专题10二次函数交点综合应用（专项训练）（解析版）.docx

1、专题10 二次函数交点综合应用（专项训练）1（2021秋防城港期末）如图，抛物线yx2+bx+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0）（1）请直接写出b的值和点B，点C的坐标；（2）如图，点D为OC的中点，若抛物线上的点P在第一象限，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC，BD分别交于点E，F，是否存在这样的点P，使得PEEFFH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）若直线ynx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且有一个交点在第一象限，其中x1x2，若x2x13且y2y1，结合函数图象，探究n的取值范围【解答】解：（1）抛物线yx2+b

2、x+3经过点A，A（1，0），1b+30，b2，抛物线的解析式为yx2+2x+3，令y0，可得x2+2x+30，解得x1或3，B（3，0），令x0，得到y3，C（0，3）；（2）D是OC的中点，C（0，3），点D的坐标是，由B（3，0），C（0，3）两点坐标可以求出直线BC的解析式为yx+3由B（3，0），两点坐标可以求出直线BD的解析式为设点P的坐标是（x，x2+2x+3），则E（x，x+3），H（x，0）PEx2+2x+3（x+3）x2+3x，PEEFFH，解得x13（不合题意，舍去），当时，点P的坐标为；（3）方法一：当x1x2时，y2y1，即y随x的增大而增大，n0，当x1时，ynx+

3、n0，直线ynx+n经过点（1，0），即点M与点A重合，如解图所示，点N在第一象限，当x2x13，即x2（1）3，x22，当x22时，y23，此时n1，由解图可知，当x22时，n1，n的取值范围为0n1方法二：由解得，依题意，有3n1即n4当x1x2时，y2y1，即y随x的增大而增大，n0，又由x2x13得3n（1）3，n1，综上解得0n1，n的取值范围为0n12（2022秋天河区校级期末）如图，抛物线yx2x+c与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点B的坐标为（2，0），M经过A，B，C三点，且圆心M在x轴上（1）求c的值（2）求M的半径（3）过点C作直线CD，交x轴

4、于点D，当直线CD与抛物线只有一个交点时直线CD是否与M相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线CD与M的另外一个交点的坐标【解答】解：（1）抛物线yx2x+c经过点B（2，0），222+c0，解得：c4，c的值为4；（2）在yx2x+4中，令y0，解得：x18，x22，A（8，0），AB2（8）10，M的半径为5；（3）直线CD与M相交在yx2x+4中，令x0，得y4，C（0，4），设直线CD解析式为ykx+b，将点C（0，4）代入，得：b4，直线CD解析式为ykx+4，直线CD与抛物线只有一个交点，方程yx2x+4x+4kx+4有两个相等的实数根，整理，得：x2+（4k+6）x0，（4k

5、+6）24100，解得：k，直线CD解析式为yx+4，设直线CD与M的另外一个交点的坐标为（x，x+4），M（3，0），M的半径为5，则（x+3）2+（x+4）252，解得：x0（舍去）或x，直线CD与M的另外一个交点的坐标为（，）；3（2022秋朝阳区校级期中）已知函数y（xa）2+a（1）函数y（xa）2+a的顶点坐标为 （用含a的代数式表示）函数y（xa）2+a顶点的运动轨迹是 ，在平面直角坐标系中画出顶点的运动轨迹（2）当a1时，函数关系式为 ，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）已知点A（1，1），B（2，1），连结AB若抛物线y（xa）2+a与线段AB有且只有一个交点，求a的

6、取值范围；（4）把函数y（xa）2+a（x0）的图象记为G，当G的最低点到x轴距离为1时，直接写出a的值【解答】解：（1）函数y（xa）2+a，顶点坐标为（a，a），故答案为：（a，a）；顶点坐标为（a，a），顶点的运动轨迹为直线yx，在平面直角坐标系中画出顶点的运动轨迹如图：故答案为：直线yx；（2）当a1时，函数关系式为y（x1）2+1，x10123y52125故答案为：y（x1）2+1；（3）当抛物线过点A（1，1）时，1（1a）2+a，解得a3或0，如图，a的取值范围为3a0；当a1时，抛物线的顶点为（1，1），此时，抛物线y（xa）2+a与线段AB有且只有一个交点；当抛物线过点B（2

7、，1）时，1（2a）2+a，方程无解，若抛物线y（xa）2+a与线段AB有且只有一个交点，a的取值范围为3a0或a1；（4）当a0时，函数y（xa）2+a，顶点坐标为（a，a），函数y（xa）2+a（x0）的图象G的最低点即顶点，图象G的最低点到x轴距离为1，a1；当a0时，函数y（xa）2+a（x0）的图象G的最低点为与y轴的交点，令x0，则ya2+a，图象G的最低点到x轴距离为1，a2+a1，解得a（舍去负值），a，故a的值为1或4（2022浉河区校级开学）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线yx+n经过点B，C，点D是直线BC上的动点，过点D作

8、DQx轴，垂足为Q，交抛物线于点P（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）当点P位于直线BC上方且PBC面积最大时，求P的坐标；（3）将D点向右平移5个单位长度得到点E，当线段DE与抛物线只有一个交点时，请直接写出D点横坐标m的取值范围 【解答】解：（1）将B（4，0）代入yx+n，2+n0，解得n2，yx+2，令x0，则y2，C（0，2），将B（4，0），C（0，2）代入yx2+bx+c，解得，yx2+x+2，令y0，则x2+x+20，解得x1或x4，A（1，0）；（2）设P（t，t2+t+2），则D（t，+2），PDt2+t+2+t2t2+2t，SPBC4（t2+2t）t2+4t（t2）

9、2+4，当t2时，PBC面积最大，此时P（2，3）； （3）yx2+x+2（x）2+，抛物线的顶点（，），D点横坐标m，D（m，m+2），则E（m+5，m+2），如图1，当DE经过抛物线的顶点时，m+2，解得m，此时线段DE与抛物线有一个交点；如图2，当D点与C点重合时，2m+2，解得m0，当D点与B点重合时，m4，0m4时，此时线段DE与抛物线有一个交点；综上所述：m或0m4时，此时线段DE与抛物线有一个交点，故答案为：m或0m45（2022青县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A（0，），点B（1，），与直线xm交于点P（1）求二次函数的解析式；（2）当0xm时，函数有最

10、小值3，求m的值；（3）过点P作PQx轴，点Q的横坐标为2m+1已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小求m的取值范围；当PQ7时，直接写出线段PQ与二次函数（2x）的图象有一个交点时m的取值范围【解答】解：（1）将A（0，），点B（1，）代入得：，解得，y（x+）2+2x2x+，答：二次函数的解析式为yx2x+；（2）抛物线y（x+）2+2的对称轴为直线x，在0xm时，y随x的增大而减小，而当0xm时，函数有最小值3，xm时，y3，即3（m+）2+2，解得m或m（不合题意，舍去），m的值为；（3）PQ|2m+1m|3m+1|，当3m+10时，PQ3m+1，PQ的长度随m的增大而

11、减小，当3m+10时，PQ3m1，PQ的长度随m增大而增大，3m+10满足题意，解得m；0PQ7，03m+17，解得2m，（）当m时，P在二次函数y（x+）2+2的图象的最高点，PQ与抛物线只有1交点，如图：（）当m时，如图：此时P、Q都在直线x的右侧，PQ与抛物线只有1交点；（）直线x关于对称轴直线x的对称直线为x，当2m时，如图：此时PQ与抛物线只有1交点；综上所述，当m或2m时，PQ与抛物线y（x+）2+2（2x）只有一个交点6（2022襄城区模拟）抛物线yx2（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）如图1，若点A在x轴的负半轴上，OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解

12、析式；（2）在（1）的条件下，点D（2，5）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标；（3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n0）个单位长度得到直线PC，若直线PC与抛物线有且仅有一个交点直接写出n关于m的函数关系式；直接写出当1n5时m的取值范围【解答】解：（1）令y0，则x2（m+3）x+3m0，解得x3或xm，A（m，0），B（3，0），令x0，则y3m，C（0，3m），OBC为等腰直角三角形，33m，m1，yx22x3；（2）由（1）知A（1，0），D（2，5），AB4，

13、SBDC5828335515，过点M作MQy轴交直线BC于点Q，设直线BC的解析式为ykx+b，解得，yx3，设M（m，m22m3），则Q（m，m3），MQm2+3m，SBCM3（m2+3m）（m）2+，S15（m）2+，当m时，S有最大值15+，此时M（，）；（3）yx2（m+3）x+3m的对称轴为直线x，P（，9），设直线PC的解析式为ykx+b，解得，y6x+3m，直线PC平移后的直线PC的解析式为y6x+3mn，联立方程组，整理得x2（m3）x+n0，直线PC与抛物线有且仅有一个交点，（m3）24n0，n（m3）2；当n1时，m1或m5，当n5时，m2+3或m2+3，2+3m1或5m2

14、+37（2022永城市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2mx+m与直线yx+b交于点A（1，5）和B（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若D为抛物线上一点，且在点A和点B之间（不包括点A和点B），求点D的纵坐标y0的取值范围；（3）已知M是直线AB上一点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个交点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围【解答】解：（1）抛物线yx2mx+m与直线yx+b交于点A（1，5），5（1）2+m+m，51+b，m2，b4，抛物线的解析式为yx22x+2，直线的解析式为yx+4；（2）yx22x+2（x1）2+1，抛物线的顶点为（1，

15、1），D为抛物线上一点，且在点A（1，5）和点B之间（不包括点A和点B），点D的纵坐标y0的取值范围为：1y05；（3）解方程组，解得或，A（1，5），B（2，2），由题意设点M的坐标为（n，n+4），则点N（n，n+2），线段MN与抛物线只有一个公共点，n22n+2n+2，且1n2，解得：1n0或1n2，点M的横坐标xM的取值范围为：1n0或1n28（2022宜昌）已知抛物线yax2+bx2与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E（0，n）四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（m+1，m+3），N（m+1，m），P（m+5，m），Q（

16、m+5，m+3）（1）填空：a，b；（2）若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y有且只有一个交点，求n2的最大值；（3）当直线l与四边形MNPQ、抛物线yax2+bx2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线yax2+bx2的交点的纵坐标当m3时，直接写出n的取值范围；求m的取值范围【解答】解：（1）将A（1，0），B（4，0）代入yax2+bx2，解得，故答案为：，；（2）设直线BC的解析式为ydx+e，B（4，0），C（0，2），解得，直线BC的解析式为yx2，直线BC平移得到直线l，直线l与y轴交于点E（0，n），直线

17、l的解析式为yx+n，双曲线y经过点M（m+1，m+3），k（m+1）（m+3），y，直线l与双曲线y有且只有一个交点，联立方程组，整理得x2+2nx2m28m60，0，即4n24（2m28m6）0，n2+2m2+8m+60，n22m28m62（m+2）2+2，M点在第二象限，m+10，m+30，3m1，当m2时，n2可以取得最大值2；（3）如图1，当直线l与抛物线有交点时，联立方程组，整理得，x24x42n0，0，即8n+160，n4，当n4时，直线yx4与抛物线的交点为F（2，3）；当m3时，四边形NMPQ的顶点分别为M（2，0），N（2，3），P（2，3），Q（2，0），如图2，当直线l

18、经过点P（2，3）时，此时P点与F点重合，n4时，直线l与四边形MNPQ、抛物线都有交点，且满足直线l与矩形MNPQ的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标；如图3，当直线l经过点A时，n，当直线l经过点M时，如图4，n1，n1，综上所述：n的取值范围为：n1或n4；当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在直线yx4上时，直线l与四边形MNPQ、抛物线同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，m+3（m+1）4，解得m13；如图5，当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）

19、时，存在直线l（即经过此时点M的直线l）与四边形MNPQ、平行同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，（m+1）2（m+1）2m+3，解得m（舍）或m，综上所述：m的取值范围为13m9（2022焦作模拟）已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C（0，3），且OAOC（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）在抛物线上存在一点P，满足t4xPt，对应的y的取值范围为4yP5，求t的值；（3）若点E（1，4），F（4，2m+1），线段EF与该抛物线yax2+bx+c只有一个交点，

20、请直接写出m的取值范围【解答】解：（1）C（0，3），c3，OAOC，OA3，点A（3，0），将B（1，0），A（3，0）代人yax2+bx+c，得，解得，yx22x3，顶点坐标为（1，4）；（2）满足t4xPt，对应的y的取值范围为4yP5，将y5代人yx22x3，x22x35，解得x12，x24，y的取值范围为4yP5，xP的最大取值范围为2xP4，满足t4xPt，当t42时即t2，2xp2符合题意；当t4时，0xP4符合题意；综上所述：t2或4；（3）当x4时，y5，2m+15，即m2时，线段EF与抛物线有一个交点，当2m+14，即m时，线段EF与抛物线有一个交点，综上所述：m2或综上所

21、述：8m0或m1时，抛物线与线段BC有一个交点10（2022春南关区校级月考）已知二次函数yx2mx+m（m为常数）（1）当m4时求函数顶点坐标，并写出函数值y随x增大而减小时x的取值范围若点P（t，y1）和Q（5，y2）在其图象上，且y1y2时则实数t的取值范围是 （2）记函数yx2mx+m（xm）的图象为G当图象G与直线y1m只有一个交点时，求m的值矩形ABCD的对称中心为坐标原点，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2，2m），当图象G在矩形ABCD内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小，并且图象G在矩形ABCD内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为2时，直接写

22、出m的值【解答】解：（1）当m4时，yx24x+4（x2）2，函数的顶点为（2，0），10，当x2时，y随x的增大而减小；P（t，y1）和Q（5，y2）在其图象上，y1y2，P（t，y1）到对称轴的距离小于Q（5，y2）到对称轴的距离，|t2|52|，t1或t5，故答案为：t1或t5；（2）当二次函数yx2mx+m与y1m有两个交点时，即方程x2mx+2m+10有两个不相等的实数根，可得m24（2m+1）0，解得m42或m4+2，当二次函数yx2mx+m与y1m有一个交点时，即方程x2mx+2m+10有两个相等的实数根，可得m24（2m+1）0，解得m42或m4+2，当m42时，2，m，此时y

23、1m与图象G无交点；当m4+2时，2+，m，此时y1m与图象G有一个交点当二次函数与直线xm的交点恰为（m，1m）时，m2m2+m1m，解得m综上可知，m或m4+2抛物线yx2mx+m经过定点（1，1），点A坐标为（2，2m），点B坐标为（2，m2），当m0时，直线xm在顶点右侧，当图象G在矩形内部对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，有2，即m4，图象与矩形最高点的纵坐标为m2，最低点为y4m，m2（4m）2，解得m4当2m号时，2m0满足题意，此时图象最低点为（m，m），抛物线与直线x2交点为（2，3m+4），当3m+42m时，m0.5，此时抛物线与矩形交点纵坐标为2m，2mm2，解得m0

24、当3m+42m时，a0.5，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为3m+4，3m+4m2，解得m1综上所述，m的值为0或1或411（2021秋柳南区期末）如图1，抛物线yx2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x2与x轴相交于点A（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使QBC为以BC为底的等腰三角形若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将MPC逆时针旋转90，记点P的对应点为E，点C的对应点为F当直线EF与抛物线yx2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标【解答】解：（1）抛物线的对称轴x2，b

25、1，yx2+x+c，抛物线经过点C（6，0），9+6+c0，c3，yx2+x+3；（2）存在一点Q，使QBC为以BC为底的等腰三角形，理由如下：当x2时，y5，抛物线的顶点B（2，4），A（2，0），AC4，AB4，BCA45，BC边的垂直平分线经过点A，C（6，0），BC的中点为（4，2），设直线BC边的垂直平分线为直线ykx+b，yx2，联立方程组，或，Q点坐标为（2，2+2）或（2，22）；（3）将MPC逆时针旋转90得到MEF，MFMC，FCMEFM45，EFC90，EFBC，CGF是等腰直角三角形，设M（m，0），G（2m6，0），直线GF的解析式为yx+62m，联立方程组，x2+3

26、2m0，直线EF与抛物线只有一个交点，2m30，m，M（，0）12（2021秋越秀区期末）已知抛物线yx2+mx+m+与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）求PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线yx2+mx+m+在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围【解答】解：（1）抛物线yx2+mx+m+与y轴交于点C（0，），m+，解得：m3，该抛物线的解析式为：

27、yx23x；（2）在yx23x中，令y0，得：x23x0，解得：x15，x21，A（5，0），B（1，0），设直线AC的解析式为ykx+b，A（5，0），C（0，），解得：，直线AC的解析式为yx，如图1，设P（t，t23t），过点P作PHy轴交直线AC于点H，则H（t，t），PHt23t（t）t2t，SPACSPAH+SPCHPH（xPxA）+PH（xCxP）PH（xCxA）（t2t）0（5）t2t（t+）2+，当t时，SPAC取得最大值，此时，点P的坐标为（，）；（3）如图2，抛物线yx23x在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G，yx23x（x+3）2+2，顶点为（

28、3，2），图象G的函数解析式为：y（x+3）22，顶点坐标为（3，2），图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线yx，图象M的顶点坐标为（n，n），图象M的函数解析式为：y（xn）2n，当图象M经过点C（0，）时，则：（0n）2n，解得：n1或n2，当图象M的端点B在PC上时，线段PC的解析式为：yx（x0），点B（1，0）运动的路径为直线yx，联立可得：，解得：，将代入y（xn）2n，可得：（n）2n，解得：n或n（舍去），图象M的顶点横坐标n的取值范围为：n1或n213（2021秋和平区期末）已知抛物线yx2（m+1）x+2m+3（m为常数），点A（1，1），B（3，7）

29、（）当抛物线yx2（m+1）x+2m+3经过点A时，求抛物线解析式和顶点坐标；（）抛物线的顶点随着m的变化而移动当顶点移动到最高处时求抛物线的解析式；在直线AB下方的抛物线上有一点E，过点E作EFx轴，交直线AB于点F，求线段EF取最大值时的E点坐标；（）若抛物线与线段AB只有一个交点，求m的取值范围【解答】解：（）把x1，y1代入抛物线得1+（m+1）+2m+31，m2，yx2+x1（x+）2，抛物线顶点坐标是（，）；（）设顶点的纵坐标是n，n（m3）2+5，当m3时，n最大，即顶点在最高点，yx24x+9；设AB的解析式是：ykx+b，y2x+1，设E（a，a24a+9），F（a，2a+1

30、），点E在直线AB的下方，EF（2a+1）（a24a+9）a2+6a8（a3）2+1，当a3时，EF最大，最大值是1，当a3时，a24a+93243+96，E（3，6）；（）由x2（m+1）x+2m+32x+1得，x2（m+3）x+（2m+2）0，x2或xm+1，线段AB与抛物线的交点为（2，5），（m+1，2m+3），抛物线与线段AB只有一个交点，（m+1，2m+3）不在线段AB上或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，m+11或m+13或m+12，m2或m2或m114（2021秋南皮县校级月考）已知抛物线yx2（m+1）x+2m+3（1）当m0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）

31、该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（1，1），F（3，7）求出直线EF与抛物线的交点坐标；（用含m的式子表示）若该抛物线与线段EF只有一个交点，直接写出该抛物线顶点横坐标x的取值范围【解答】解：（1）当m0时，yx2x+3，将x2代入yx2x+3得y42+35，点（2，4）不在该抛物线上（2）yx2（m+1）x+2m+3，抛物线顶点坐标为（，），化简得（，），（m3）2+5，m3时，顶点纵坐标最大值为5，抛物线顶点坐标为（2，5）（3）设直线EF解析式为ykx+b，将E（1，1），F（3，7）代入解析式可得，解得，y2x+1，联立直线与

32、抛物线方程得，解得或，直线EF与抛物线的交点坐标为（2，5），（m+1，2m+3）由得抛物线经过定点（2，5），如图，当抛物线经过（1，1）时，11+m+1+2m+3，解得m2，m2符合题意当抛物线经过（3，7）时，793m3+2m+3，解得m2，m2符合题意令x2（m+1）x+2m+32x+1，整理得x2（m+3）x+2m+20，（m+3）24（2m+2）m22m+1（m1）2，m1时，0，此时抛物线与线段EF有1个交点m2或m2或m1时，抛物线与线段EF只有一个交点，抛物线顶点横坐标为，x或x或x115（2021秋天长市月考）已知二次函数yax2+bx+的图象开口向上，与y轴的交点为A，并

33、经过点B（2，）（1）求b的值（用含a的代数式表示）；（2）若二次函数yax2+bx+在1x3时，y的最大值为1，求a的值；（3）当2x4时，直线yx+与抛物线yax2+bx+4a+仅有一个交点求a的取值范围【解答】解：（1）将（2，）代入yax2+bx+得4a+2b+，b12a（2）b12ayax2（2a+1）x+，当x1，y1时，1a2a1+，解得a（舍）当x3，y1时，19a6a3+，解得aa（3）把b12a代入yax2+bx+4a+得yax2（2a+1）x+4a+，令ax2（2a+1）x+4a+x+，整理得ax22ax+4a30，由题意得方程有且仅有一个解2x4，抛物线yax22ax+

34、4a3对称轴为直线x1，抛物线与x轴右侧交点在（2，0）到（4，0）之间，抛物线开口向上，x2时，y0，x4时，y0，把（2，0）代入yax22ax+4a3得04a4a+4a3，解得a，把（4，0）代入yax22ax+4a3得016a8a+4a3，解得a，a16（2022丛台区校级模拟）如图1，抛物线L1：yx2+bx+c经过点A（1，0）和点B（5，0）已知直线l的解析式为ykx5（1）求抛物线L1的解析式；（2）若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；（3）如图2，当k2时，直线与抛物线交于M，N两点，点P是抛物线位于直线l上方的一点，当PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值

35、；（4）如图3，将抛物线L2在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围 ；直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围 【解答】解：（1）抛物线L1：yx2+bx+c经过点A（1，0）和点B（5，0）y（x1）（x5）（x3）2+4，抛物线L1的解析式为yx2+6x5；（2）直线l将线段AB分成1：3两部分，则l经过点（2，0）或（4，0），02k5或04 k5，k或k（3）如图1，设P（x，x2+6x5）是抛物线位于直线上方的一点，解方程组，解得或，设M（0，5）、N（4，3），0x4，过P做PHx轴

36、交直线l于点H，则H（x，2x5），PHx2+6x5（2x5）x2+4x，SPMNPHxN（x2+4x）42（x2）2+8，0x4，当x2时，SPMN最大，最大值为8，此时P（2，3）（4）如图2，A（1，0），B（5，0），由翻折，得D（3，4），当x1或3x5时y随x的增大而增大；故答案为：x1或3x5当ykx5与抛物线相切时，由，消去y，根据0，可得k2，当ykx5过B点时，5k50，解得k1，直线与抛物线的交点在BD之间时有四个交点，即26k1，当26k1时，直线l与图象L2有四个交点故答案为：26k117（2021秋二道区校级月考）在平面直角坐标系中，函数yx22mx+1（x3m）的

37、图象记为M1（1）若M1经过点（2，3），求m的值，并直接写出函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围（2）若M1的最低点到x轴的距离为5，求m的值（3）将M1关于点（3m，1）中心对称后得到的图象记为M2，M1和M2组成的图象记为M若m1，当1xn时，2y4，则n的取值范围为 若图象M与直线y3m有2个交点，直接写出m的取值范围【解答】解：（1）M1经过点（2，3），44m+13，解得：m2，yx24x+1（x6），该抛物线的对称轴为直线x2，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为2x6（2）yx22mx+1（x3m）（xm）2+1m2，抛物线的对称轴为直线xm，顶点坐标为（m，1m2），当

38、m0时，M1的最低点到x轴的距离为5，|1m2|5，即m，m0，m；当m0时，M1的最低点到x轴的距离为5，|（3m）22m3m+1|5，解得：m，m0，m；综上所述，m的值为或（3）m1，M1：yx22x+1（x3）（x1）2，将M1关于点（3，1）中心对称后得到的图象记为M2，M2：y（x5）2+2（x3），M：y，当x1时，y（1）22（1）+14，当x3时，y13223+14，y232+103232，当2（x5）2+2时，解得：x7或3，当1xn时，2y4，3n7，故答案为：3n7M1：yx22mx+1（x3m）（xm）2+1m2，M2：y（x5m）2+1+m2（x3m），当x3m时，

39、y1（3m）22m3m+13m2+1，y2（3m5m）2+1+m213m2，图象M与直线y3m有2个交点，或，令3m23m+10，（3）243130，此方程无解，函数y3m23m+1的图象全部位于横轴上方，即3m3m2+1的解为全体实数，令m23m+10，解得：m，即函数ym23m+1与横轴的交点横坐标为和，开口向上，3m1+m2的解集为m，即不等式组的解集为m；同理可得不等式组的解集为m或m，m0，不符合题意，m；综上所述，m的取值范围为m或m18（2021栾川县三模）如图，已知二次函数yx22mx2+m2的顶点为P，矩形OABC的边OA落在x轴上，点B的坐标是（6，2）（1）求点P的坐标，

40、并说明随着m值的变化，点P的运动轨迹是什么？（2）若该二次函数的图象与矩形OABC的边恰好有2个交点，请直接写出此时m的取值范围【解答】解：（1）yx22mx2+m2（xm）22，点P坐标为（m，2），点P的运动轨迹为直线y2（2）点B坐标为（6，2），点A坐标为（6，0），点C坐标为（0，2），随着m增大，抛物线自左向右移动，如图，当抛物线经过点C时，将（0，2）代入yx22mx2+m2可得22+m2，解得m2（舍）或m2，m增大，图象右移过程中，当抛物线经过原点时，02+m2，解得m（舍）或m，2m符合题意当抛物线经过A（6，0）时，03612m2+m2，解得m6+（舍）或m6，当抛物线经

41、过B（6，2）时，23612m2+m2，解得m4（舍）或m8，6m8符合题意综上所述，2m或6m819（2019柳州模拟）如图，抛物线C1：yax2+bx10经过点A（1.0）和点，B（5，0），与y轴交于点C（1）求抛物线C1的解析式（2）若抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l：yn试结合图形回答：当n为何值时l与C1和C2共有：2个交点；3个交点；4个交点（3）在直线BC上方的抛物线C1上任取一点P，连接PB，PC，请问：PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出取这个最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx10经过点A（1，0

42、）和点B（5，0），把A、B两点坐标代入可得，解得，抛物线解析式为y2x2+12x10；（2）y2x2+12x102（x3）2+8，抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，抛物线c2的顶点坐标为（3，8），与y轴的交点为（0，10），抛物线c2的解析式为：y2x212x10，如图1所示，观察图象可得，当直线l2过抛物线c1的顶点（3，8）和抛物线记作c2的顶点（3，8）时，即n8时，l2与c1和c2共有两个交点；当直线l2过C（0，10）时，即n10时，l2与c1和c2共有三个交点；当10n8或n10时，l2与c1和c2共有四个交点；（3）C（0，10），B（5，0），可设直线BC解析式为ykx10，把B点坐标代入可求得k2，直线BC的解析式为y2x10，如图2，过P作PQy轴，交直线BC于点Q，设P（a，2a2+12a10），则Q（a，2a10），PQ（2a2+12a10）（2a10）2a2+10a，SPBCSPCQ+SPBQ5，当a时，SPBC有最大值，此时P点坐标为（，）当P点坐标为（，）时，PBC的面积有最大值