专题07 立体几何-2022届广东省高三上学期期末考试数学试题分类汇编.docx

1、广东省 2021-2022 学年高三数学期末考试分类汇编 专题 07 立体几何 一、单选题 1（2022广东佛山高三期末）长方体1111ABCDA BC D中，11,2ABADAA，E 为棱1AA 上的动点，平面1BED 交棱1CC 于 F，则四边形1BED F 的周长的最小值为（）A4 3B2 13C2(25)D24 22（2021广东汕头高三期末）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由 8 个等边三角形组成的正八面体若某金刚石的棱长为 2，则它的体积为（）A 4 23B 83C 823D1633（2022广东中山高三期末）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1

2、B1C1D1中，过 A1B且与 AC1平行的平面交 B1C1于点 P，则 PC1（）A2B3C 2D14（2022广东揭阳高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，则圆柱的表面积与球O 的表面积之比为（）A3:4B1:2C3 2:8D不能确定5（2022广东潮州高三期末）若一个圆锥的侧面积是底面面积的 2 倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（）A 6B 4C 3D 5126（2022广东东莞高三期末）“中国天眼”（如图 1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图 2 所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截

3、得的线段叫做球冠的高若球面的半径是 R，球冠的高度是 h，则球冠的面积2SRh）已知天眼的球冠的底的半径约为 250 米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为 25 万平方米，则天眼的球冠高度约为（）（参考数值410.52 ）A52 米B104 米C130 米D156 米7（2022广东深圳高三期末）在正方体1111ABCDA BC D中，O 为正方形 ABCD的中点，P 为1AA 的中点，则直线 PO与1AD 所成的角为（）A 2B 3C 4D 68（2022广东清远高三期末）在三棱锥PABC 中，1,2ACPB，,M N 分别是,PA BC的中点，若22MN，则异面直线,AC PB所成角的余

4、弦值为（）A 35B 14C 34D 259（2022广东汕尾高三期末）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（）A21sinB21cosC12sinD12 cos 二、多选题 10（2021广东汕头高三期末）在棱长为 1 的正方体1111ABCDA BC D中，M 为底面A

5、BCD的中心，111,(0,1)DQD A，N 为线段 AQ 的中点，则（）ACN 与QM 共面B三棱锥 ADMN的体积跟 的取值无关C13 时，过 A，Q，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为 4 22 133D14AMQM 时，11（2022广东珠海高三期末）如图，在直棱柱1111ABCDA BC D中，各棱长均为 2，3ABC，则下列说法正确的是（）A三棱锥1AABC外接球的表面积为 283 B异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 12C当点 M 在棱1BB 上运动时，1MDMA最小值为2 52 3DN 是平面 ABCD上一动点，若 N 到直线1AA 与 BC 的距离相等，则 N

6、 的轨迹为抛物线12（2022广东中山高三期末）已知球O 的半径为 2，球心O 在大小为 60的二面角l 内，二面角l 的两个半平面分别截球面得两个圆1O，2O，若两圆12OO，的公共弦 AB 的长为 2，E 为 AB 的中点，四面体12OAOO 的体积为V，则下列结论中正确的有（）A12,O E O O 四点共面B1232O O C1232OO DV 的最大值为31613（2022广东金山中学高三期末）已知三棱锥 ABCD的所有棱长都为 2，且球 O 为三棱锥 ABCD的外接球，点 M 是线段 BD 上靠近 D 点的四等分点，过点 M 作平面 截球 O 得到的截面面积为 S，则 S 的可能取

7、值为（）A 2B 34C 32D 5314（2022广东揭阳高三期末）如图所示，已知正方体1111ABCDA BC D的棱长为2,M N分别是1,AD CC 的中点，P 是线段 AB 上的动点，则下列说法正确的是（）A平面 PMN 截正方体所得的截面可以是四边形五边形或六边形B当点 P 与,A B 两点不重合时，平面 PMN 截正方体所得的截面是五边形CMPN是锐角三角形DMPN面积的最大值是21215（2022广东铁一中学高三期末）如图，在直三棱柱111ABCA BC-中，12AAAC，3AB ，90BAC，点 D，E 分别是线段 BC，1BC 上的动点(不含端点)，且1ECDCBCBC，则

8、下列说法正确的是（）A/ED平面1ACCB四面体 A BDE的体积是定值C异面直线1BC 与1AA 所成角的正切值为 132D二面角 AECD的余弦值为 41316（2022广东深圳高三期末）在 ABC 中，ABBC，且2AC，1BC ，若将 ABC沿 AC 边上的中线 BD 折起，使得平面 ABD 平面 BCD点 E 在由此得到的四面体 ABCD的棱 AC 上运动，则下列结论正确的为（）A2ADCB四面体 ABCD 的体积为 18C存在点 E 使得BDE的面积为 14D四面体 ABCD 的外接球表面积为13317（2022广东汕尾高三期末）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为

9、直角梯形，22,2 AAABCBBADPDCAB PA底面 ABCD，M 为 PA 的中点，则下列叙述中正确的是（）APC/平面 MBDB BD 平面 PACC异面直线 BC 与 PD 所成的角是 4D直线 PC 与底面 ABCD 所成的角的正切值是 2 三、填空题 18（2022广东金山中学高三期末）已知正四棱锥 PABCD的所有棱长均为2 2，E，F 分别是 PC，AB 的中点，M 为棱 PB 上异于 P，B 的一动点，则MEMF的最小值为_.19（2022广东铁一中学高三期末）已知四面体 ABCD中，5ABCD，10ACBD，13BCAD，则其外接球的体积为_.20（2022广东潮州高三

10、期末）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 A-BCD 中，AB 平面 BCD，CD AD，AB=BD=2，已知动点 E 从C 点出发，沿外表面经过棱 AD 上一点到点 B 的最短距离为 10，则该棱锥的外接球的表面积为_21（2022广东东莞高三期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15，则该圆锥的体积为_.22（2022广东清远高三期末）如图，在长方体1111ABCDA BC D中，12,4ABADAA，P 为1DD 的中点，过 PB 的平面 分别与棱11,AA CC 交于点 E，F，且AC，则平面截长方体所得上下两部分的体积比值为_；所得的截面四边形 PEB

11、F 的面积为_ 四、解答题 23（2022广东佛山高三期末）如图，四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD是矩形，AD 平面 PAB，PAPB，E 是 AD的中点.(1)在线段 BP上找一点 M，使得直线/EM平面 PCD，并说明理由；(2)若,2PAAD ABAD，求平面 PCE 与平面 PAB所成二面角的正弦值.24（2021广东汕头高三期末）如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱）111ABCA BC-内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），AB 是圆柱底面圆 O 的直径，点 D 在11A B 上，且113A DDB若 AC=BC，(1)求证：平面COD 平面11ABB A；(2)求平面 C

12、OD 与平面11CBBC 所成锐二面角的余弦值25（2022广东珠海高三期末）如图，在四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD为平行四边形，P 在平面 ABCD的投影为边 AD的中点 O，3ABC，4BC，1AB ，3PO(1)求证：AB 平面 POC；(2)在线段 PB 上，是否存在一点 E，使得平面 POC 与平面 EOC 的夹角的余弦值为 3 1010，若存在，指明点 E 的位置，若不存在，说明理由26（2022广东中山高三期末）已知圆锥 AO 的底面半径为 2，母线长为2 10，点 C为圆锥底面圆周上的一点，O 为圆心，D 是 AB 的中点，且2BOC（1）求三棱锥 DOCB的表面积；（

13、2）求 A 到平面OCD 的距离27（2022广东金山中学高三期末）如图，四棱锥 PABCD的底面 ABCD为直角梯形，/BC AD，且222,ADABBC90,BADPAD为等边三角形，平面 ABCD 平面 PAD；点 EM、分别为 PDPC、的中点（1）证明：/CE平面 PAB；（2）求直线 DM 与平面 ABM 所成角的正弦值28（2022广东揭阳高三期末）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为梯形，33,2 3,DCABADAB,CD CDAD，平面 PCD 平面,ABCD E 为棱 PC 上的点，且2ECPE.(1)求证：BE 平面 PAD；(2)若3PD，二面角 PADC为

14、60，求直线 BE 与平面 ABCD所成角的正弦值.29（2022广东铁一中学高三期末）如图，在几何体 ABCDEFGH中，HD 底面ABCD，/HD FB，/AB DC，ADDC，1AB ，2DC ，45BCD，2HD，1FB ，设点 M 在棱 DC 上，已知 AM 平面 FBDH.（1）求线段 DM 的长度；（2）求二面角 HAMF的余弦值.30（2022广东潮州高三期末）如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，1ADABCD22，DAB60，点 E，F 分别为 CD，AP 的中点(1)证明:PC/平面 BEF；(2)若 PA PD，且 PA=PD，面 PAD 面 ABCD，求二

15、面角 C-BE-F 的余弦值31（2022广东东莞高三期末）如图，在正四棱锥 SABCD中，点O，E 分别是 BD，BC 中点，点 F 是 SE 上的一点.(1)证明：OFBC；(2)若四棱锥 SABCD的所有棱长为2 2，求直线OF 与平面SDE 所成角的正弦值的最大值.32（2022广东深圳高三期末）如下图所示，在三棱锥 ABCD中，ABD为等腰直角三角形，ABAD，BCD为等边三角形(1)证明：BDAC；(2)若直线 AC 与平面 ABD 所成角为 3，点 E 在棱 AD 上，且2DEEA，求二面角EBCD的大小33（2022广东清远高三期末）已知正三棱柱111ABCA BC-中，12A

16、AAB，D，E，F 分别为11,AC CC AA 的中点(1)证明：平面BDF平面 BDE(2)求二面角1DBEA的正弦值34（2022广东汕尾高三期末）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，.ADEDCDEA，(1)求证：平面 ADE 平面 ABCD；(2)若 EF=ED=AD，CD=2EF=2，求平面 ADE 与平面 BCF 所成的锐二面角的大小参考答案：1B【分析】将几何体展开，利用两点之间直线段最短即可求得截面最短周长【详解】解：将长方体展开，如图所示：当点 E 为1BD 与1AA 的交点，F 为1BD 与1CC 的交点时，截面四边形1BED F 的周长最小，最小

17、值为22122 2(12)2 13BD 故选：B 2C【分析】由几何关系先求出一个正四面体的高，再结合锥体体积公式即可求解正八面体的体积.【详解】如图，设底面 ABCD中心为O，连接,CO EO，由几何关系知，22222,222COEOECOC，则正八面体体积为218 222233V.故选：C3D【分析】首先根据线面平行的性质定理，作辅助线，找到包含1AC 的平面11AB C 与平面1A BP的交线，即可计算1PC 的值.【详解】连结1AB，交1A B 于点Q，连结1PA 和 PB，PQ，因为1/AC平面1A BP，又1AC 平面11AB C，且平面11ABC平面1A BPPQ，所以1/ACP

18、Q，又点Q 是1AB 的中点，所以 P 是11B C 的中点，所以11PC 故选：D4A【分析】利用圆柱的轴截面信息求出圆柱的底面半径与高的关系，再结合圆柱与外接球的关系求得对应的比例关系.【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为r，其高2hr，其外接球的半径2222hRrr，则圆柱的表面积2212226Srrrr，球O 的表面积22248SRr，则圆柱的表面积与球O 的表面积之比为3:4，故选：A.5C【分析】设圆锥的底面半径为 R，母线长为l，由题意求出2lR，利用线面角的定义求解即可【详解】解：设圆锥的底面半径为 R，母线长为l，因为圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，所以22

19、RlR，解得2lR，设该圆锥的母线与底面所成角，则1cos2Rl，所以3 故选：C6C【分析】由222250RhR，结合2SRh求解.【详解】由题意得：222250RhR，则222250Rhh，则222250250000Rhh，所以22225000025042501h，所以42501250 0.52130h，故选：C7A【分析】连接11,AC A D，先通过直线与平面垂直的判定定理证明1AD 面1A DC，进而得知11ADAC，通过三角形1AAC，易知 PO/1AC,进而可知1POAD.【详解】如下图所示，连接11,AC A D,在正方形11AA D D 中11ADA D,在正方体1111AB

20、CDA BC D中，CD 面11AA D D，而CD 平面11AA D D，1ADCD,又CD 交1A D 于 D,1AD 面1A DC,而1AC 面1A DC，11ADAC.在三角形1AAC 中，P 为1AA 的中点，O 为 AC 的中点，PO/1AC,1POAD,即直线 PO与1AD 所成的角为 2.故选：A.8C【分析】取 AB 的中点Q，连接,QM QN，根据三角形的中位线的性质得出/QN AC 和/QM BP，从而可知异面直线,AC PB所成角为MQN或其补角，再在MQN中利用余弦定理求出cosMQN，从而得出异面直线,AC PB所成角的余弦值.【详解】解：如图，取 AB 的中点Q，

21、连接,QM QN，因为Q 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点，所以11/,22QN AC QNAC，同理1/,12QM BP QMPB，所以异面直线,AC PB所成角为MQN或其补角，在MQN中，2221231,cos2224QMQNMNQMQNMNMQNQM QN，即异面直线,AC PB所成角的余弦值为 34.故选：C.9A【分析】分别用SA和 表示出 AB 的一半，得出侧棱与底面边长的比，再根据正八边形的结构特征求出底面内切圆的半径与边长的关系，即可求出结果【详解】设O 为正八棱锥 SABCDEFGH底面内切圆的圆心，连接OA，OB，取 AB 的中点 M，连接 SM、OM，则OM 是底

22、面内切圆半径 R，如图所示：设侧棱长为 x，底面边长为 a，由题意知2ASB，ASM，则12sinax，解得2 sinax；由底面为正八边形，其内切圆半径OM 是底面中心O 到各边的距离，AOB中，45AOB，所以22.5AOM，由22tan22.5tan4511 tan 22.5，解得tan22.52 1 ，所以12tan 22.5212aaRR ，所以 2 sin212xR ，解得21sinxR，即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为21sin 故选:A10ABC【分析】由,M N 为,AC AQ的中点，得到/MNCQ，可判定 A 正确；由 N 到平面 ABCD的距离为定值 12，且 ADM的

23、面积为定值 14，根据A DMNNADMVV，可得判定 B 正确，由13 时，得到,A Q M 三点的正方体的截面 ACEQ是等腰梯形，可判定 C 正确；当14 时，根据222AMAQQM，可判定 D 不正确【详解】在 ACQ中，因为,M N 为,AC AQ的中点，所以/MNCQ，所以CN 与QM 共面，所以 A 正确；由A DMNNADMVV，因为 N 到平面 ABCD的距离为定值 12，且 ADM的面积为定值 14，所以三棱锥 ADMN的体积跟 的取值无关，所以 B 正确；当13 时，过,A Q M 三点的正方体的截面 ACEQ是等腰梯形，所以平面截正方体所得截面的周长为244 22 13

24、221393l，所以 C 正确；当14 时，可得2222219251121,1,()()216162416AMAQQM，则222AMAQQM，所以 AMQM不成，所以 D 不正确故选：ABC11ACD【分析】对于 A，先求出外接圆半径r，再借助2222hRr求外接球半径；对于 B，先通过平行转化异面直线所成的角，再借助余弦定理求解；对于 C，借助平面展开图求最小值；对于 D，利用抛物线定义判断.【详解】对于 A，由题可知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，则外接圆半径23r，由2227133R 得外接球表面积为22843R，所以 A 选项正确对于 B，连接1DC，因为11ABDC，所以1BC

25、 D即为异面直线1AB 与1BC 所成角，由题可知112 2BCC D，2 3BD，由余弦定理得222111112cosBDBCDCBC DCBC D，所以11cos4BC D，所以 B 选项错误对于 C，分别将四边形11AA B B 与11DD BB 沿着棱1B B 展开得到四边形11AA D D，1MDMA的最小值即为221222 32 52 3AD，所以 C 选项正确对于 D，N 到直线1AA 与直线 BC 的距离相等，又1NAAA，NA即为 N 到直线1AA 的距离，即 N 到点 A 与直线 BC 的距离相等，根据抛物线的定义，所以 D 选项正确故选：ACD.12ACD【分析】利用球心

26、和截面圆之间的关系可以得到O，E，1O，2O 四点共圆，即可判断选项A；利用二面角的定义得到12O EO即为二面角l 的平面角，求出12O O 即可判断选项 B，C；利用余弦定理和基本不等式以及锥体的体积公式即可判断选项 D【详解】因为公共弦 AB 在棱l 上，连结OE，1O E，2O E，12O O，OA，则223OEOAAE，因为二面角l 的两个半平面分别截球面得两个圆1O，2O，O 为球心，所以1OO，2OO，又1O E 平面，2O E 平面，所以11OOO E，22OOO E，故O，E，1O，2O 四点共圆，故选项 A 正确；因为 E 为弦 AB 的中点，故1O EAB，2O EAB，

27、故12O EO即为二面角l 的平面角，所以1260O EO，故123sin602O OOE，故选项 B 错误，选项C 正确；设11OOd，22OOd，在12OOO 中，由余弦定理可得，22212121212934O Oddd dd d，所以1234d d，故123 316OO OS，所以1213316OO OVAE S，当且仅当12dd时取等号，故选项 D正确 故选：ACD 【点睛】关键点睛：球的几何性质、截面圆的几何性质、二面角的平面角、余弦定理、基本不等式以及锥体的体积公式都需要熟练运用才能解题，属于中档题 13BC【分析】求出三棱锥 ABCD的外接球半径 R，可知截面面积的最大值为2R，

28、当球心O 到截面的距离最大时，截面面积最小，此时球心O 到截面的距离为OM，截面圆的半径的最小值为22ROM，进而可求出截面面积的最小值，然后可得答案【详解】因为三棱锥 ABCD是正四面体，棱长为 2，所以将其放置于正方体中，可得正方体的外接球就是三棱锥 ABCD的外接球，因为三棱锥 ABCD的棱长为 2，所以正方体的棱长为 2，可得外接球直径为22226R，所以62R，所以截面面积的最大值为226322R，因为点 M 是线段 BD 上的点，所以当球心O 到截面的距离最大时，截面面积最小，此时球心O 到截面的距离为OM，OBD 为等腰三角形，过点O 作 BD的垂线，垂足为 H，由62OD，得2

29、2262122OHODHD，所以222113244OMOHHM，则所得截面半径的最小值为22633444ROM，所以截面面积的最小值为23344 ，所以截面面积的范围为 33,42故选：BC14BD【分析】在不同的平面内构造平行线，将平面 PMN 进行扩展，发现其与正方体各个面上的交线，从而获得截面的形状，当点 P 与点 B 重合时，点 P 到直线MN 的距离取到最大值，MPN的面积取到最大值，求得此时三角形的面积即可得出答案.【详解】解：如图，当点 P 与,A B 两点不重合时，将线段MP 向两端延长，分别交,CD CB 的延长线于点,O Q，连接,NO NQ 分别交11,DD BB 于,R

30、 S 两点，连接,RM SP，此时截面为五边形 MPSNR，故 B 正确；当点 P 与点 A 或点 B 重合时，截面为四边形，不可能为六边形，故 A 不正确；考虑 PMN，当点 P 与点 A 重合时，6MN，1,3PMPN，此时因为222MNPMPN，故PMN为钝角，所以 C 错误；当点 P 与点 B 重合时，点 P 到直线 MN 的距离取到最大值，MPN的面积取到最大值，此时6,5MNBMBN，则MN 边上的高为 22614522，面积为 114216222，即最大值为212，故 D 正确.故选：BD.15ACD【分析】说明四边形11BCC B 是矩形，然后证明 ED1BB 1AA，推出/E

31、D平面1ACC，判断 A；设 EDm，然后求解四面体 A BDE的体积可判断 B；说明异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C，然后求解三角形，判断 C；利用空间向量求解二面角 AECD的余弦值【详解】解：对于 A，在直三棱柱111ABCA BC-中，四边形11BCC B 是矩形，因为1ECDCB CBC，所以 ED1BB 1AA，所以/ED平面1ACC，所以 A 正确；对于 B，设 EDm，因为90BAC，12AAAC，3AB ，所以222313BC，因为 ED1BB，所以1DEDCBBBC，所以1132DE BCmDCBB，所以13132mBD，所以1313122 33(1)2213A

32、BDmmS ，四面体 A BDE的体积为2113(1)322m mmm，所以四面体 A BDE的体积不是定值，所以 B 错误；对于 C，因为1BB 1AA，所以异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C，在1Rt B BC 中，12,13B BBC，所以1113tan2BCBBCBB，所以 C 正确；对于 D，如图，以 A 为坐标原点，以1,AB AC AA 所在的直线分别为,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)ABCB，所以1(0,2,0),(3,0,2)ACAB，设平面1AB C 的一个法向量为(,)nx y z，则120

33、320n ACyn ABxz ，令2x ，则3z ，所以(2,0,3)n，同理可求得平面1BB C 的一个法向量为(2,3,0)m，所以二面角 AECD的余弦值为2 24131313，所以 D 正确，故选：ACD【点睛】此题考查立体几何中的关每次和计算，二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，属于中档题16BCD【分析】取 BD的中点 M，连接CM，利用垂直关系的转化得到 ADBD判定选项 A 错误；过 A 作 BD的垂线，利用直角三角形求出高和底面面积，再利用体积公式求出体积判定选项B 正确；求出BDE的面积的最大值和最小值，进而判定选项 C 正确；确定四面体外接球的球心，再通过直角三角

34、形求出半径，再求其体积判定选项 D 正确.【详解】对于 A：取 BD的中点 M，连接CM，因为1BCCD，所以CMBD，又平面 ABD 平面 BCD，所以CM 平面 ABD，则CMAD，若2ADC，则 ADCD，所以 AD 平面CMD，则 ADBD，显然不可能，故选项 A 错误；对于 B：考查三棱锥 ABCD的体积，易知BCD的面积为34，在平面 ABD中，过 A 作 BD的垂线，交 BD的延长线于点 H，易知32AH，因为平面 ABD 平面 BCD，所以 AH 到平面 BCD，即三棱锥 ABCD的高为32AH，所以三棱锥 ABCD的体积为13313428V，即四面体 ABCD的体积为 18，

35、故选项 B 正确；对于 C：显然当 AC 平面 BDE 时，BDE的面积取得最小值，易知72CH，且32AH，所以22102ACAHCH，又四面体 ABCD的体积为 18，所以 1110832S，即3 101404S，且BCD的面积为3144，所以存在点 E 使得BDE的面积为 14，故选项 C 正确；对于 D：设BCD与ABD的外心依次为1O，2O，过1O 作平面 BCD的垂线 1l，过2O 作平面 ABD 的垂线 2l，则四面体 ABCD的外接球球心O 为直线 1l 与 2l 的交点，则四边形12MOOO 为矩形，且232O M，133O C，所以四面体 ABCD的外接球半径为222211

36、2131134312ROCOOOCO MOC，则外接球表面积为2131344 123SR，故选项 D 正确.故选：BCD.17CD【分析】利用反证法，根据线面平行的性质定理，结合题意，可判断 A 的正误；利用反证法，根据线面垂直的性质定理，可判断 B 的正误；根据异面直线成角的几何求法，即可判断 C 的正误；根据线面角的几何求法，可判断 D 的正误，即可得答案.【详解】设 ACBDE，则 E 不是 AC 中点，假设 PC 平面MBD因为 PC 平面 PAC，平面 PAC平面 MBDME，所以 PCME，因为 M 为 AP 中点，所以 E 是 AC 中点，与题意矛盾，所以 A 错；假设 BD 平

37、面 PAC，则 BDAC，因为直角梯形 ABCD 所，ABBC，所以知 BD与 AC 不垂直，与假设矛盾，故 B 错；因为 BCAD，所以异面直线 BC 与 PD所成的角就是直线 AD与 PD所成的角，为PDA，因为 PAD是等腰直角三角形，所以4PDA，故异面直线 BC 与 PD所成的角是 4，所以 C 对因为 PA底面 ABCD，所以直线 PC 与底面 ABCD所成的角为PCA，又因为2ACAB，2PAAB，所以 tan2PAPCAAC，所以 D 对故选：CD182 2【分析】根据正四棱锥 PABCD的性质，将,E M F 所在平面展开在一个平面上，即可判断 MEMF最小时,E M F 的

38、位置关系，即可确定最小值.【详解】正四棱锥 PABCD如下图示，将面 PAB与面 PBC 展开在一个平面上，E、F 为中点，如下图，所以在 M 移动过程中，当,E M F 共线时，MEMF最小为2 2EF.故答案为：2 2.19 7 14 3【分析】由题意可采用割补法，构造长宽高分别 x，y，z 的长方体，其面对角线分别为5 10 13，解出 x，y，z,求长方体的体对角线即可.【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为 5 10 13，则四面体 ABCD的外接球即为此长方体的外接球，设长方体的长宽高分别 x，y，z，外接球半径为 R则2222225,10,13xyyzxz，所以222222

39、5,10,13xyyzxz,则222214(2)xyzR，解得142R，所以347 1433VR.故答案为：7 14 3【点睛】本题主要考查了球的内接四面体的性质，考查了构造法求球的半径，球的体积公式，属于中档题.208【分析】先利用展开图，根据最短距离，利用余弦定理求得 CD 的长，然后将该棱锥补成一个长方体求解.【详解】如图所示：设 CD=x，由题意得：10C B，在 C BD中，由余弦定理得：2222cos135C BC DBDC D BD，即2222102222xx，即2480 xx，解得2x 或4x （舍去），如图所示：该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为：222122

40、222R，所以外接球的表面积为248SR，故答案为：82112【分析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式可求出结果.【详解】设圆锥的母线长为l，因为圆锥的底面半径3r ，所以圆锥的侧面积S3rll，依题意可得315l，解得5l，所以圆锥的高2222534hlr，所以该圆锥的体积221113412333VShr h.故答案为：12.2232 6【分析】第一空：过点 B 作 AC 的平行线分别与,DA DC 的延长线交于 G，H，连接,PG PH，并分别与11,AA CC 交于 E，F，可得平面 PGH 即平面，利用体积公式求出V下，进而可得VV上

41、下；第二空：根据四边形 PEBF 为菱形，利用面积公式计算即可.【详解】如图，过点 B 作 AC 的平行线分别与,DA DC 的延长线交于 G，H，连接,PG PH，并分别与11,AA CC 交于 E，F，因为 ACGH，且 AC 平面 PGH，GH 平面 PGH所以 AC平面 PGH，所以平面 PGH 即平面 因为12,4ABADAA，所以1AE ，所以1(12)222442224,3324 上下下B ADPEVVVV因为四边形 PEBF 为菱形，且2 2,2 3EFPB，所以12 62PEBFSEFPB故答案为：3；2 6.23(1)点 M 为线段 BP的中点，理由详见解析；(2)53【分

42、析】分别取 PB，PC 的中点 M，F，连接 EM，DF，FM，再根据四边形 ABCD，E 是 AD的中点，易证四边形 DEMF 是平行四边形，得到/EMDF，然后利用线面平行的判定定理证明；（2）由 AD 平面 PAB，PAPB，建立空间直角坐标系，设 AD=2，求得平面 PCE 的一个法向量,nx y z，易知平面 PAB 的一个法向量为0,0,1m，由 cos,n mn mnm求解.(1)当点 M 为线段 BP的中点时，直线/EM平面 PCD，理由如下：如图所示：分别取 PB，PC 的中点 M，F，连接 EM，DF，FM，因为四边形 ABCD，E 是 AD的中点，所以1,/2DEBC D

43、EBC，1,/2FMBC FMBC，所以,/DEFM DEFM，所以四边形 DEMF 是平行四边形，所以/EMDF，又 EM 平面 PCD，DF 平面 PCD，所以/EM平面 PCD；(2)由 AD 平面 PAB，PAPB，建立如图所示空间直角坐标系：设 AD=2，则 0,0,0,0,2,1,2,0,2PEC，所以0,2,1,2,0,2PEPC，设平面 PCE 的一个法向量为,nx y z，则00PE nPC n，即20220yzxz，令1z ，得11,12n ，易知平面 PAB 的一个法向量为0,0,1m，则2cos,3n mn mnm，设平面 PCE 与平面 PAB所成二面角为，所以25s

44、in1cos,3n m.24(1)证明见解析(2)2 3417【分析】（1）要证平面COD 平面11ABB A，可证CO 平面11ABB A，即设法证明COAB，1COAA即可；（2）采用建系法，以C 为原点，1CA CB CC、的方向为,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由二面角夹角的余弦公式即可求解.(1)证明：在 ABC 中，ACBC，且 AB 是圆柱底面圆O 的直径，即OAOB，COAB，又1AA 底面 ABC，CO 平面 ABC，1COAA，且1ABAAA，CO 平面11A ABB，又CO 平面 ABC，所以平面COD 平面11ABB A；(2)因为三

45、棱柱111ABCA BC-是直三棱柱且 AB 是圆柱底面圆O 的直径，所以1CACBCC、两两垂直以C 为原点，1CA CB CC、的方向为,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示），设=4ACBC，则1=4 2ABAA，(0,0,0),(4,0,0),(2,2,0),(1,3,4 2)CAOD，显然(4,0,0)CA 是平面11CBBC 的一个法向量，设平面COD 的一个法向量为(,)nx y z，(2,2,0),(1,3,4 2)COCD，由22034 20n COxyn CDxyz ，令1z ，得2 2,2 2xy，(2 2,2 2,1)n，设平面COD 与平面11CBBC

46、所成锐二面角为，则8 22 34coscos,17417CA nCA nCA n，所以平面COD 与平面11CBBC 所成锐二面角的余弦值为 2 3417.25(1)证明见解析(2)存在；点 E 为线段 BP上靠近点 P 的三等分点【分析】（1）欲证明 AB 平面 POC，需证明 AB 垂直与平面 POC 内两条相交的直线，分析其中的几何关系即可证明；（2）要建立空间坐标系，用空间向量的方法来计算.(1)在 OCD中，由余弦定理可得：2222?cos1 42 1 2 cos33OCCDODCDODCDA ，3OC，222OCCDOD，CDOC，由题易知 PO 平面 ABCD，CD 平面 ABC

47、D，POCD，OCPOO，C D 平面 POC，四边形 ABCD为平行四边形，/ABCD，AB 平面 POC(2)取 BC 的中点 F，连接OF，则OF，OP，OC 两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：则 3,2,0B，0,0,3P，3,0,0C，3,2,0OB，3,0,0OC ，3,2,3BP ，设3,2,301BEBP，33,22,3OEOBBE，易知平面 POC 的一个法向量为0,1,0m ur，设平面OCE 的法向量为,nx y z，则30332230OC nxOE nxyz，令2z 得30,21n，由题得233 101cos,10341m n，解得23，所以当点 E 为线段 BP上靠

48、近点 P 的三等分点时，满足题意；故答案为：证明见解析，存在，点 E 为线段 BP上靠近点 P 的三等分点.26（1）51019；（2）3 105【分析】（1）三棱锥 DOCB的表面积等于OCBOCDODBCDBSSSS,求出每个三角形的面积即可；（2）A 到平面OCD 的距离即为 B 到平面OCD 的距离，过 B 作 BHOD垂足为 H，可得线段 BH 长度即为 B 到平面OCD 的距离，求出线段 BH 长度即可.【详解】解：（1）由已知,OCOB OCOA OBOAO，则OC 面OBA，则90COD三棱锥 DOCB的表面积等于OCBOCDODBCDBSSSS，12 222OCBS，1210

49、102OCDS，圆锥的高222 1026AO 则112 6322ODBS，对于CDB，22 2,10,21014CBDBCD则148 103 7cos142 2 214DCB，所以23 719sin11428DCB，则119142 219228CDBS，故三棱锥 DOCB的表面积为51019；（2）因为 D 是 AB 的中点，则 A 到平面OCD 的距离即为 B 到平面OCD 的距离，过 B 作 BHOD垂足为 H，因为OC 面OBA，且OC 面OCD所以面OBA 面OCD，又 BHOD，面OBA面OCDOD，则 BH 面OCD，则线段 BH 长度即为 B 到平面OCD 的距离，22 33 1

50、0510ODBSBHOD，所以 A 到平面OCD 的距离为 3 105.27（1）证明见解析；（2）427【分析】(1)求解线面平行，根据题意，连接相应的中位线，根据中位线的关系可得，四边形 ENBC 是平行四边形.(2)设 AD的中点为O，可证,OA OC OP两两垂直，以点O 为原点，OA为 x 轴，OP 为 y 轴，OC 为 z 轴建立坐标系，然后求出平面 ABM 的法向量，最后利用向量的内积关系即可求解出直线 DM 与平面 ABM 所成角的正弦值.【详解】（1）设 PA的中点为 N，连接,EN BN，E 为 PD的中点，所以 EN 为 PAD的中位线，则可得/EN AD，且12ENAD

51、；在梯形 ABCD中，/BC AD，且12BCAD，/,BC EN BCEN，所以四边形 ENBC 是平行四边形，/CE BN，又 BN 平面 PAB，CE 平面 PAB，/CE平面 PAB法二：设O 为 AD的中点，连接,CO OE，E 为 PD的中点，所以OE 是ADP的中位线，所以/OE AP，又OE 平面 PAB，AP 平面 PAB，/OE平面 PAB，又在梯形 ABCD中，/BC AD，且12BCAD，所以四边形 BAOC 是平行四边形，/BC BA，又OC 平面 PAB，AB 平面 PAB，/OC平面 PAB，又OEOCO，所以平面/OEC平面 PAB，又CE 平面 PAB，/CE

52、平面 PAB（2）设 AD的中点为O，又,PAPDPOAD因为平面 PAD 平面 ABCD，交线为 AD，PO 平面 PAD，PO 平面 ABCD，又由/CO BA，90BAD，COAD即有,OA OC OP两两垂直，如图，以点O 为原点，OA为 x 轴，OP 为 y 轴，OC 为 z 轴建立坐标系已知点 3 13 11,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,1,1,2222ABMDABAM，设平面 ABM 的法向量为：,mx y z则有031022m ABzm AMxyz ，可得平面 ABM 的一个法向量为3,2,0m，3 11,22DM，可得：222222313 1204222cos

53、,731320122m DMm DMmDM ，所以直线 DM 与平面 ABM 所成角的正弦值为427【点睛】本题的第一问是比较常规的证明线面平行的题目，难点在于根据中点连成相应的平行四边形，进而证明出线面平行；第二问是常规的求线面角的正弦值，难点在于建立坐标系，当建立了坐标系后，即可求出平面的法向量，进而求解所求角的正弦值.28(1)证明见解析(2)34【分析】（1）设点 F 为 PD的一个三等分点，/EFCD，且13EFCD，可证得四边形 ABEF是平行四边形，由线面平行的判定定理即可证得结果.（2）方法一：过点 E 作CD的垂线，垂足为 M，连接 BM,可证得 EM 平面 ABCD，则EB

54、M为直线 BE 与平面 ABCD所成角，计算即可得出结果.方法二：以CD的中点O 为原点，OC 为 y 轴，过点O 在平面 ABCD内作OC 的垂线为 x 轴，OP 为 z 轴建立空间直角坐标系，可知平面 ABCD的一个法向量为0,0,1m 通过数量积计算cos,m BEm BEm BE即可求得结果.(1)设点 F 为 PD的一个三等分点，且2FDPF，连接,EF AF，如图所示.2,2ECPE FDPF/EFCD，且13EFCD又/ABCD，且13ABCD，从而可得/ABEF，且 ABEF.综上可知四边形 ABEF 是平行四边形./BEAFAF 平面,PAF BE 平面 PAF，/BE平面

55、PAD(2)因为平面 PCD 平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD，CDAD，且 AD 平面 ABCD，从而可得 AD 平面 PCD.又由 PD 平面 PCD，所以 ADPD，从而可得PDC为二面角 PADC的平面角.由题意可得60PDC，由3PDCD，即有PDC为等边三角形.方法一：几何法如图，过点 E 作CD的垂线，垂足为 M，连接 BM.平面 PCD 平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD，EMCD，且 EM 平面 PCD，从而可得 EM 平面 ABCD.故EBM为直线 BE 与平面 ABCD所成角.根据第（1）问的 ADF 可知2DF，所以224AFADDF，故4BE

56、.因为PDC为等边三角形，所以PDC的高为 3 32，根据三角形的相似关系可得23 3332EM，所以在 RtBEM中，可得3sin4EMEBMEB所以直线 BE 与平面 ABCD所成角的正弦值为34方法二：向量法如图，以CD的中点O 为原点，OC 为 y 轴，过点O 在平面 ABCD内作OC 的垂线为 x 轴，OP为 z 轴建立空间直角坐标系.则有112 3,0,0,322BE.则有2 3,1,3BE .平面 ABCD的一个法向量为0,0,1m 可得3cos,4m BEm BEm BE.直线 BE 与平面 ABCD所成角的正弦值为34.29（1）1；（2）33.【分析】（1）以 D为坐标原点

57、，射线,DADC DH，为,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设0,0Mt，由已知得 AMBD，利用0AM BD 可求得线段 DM 的长度.（2）分别求平面 HAM 和平面 AMF 的法向量，利用二面角的向量公式进行计算即可.【详解】以 D为坐标原点，射线,DADC DH，为,x y z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，由/AB DC，ADDC，1AB ，2DC ，45BCD，易知1AD .则 1,0,0A，1,1,0B，0,2,0C，0,0,0D，0,0,2H，1,1,1F，（1）设0,0Mt，因为 AM 平面 FBDH，所以 AMBD，1,0AMt，1,1,0

58、BD ，10AM BDt ，解得1t ，所以线段 DM 的长度为 1.（2）设1,nx y z是平面 HAM 的一个法向量，1,0,2AH ，1,0,1MF，则1100200 xynAMxznAH ，可取12,2,1n，同理，设2,nu v w是平面 AMF 的一个法向量，则220000uvnAMuwnMF ，可取21,1,1n.则1212123cos,3n nn nn n，显然二面角 HAMF为锐二面角，所以二面角 HAMF的余弦值为33.【点睛】本题考查利用空间向量求线段长以及二面角的平面角，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.30(1)证明过程见解答；(2)2 3913【分析】（1）

59、连接 AC，交 BE于 H，连接 FH，易证ABHCEH，故 AHCH，即点 H为 AC 的中点，从而得/FHPC，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）取 AD的中点O，连 PO，OB，则 POAD，由面 PAD 面 ABCD，可推出 POOB，由60DAB 和 ADAB，可证得OBAD，故以OA，OB，OP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设2AD，依次写出 A、B、D、P 和 F 的坐标，由 PO 面 ABCD，知面CBE 的一个法向量为10,0,1n，根据法向量的性质可求得面 BEF 的法向量2n，再由121212cos,n nn nnn即可得解(1)证明：连接 A

60、C，交 BE于 H，连接 FH，点 E 为CD的中点，/ABCD，12ABCDCE，CABBCD，BHACHE，ABHCEH，AHCH，即点 H 为 AC 的中点，又 F 为 AP 的中点，/FHPC，FH 面 BEF，PC 面 BEF，/PC面 BEF (2)（2）取 AD的中点O，连 PO，OB，PAPD，POAD，面 PAD 面 ABCD，面 PAD面 ABCDAD，PO 面 ABCD，POOB，60DAB，ADAB，OBAD 以OA，OB，OP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AD，则(1A，0，0)，0,3,0B，(1D ，0，0)，110,0,1,

61、0,22PF ，2,0,0EBDA，11,3,22BF，PO 面 ABCD，面CBE 的一个法向量为10,0,1n，设面 BEF 的法向量为2000,nx y z，则2200EB nBF n，即000020113022xxyz，令03y，则00 x，06z，2(0n，3，6)，12121262 39cos,13139n nn nnn，由图可知，二面角CBEF为钝角，故二面角CBEF的余弦值为2 3913 31(1)证明见解析(2)3311【分析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.(1)如图，连接 SO 和 OE，因为 SABCD是

62、正四棱锥，所以 SO 平面 ABCD，又因为 BC 平面 ABCD，所以 SOBC因为 ABCD 是正方形，所以 DCBC，又因为点 O，E 分别是 BD，BC 中点，所以OE DC，所以OEBC又因为OESOO，OE、SO 平面 SOE，所以 BC 平面 SOE，因为OF 平面 SOE，所以OFBC.(2)易知 OB，OC，OS 两两相互垂直，如图，以点 O 为原点，OB，OC，OS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，因为四棱锥 SABCD的所有棱长为2 2，所以4BD，2SO，所以0,0,0O，0,0,2S，2,0,0D，1,1,0E，设01SFSE，得,22F ，则2,0,2SD ，

63、3,1,0DE，,22OF 设平面 SDE 的法向量为,nx y z，则22030n SDxzn DExy ，解得3zxyx ，取1x ，得1,3,1n ，设直线 OF 与平面 SDE 所成角为，则222322sincos,1122n OFn OFnOF220111684，当822 63 时，2684取得最小值 43，此时sin 取得最大值3311.32(1)证明见解析.(2)6【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明 BD 平面 AOC，即可证明 BDAC.（2）设2BD ，以O 为坐标原点，,OC OD OA所在的直线分别为,x y z 轴，建立空间直角坐标系，可知,BC BE 坐标

64、，平面 BCD的法向量坐标，设平面 BCE 的一个法向量,mx y z，通过00BC mBE m可求出 m 的具体坐标，二面角 EBCD的大小即为,m n的夹角.(1)证明：如下图所示，取 BD的中点O，连接,OA OC，,ABADBDAO，BCD 为等边三角形，BDCO，又AOCOO，,OA OC 平面 AOC，BD 平面 AOC，BDAC.(2)由（1）不难知道，在平面 AOC 内，若过C 作直线 AO 的垂线，则该垂线亦为平面 ABD 的垂线，故直线 AC 在平面 ABD 内的射影为直线 AO，OAC为直线 AC 与平面 ABD 所成的角，即3OAC，不放设2BD ，2BAD，O 为 B

65、D的中点，1OAOBOD，BCD 为等边三角形，3OC，在 AOC 中，由正弦定理得1sin,262OCAOCAAOC，即OAOC，由（1）知，ODOC，且ODOA，以O 为坐标原点，,OC OD OA所在的直线分别为,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，易得0,0,0O，3,0,0C，0,1,0B，1 20,3 3E，则有4 23,1,0,0,3 3BCBE，易知0 0 1n,为平面 BCD的一个法向量，设,mx y z为平面 BCE 的一个法向量，则00BC mBE m，即303422033xyyxzyyz 则平面 BCE 的一个法向量为1,3,2 3m，2 33cos,1 4

66、2n mn mn m，由下图所示可知，二面角 EBCD为锐角，二面角 EBCD的余弦值为32，二面角的大小为 6.33(1)证明见解析；(2)154.【分析】（1）由等边三角形、线面垂直的性质可得 BDAC、1AABD，根据线面垂直的判定有 BD 面11AAC C，再由线面垂直的性质、勾股定理有 BDDF、DFDE，最后根据线面、面面垂直的判定证明结论.（2）构建空间直角坐标系，求面 BDE、面1A BE 的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求法向量夹角余弦值，进而求二面角1DBEA的正弦值.(1)在正 ABC 中，D 为 AC 的中点，则 BDAC因为1AA 面,ABC BD 面 ABC，则

67、1AABD而1AAACA，所以 BD 面11AAC C，又 DF 平面11AAC C，BDDF在 DEF 中，连接,2,2EF DEDFEF，222DEDFEF，即 DFDE，又 BDDED，DF 平面 BDE，再由 DF 平面 BDF，平面BDF平面 BDE(2)如图，以 D为坐标原点，,DA DBuuur uuur 的方向分别为 x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系 Dxyz，则1(1,0,2),(0,3,0),(1,0,1),(1,0,1)ABEF11(2,0,1),(1,3,2)AAEB .由（1）知：平面 BDE 的一个法向量为(1,0,1)DF设面1A BE 的法向量为(,)nx

68、y z，则1120320n A Exzn A Bxyz ，令1x ，得(1,3,2)n11cos,4|22 2 DF nDF nDF n，则二面角1DBEA的正弦值为 15434(1)证明见解析(2)4【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，结合题意，即可得证.（2）根据线面垂直的性质定理、判定定理可证 ED 平面 ABCD，如图建系，求得各点坐标，进而可求得平面 ADE 的一个法向量n，平面 BCF 的一个法向量m，根据二面角的向量求法，即可得答案.(1)证明：四边形 ABCD为矩形，CDAD，又CDEA，ADEAA，DA平面 AED，AE 平面 AED，CD 平面 AED，DC 平面 ABC

69、D，平面 ADE 平面 ABCD(2)CD 平面 AED，DE 平面 AED，CDED ADED，DA平面 ABCD，CD 平面 ABCD，ADCDD，ED 平面 ABCD，以点 D 为原点，以 DA 方向为 x 轴正方向，以 DC 方向为 y 轴正方向，以 DE 方向为 z 轴正方向，建立空间直角坐标系 Dxyz，如图，则(0,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(0,1,1)DCBF，(1,0,0),(0,1,1)CBCF，CD 平面 AED，平面 ADE 的一个法向量是0,1,0n，设平面 BCF 的法向量是(,)mx y z，则00m CBm CF，即00 xyz，令1y ，则1z ，一个法向量(0,1,1)m，22222212cos,2|011010m nm nm n平面 ADE 与平面 BCF 所成的锐二面角的大小为 4