专题07 锐角三角函数综合篇（解析版）.docx

1、专题09 锐角三角函数综合知识回顾1. 锐角三角函数的定义： 在RtABC中，C=90正弦：我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sin A即sin AA的对边除以斜边。余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的余弦，记作cos A即cos AA的邻边除以斜边。正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做A的正切，记作tan A 即tan AA的对边除以A的邻边。特殊角30456012. 特殊角的锐角三角函数值计算3. 直角三角形的性质直角三角形的两锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。含30的直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上

2、的高线。直角三角形的勾股定理。4. 解直角三角形： 利用直角三角形角的关系，边的关系以及边角关系求解直角三角形。5. 解直角三角形的坡度文问题： 坡角：坡面与水平面的夹角。坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比。一般用i表示，常写成i=1：m的形式。等于坡角的正切值。 在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。应用领域：测量领域；航空领域 航海领域：工程领域等。6. 解直角三角形的仰角俯角问题： 仰角：向上看的视线与水平线的夹角。俯角：向下看的视线与水平线的夹角。解决此类问题要了解

3、角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。7. 解直角三角形的方向角问题： 在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。专题练习1如图，在RtABC中，ABC90，ABBC点D是AC的中点，过点D作DEAC交BC于点E延长ED至点F，使得DFDE，连结AE、

4、AF、CF（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若，则tanBCF的值为 【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由DEAC，即可得出结论；（2）设BEa，则CE4a，由菱形的性质得AECE4a，AECF，则BEABCF，再由勾股定理得ABa，然后由锐角三角函数定义即可得出结论【解答】（1）证明：点D是AC的中点，ADCD，DFDE，四边形AECF是平行四边形，又DEAC，平行四边形AECF是菱形；（2）解：，CE4BE，设BEa，则CE4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，AECE4a，AECF，BEABCF，ABC90，ABa，tanBCFtanBEA，故答案为：2如图，在平

5、行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且EDBF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AC平分FAE，AC8，tanDAC，求四边形AFCE的面积【分析】（1）根据平行四边形性质得出ADBCAEFC，根据等量减等量差相等，得出AEFC，从而证明四边形AFCE是平行四边形；（2）先证明平行四边形AFCE是菱形，根据三角函数求出EO3，求出SAEOAOEO6，从而求出四边形AFCE的面积【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，ADBCAEFC，EDBF，ADEDBCBF，AEFC，四边形AFCE是平行四边形；（2）解：AE

6、FC，EACACF，EACFAC，ACFFAC，AFFC，四边形AFCE是平行四边形，平行四边形AFCE是菱形，AOAC4，ACEF，在RtAOE中，AO4，tanDAC，EO3，SAEOAOEO6，S菱形4SAEO243如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：BAC37，ABC58，AC80米，求A、B两点之间的距离（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin580.85，cos580.53，tan581.60）【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可【解答】解：如图，过

7、点C作CDAB，垂足为点D，在RtACD中，DAC37，AC80米，sinDAC，cosDAC，CDACsin37800.6048（米），ADACcos37800.8064（米），在RtBCD中，CBD58，CD48米，tanCBD，BD30（米），ABAD+BD64+3094（米）答：A、B两点之间的距离约为94米4胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60和45，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73）【分析】根据锐

8、角三角函数的定义可求出AD的长度，然后即可求出AC的长度，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：在RtADB中，ADB60，tanADB，BD，在RtABC中，C45，tanC，BCAB，BCBDCD33m，AB33，AB78（m）答：主塔AB的高约为78m5菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37减至30，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长（结果精确到0.1米参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，1.73）【分析】在ABC中求出BC以及AC的长度，再求出CD，最后BDCD

9、BC即可求解【解答】解：由题意得，在ABC中，ABC37，AB8米，ACABsin374.8（米），BCABcos376.4（米），在RtACD中，CD8.304（米），则BDCDBC8.3046.41.9（米）答：改动后电梯水平宽度增加部分BD的长为1.9米6旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆ABCD于点B某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD1.2m，DE1.4m同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5，求旗杆AB的高度（参考数据：sin80

10、.50.98，cos80.50.17，tan80.56）【分析】设PQ为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，PE为标杆影子，长为0.25m，作DFCD交AE于点F，作FHAB于点H，利用相似和锐角三角函数可以求出旗杆AB的高度【解答】解：如图，设PQ为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，PE为标杆影子，长为0.25m，作DFCD交AE于点F，作FHAB于点H，DFPQ，DF5.6，BHDF5.6，在RtAHF中，AFH80.5，tanAFH，tan80.56，AH7.2，旗杆AB的高度为5.6+7.212.8（m）7为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数某小区物业公司决定对小区环境进行优化

11、改造如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角BAD30，BDAD于点D为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15（1）求该斜坡的高度BD；（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离（假设图中C，A，D三点共线）【分析】（1）根据30角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；（2）在ACD中，根据CBD30，CAB15，求出ACAB，从而得出AC的长【解答】解：（1）在RtABD中，ADB90，BAD30，BA20m，BDBA10（m），答：该斜坡的高度BD为10m；（2）在ACB中，BAD30，BCA15，CBA15，ABAC20（m），答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m8

12、在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30已知山坡坡度i3：4，即tan ，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB（结果精确到0.1m，参考数据：1.732）【分析】过点D作DEAC，垂足为E，过点D作DFAB，垂足为F，则DEAF，DFAE，在RtDEC中，根据已知可设DE3x米，则CE4x米，然后利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的长，再设BFy米，从而可得AB（12+y）米，最后在RtDBF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出AC的长，再在RtABC中，利用锐角三角函

13、数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答【解答】解：过点D作DEAC，垂足为E，过点D作DFAB，垂足为F，则DEAF，DFAE，在RtDEC中，tan，设DE3x米，则CE4x米，DE2+CE2DC2，（3x）2+（4x）2400，x4或x4（舍去），DEAF12米，CE16米，设BFy米，ABBF+AF（12+y）米，在RtDBF中，BDF30，DFy（米），AEDFy米，ACAECE（y16）米，在RtABC中，ACB60，tan60，解得：y6+8，经检验：y6+8是原方程的根，ABBF+AF18+831.9（米），建筑物的高度AB约为31.9米9如图，希望中学的教学楼AB和综合楼C

14、D之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BFFD40米在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9，点E的俯角为16问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.287【分析】作EGAB，垂足为G，作AHCD，垂足为H，由题意知，EGBF40米，EFBG12.88米，HAE16AEG16，CAH9，在RtAEG中，有0.287，AG11.

15、48（米），即得HDAB24.36米，在RtACH中，有0.158，得CH12.64（米），故CDCH+HD37.00（米）【解答】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EGAB，垂足为G，作AHCD，垂足为H，如图：由题意知，EGBF40米，EFBG12.88米，HAE16AEG16，CAH9，在RtAEG中，tanAEG，tan16，即0.287，AG400.28711.48（米），ABAG+BG11.48+12.8824.36（米），HDAB24.36米，在RtACH中，AHBDBF+FD80米，tanCAH，tan9，即0.158，CH800.15812.64（米），C

16、DCH+HD12.64+24.3637.00（米），答：综合楼的高度约是37.00米10如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD15m，斜坡的倾斜角为，cos 小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60，在D点处测得楼顶端A的仰角为30（点A，B，C，D在同一平面内）（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB（结果精确到1m，参考数据：1.7）【分析】（1）过点D作DEBC，交BC的延长线于点E，在RtDCE中，可得（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案（2）过点D作DFAB于F，设AFxm，在RtADF中，tan30，

17、解得DFx，在RtABC中，AB（x+9）m，BC（x12）m，tan60，求出x的值，即可得出答案【解答】解：（1）过点D作DEBC，交BC的延长线于点E，在RtDCE中，cos，CD15m，（m）（m）答：C，D两点的高度差为9m（2）过点D作DFAB于F，由题意可得BFDE，DFBE，设AFxm，在RtADF中，tanADFtan30，解得DFx，在RtABC中，ABAF+FBAF+DE（x+9）m，BCBECEDFCE（x12）m，tan60，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，AB+924（m）答：居民楼的高度AB约为24m11如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航

18、行到A处时，测得码头C在北偏东60方向上为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70方向航行20海里到达码头C求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192）【分析】过B作BDAC于D，在RtBCD中，利用正弦函数求得BD15.32海里，再在RtABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解【解答】解：过B作BDAC于D，由题意可知ABE30，BAC30，则C18030307050，在RtBCD中，C50，BC20（海里），BDBCsin50200.766

19、15.32（海里），在RtABD中，BAD30，BD15.32（海里），AB2BD30.6430.6（海里），答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里12随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，20212025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53，cos53，tan53）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔A

20、B的高【分析】（1）过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DMCE，垂足为M由勾股定理可求出答案；（2）设DF4a米，则ME4a米，BF3a米，由于ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在ADF中由锐角三角函数可列方程求出DF，进而求出AB【解答】解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DMCE，垂足为M由题意可知：CD50米，DM30米在RtCDM中，由勾股定理得：CM2CD2DM2，CM40米，斜坡CB的坡度DM：CM3：4；（2）设DF4a米，则MN4a米，BF3a米，ACN45，CANACN45，ANCN（40+4a）米，AFANNFANDM40+4

21、a30（10+4a）米在RtADF中，DF4a米，AF（10+4a）米，ADF53，tanADF，解得a，AF10+4a10+3040（米），BF3a米，ABAFBF40（米）答：基站塔AB的高为米13小明学了解直角三角形内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知ACD60，ADC90，解RtADC即可求解

22、；（2）过点D作DEAB于点E分别解RtADE，RtBDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长【解答】解；（1）由题意可知：ACD15+4560，ADC180454590，在RtADC中，（米），答：点D与点A的距离为300米（2）过点D作DEAB于点E，AB是东西走向，ADE45，BDE60，在RtADE中，（米），在RtBDE中，（米），（米），答：隧道AB的长为米14湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上已知C在A的北偏东30方向上

23、，B在A的北偏东60方向上，且在C的正南方向900米处（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：1.732）；（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由（接送游客上下船的时间忽略不计）【分析】（1）延长CB到D，则CDAD于点D，根据题意可得NACCAB30，BC900米，BCAN，所以CNAC30BAD，然后根据含30度角的直角三角形即可解决问题；（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，根据救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，列出方程150x+（400x900）1

24、559，进而可以解决问题【解答】解：（1）如图，延长CB到D，则CDAD于点D，根据题意可知：NACCAB30，BC900米，BCAN，CNAC30BAD，ABBC900米，BAD30，BD450米，ADBD450（米），AC2AD9001559（米）答：湖岸A与码头C的距离约为1559米；（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，150x+（400x900）1559，x4.5，答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船15如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道经测量，点C在点A的正东方向，AC200米点E

25、在点A的正北方向点B，D在点C的正北方向，BD100米点B在点A的北偏东30，点D在点E的北偏东45（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：1.414，1.732）【分析】（1）过D作DFAE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DFAC200米，根据点D在点E的北偏东45，即得DEDF200283（米）；（2）由DEF是等腰直角三角形，DE283米，可得EFDF200米，而ABC30，即得AB2AC400米，BC200米，又BD100米，即可得经过点B到达点

26、D路程为AB+BD500米，CDBC+BD（200+100）米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE200100+200529米，即可得答案【解答】解：（1）过D作DFAE于F，如图：由已知可得四边形ACDF是矩形，DFAC200米，点D在点E的北偏东45，即DEF45，DEF是等腰直角三角形，DEDF200283（米）；（2）由（1）知DEF是等腰直角三角形，DE283米，EFDF200米，点B在点A的北偏东30，即EAB30，ABC30，AC200米，AB2AC400米，BC200米，BD100米，经过点B到达点D路程为AB+BD400+100500米，CDBC+BD（200+100）米，AFCD（200+100）米，AEAFEF（200+100）200（200100）米，经过点E到达点D路程为AE+DE200100+200529米，529500，经过点B到达点D较近