专题1.16 垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题1.16 垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B.证明：直线lAB，P1CA=P1CB.又CA=CB，P1C= P1C，P1CAP1CB (SAS).P1A= P1B.几何语言叙述：直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点;PA=PB.【知识点2】线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.如图，在PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证

2、明这个结论？ 解答：点P在线段AB的垂直平分线上证明：作PCAB，垂足为C，则ACP=BCP=90，在RtPAC和RtPBC中，PA=PB，PC=PC，RtPACRtPBC(HL).AC=BC.PC是AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上.线段垂直平分线性质的逆定理：几何语言叙述： PA=PB;P点在AB的垂直平分线上.【知识点3】尺规作图作线段垂直平分线如图所示，已知线段AB，作其垂直平分线步骤如下：（1）分别以AB为圆心，大于12AB为半径作弧，两弧交于点C、D，（2）作直线CD，则CD为所求 【考点一】角平分线角平分线性质证明角相等【例1】如图，在ABC中,BC=5，AC=8,

3、AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则BCE的周长等于（）A18B15C13D12【答案】C【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出的周长，由此即可得出结论解：在中，是线段的垂直平分线，的周长故选C【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【举一反三】【变式】点P到ABC的三个顶点的距离相等，则点P是ABC ()的交点.A三条高B三条角平分线C三条中线D三边的垂直平分线【答案】D【分析】利用线段垂直平分线性质判断即可解：因为点P到ABC三个顶点的距离相等，则点P应是ABC的三条边垂直平分线的交点故选D【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性

4、质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键【考点二】全等图形求正方形网格中的角度之和【例2】如图，在ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，E=30，且AB=CE，则BAE的度数是（ ） A80B85 C90D105【答案】C【分析】根据条件求出AB=AC，转化角度即可解答.解：已知在ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，E=30，且AB=CE，故CE=CA=AB，ACB=ABC=CEA+CAE=60，故CAB=60，即BAE=CAB+CAE=60+30=90.故选C.【点拨】本题考查角度转换，关键是了解角平分线的知识.【举一反三】【变式】如图，在ABC中，C=3

5、0，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BAD=45，则B的度数为（） A75B65C55D45【答案】A【分析】由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，所以DAC=C=30，然后根据三角形内角和计算B的度数解：由作法得MN垂直平分AC，DA=DC，DAC=C=30，BAC=BAD+DAC=45+30=75，B+C+BAC=180，B=180-75-30=75故选A【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线

6、的垂线）【考点三】全等图形把全等图形分割成几个全等图形【例3】如图，在ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DFEG，交AC于点F(1) 求证：BECG；(2) 判断BECF与EF的大小关系，并证明你的结论 【答案】(1)见分析；(2)BE+CFEF，见分析【分析】（1）根据题中条件，证得BDECDG（ASA），可证得BECG；（2）先连接AG，再利用全等的性质可得 DEDG，再根据DFGE，从而得出 FGEF，依据三角形两边之和大于第三边得出 BE+CFEF，（1）解：D是BC的中点，BDCD，ABCG，BDCG，在BDE和CDG中，BDECDG，

7、BDCD，DBEDCG，BDECDG（ASA），BECG；（2）BE+CFEF理由：如图，连接FG， BDECDG，DEDG，又FDEG，FD垂直平分EG，EFGF，又CFG中，CG+CFGF，BE+CFEF【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证BDECDG，得出BECG是解题的关键【举一反三】【变式】如图，在ABC中，C=90，D为CB上一点，过点D作DEAB于点E(1) 若CD=DE，判断CAD与BAD的数量关系；(2) 若AE=EB，CB=10，AC=5,求ACD的周长【答案】(1)相等；(2)15.【分析】（1）由C=AED=

8、90，CD=DE，AD=AD，利用HL可以证明ACDAED，即可得到CAD=BAD；（2）由垂直平分线定理，得到AD=BD，则BC=AD+CD=10，即可得到ACD的周长解：（1）DEAB，AED=90=C，在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED，（HL）CAD=BAD；（2）AE=BE，DEAB,DE垂直平分AB，AD=BD，BC=BD+CD=AD+CD=10，ACD的周长=AD+CD+AC=10+5=15.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及垂直平分线定理，解题的关键是掌握垂直平分线定理.【考点四】全等三角形全等三角形的概念【例4】在中，.BD平分交AC于点D，又交延长

9、线BD于点E.求证： 【分析】延长AE、BC交于点F，证明AFCBDC，所以AF=BD，再证明ABEFBE，可得AE=EF，从而可得BD=2AE.解： 证明：延长AE、BC交于点F，AED=ACB=90，EDA=CDB，FAC=DBC，在AFC和DBC中， AFCBDC（ASA），AF=BD，BD平分ABC，ABE=CBE，在ABE与FBE中， ABEFBE（ASA），AE=EF，BD=AF=2AE.【点拨】本题考查了中垂线的性质，三角形全等的判定，解题的关键是判定三角形全等，从而找出对应边相等，即可得解.【举一反三】【变式1】按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算已知：在中，

10、(1) 作边上的高，作的平分线，与相交于点(2) 求所作图形中的度数【答案】(1)见分析；(2)【分析】（1）利用基本作图，过点作于，再利用基本作图作的平分线， 与相交于点；（2）首先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据角平分线的性质得出，根据同角的余角相等得，最后根据三角形内角和定理即可得出结果解：（1）如图，线段是边上的高，线段是的角平分线 （2），是的角平分线，线段是边上的高，【点拨】本题主要考查了作图基本作图，也考查了三角形内角和定理，角平分线性质，熟练掌握基本几何图形的性质是解本题的关键【变式2】如图，是外一点，是上一点，则的度数为_ 【答案】/35度【分析】连接，则垂直平分，可得

11、，再证明，即可得到解：连接， ，是的垂直平分线，在和中，故答案为：【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到是的垂直平分线再想到证明是解题的关键【考点五】全等三角形全等三角形的性质【例5】如图，中，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为_度 【答案】108【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出BAO，根据等腰三角形两底角相等求出ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得ABO=BAO，再求出OBC，然后判断出点O是ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出

12、OCB=OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解解：如图，连接OB、OC，BAC=54，AO为BAC的平分线，BAO=BAC=54=27，又AB=AC，ABC=（180-BAC）=（180-54）=63，DO是AB的垂直平分线，OA=OB，ABO=BAO=27，OBC=ABC-ABO=63-27=36，AO为BAC的平分线，AB=AC，AOBAOC（SAS），OB=OC，点O在BC的垂直平分线上，又DO是AB的垂直平分线，点O是ABC的外心，OCB=OBC=36，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，O

13、E=CE，COE=OCB=36，在OCE中，OEC=180-COE-OCB=180-36-36=108，故答案为108【点拨】本题考查了三角形综合题，涉及了角平分线的定义，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，三角形的外心，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【举一反三】【变式1】如图，在ABC中，ACB90，A30，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，若AF6，则BC的长为_ 【答案】4【分析】连接CD，根据在ABC中

14、，ACB=90，A=30，设BC=x，可知AB=2BC=2x，再由作法可知BC=CD=x，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD=AD=x，由AF=6，进而可得出结论解：连接CD， 在ABC中，ACB90，A30，设BCx，AB2BC2x作法可知BCCDx，CE是线段BD的垂直平分线，CD是斜边AB的中线，BDADx，BFDFx，AFAD+DFx+x6解得：x4故答案为4【点拨】本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键【变式2】如图，点M，N到直线l的距离为MA，ND，垂足分别为A，D，B为AD的中点，作MN的垂直平分线交直线l于点C，连接MB，MC，NC，现给出下列结论：；MB平分；若，则其中正确的是_ 【答案】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得CM=CN，进而解题；结合利用HL证明；连接MD，根据MAMDMB,即可得MB不平分；根据勾股定理可得ND=12，结合可得AC=ND=12，据此解题解：是的垂直平分线上的点，故正确；在与中，故正确；如图，连接MD为的中点，不平分，故错误； 故错误，综上所述，正确的是故答案为：【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法