专题07 导数的概念、运算及简单应用（学生版）.docx

1、专题07 导数的概念、运算及简单应用（核心考点精讲精练）1. 近几年真题考点分布 导数的概念、运算及简单应用近几年考情考题示例考点分析关联考点2022年全国乙（理科），第21题,12分1、 求切线方程2、 根据零点求参分类讨论思想2022年全国乙（理科），第16题,5分求切线，根据极值点求参2022年全国甲（理科），第21题,12分1、 函数不等式恒成立求参数取值范围2、 双变量问题、极值点偏移问题2022年全国甲（理科），第6题,5分求某点处的导函数值已知最值求参2023年全国甲（文科），第8题,5分求切线方程2023年全国乙（文科），第8题,5分利用导数研究函数的零点2023年全国甲（理科

2、），第21题,12分3、 判断函数的单调性4、 函数不等式恒成立求参数取值范围三角函数2023年全国乙（理科），第21题,12分3、 求切线方程4、 根据函数的性质求参5、 根据极值求参数取值范围2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，各种题型都有涉及，且多年来均出现解答题压轴位置； 2.常考题型：求一点处的切线；判断函数的单调性；判断函数的极值和最值；通过导函数研究函数的零点等；解答题常有：函数不等式恒成立求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数列不等式、与三角函数的综合问题等。【备考策略】1.了解导数的概念,掌握基本初等函数的导数； 2.通过函数图象,理解导数的几何意义

3、； 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f(ax+b)的导数； 4.利用导函数判断函数的单调性； 5.利用导函数判断函数的极值与最值； 6.利用导函数研究函数的零点； 7.利用导函数研究函数不等式恒成立问题。【命题预测】1.求一点处的切线问题；通过导函数判断函数的单调性（含参与不含参）；2.根据导函数判断函数的极值和最值、通过极值、最值求参；通过导函数研究函数的零点；3.通过导函数研究函数的零点问题； 4.根据函数不等式恒成立问题求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数列不等式、与三角函数的综合问题等 知识讲解一、变化率与导数1.平均变化率概念对于函数y=f

4、(x),f(x2)-f(x1)x2-x1=yx叫作函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率几何意义函数y=f(x)图象上的点(x1,f(x1)与(x2,f(x2)连线的 物理意义若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则yx就是该质点在x1,x2上的 速度2.导数定义一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x,称它为函数y=f(x)在 处的导数,记为 或y|x=x0,即 =limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)就是函数图象在该点处切线的 .曲线y=f(x)在点

5、(x0,f(x0)处的切线方程是 物理意义函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的瞬时速度二、导数的运算常用导数公式原函数导函数特例或推广常数函数C=0(C为常数)幂函数(为正有理数)三角函数(sin x)= ,(cos x)= 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(ax)= (a0,且a1)(ex)= 对数函数(x0,a0,且a1)(x0)四则运算法则加减f(x)g(x)= af(x)bg(x)=af(x)bg(x)乘法f(x)g(x)= cf(x)=cf(x)除法复合函数的导数复合函数y=f(g(x)的导数与

6、函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系yx= ,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积” 求简单函数的导函数的基本方法:(1)用导数的定义求导,但运算比较烦琐;(2)用导数公式求导,可以简化运算过程,降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式. 1.求复合函数的导数的步骤2.求复合函数的导数的注意点:分解的函数通常为基本初等函数;求导时分清是对哪个变量求导;计算结果尽量简洁.解决这类问题,一般是先求导,注意f(2)是常数,然后赋值求出f(2)的值,最后代入原导数式求解.求解过曲线上某点处的切线问题,关键是明

7、确在该点处的切线斜率就是该点处的导数.求解过曲线外某点处的切线问题的步骤：第一步:设出切点坐标P(x1,f(x1).第二步:写出过点P(x1,f(x1)的切线方程y-f(x1)=f(x1)(x-x1).第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1.第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.1.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等,得到关于参数的方程(组)或参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.2.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围;(

8、2)谨记切点既在切线上又在曲线上.三、函数的单调性与导数的关系条件结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导f(x)0f(x)在(a,b)内 f(x)0f(x)在(a,b)内 f(x)=0f(x)在(a,b)内是 可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是x(a,b),都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.确定不含参数的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤求解即可,但应注意两点:一是不能遗忘求函数的定义域;二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.解决含参数函数的单调性问题时应注意以下两点:(1)研究含参数函数的单调性,要依

9、据参数对不等式解集的影响进行分类讨论;(2)划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.函数图象的单调性可以通过导函数的正负来分析判断,即导函数为正,函数图象上升;导函数为负,函数图象下降.看导函数图象时,主要是看其在x轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调性.解题时,一定要分清是函数图象还是其导函数图象.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧:利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数.题目中若存在f(x)与f(

10、x)的不等关系时,常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数,与题设形成解题链条,利用导数研究新函数的单调性,从而求解不等式.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路:(1)由函数在区间a,b上单调递增(减)可知f(x)0(f(x)0)在区间a,b上恒成立,列出不等式;(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题;(3)对等号单独检验,检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0,若f(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去,若只有在个别点处有f(x)=0,则参数可取这个值.四、函数的极值若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0,而且

11、在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧 ,右侧 ,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.五、函数的最值1.在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.2.若函数f(x)在a,b上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小

12、值.1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值.2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. 对于根据图象判断函数极值的问题,一般先找导数为0的点,再判断导数为0的点左、右两侧的导数符号.求函数f(x)极值的步骤:第一步,确定函数的定义域;第二步,求导数f(x);第三步,解方程f(x)=0,求出在函数定义域内的所有根;第四步,列表检验f(x)在f(x)=0的根x0左、右两侧的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在x

13、0处取得极小值.讨论参数应从f(x)=0的两根x1,x2是否相等入手进行,从而确定参数的分割范围,然后结合单调性进行极值的讨论.已知函数极值(点)求参数的两个要领列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.求函数f(x)在闭区间a,b上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.1.利用导数求函数f(x)在a,b上的最值的一般步骤:(1)求函数在(a,b)内的极值;(2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f

14、(b);(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0.(3)比较函数在区间端点和f(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题,结合实际问题作答.考点一、导数的概

15、念1已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（）ABCD2设函数在处存在导数为，则（）ABCD3（2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）已知，则a=A1B2C3D61（北京市丰台区20222023学年高二下学期期末数学试题）用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径r的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（）ABCD2已知函数，则（）AB1CD23ABCD不存在考点二、导数的运算1求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；（4）2已知函数，则 .3已知，则（ ）ABCD1求下列函数的导

16、数：(1) (2)；(3) ；(4).2已知函数导函数为，且，则（ ）A21B20C16D113若，则下列说法中错误的是（ ）A BC D考点三、导数的几何意义1已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A3B2C1D2（2020年全国统一高考数学试卷（理科）函数的图像在点处的切线方程为（）AB CD3已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A0,)BCD1曲线在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A9B3C9D152设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()ABCD3点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（）ABCD

17、考点四、切线的应用1已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）ABCD2如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（ ）ABCD最值问题3（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .双切线问题4若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（ ）A B C D公切线问题5若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 1已知函数的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（）ABCD2已知函数的图像在点处的切线方程是，则 最值问题3在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 .双切线问题4过坐标原点可以作曲

18、线两条切线，则的取值范围是（）ABCD公切线问题5若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，则 .考点五、简单的函数的单调性1设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）ABCD2函数的单调递增区间是 .3（2023年新课标全国卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）ABeCD4对于R上可导的任意函数，若满足则必有（ ）ABCD5（2023四川省自贡市名校模拟）已知函数，若，则的范围是 1已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）ABCD2若函数，则函数的单调递减区间为 .3若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是（）A

19、B C D4函数的定义域为，对任意，则的解集为（ ）ABCD5设定义在上的函数满足，若，则的取值范围为 .考点六、含参函数的单调性1已知函数，其中，.讨论函数的单调性；2已知函数，求函数的单调递增区间.3已知函数，讨论函数的单调性1已知函数，讨论函数的单调性2已知函数，求函数的单调区间3已知函数，讨论的单调性考点七、利用导数求解函数的极值1已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则极值点的个数为（）A1B2C3D42若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）AB CD或3已知函数，.若，求m的值及函数的极值1函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值

20、点（）A个B个C个D个2若函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为（）A B CD或3已知函数，.若是的极值点，求函数的极值考点八、利用导数研究函数的最值1函数在上的最大值是（ ）ABC0D2若对于任意的恒成立，则正数的最小值为（ ）AB1CD3（2023北京市名校模拟）已知函数，若，且，则的最小值为（ ）AB CD1已知函数，则（ ）A的最小值为B的最小值为C的最大值为D无最小值2任给两个正数x，y，使得不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A B C D3已知函数，函数恰有两个不同的零点，则的最大值和最小值的差是（ ）ABCD考点九、导数在新情景中的应用1“以直代曲”是重要的数学思想具体

21、做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算比如要求的近似值，我们可以先构造函数，由于0.05与0比较接近，所以求出处的切线方程为，再把代入切线方程，故有，类比上述方式则（ ）A1.001B1.005C1.015D1.0252（2023湖北省名校模拟）若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，若和存在唯一的“隔离直线”，则（）ABCD3牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，它

22、们越来越接近若，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ）A1.438 B1.417 C1.416 D1.3751在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数“近似计算”的值为 （结果用分数表示）.2新型冠状病毒肺炎（COVID19）严重影响了人类正常的经济与社会发展我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范

23、与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（表示自4月20日开始（单位：天）时刻累计感染人数，的导数表示时刻的新增病例数），则下列命题正确的是（）A4月20号累计感染人数为2500B4月20号新增病例数为25C4月20号新增病例数为45D新增病例数自4月20号起逐渐减少3英国数学家布鲁克泰勒（BrookTaylor，1685.81731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世根据泰勒公式，我们可知：如果

24、函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式如由此可以判断下列各式错误的是（ ）A（i是虚数单位）B（i是虚数单位）CD【基础过关】1（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷）曲线在点处的切线的倾斜角为（）ABCD2（2023年陕西省模拟（理科）下列导数运算正确的是（ ）A B C D3（2023年湖北省联考）设，则的导函数（ ）A B C D4已知一次降雨过程中，某地降雨量L（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（ ）AB C D5（2023年福建省学业质

25、量监测（B卷）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A B1 C D6（2023年江苏省模拟）已知，则（ ）A B C D7（2023年福建省联考）若，则曲线在处的切线方程为（ ）A B C D8函数的单调递减区间为 .9（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国卷）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是ABCD10（2008年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖南卷） 11函数在上的最小值为（ ）AB6CD12（2022年全国新高考I卷数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 13已知函数，且满足，则（）A函数在处有极大值 B函数在区间上是减函数C函数有两个极

26、值点 D函数在区间上是增函数14我们比较熟悉的网络新词，有“”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，的“躺平点”分别为，则，的大小关系为 【能力提升】1若函数的图象存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）A B C D2已知，记，则的最小值为 3（2021年江西省模拟）已知函数，若，则a的取值范围是（ ）A B C D4（2023年河北省模拟）在等比数列中，若函数，则（ ）A B C D5（2023年北京名校模拟）已知是定义域为的偶函数，当时，那么函数的极值点的个数是（ ）A5 B4 C3 D26（2023年湖北省联考）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则

27、必有（ ）ABCD7（2023年陕西省模拟文科）英国数学家布鲁克泰勒（Brook Taylor，1685.81731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，则运用上面的想法求的近似值为（ ）A0.50BCD0.568已知函数，（），若经过点存在一条直线与的图象和的图象都相切，则实数a的值为 .9（2023年河南省模拟文科）已知函数是奇函数，且，是的导函数，则（ ）A B的一个周

28、期是4 C是奇函数 D10已知函数，讨论的单调性11（2022年全国新高考II卷数学试题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为_，_12（2023年江苏省模拟）设函数的导函数为，且，则_，的解集是_ 13已知直线与函数的图象相切，则的最小值为（ ）ABCD【真题感知】1（2023年高考全国甲卷（文）真题）曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD2（2023年新课标全国卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则下列错误的是（ ）ABCD3（2019年全国统一高考（文科）（新课标）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）A B C D4（2019年全国统一高考（文科）（新课标）曲线y=2sinx+cosx在点

29、(，1)处的切线方程为（ ）A B C D5（2021年全国新高考卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）A B C D6（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）若直线与曲线y=和都相切，则l的方程为（ ）Ay=2x+1By=2x+Cy=x+1Dy=x+7（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .8（2021年全国高考甲卷（理科）曲线在点处的切线方程为_9（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）曲线在点处的切线方程为 10（2022年全国高考乙卷（理科）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点若，则a的取值范围是_11（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）已知，则（ ）ABCD