专题1.3 正方形的性质与判定综合（5个考点9大题型）（解析版）.docx

1、专题1.3 正方形的性质与判定综合（5个考点9大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用正方形的性质求角度】【题型2 利用正方形的性质求线段长度】【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】【题型5 正方形的判定证明】【题型6 正方形的性质与判定综合】【题型7 求正方形形中最值问题】【题型8 正方形中“十字架”模型】【题型9 正方形中“对角互补”模型】 满分必练 【题型1 利用正方形的性质求角度】1（2023春增城区期中）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则AEB度数为（）A10B15C22.5D30【答案】B【解答】解：根据等边三角形和正方

2、形的性质可知ABADAE，BAD90，DAE60，BAE90+60150，AEB（180150）215故选：B2（2023九龙坡区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DECF，连接AE，DF，DG平分ADF交AB于点G，若AED2，则AGD的度数为（）A90B90+C90+2D902【答案】A【解答】解：四边形ABCD是正方形，CDAD，ADEDCF，ADBC，DECF，DFCAED（ASA），AEDDFC2，ADFDFC2，DG平分ADF，ADG，AGD90故选：A3（2023沙坪坝区校级模拟）如图，四边形ABCD为正方形，E为CD上一点，BFAE于点F，连接

3、DF，设ABF，若BF2AF，则ADF可表示为（）ABC45D60【答案】C【解答】解：取BF的中点H，连接AH，BF2AF，AFBFBH，ABF+BAF90，BAF+DAF90，ABFDAF，在ABH与AFD中，ABHAFD（SAS），BAHADF，AFBFBHHF，AFH是等腰直角三角形，HAFAHF45，ADFBAH45，故选：C4（2023春建湖县期中）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若ABE25，则EFD的度数为（）A40B50C55D65【答案】A【解答】解：在正方形ABCD中，ABAD，BACDAC，BAD90，在ABF和ADF中

4、，ABFADF（SAS），ADFABE25，AEB90ABF65，EFDAEBADF652540，故选：A5（2023春睢宁县期中）如图，四边形ABCD是正方形，点P在线段BC上，作PAB关于直线PA的对称PAB，延长PB与边CD交于点M，连接AM，PAM的度数为（）A60B55C45D40【答案】C【解答】解：根据轴对称可知，ABAB，PABPAB，ABPB90，四边形ABCD为正方形，DBAD90，ADAB，ABAD，ABM1809090，DABM，AMAM，RtADMRtABM（HL），DAMBAM，即PAM45，故C正确故选：C【题型2 利用正方形的性质求线段长度】6（2023上蔡县三

5、模）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，作EFAB于点F，连接DE，若BC6，BF2，则DE的长为 （）AB4CD【答案】D【解答】解：连接BE，四边形ABCD是正方形，ABBC6，EAF45，EFAB，EFAFABBF624，BE2，正方形ABCD关于AC对称，DEBE2，故选：D7（2023春连城县期中）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC4，CE2，H是AF的中点，那么CH的长为（）ABCD【答案】A【解答】解：连接AC、CF，如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，BC4，CE2，ACD45，FCG45，ACF45+4590，在RtACF中

6、，H是AF的中点，故选：A8（2023春南宁期中）小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得B60，对角线AC9cm，接着把活动学具变为图2所示的正方形，则图2中的对角线AC的长为（）A18cmBCD9cm【答案】B【解答】解：如图1，四边形ABCD是菱形，ABBC，B60，ABC是等边三角形，ABACBC9cm，图2中正方形的对角线AC的长为9cm，故选：B9（2023春通州区期中）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DEAG于点EBFAG于点F，已知BF4，DE6，则线段EF的长为（）A1B2C3D4【答案】B【解答】解：四边形ABCD是正方形，

7、BFAG，DEAG，DAAB，BAF+DAEDAE+ADE90，BAFADE，在BAF和ADE中，BAFADE（AAS），BFAE，AFDE，EFAFAEDEBF642故选：B10（2023未央区二模）如图，四边形ABCD是正方形，点E在CD上，连接AE，BFAE于点F，AED60，且BF，则正方形ABCD的边长为（）A4BC6D【答案】A【解答】解：四边形ABCD是正方形，DBAD90，AED60，EAD30，BAF60，BFAE于点F，BF2，AF2，AB4，故选A11（2023春新吴区期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC1，CE3，H是AF的中点，那么CH的长

8、是（）A2.5BCD2【答案】B【解答】解：如图，连接AC、CF，由正方形的性质可得，ACDFCG45，ACF90，H是AF的中点，AC212+122，CF232+3218，故选：B12（2023春九龙坡区校级期中）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，EAF45，AHEF于H，若EF3，SAEF12，则BC的长是（）A3B4C6D8【答案】D【解答】解：如图，延长FD到点P使DPBE，连接AP，正方形ABCD，ABAD，ADPABE90，在RtABE和RtADP中，RtABERtADP（SAS），AEAP，BAEDAP，DAE+BAE90，DAE+DAP90，EAF45，EA

9、FFAP45，在AEF和APF中，AEFAPF（SAS），EFPF3，SAEFSAPF12，PFAD12，AD8，即BC8，故选：D【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】13（2023春灵丘县期中）正方形ABCD的对角线长为，则其周长为（）A8BCD16【答案】A【解答】解：设正方形的边长为x，正方形的对角线为2，由勾股定理得：，解得：x2（负值舍去），正方形的周长为：248，故选：A14（2023春南宁期中）如图，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD3，连接BD，BF，DF，则BDF的面积为（）AB4.5CD6【答案】B【解答】解：如图，连接CF，四边形A

10、BCD和四边形CGFE都是正方形，BDC45，GCF45，BDCGCF，BDCF，SBDFSBCD，AD3，BCCDAD3，SBDFBCBC4.5故选：B15（2023九龙坡区模拟）如图，在正方形ABCD中，O为AC、BD的交点，DCE为直角三角形，CED90，若CEDE6，则正方形的面积为（）A20B22C24D26【答案】C【解答】解：如图，过点O作OMCE交EC延长线于M，作ONDE于N，CED90，四边形OMEN是矩形，MON90，COM+DOMDON+DOM，COMDON，四边形ABCD是正方形，OCOD，在COM和DON中，COMDON（AAS），OMON，CMDN，四边形OMEN

11、是正方形，OE3，2NE2OE2（3）218，NEON3，DE+CEDE+EM+MCDE+EM+DNEN+EM2EN6，设DEa，CEb，a+b6，CEDE6，CD2a2+b2（a+b）22ab622624，S正方形ABCD24故选：C16（2023春雄县月考）如图，P是正方形ABCD内一点，CPD90若CD5，CP3，则阴影部分的面积为（）A25B20C19D13【答案】C【解答】解：CPD90，CD5，CP3，S阴影S正方形ABCDSCPD25619，故C正确，故选：C17（2023武昌区模拟）如图，正方形ABCD中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1和S2，则的值为（）A1BC

12、D【答案】B【解答】解：如图，设正方形ABCD的边长为m，BD90，ABCBADCDm，BACBCADACDCA45，ACm，四边形BPNM和四边形EFGH都是正方形，BMNBPNEHGFGH90，AMNCPNAHECGF90，MNAMANPNCPCNHEAHAEGFCGCF45，MNBMAMPNBPCPm，EHAHGHFGCGmm，S1（m）2m2，S2（m）2m2，故选：B18（2023新华区校级二模）如图，将两个全等的正方形ABCD与APQR重叠放置若BAP30，AB6，则图中阴影部分的面积是（）A48B54CD【答案】D【解答】解：设CD与PQ交于G，连接AG，四边形ABCD和正方形A

13、PQR是正方形，ABAPAD，BADPD90，BAP30，PAD60，在RtAPG与RtADP中，RtAPGRtADP（HL），PAGDAP30，ADAPAB6，PGDG66，图中阴影部分的面积正方形APQR的面积APG的面积ADG的面积610836，故选：D【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】19（2023自贡）如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（）A（3，3）B（3，3）C（3，3）D（3，3）【答案】C【解答】解：正方形的边长为3，DCBC3，点C在第一象限，C的坐标为（3，3）故选：C20（2023惠城区一模）如图，将正方形ABCD放置在平面直角

14、坐标系中，其中点A的坐标为（1，2），点D的坐标为（2，2），则点C的坐标为（）A（1，2）B（2，1）C（2，1）D（1，1）【答案】C【解答】解：正方形ABCD中，点A的坐标为（1，2），点D的坐标为（2，2），OE2，OF1，C（2，1）故选：C21（2023惠城区校级二模）在正方形ABCD中，A，C的坐标分别为（1，2），（4，1），ABx轴，则B点的坐标是（）A（4，2）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【答案】A【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABBC，ABx轴，BCy轴，点A，C的坐标分别为（1，2），（4，1），点B点的纵坐标为2，横坐标为4，B点的坐标是（4，2）故选：

15、A22（2023东丽区二模）如图，四边形AOCB是正方形，点O为原点，点C的坐标是（0，1），点B的坐标为（）A（1，1）B（1，0）C（1，1）D（1，1）【答案】A【解答】解：四边形AOCB是正方形，点C的坐标是（0，1），OABCOCAB1，点B的坐标为（1，1），故选：A【题型5 正方形的判定证明】23（2023春龙湖区校级期中）连接对角线相等四边形各边的中点得到的是什么四边形？（）A平行四边形B矩形C菱形D正方形【答案】C【解答】解：如图，四边形ABCD中，ACBD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，E、F分别是AB、BC的中点，EFAC，EFAC，同理GHAC，GH

16、AC，EFGH，EFGH，四边形EFGH是平行四边形，E、H分别是AB、DA的中点，EHBD，ACBD，EFEH，四边形EFGH是菱形，故选：C24（2023春岳阳楼区校级期中）下列判断错误的是（）A两组对边分别相等的四边形是平行四边形B一条对角线平分内角的平行四边形是菱形C四个内角都相等的四边形是矩形D两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，选项A不符合题意；B、一条对角线平分内角，12，ABCD，13，23，ABBC，四边形ABCD是菱形，选项B不符合题意；C、四个内角都相等的四边形是矩形，选项C不符合题意；D、对角线互相平分且

17、相等的四边形是矩形，选项D符合题意；故选：D25（2023洛阳三模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列三个结论：当ABBC时，它是菱形；当ACBD时，它是矩形；当ABC90时，它是正方形其中结论正确的有（）A0个B1个C2个D3个【答案】B【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABBC，四边形ABCD是菱形，故A正确；四边形ABCD是平行四边形，ACBD，四边形ABCD是菱形，四边形ABCD不一定是矩形，故B错误；四边形ABCD是平行四边形，ABC90，四边形ABCD是矩形，四边形ABCD不一定是正方形，故C错误，故选：B26（2023谷城县模拟）满足下列条件的四边形是正方形的是（）

18、A对角线互相垂直且相等的平行四边形B对角线互相垂直的菱形C对角线相等的矩形D对角线互相垂直平分的四边形【答案】A【解答】解：A选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项正确，符合题意；B选项，对角线互相垂直的长方形是正方形，故B选项错误，不符合题意；C选项，对角线相等的菱形是正方形，故C选项错误，不符合题意；D选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故D选项错误，不符合题意；故选：A27（2023春张湾区期中）如图，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，点O为AC中点，连接DO并延长到E，使OEOD，连接AE，CE（1）判断四边形ADCE的形状，并说明理由；（2）当AB

19、C满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？请说明理由【答案】（1）四边形ADCE是矩形理由见解析；（2）当ABC满足BAC90时，四边形ADCE是正方形理由见解析【解答】解：（1）四边形ADCE是矩形理由：点O是AC中点，AOCO，又OEOD，四边形ADCE是平行四边形，ABAC，AD平分BAC，ADBC，四边形ADCE是矩形（2）当ABC满足BAC90时，四边形ADCE是正方形理由：ABC是等腰直角三角形，AD平分BAC，由（1）知：四边形ADCE是矩形，四边形ADCE是正方形28（2023春仁化县期中）如图，在ABC中，ACB90，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点（1）求证：CEDF

20、；（2）连接DE、EF，求证：四边形CDEF为矩形；（3）ABC满足什么条件时，四边形CDEF为正方形，并证明【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当ACBC时，四边形CDEF是正方形，证明见解析【解答】（1）证明：D、F分别是AC、BC的中点，DF是BAC的中位线，点E时AB的中点，ACB90，CEDF；（2）证明：D、E分别是AC、AB的中点，DE是BAC的中位线，F是BC的中点，四边形DCFE是平行四边形，又DCF90，四边形DCFE是矩形；（3）解：当ACBC时，四边形CDEF是正方形，证明如下：同理可证EF是ABC的中位线，当ACBC时，则，矩形CDEF是正方形29（20

21、23春鼓楼区校级月考）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点连接EF，若BEEC，EFBC，说明：四边形EGFH是正方形【答案】见解析过程【解答】证明：连接GH，G、F分别是BE、BC的中点，GFEC，同理FHBE，四边形EGFH是平行四边形，G、H分别是BE，CE的中点，GHBC，EFBC，EFGH，又四边形EGFH是平行四边形，四边形EGFH是菱形，BEEC，菱形EGFH是正方形30（2022秋皇姑区期末）如图，AD是ABC的一条角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F（1）求证：四边形AEDF是菱形；（

22、2）若B35，当C55度时，四边形AEDF为正方形（直接填空）【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，四边形AEDF是平行四边形，EADADF，AD是ABC的角平分线，EADFAD，ADFFAD，FAFD，四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（2）解：当ABC是直角三角形，BAC90时，四边形AEDF是正方形，理由：ABC是直角三角形，BAC90，由（1）知四边形AEDF是菱形，四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）B35，BAC90，C55，故答案为：5531（2022秋渠县校级期末）如图，菱形ABCD的对角

23、线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AECF，依次连接B，F，D，E各点（1）求证：BAEBCF；（2）若ABC40，则当EBA25时，四边形BFDE是正方形【答案】（1）见解析；（2）25【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，ABCB，BACBCA，180BAC180BCA，即BAEBCF，在BAE和BCF中，BAEBCF（SAS）；（2）解：若ABC40，则当BEA25时，四边形BFDE是正方形理由如下：四边形ABCD是菱形，ACBD，OAOC，OBOD，AECF，OEOF，四边形BFDE是平行四边形，又ACBD，四边形BFDE是菱形，EBA25，OBE25+204

24、5，OBE是等腰直角三角形，OBOE，BDEF，四边形BFDE是矩形，四边形BFDE是正方形；故答案为：2532（2022秋东港市期末）如图，在ABC中，ACB90，点D是边AB的中点，连接CD，过点C作CEAB，过点B作BECD，CE，BE交于点E（1）判断四边形CDBE是什么特殊的四边形，并证明；（2）直接写出当ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形【答案】（1）四边形CDBE是菱形，证明过程见解答；（2）当ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形；理由见解答【解答】解：（1）四边形CDBE是菱形，证明：BECD，CEAB，四边形BDCE是平行四边形ACB90，CD是AB边

25、上的中线，CDBD，平行四边形BDCE是菱形；（2）当ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形；理由如下：ACB90，当ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，CDAB，CDB90，四边形BECD是正方形33（2022春银海区期中）如图，在RtABC中，ACB90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE（1）若AD4cm，求CE的长；（2）当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若点D为AB的中点，当A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请直接写出答案【答案】（1）4cm；（2）

26、菱形，理由见解析；（3）A45【解答】解：（1）DEBC，DFB90，ACB90，ACBDFB，ACDE，MNAB，四边形ADEC是平行四边形，CEAD，AD4cm，CE4cm；（2）四边形BECD是菱形理由如下：由（1）得，CEAD，ACB90，点D为AB的中点，ADBDCD，BDCE，BDCE，四边形BECD是平行四边形，CDBD，四边形BECD是菱形；（3）当A45时，四边形BECD是正方形证明如下：ACB90，A45，ABC45，又点D为AB的中点，CDBDAD，DCBDBC45，CDB90，又四边形BECD是菱形，四边形BECD是正方形【题型6 正方形形的性质与判定综合】34（202

27、3春滨城区期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A对边平行且相等B对角线互相垂直C每条对角线平分一组对角D四边相等【答案】A【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质可知，它们共同的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，故选：A35（2023安徽模拟）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，下列给出的结论中，在正方形中成立但在矩形中不成立的是（）AABBCBABCDCACBDDACBD【答案】D【解答】解：正方形与矩形的每个角都为90，故选项A成立，不合题意；正方形与矩形的对边相等，故选项B成立，不合题意；正方形与矩形的对角线都相等，故选项C成立，不合题意

28、；正方形的对角线相互垂直平分，而矩形对角线相等但不一定相互垂直，故选项D不成立，符合题意；故选：D36（2023奉贤区二模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A对角线相等B对角线互相垂直C对角线平分一组对角D对角线互相平分【答案】A【解答】解：正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角，正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等故选：A37（2023春徐州期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且EF，AB4，给出下列结论：COD45；ADCF；CF；四边形ABDO的面积与

29、正方形ABCO的面积相等其中正确的结论为（）ABCD【答案】C【解答】解：过D作DNAE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，如图：四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，AOC90COE，DOE45，COD45，故正确，AOC90FOD，AOD135COF，又OAOC，ODOF，AODCOF（SAS），ADOCFO，ADCF，DKSFKO，DSKFOK90，ADCF，故正确；四边形DEFO是正方形，DON是等腰直角三角形，EFDO，DNONDO1，MNONOCOCM90，四边形NOCM是矩形，MNOCAB4，CMON1DMMNDM1，BMBC+CM5，在RtBDM中，BD，CFBD，故正确

30、；SBCDBCDM231.5，SCDOOCON412，SBCDSCDO，SDTOSBCT，S四边形ABDOS正方形ABCO，故错误，正确的有，故选：C38（2022秋振安区校级月考）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEOF于点O，分别交AB、BC于点E、F若AE4，CF3，求EF的长【答案】见试题解答内容【解答】解：在正方形ABCD中，AOBO，AOB90，OAEOBF45，AOE+BOE90，OEOF，BOF+BOE90，AOEBOF，在AOE和BOF中，AOEBOF（ASA），BFAE4，同理可得BECF3，在RtBEF中，EF539（2022春赣县区期末）如

31、图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AEBFCMDN（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB7，AE3，求四边形EFMN的周长【答案】（1）证明过程见解答；（2）20【解答】（1）证明：AEBFCMDN，ANDMCFBEABCD90，AENDMNCFMBEF（SAS）EFENNMMF，ENADMN四边形EFMN是菱形，ENADMN，DMN+DNM90，ENA+DNM90ENM90四边形EFMN是正方形；（2）解：AB7，AE3，ANBEABAE4，EN5，正方形EFMN的周长452040（2022春关岭县期末）如图，在ABC中，BAC90，BAC的平分线交BC于点D，

32、DEAB，交AC于点E，DFAC，交AB于点F（1）求证：四边形AFDE是正方形；（2）若AD3，求四边形AFDE的面积【答案】（1）见解析；（2）9【解答】（1）证明：DEAB，DFAC，四边形AFDE是平行四边形AD平分BAC，FADEADDEAB，EDAFADEDAEADAEDE四边形AFDE是菱形BAC90，四边形AFDE是正方形（2）解：四边形AFDE是正方形，AD3，AFDFDEAE3四边形AFDE的面积为33941（2022春唐河县期末）如图所示ABC中，C90，CAB，ABC的平分线相交于D点，DEBC于点E，DFAC于点F（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC6，B

33、C8，则CE的长为 2【答案】（1）见解析；（2）2【解答】（1）证明：过点D作DNAB于点N，C90，DEBC于点E，DFAC于点F，四边形FCED是矩形，又A，B的平分线交于D点，DFDEDN，矩形FCED是正方形；（2）解：AC6，BC8，C90，AB10，四边形CEDF为正方形，DFDEDN，DFAC+DEBC+DNABACBC，则EC（AC+BC+AB）ACBC，故EC2故答案为：242（2022春召陵区校级期末）如图，在ABC中，CAB90，AD是BC边上的中线，以AD，CD为边作平行四边形ADCF，连接BF，BF分别与AD，AC相交于点E，G（1）当ABC满足什么条件时，四边形A

34、DCF为正方形，并说明理由（2）在（1）条件下，若AB6，求EF的长【答案】（1）当ABC满足ACAB时，四边形ADCF为正方形，理由见解析；（2）3【解答】解：（1）当ABC满足ACAB时，四边形ADCF为正方形，理由如下：CAB90，ACAB，AD是BC边上的中线，ADCDBD，ADBC，四边形ADCF是平行四边形，且ADCD，平行四边形ADCF是菱形，ADBC，四边形ADCF为正方形；（2）由（1）得，ADB90，ADBD，AB6，ADBDAF6，四边形ADCF为正方形，FAD90，AFCD，在FAE和BDE中，FAEBDE（AAS），AEDEAD，EFBE，EFBE343（2022春覃

35、塘区期中）如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AEBFCGDH，连接EF，FG，GH，HE（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AB7，AE3，求四边形EFGH的周长【答案】（1）见解析；（2）【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，ABCD90，AEBFCGDH，ABAEBCBFCDCGADDH，BECFDGAH，在AEH，BFE，CGF，DHG中，AEHBFECGFDHG（SAS），EHEFFGGH，AEHBFE，AHEBEF，四边形EFGH是菱形，AEH+BEFAHE+BFE，AEH+AHE90，AEH+BEF90，FEH1809090

36、，四边形EFGH是正方形；（2）解：AB7，AE3，BEAHABAE734，EH5，四边形EFGH是正方形，四边形EFGH的周长542044（2022春交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DHBKCE，连接AK，KF，HF，AH（1）求证：AKAH；（2）求证：四边形AKFH是正方形；（3）若四边形AKFH的面积为10，CE1，求点A，E之间的距离【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答；（3）5【解答】（1）证明：四边形ABCD和CEFG都是正方形，ABADDCBC，GCECFGEF，DHCEBK，HGEKBCADAB，在ADH

37、和ABK中，ADHABK（SAS），AKAH；（2）证明：ADHABK，HADBAKHAK90，同理可得：HGFKEFABKADH，AHAKHFFK，四边形AKFH是正方形；（3）解：四边形AKFH的面积为10，KF，EFCE1，KE，ABKE3，BKEF1，BEBK+KE4，AE，故点A，E之间的距离为545（2022春雷州市校级期中）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EFAB，EGBC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF5cm时，四边形BFEG是正方形？【答案】（1）证明见解析；（2）20

38、cm；（3）5【解答】（1）证明：四边形ABCD为正方形，ABBC，B90EFAB，EGBC，BFE90，BGE90又B90，四边形BFEG是矩形；（2）解：正方形ABCD的周长是40cm，AB40410cm四边形ABCD为正方形，AEF为等腰直角三角形，AFEF，四边形EFBG的周长C2（EF+BF）2（AF+BF）20cm（3）解：若要四边形BFEG是正方形，只需EFBF，AFEF，AB10cm，当AF5cm时，四边形BFEG是正方形故答案为：546（2022春惠城区校级期中）如图，RtCEF中，C90，CEF，CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足（1）

39、EAF45（直接写出结果不写解答过程）；（2）求证：四边形ABCD是正方形若BEEC3，求DF的长【答案】（1）45；（2）见解答；2【解答】（1）解：C90，CFE+CEF90，DFE+BEF36090270，AF平分DFE，AE平分BEF，AFEDFE，AEFBEF，AEF+AFE（DFE+BEF）270135，EAF180AEFAFE45，故答案为：45；（2）证明：作AGEF于G，如图1所示：则AGEAGF90，ABCE，ADCF，BD90C，四边形ABCD是矩形，CEF，CFE外角平分线交于点A，ABAG，ADAG，ABAD，四边形ABCD是正方形；解：设DFx，BEEC3，BC6，

40、由得四边形ABCD是正方形，BCCD6，在RtABE与RtAGE中，RtABERtAGE（HL），BEEG6，同理，GFDFx，在RtCEF中，EC2+FC2EF2，即32+（6x）2（x+3）2，解得：x2，DF的长为2【题型7 求正方形形中最值问题】47（2023芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，已知边AB5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（）A5BCD【答案】B【解答】解：如图所示，连接AF，AC，正方形ABCD的边长为5，AC，B，F关于AE成轴对称，AE垂直平分BF，ABAF5，AF+CFAC，当C，F，A在

41、同一直线上时，CF的最小值为ACAF5，故选：B48（2023合肥模拟）如图，在BCP中，PC4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（）AB6CD【答案】B【解答】解：将ABP绕点B逆时针旋转90得BCE，连接PE，则BPE是等腰直角三角形，APCE，PEBP2，在CPE中，CEPE+CP，CE的最大值为2+46，即AP的最大值为6，故选：B49（2023西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BECF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）ABCD【答案】D【解答】解：连接AE，如图1，四边形ABCD

42、是正方形，ABBC，ABEBCF90又BECF，ABEBCF（SAS）AEBF所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点根据对称性可知AEHE，HBAB4，所以AE+DEDH在RtADH中，AH8，DH，BF+DE最小值为4故选：D【题型8 正方形中“十字架”模型】50如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CEDF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AEBF；（2）AEBF；（3）AOOE；（4）SAOBS四边形DEOF中正确的有（）A4个B3个C2个D1个【答案】B

43、【解答】解：四边形ABCD为正方形，ABADDC，BADD90，而CEDF，AFDE，在ABF和DAE中，ABFDAE，AEBF，所以（1）正确；ABFEAD，而EAD+EAB90，ABF+EAB90，AOB90，AEBF，所以（2）正确；连接BE，BEBC，BABE，而BOAE，OAOE，所以（3）错误；ABFDAE，SABFSDAE，SABFSAOFSDAESAOF，SAOBS四边形DEOF，所以（4）正确故选：B51（2022春海阳市期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AFDE，且AFDE，AF与DE相交于点G（1）求证：矩形ABCD为正方形：（2）若AE：EB2

44、：1，AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积【答案】（1）证明过程见解答；（2）9【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，DABB90，DEAF，DABAGD90，BAF+DAF90，ADE+DAF90，BAFADE，在ABF和DAE中，ABFDAE（AAS），ADAB，四边形ABCD是矩形，四边形ABCD是正方形；（2）解：ABFDAE，BFAE，AE：EB2：1，设AE2x，EBx，BFAE2x，AB3x，AFx，EAGFAB，AGEB90，AEGAFB，AEG的面积：AFB的面积AE2：AF24x2：13x24：13，AEG的面积为4，AFB的面积为13，四边形BEGF的面积1349

45、52（2022春醴陵市期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AEBF，垂足为M（1）若矩形ABCD为正方形，求证：AEBF；（2）若AEBF，求证：矩形ABCD为正方形【答案】（1）证明过程详见解答；（2）证明过程详见解答【解答】证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABCC90，ABBC，ABF+CBF90，又AEBF，BAE+ABF90，BAECBF，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），AEBF；（2）四边形ABCD是矩形，ABCC90，ABF+CBF90，AEBF，BAE+ABF90，BAECBF，在ABE和BCF中，ABEBCF（AAS），ABBC，又四边形

46、ABCD是矩形，四边形ABCD是正方形53如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于M，CD于N，证明：APMN；如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N（1）求证：EFME+FN；（2）若正方形ABCD的边长为2，则线段EF的最小值 ，最大值 【解答】解：（1）APMN，理由如下：如图1，过B点作BHMN交CD于H，BMNH，四边形MBHN为平行四边形，BHAP，MNAP（2）如图2，连接FA，FP，FC正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点FAFC，

47、又FE垂直平分AP，FAFP，FPFC，FPCFCP，FABFCP，FABFPC，FAB+FPB180，ABC+AFP180，AFP90，FEAP，由（1）知，APMNMNME+EF+FNAP2EF，EFME+FN（3）由（2）有，EFME+FN，MNEF+ME+NF，EFMN，AC，BD是正方形的对角线，BD2，当点P和点B重合时，EF最小MNAB1，当点P和C重合时，EF最大MNBD，故答案为1，54（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，AOF90求证：BECF（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，

48、EF，GH交于点O，FOH90，EF4求GH的长【解答】（1）证明：正方形ABCD中，ABBC，ABEBCF90，AOF90，AOB90，BAE+OBA90，又FBC+OBA90，BAECBF（同角的余角相等），ABEBCF（ASA）BECF；（2）解：如图，过点A作AMGH交BC于M，过点B作BNEF交CD于N，AM与BN交于点O，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，EFBN，GHAM，FOH90，AMGH，EFBN，NOA90，故由（1）得，ABMBCN，AMBN，GHEF4；55综合与实践：如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，

49、过点B作BFCE于点G，交AD于点F（1）如图1，求证：ABFBCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DCDG；（3）如图3，若AB4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABBC，BADCBA90，CEB+BCE90，BFCE，ABF+CEB90，ABFBCE，在ABF和BCE中，ABFBCE（ASA），（2）证明：如图2，延长CD，BF交于点H，点E是AB的中点，BEAB，四边形ABCD是正方形，CDAB，ADABBC，BADCBA90，

50、CEB+BCE90，BFCE，ABF+CEB90，ABFBCE，又ABBC，FABEBC90，ABFBCE（ASA），BEAF，BEAFABAD，AFDF，ABCD，ABFH，在ABF和DHF中，ABFDHF（AAS）ABDH，DHCD，又BFCE，BGH90，DCDHDG（3）解：AG存在最小值如图3，以BC为直径作O，连接AO，OG，BFCE，BGC90，点G在以BC为直径的O上，在AGO中，AGAOGO，当点G在AO上时，AG有最小值，此时：如图4，BCAB4，点O是BC中点，BO2CO，AO2，AG22，OGOB，OBGOGB，ADBC，AFGOBG，AFGOBGOGBAGF，AGAF

51、22，由（2）可得AFBE22，AEABBE4（22）62【题型9 正方形中“对角互补”模型】56（2023未央区校级三模）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EFDE交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG求证：矩形DEFG是正方形；探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】见试题解答内容【解答】证明：过E作EMBC于M点，过E作ENCD于N点，如图所示：正方形ABCDBCD90，ECN45EMCENCBCD90且NENC，四边形EMCN为正方形四边形DEFG是矩形，EMEN，DEN+NEFMEF+NEF90DENMEF，又DNEFME90，在DEN和FEM中，DENFEM（ASA），EDEF，矩形DEFG为正方形，解：CE+CG的值为定值，理由如下：矩形DEFG为正方形，DEDG，EDC+CDG90四边形ABCD是正方形，ADDC，ADE+EDC90ADECDG，在ADE和CDG中，ADECDG（SAS），AECGACAE+CEAB24，CE+CG4 是定值