=75,此时，tan=1,tan=3,tan=2+3,tan+tan tan.所以错误.故答案为：C18已知、+(0,2)，=1sin2+1sin2，=1sin+1sin，则()A D 【答案】A【解析】由、+(0,2)可得sin(+)=sin cos+cos sin sin(+)sinsin 2sin(+)cos()sin2sin2=2sin(+)2coscoscos()sin2sin2=2sin(+)cos(+)sin2sin2 0.19已

33、知、是三个不相等的锐角.若tan=sinsincoscos，则tan等于().AsinsincoscosBsinsincos+cosCcoscossinsinDcos+cossinsin【答案】B【解析】由题设知，tan 0，sin sin 0.则cos cos 0.、因此，可构造如图所示的Rt，使=90，=，=cos cos，=sin sin.则=(cos cos)2+sin2 sin2=(cos cos)2+(1 cos2)(1 cos2)=(1 cos cos)2=1 cos cos.于是，sin=sinsin1coscos.故 sinsincos+cos=sinsinsin1cosco

34、scos+coscos1coscos=sinsin2cos(1cos2)=tan.20下面给出 4 个题题：(1)在中，sin+sin sin恒为正值；(2)在中，cos+cos+cos恒为正值；(3)在中，cot+cot+cot恒为正值；(4)在非直角中，tan+tan+tan恒为正值。其中，正确的命题有()A4B3C2D1【答案】B【解析】(1)正确，由正弦定理知sin+sin sin=12(+)0.(2)正确.当 锐角或直角三角形时，代数式显然为正值，当为钝角三角形时，不妨设为钝角，则0 +cos(+)，即有cos+cos 0，又cos 0，故cos+cos+cos 0.(3)正确，同(2).(4)错误，由tan+tanB+=tan tan，知为锐角三角形时，其值为负.选 B.