专题07 圆与母子型相似结合型：切割线定理反A模型压轴题专题（解析版）—2023-2024学年挑战中考压轴题重难点题型分类.docx

1、专题07 圆与母子型相似：切割线定理反A模型压轴题专题（解析版）切割线定理：反A模型图形相似的证明结论因为;1（北雅）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDACBD（1）求证：CD是O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC6，tanCDA，求BE的长 【解答】（1）证明：连OD，OE，如图，AB为直径，ADB90，即ADO+190，又CDACBD，而CBD1，1CDA，CDA+ADO90，即CDO90，CD是O的切线；（2）解：EB为O的切线，EDEB，OEDB，ABD+DBE90，OEB+DBE90，ABDOEB，CDAOEB而tanCDA，tanOEB，R

2、tCDORtCBE，CD64，在RtCBE中，设BEx，（x+4）2x2+62，解得x2（南雅）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD2CACB（1）求证：CD是O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC10，求BE的长 【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD2CACB，CC，DCABCD，ADCDBC，OBOD，BDODBO，AB为O的直径，BDA90，BDO+ODACDA+ODA90，ODCD，CD为O0的切线；（2）BE、CE是O的切线，EDEB，DCABCD，DBACDA，tanDBAtanCDA，CDBC6，设BEx，则DEx，CEx+6在RtCBE

3、中，（x+6）2x2+102，解得：x，BE3.（长郡）已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连结（1）求证：是的切线（2）求证：（3）若，求直径的长 【解答】（1）证明：连接OD，OC，PC是O的切线，PCO90，ABCD，AB是直径，弧BD弧BC，DOPCOP，在DOP和COP中，DOPCOP（SAS），PDOPCO90，D在O上，PD是O的切线；（2）证明：AB是O的直径，ADB90，PDO90，ADOPDB90BDO，OAOD，AADO，APDB，BPDBPD，PDBPAD，PD2PAPB；（3）解：DCAB，ADBDMB90，A+DBM90，CDB+DBM90

4、，ACDB，tanCDB，tanA，PDBPAD，PD4，PB2，PA8，AB8264（明德）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB，延长AB交DC于点E，CFAB于点F（1）求证：直线DE与O相切；（2）若EB2，EC4，求O的半径及AC、AD的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积 【解答】解：（1）连接OC；ADDC，DAC+ACD90；又AC平分DAB，OAOC，DACCAO，CAOACO，DACACO，ACD+ACO90，即OCDC，直线DE与O相切（2）EC是O的切线，EC2EBEA，而EC4，EB2，EA8，AB826

5、；O的半径为3AC平分DAE，AD2DC（设为x）；AC平分DAB，CDAD，CFAB，CDCF；在ADC与AFC中，ADCAFC（HL），AFAD2x，BF62x；AB为O的直径，ACB90；由射影定理得：CF2AFBF，即x22x（62x），解得：x，AD；由勾股定理得：，AC，即O的半径及AC、AD的长分别为3，（3），5（雅礼）如图，在O中，AB为直径，OCAB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有一点E，且EFED（1）求证：DE是O的切线（2）若tanA，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF1，求O的半径和CD的长【解答】（1）证明：连接OD

6、，如图，EFED，EFDEDF，EFDCFO，CFOEDF，OCOF，OCF+CFO90，OCOD，OCFODF，ODC+EDF90，即ODE90，ODDE，点D在O上，DE是O的切线；（2）解；线段AB、BE之间的数量关系为：AB3BE证明：AB为O直径，ADB90，ADOBDE，OAOD，ADOA，BDEA，而BEDDEA，EBDEDA，RtABD中，tanA，AE2DE，DE2BE，AE4BE，AB3BE；（3）解：设BEx，则DEEF2x，AB3x，半径ODx，OF1，OE1+2x，在RtODE中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2（1+2x）2，x（舍）或x2，AB3x6，圆O的半

7、径为3过点O作OHCD，OCOD，CD2CH，在RtOCF中，CF，OH，在RtOCH中，tanOCH，CH3OH，CD2CH6（青竹湖）如图，已知AB是O的直径，直线AC与O相切于点A，过点B作BDOC交O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E（1）求证：CD是O的切线（2）求证：DE2EBEA；（3）若BE1，求线段AD的长度【解答】解：（1）BDOC，DBOCOA，ODBCOD，OBOD，DBOODB，COACOD，在COA和COD中，COACOD（SAS），CAOCDO，AC是O的切线，CAO90CDO，即ODEC，OD是O的半径，EC是O的切线；（2）EC是O的切线，ODE90，

8、即EDB+ODB90，又AB是O的直径，ADB90，ABD+BAD90，又ODBOBD，EDBEAD，又EE，EBDEDA，即DE2AEBE；（3）ACO+COA90，BAD+OBD90，而OBDODBCODCOA，ABD+BAD90，BADACO，由EBDEDA，tanBAD，BE1，DE2，由DE2AEBE得，221AE，AE4，AB413，设BDa，则AD2a，由勾股定理得，BD2+AD2AB2，即a2+（2a）232，解得a，AD2a7（北雅）如图，ABC内接于O，点P是ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交O于点E，经过点E作O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G（1）求证：

9、BCFG；（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；（3）当图中的FEAB时，如图，若FB3，CG2，求AG的长【解答】（1）证明：连接BE，点P是ABC的内心，BADCAD又FG切O于E，BEFBAD又DBECAD，BEFDBEBCFG（2）解：连接BP，则ABPCBPBPEBAP+ABPPBC+EBD，BPEPBEBEPE在ABE和BDE中，BAEEBD，BEDAEB，ABEBDEBE2AEDEPE2AEDE（3）解：FE2FBFAFB（FB+AB），而FEAB，AB23（3+AB）设ABx，则x23x90，解之得xAB（取正值）由（1）在AFG中，BCFG，AC1+AGAC+CG3+8（青

10、竹湖）如图，O经过ABC的顶点A、C，并与AB边相交于点D，过点D作DFBC，交AC于点E，交O于点F，连接DC，点C为弧DF的中点（1）求证：BC为O的切线；（2）若O的半径为3，DF4，求CECA的值；（3）在（2）的条件下，连接AF，若BDAF，求AD的长 【解答】（1）证明：连接CO并延长交O于G，连接DG，如图：CG为直径，GDC90，DCG+DGC90，DGCBAC，点C为弧DF的中点，CDFBAC，DGCCDF，DCG+CDF90，DFBC，CDFDCB，DCG+DCB90，OCBC，又OC是O的半径，BC为O的切线；（2）解：连接OC交DF于M，C为弧DF的中，OCDF，DMM

11、FDF2，O的半径为3，OM1，CMOCOM312，DC2DM2+CM212，DACCAF，CDFCAF，CDFDAC，DCEACD，DCEACD，CD2CECA，CECA12；（3）解：连接CF，四边形ADCF内接于O，ADC+AFC180，又BDC+CDA180，AFCBDC，CDCF2，又BDAF，BDCAFC（SAS），BCAC，BCDACF，ACFADF，BCDADF，DFBC，CDFBCD，CDFADF，AFCF，BDCF2，ACDF4BC，BCDCDFCAFDAC，DBCABC，DBCCBA，BC2BDAB，AB，AB，ADABBD9（麓山国际）如图，AB是O的直径，点C是O上一

12、点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分ACB，交AB点F，连接BE（1）求证：AC平分DAB；（2）求证：PCPF；（3）若tanABC，AB14，求线段PC的长【解答】（1）证明：PD切O于点C，OCPD，又ADPD，OCAD，ACODACOCOA，ACOCAO，DACCAO，即AC平分DAB；（2）证明：ADPD，DAC+ACD90又AB为O的直径，ACB90PCB+ACD90，DACPCB又DACCAO，CAOPCBCE平分ACB，ACFBCF，CAO+ACFPCB+BCF，PFCPCF，PCPF；（3）解：PACPCB，PP，PACPCB，

13、又tanABC，设PC4k，PB3k，则在RtPOC中，PO3k+7，OC7，PC2+OC2OP2，（4k）2+72（3k+7）2，k6 （k0不合题意，舍去）PC4k462410（青竹湖）如图，AB为O的直径，C为O上一点，D为BA延长线上一点，ACDB（1）求证：DC为O的切线；（2）若O的半径为5，sinB，求CD和AD的长；（3）在（2）的条件下，线段DF分别交AC，BC于点E，F且CEF45，求CF的长【解答】（1）证明：AB为O的直径，ACBBCO+OCA90，OBOC，BBCO，ACDB，ACDBCO，ACD+OCA90，即OCD90，又OC是半径，DC为O的切线；（2）解：RtACB中，AB10，sinB，AC6，BC8，ACDB，ADCCDB，CADBCD，设AD3x，CD4x，则OD5+3x，RtOCD中，OC2+CD2OD2，52+（4x）2（5+3x）2，x0（舍）或x，AD，CD；（3）解：CEF45，ACB90，CECF，设CFa，CEFACD+CDE，CFEB+BDF，CDEBDF，ACDB，CEDBFD，a，CF