专题07 导数中压轴题的洛必达法则运用（解析版）.docx

1、导数章节知识全归纳专题07 导数压轴题的洛必达法则运用一洛必达法则基础知识认识：作者语录：（本节内容本应该在大学高等代数中学习，由于目前高考考向和试题难度问题，运用洛必达法则解答题可以针对适当题型解答更加快速和容易，同时也更能够很好求参数，很多时候都是额外补充，针对学习较好同学可适当深入）法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g(x)0； (3)，那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g(x)0； (3)，那么 =。 法则3 若函数f(x)

2、 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g(x)0； (3)，那么 =。注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的xa，x换成x+，x-，洛必达法则也成立。2.洛必达法则可处理，型。3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二导数压轴中洛必达法则运用典例：例：1.函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求、的值；（

3、2）如果当，且时，求的取值范围.解：（1）易得，.（2）方法一：分类讨论、假设反证法由（1）知，所以.考虑函数，则.(i)当时，由知，当时，.因为，所以当时，可得；当时，可得，从而当且时，即；（ii）当时，由于当时，故，而，故当时，可得，与题设矛盾.（iii）当时，而，故当时，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.注：分三种情况讨论：；不易想到.尤其是时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.方法二：运用洛必达和导数求解本题的恒成立问题当，且时，即，也即，记，且则，记，则，从而在上单调递增，且，因此当

4、时，当时，；当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.由洛必达法则有 ，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.注：（1）本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调性、极值.（2）分离参数之后，先帮助我们找到正确答案，在利用常规不分离的思路去证时是不可能的，这时要分和两种情况就显得比较明显了（大家可以尝试着改写）.例：2.已知函数，（1）若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；（2）若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围解：(1)函数在R上单调递增，恒成立，即，.(2)考虑变量分离，应用洛必达法则求解：，

5、函数，由对任意都成立，得恒成立.即恒成立.当，恒成立；当，恒成立；当时，即：恒成立；令，则在上单调递增；（行不通，洛必达法则），所以：初等方法解决：，函数，.对于任意，令，则当，即时，在上为单调递增函数，符合题意，.当，即时，令，于是.，在上为单调递增函数，即，.()当，即时，在上为单调递增函数，于是，符合题意，.()当，即时，存在，使得当时，有，此时在上为单调递减函数，从而，不能使恒成立，综上所述，实数的取值范围为.注：本题是与三角函数导数有关的问题，如果没有洛必达法则的应用，分界点的选取就显得很不自然了，不容易想到.借助于洛必达法则，在用初等方法改写的过程中，分界点的讨论选取就显得很自然了

6、.变式：1.设函数.（1）证明：当时，；（2）设当时，求的取值范围.解：（1）易证.（2）应用洛必达法则和导数由题设，此时.当时，若，则，不成立；当时，当时，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，.因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，即有，所以.综上所述，的取值范围是.变式：2.设函数。（1） 若，求的单调区间；（2） 若当时，求的取值范围解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取

7、值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当时，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x0),则，令，则，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，故综上，知a的取值范围为。变式：3.已知函数.（1），时，讨论函数的导数的单调性；（2）时，不等式对恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1），时，令，由，当时，；当时，所以在上单减，在上单增；（2）时，不等式对恒成立，等价于对恒成立，令，则，令，则对恒成立，从而有在上单增，时，在上单增，即对恒成立，时，此时，使得，当时，在上单减，当时，故对不成立，综上，的取值范围是.变式：4.已

8、知函数（1）若，求的极值；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.解：【分析】（1）根据题意，定义域是，进而求导得，再结合可得函数的单调性，进而得答案；（2）设，利用导数即可得其值域为，进而分和两种情况讨论求解即可.【详解】（1）的定义域是.是增函数.当时单调递减；当时单调递增.所以，有极小值，且没有极大值.（2）设，则，当时在区间上单调递减，当时，的值域是，即值域为若，设，则有，在区间上单调递增.，使得，即与题意不合，舍.若，则，使得在区间上单调递增.当时单调递减；当时单调递增.要使在区间上恒成立，由于，则必须，即，所以所以，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于分和两种情况讨论.