专题1.5 矩形的性质与判定（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx

1、专题1.5 矩形的性质与判定（知识讲解）【学习目标】1. 理解矩形的概念；2. 掌握矩形的性质定理与判定定理；3. 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半；4. 能力要求：利用矩形的性质解决折叠问题、最值问题、坐标系下的矩形问题。【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.特别说明：矩形定义的两个要素：是平行四边形；有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 特别说明：（1）

2、矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.特别说明：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角

3、”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.特别说明：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：直角三角形两锐角互余；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形性质的理解1已知，如图，四边形ABCD是矩形，ADAB(1)请用无刻度的直尺和圆规在AD上找一点E，使得EC平分BED；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）(2)在（

4、1）的条件下，若AB3，DE1，求BEC的面积【答案】(1)见分析 (2)BEC的面积为7.5【分析】（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；（2）由（1）可得BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，根据勾股定理即可求出x，进而求出BEC的面积(1)解：如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E；(2)解：由（1）可知BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，在ABE中，A=90，AB2+AE2=BE2，故32+（x-1）2=x2，解得x=5，BEC的面积为53=7.5【点拨】本题考查了作图-复杂作图、矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质【变

5、式1】矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A两组对边分别平行B对角线相等C对角线互相垂直D对角线平分一组对角【答案】B【分析】根据矩形和菱形的性质得出即可解：A因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的两组对边分别平行，故A不符合题意；B矩形的对角线相等，而菱形不是，故B符合题意；C菱形的对角线对角线互相垂直，而矩形不是，故C不符合题意；D菱形的对角线平分对角，而矩形不是，故D不符合题意；故选：B【点拨】本题考查了矩形与菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质【变式2】如图，在五边形ABCDE中，连接CE，BD若且，则的面积为_【答案】【分析】作出BC边上的垂线DF和EG，D

6、F无法直接计算，DF是CDF的一条边，而EGC和CDF已有边CE=CD，EGC=CFD=90，若两三角形全等便可求出DF的长解：如下图过E作EGBC于G，过D作DFBC延长线于F，A=ABC=90，EGBC，ABGE是矩形，BG=AE=，CG=BCBG=6=，CECD，ECGDCF=90，ECGCEG=90，CEG=DCF，CE=DC，EGC=CFD，EGCCFD（AAS），DF=CG=，SBCD=6=，故答案为：【点拨】本题考查全等三角形的判定，矩形的性质和判定，三角形的面积计算，正确作出辅助线找出高与已知条件的关系是解题的关键类型二、利用矩形的性质求角2如图，四边形ABCD中，对角线AC、

7、BD相交于点O，且ABC=90（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）若ACB=30，AB=1，求AOB的度数；四边形ABCD的面积【答案】（1）见分析；（2）60，.【分析】（1）根据AO=CO，BO=DO可知四边形ABCD是平行四边形，又ABC=90，可证四边形ABCD是矩形（2）利用直角ABC中ABC=90，ACB=300，可得BAC=60，AC=2，BC=，即可求得四边形ABCD的面积，同时利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得AOB=180-2BAC解：（1）AO=CO，BO=DO四边形ABCD是平行四边形，ABC=ADC，ABC=90，四边形ABCD是矩形；（2）ABC=90，A

8、CB=300，AB=1BAC=60，AC=2，BC=又矩形ABCD中，OA=OBAOB=180-2BAC=60SABCD=1=【点拨】本题考查了矩形的判定及性质定理的应用，会灵活运用是解题的关键.【变式1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，那么的度数是()ABCD【答案】D【分析】根据题意只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题.解：矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DBAC，ODOB，OAOC，OAOD，CADADO，COD50CAD+ADO，CAD25，故选D【点拨】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中

9、考常考题型【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为点E，若EAC=2CAD，则BAE=_度 【答案】22.5解：四边形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，OB=OD，OA=OBOC，OAD=ODA，OAB=OBA，AOE=OAD+ODA=2OAD，EAC=2CAD，EAO=AOE，AEBD，AEO=90，AOE=45，OAB=OBA=67.5，即BAE=OABOAE=22.5类型三、利用矩形的性质求线段3如图，在矩形中，点在上，且，垂足为（1）求证：；（2）若，求四边形的面积【答案】（1）见详解；（2）4-8【分析】（1）由矩形的性质可得D=9

10、0，ABCD，从而得D=ANB，BAN=AMD，进而即可得到结论；（2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，进而即可求解解：（1）在矩形中，D=90，ABCD，BAN=AMD，ANB=90，即：D=ANB，又，（AAS），（2），AN=DM=4，AB=，矩形的面积=2=4，又，四边形的面积=4-4-4=4-8【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS证明三角形全等，是解题的关键【变式1】如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM/AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A5B4CD【答案】D【分析】如图所示，连接OD，先求出，然

11、后利用勾股定理求解即可解：如图所示，连接OD，四边形ABCD是矩形，OA=OD，BAD=90，OMAB，OMD=90， 故选D【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足SPAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为_【答案】【分析】首先由SPAB=S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即P

12、A+PB的最小值解：设ABP中AB边上的高是hSPAB=S矩形ABCD，ABh=ABAD，h=AD=2，动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离在RtABE中，AB=4，AE=2+2=4，BE=，即PA+PB的最小值为故答案为：【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题、三角形的面积、矩形的性质、勾股定理和两点之间线段最短的性质，其中得出动点P所在的位置是解题的关键类型四、利用矩形的性质求面积4如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF（1）求证：AE=CF；（2）若AB=6，C

13、OD=60，求矩形ABCD的面积【答案】（1）证明见分析；（2）矩形ABCD的面积为【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90，证出OE=OF，由SAS证明AOECOF，即可得出AE=CF；（2）证出AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积解：（1）四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90，BE=DF，OE=OF，在AOE和COF中，OA=OC，AOE=COF，OE=OF，AOECOF（SAS），AE=CF；（2）解：OA=OC，OB=OD，A

14、C=BD，OA=OB，AOB=COD=60，AOB是等边三角形，OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，BC=6，矩形ABCD的面积=ABBC=66=36【点拨】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的运用【变式1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD若AE=2，PF=8则图中阴影部分的面积为（）A10B12C16D18【答案】C【分析】首先根据矩形的特点，作PMAD于M，交BC于N，可以得到SADC=SABC，SAMP=SAEP

15、，SPFC=SPCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得SPEB=SPFD，从而得到阴影的面积解：作PMAD于M，交BC于N则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，SADC=SABC，SAMP=SAEP，SPFC=SPCN S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又SPBE= S矩形EBNP，SPFD=S矩形MPFD，SDFP=SPBE=28=8，S阴=8+8=16，故选：C【点拨】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明SPEB=SPFD【变式2】如图,矩形ABCD中,E、F分别为AD、AB上一点,且EF=EC,EFEC,若DE

16、=2,矩形周长为16,则矩形ABCD的面积为_【答案】15解：因为EFEC，所以FEC=90，所以AEF+DEC=90，因为AEF+AFE=90，所以AFE=DEC，因为A=D，EF=CE，所以AEFDCE，所以AE=CD，AF=DE，设AB=CD=x，则AD=AE+DE=CD+DE=x+2，所以2（x+x+2）=16,解得x=3，所以ABBC=3（3+2）=15，故答案为15.类型五、利用矩形的性质和判定证明5如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE/AC，CE/BD，求证：四边形OCED是菱形【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性

17、质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论解：DE/AC，CE/BD，四边形OCED是平行四边形四边形ABCD是矩形，OC=OD=AC=BD四边形OCED是菱形【变式1】如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交、于、两点，若，则的长度为（）A1B2CD【答案】B【分析】根据三角形外角性质可求出EDO=30，从而可求出DEO=60，再根据矩形的性质，推理得到OF=CF，最后在RtBOF中利用勾股定理求得OF的长，即可得到CF的长解：EFBD，AEO=120，EDO=30，DEO=60，四边形ABCD是矩形，OBF=OCF=30，BFO=60，FOC=60-30=30

18、，BF=2OF，OF=CF，又BO=BD=AC=2，在RtBOF中，BO2+OF2=(2OF)2，(2)2+OF2=4OF2，OF=2，CF=2，故选：B【点拨】本题主要考查了三角形外角的性质，矩形的性质，含30角的直角三角形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分【变式2】如图，矩形ABCD中，点Q在对角线AC上，且，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP=_【答案】解：矩形ABCD中，AB=4，AD=3=BC， AC=5，又AQ=AD=3，ADCP，CQ=5-3=2，CQP=AQD=ADQ=CPQ，CP=CQ=2，BP=3-2=1，RtABP中，AP=

19、故答案为：类型六 直角三角形斜边上中线问题6如图，在四边形ABCD中，ABC=90，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN（1）求证：BM=MN；（2）BAD=60，AC平分BAD，AC=2，求BN的长【答案】（1）证明见分析；（2）【分析】（1）在CAD中，由中位线定理得到MNAD，且MN=AD，在RtABC中，因为M是AC的中点，故BM=AC，即可得到结论；（2）由BAD=60且AC平分BAD，得到BAC=DAC=30，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到BMC =60由平行线性质得到NMC=DAC=30，故BMN=90，得到，再由MN=BM=1，得到BN的长解

20、：（1）在CAD中，M、N分别是AC、CD的中点，MNAD，且MN=AD，在RtABC中，M是AC的中点，BM=AC，又AC=AD，MN=BM；（2）BAD=60且AC平分BAD，BAC=DAC=30，由（1）知，BM=AC=AM=MC，BMC=BAM+ABM=2BAM=60MNAD，NMC=DAC=30，BMN=BMC+NMC=90，而由（1）知，MN=BM=AC=2=1，BN=【变式1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DHAB于点H，连接OH，CAD20，则DHO的度数是（）A20B25C30D40【答案】A【分析】先根据菱形的性质得ODOB，ABCD，BDAC，则

21、利用DHAB得到DHCD，DHB90，所以OH为RtDHB的斜边DB上的中线，得到OHODOB，利用等腰三角形的性质得1DHO，然后利用等角的余角相等即可求出DHO的度数.解：四边形ABCD是菱形，ODOB，ABCD，BDAC，DHAB，DHCD，DHB90，OH为RtDHB的斜边DB上的中线，OHODOB，1DHO，DHCD，1+290，BDAC，2+DCO90，1DCO，DHODCA，四边形ABCD是菱形，DADC，CADDCA20，DHO20，故选A【点拨】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型【变式2】如图，平行四边形中

22、，于，点为边中点，则_【答案】【分析】延长、交于点，连接FC，先依据全等的判定和性质得到，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到，依据三角形等边对等角得到、，依据三角形内角和得到，通过作差即得所求.解：延长、交于点，连接FC，平行四边形中，,，,又点为边中点，得,(ASA)，,故答案为：.【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.类型七、矩形性质与判定定理的理解7如图，且，是的中点.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）连接、，写出添加一

23、个什么条件时，四边形是矩形.并说明理由.【答案】（1）证明见分析；（2）添加，理由见分析.【分析】（1）证明，结合已知条件，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到结论；（2）由矩形的性质逆推出要添加的条件，再根据添加的条件证明四边形是矩形即可得到答案解：（1）是中点，又，四边形是平行四边形（2）解：添加，理由如下：连接、，如图，四边形是平行四边形，四边形是矩形【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定，掌握以上知识是解题的关键【变式1】下列命题正确的是（）A有一个角是直角的平行四边形是矩形 B四条边相等的四边形是矩形C有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D对角线相等的四边形是

24、矩形【答案】A【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案.解：A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误;对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；因此答案为A.【点拨】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.【变式2】如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm

25、/s和2cm/s，则最快_s后，四边形ABPQ成为矩形【答案】4【分析】设最快x秒，当BP=AQ时，四边形ABPQ成为矩形，设最快x秒，则4x=202x解方程可得.解：设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得3x=202x解得x=4故答案为4【点拨】本题考核知识点：平行四边形性质,矩形判定.解题关键点：熟记平行四边形性质,矩形判定.类型八、添加一个条件构成矩形8如图，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：当AM的值为 时，四边形AM

26、DN是矩形；当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形【答案】（1）见分析（2）1；2【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；（2）有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即DMA=90，所以AM=AD=1时即可；当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可解：（1）四边形ABCD是菱形，NDAM，NDE=MAE，DNE=AME，又点E是AD边的中点， DE=AE，NDEMAE，ND=MA，四边形AMDN是平行四边形；（2）解：当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形理

27、由如下：AM=1=AD，点E是AD边的中点，DE=AE=AM=1，DAM=60，ME=DE=AM，ADM=EMD,AEM=60，ADM=30DAM=60，AMD=90，平行四边形AMDN是矩形；当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形理由如下：AM=2，AM=AD=2，DAM=60，AMD是等边三角形，AM=DM，平行四边形AMDN是菱形【变式1】已知中，下列条件：；平分，其中能说明是矩形的是（）ABCD【答案】B【分析】根据矩形的判定进行分析即可解：A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；

28、D. 平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误故选：B【点拨】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键【变式2】如图所示，将ABC绕AC的中点O顺时针旋转180得到CDA，添加一个条件_，使四边形ABCD为矩形【答案】B=90【分析】根据旋转的性质得AB=CD，BAC=DCA，则ABCD，得到四边形ABCD为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为B=90解：ABC绕AC的中点O顺时针旋转180得到CDA，AB=CD，BAC=DCA，ABCD，四边形ABCD为平行四边形，当B=90时，平行四边形ABCD为矩形，添加的条件为B=9

29、0故答案为B=90【点拨】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了矩形的判定类型九、证明四边形是矩形9如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【答案】（1）证明见分析；（2）【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.解：

30、（1）四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中， BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BDEF，设BE=x，则DE=x，AE=6-x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2，解得：x= ，BD= =2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=【点拨】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键【变式1】如图，在ABC中，点D在BC上，下列四

31、个判断中不正确的是()A四边形AEDF是平行四边形B若BAC90，则四边形AEDF是矩形C若AD平分BAC，则四边形AEDF是矩形D若ADBC且ABAC，则四边形AEDF是菱形【答案】C【分析】根据题意，分别利用平行四边形及矩形，菱形的判定定理依次判断即可得解：A选项，在ABC中，点D在BC上，四边形AEDF是平行四边形；即A正确；B选项，四边形AEDF是平行四边形，BAC=90，四边形AEDF是矩形；即B正确；C选项，添加条件“AD平分BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明四边形AEDF是矩形；所以C错误；D选项，由添加的条件“AB=AC，ADBC”，

32、AD平分BAC，EAD=CAD=EDA，AE=DE，四边形AEDF是菱形，所以D正确故选C【点拨】题目主要考查平行四边形及矩形，菱形的判定定理，熟练掌握各个判定定理是解题关键【变式2】如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，有以下四个结论MNBC；MN=AM；四边形MNCB是矩形；四边形MADN是菱形，以上结论中，你认为正确的有_（填序号）【答案】【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得B=D，再根据折叠可得D=NMA，再利用等量代换可得B=NMA，然后根据平行线的判定方法可得MNBC；证明四边形AMND是平行四边形，再根据折叠可得AM=DA，进而可证

33、出四边形AMND为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM，不能得出B=90；即可得出结论解：四边形ABCD是平行四边形，B=D，根据折叠可得D=NMA，B=NMA，MNBC；正确；四边形ABCD是平行四边形，DNAM，ADBC，MNBC，ADMN，四边形AMND是平行四边形，根据折叠可得AM=DA，四边形AMND为菱形，MN=AM；正确；没有条件证出B=90，错误；故答案为【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握翻折变换的性质、平行四边形和菱形以及矩形的判定是解题的关键类型十、利用矩形的性质与判定求角度10如图，在四边形ABCD中

34、，对角线AC，BD相交于点O，AOCO，BODO，且ABC+ADC180（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若ADF：FDC3：2，DFAC，求BDF的度数【答案】（1）见分析；（2）BDF18【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出ABC=90，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；（2）求出FDC的度数，根据三角形的内角和，求出DCO，然后得到OD=OC，得到CDO，即可求出BDF的度数解：（1）AOCO，BODO，四边形ABCD是平行四边形，ABCADC，ABC+ADC180，ABCADC90，四边形ABCD是矩形；（2）解：ADC90，ADF：FDC3：2，FDC36，

35、DFAC，DCO903654，四边形ABCD是矩形，COOD，ODCDCO54，BDFODCFDC18【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形【变式1】如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABCD的位置，旋转角为(090)若1112，则的大小是()A68B20C28D22【答案】D解：四边形ABCD为矩形，BAD=ABC=ADC=90，矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形ABCD的位置，旋转角为，BAB=，BAD=BAD=90，D=D=90，2=1=112，而ABC=D=

36、90，3=180-2=68，BAB=90-68=22，即=22故选D【变式2】如图，在矩形ABCD中，AEBD若DE：BE=3：1，则EAO= _【答案】30解：根据DAE：BAE=3：1以及DAE+BAE=90可得：DAE=67.5，根据AEBD可得：ADE=22.5，根据OA=OD可得：OAD=ADO=22.5，则EAO=DAE-DAO=67.5-22.5=45.类型十一、利用矩形的性质与判定求线段11如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若，求AE的长.【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边

37、形，再证明AEF=90即可（2）证明ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长解：（1）CF=BE，CF+EC=BE+EC即EF=BC在ABCD中，ADBC且AD=BC，ADEF且AD=EF四边形AEFD是平行四边形AEBC，AEF=90四边形AEFD是矩形；（2）四边形AEFD是矩形，DE=8，AF=DE=8AB=6，BF=10，AB2+AF2=62+82=100=BF2BAF=90AEBF，ABF的面积=ABAF=BFAEAE=【变式1】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，BEF=2BAC，FC

38、=2，则AB的长为（）A8B8C4D6【答案】D【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BOEF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得BAC=ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出ABO=30，即BAC=30，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB解：如图，连接OB，BE=BF，OE=OF，BOEF，在RtBEO中，BEF+ABO=90，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，BAC=ABO，又BEF=2BAC，即2BAC+BAC=90，解得BAC=30，FCA=30，FBC=30，FC

39、=2，BC=2，AC=2BC=4，AB=6，故选D【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出BAC=30是解题的关键【变式2】如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂足为点，且平分，则的长为_.【答案】【分析】由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证ABEAOE，可得AO=AB=BO=DO，由勾股定理可求AB的长解：四边形是矩形，平分，且，（），且，故答案为【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键类型十二、利用矩形的性质

40、与判定求面积12如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC=ADC=90，对角线AC，BD交于点O，DE平分ADC交BC于点E，连接OE（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若BDE=15，求DOE；（3）在（2）的条件下，若AB=2，求BOE的面积【答案】（1）见分析；（2）135；（3）【分析】（1）根据有三个角是直角是四边形是矩形判定即可；（2）首先根据矩形的性质得出OD=OC，然后利用角平分线的定义得出DCE是等腰直角三角形，进而得出OCD是等边三角形，然后可得OCE=30，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出COE=CEO=75，最后利用DOE=COD+COE即可求解；（3

41、）作OFBC于F，首先根据三角形中位线的性质得出OF=1，然后利用勾股定理求出BC的长度，进而得出BE的长度，最后利用面积公式求解即可解：（1）ADBC，ABC+BAD=180，ABC=90，BAD=90，BAD=ABC=ADC=90，四边形ABCD是矩形（2）由（1）可得：AO=CO，BO=DO，AC=BD，OD=OC，DE平分ADC，CDE=45，DCE是等腰直角三角形，DEC=45，CD=CE，BDE=15，DBC=ADB=45-15=30，BDC=60，又OD=OC，OCD是等边三角形，OC=CD=CE，DCO=COD=60，OCE=30，COE=CEO=（180-30）2=75，DO

42、E=COD+COE=60+75=135；（3）作OFBC于F四边形ABCD是矩形，CD=AB=2，BCD=90，AO=CO，BO=DO，AC=BD，AO=BO=CO=DO，BF=FC，OF=CD=1，EC=CD=AB=2，AC=BD=4，BC=，BE=BC-CE=-2，BOE的面积= 【点拨】本题主要考查四边形综合，掌握矩形的判定及性质，等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键【变式1】在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为（）A4B6C8D10【答案】C【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面积.解：四边形ABCD是矩形，对角线、相交于点AC

43、=BD，且OA=OB=OC=OD矩形的面积为故选：C【点拨】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的面积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键.【变式2】如图，矩形以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交、于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点，若，则矩形的面积等于_【答案】【分析】根据矩形的性质得到B=BAD=90，求得ACB=30，由作图知，AP是BAC的平分线，得到BAE=CAE=30，AB，根据等腰三角形的性质求得AEEC2，解直角三角形得到BC=3，于是得到结论解：由题可知AP是BAC的角平分线BAC600BAEEAC300AE2 BE2.ABAEB600又AEBEAC+ECAEACECA300AEEC2BC3S矩形ABCD3【点拨】此题考查尺规作图，矩形的性质，解题关键在于求得AB.