专题10 一次函数（11类重点考向）（解析版）.docx

1、主题三 函数 专题10 一次函数目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考命题趋势（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）考向一 一次函数的性质考向二 一次函数与系数的关系考向三 一次函数图像上点的坐标特征考向四 一次函数与几何变换考向五 待定系数法求一次函数解析式考向六 一次函数与一元一次方程考向七 一次函数与一元一次不等式考向八 一次函数与二元一次方程（组）考向九 两条直线相交或平行问题考向十 一次函数的应用考向十一 一次函数的综合题最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1. 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达

2、式；2. 会利用待定系数法确定一次函数的表达式；3. 能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式ykxb(k0)，探索并理解k0和k0（或ax+b0）（a，b为常数，且a0）的形式2.从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件19（2023丹东）如图，直线yax+b（a0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b0的解集是（）Ax4Bx4Cx3Dx3【思路点拨】写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可【规范解答

3、】解：直线yax+b（a0）过点A（0，3），B（4，0），当x4时，y0，不等式ax+b0的解集为x4故选：B【真题点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数ykx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线ykx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合20（2022鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法如图，一次函数ykx+b（k、b为常数，且k0）的图象与直线yx都经过点A（3，1），当kx+bx时，根据图象可知，x的取值范围是（）Ax3Bx3Cx1Dx1【思路点拨】根据题意和函数图象，可以写出当kx+

4、bx时，x的取值范围【规范解答】解：由图象可得，当x3时，直线yx在一次函数ykx+b的上方，当kx+bx时，x的取值范围是x3，故选：A【真题点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21（2022西宁）如图，直线y1k1x与直线y2k2x+b交于点A（1，2）当y1y2时，x的取值范围是 x1【思路点拨】根据两函数的交点坐标和函数的图象得出x的范围即可【规范解答】解：直线y1k1x与直线y2k2x+b交于点A（1，2），当y1y2时，x的取值范围是x1，故答案为：x1【真题点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得

5、出不等式的解集是解此题的关键考向八 一次函数与二元一次方程（组）解题技巧/易错易混1.一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m0，n0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a0）的形式因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线2.从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应

6、的两条直线的交点坐标22（2022梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y2x+b与直线y3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（）ABCD【思路点拨】由图象交点坐标可得方程组的解【规范解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），方程组的解为故选：B【真题点拨】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解23（2022贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数yax+b与ymx+n（am0）的图象如图所示小星根据图象得到如下结论：在一次函数ymx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；方程组的解为；方程mx+n0的解为x2；当x0时，

7、ax+b1其中结论正确的个数是（）A1B2C3D4【思路点拨】根据一次函数的函数的增减进行判断便可；根据一次函数与二元一次方程组的关系判断便可；根据一次函数图象与x的交点坐标进行判断便可；根据一次函数图象与y轴交点坐标进行判断便可【规范解答】解：由函数图象可知，直线ymx+n从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故错误；由函数图象可知，一次函数yax+b与ymx+n（am0）的图象交点坐标为（3，2），所以方程组的解为，故正确；由函数图象可知，直线ymx+n与x轴的交点坐标为（2，0），所以方程mx+n0的解为x2，故正确；由函数图象可知，直线yax+b过点（0，2），所以当x0

8、时，ax+b2，故错误；故选：B【真题点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与二元一次方程的关系，关键是综合应用一次函数的图象与性质解题24（2022陕西）若方程3x120的解，是一个一次函数的函数值为5时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（）Ay3x7By3x+12Cy3x12Dy3x+7【思路点拨】由3x120得x4，再分别求出各选项在x4时的函数值，即可得到答案【规范解答】解：由3x120得x4，当x4时，y3x73475，故A符合题；y3x+1234+120，故B不符合题意；y3x12341334120，故C不符合题意；y3x+734+75，故D不符合题意；故选：A【

9、真题点拨】本题考查一次函数与一元一次方程，解题的关键是读懂题意，分别求出各选项在x4时的函数值考向九 两条直线相交或平行问题25（2021贵阳）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题现有7条不同的直线yknx+bn（n1，2，3，4，5，6，7），其中k1k2，b3b4b5，则他探究这7条直线的交点个数最多是（）A17个B18个C19个D21个【思路点拨】由k1k2得前两条直线无交点，b3b4b5得第三到五条有1个交点，然后第6条线与前5条线最多有5个交点，第7条线与前6条线最多有6个交点求解【规范解答】解：k1k2，b3b4b5，直线yknx+bn（n1，2，3，4，5）中，直

10、线yk1x+b1与yk2x+b2无交点，yk3x+b3与yk4x+b4与yk5x+b5有1个交点，直线yknx+bn（n1，2，3，4，5）最多有交点23+17个，第6条线与前5条线最多有5个交点，第7条线与前6条线最多有6个交点，交点个数最多为7+5+618故选：B【真题点拨】本题考查直线相交问题，解题关键是掌握一次函数ykx+b中，k与b对直线的影响26（2020黔西南州）如图，正比例函数的图象与一次函数yx+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是y2x【思路点拨】根据图象和题意，可以得到点P的纵坐标，然后代入一次函数解析式，即可得【规范解答】解：点P到x轴的

11、距离为2，点P的纵坐标为2，点P在一次函数yx+1的图象上，2x+1，得x1，点P的坐标为（1，2），设正比例函数解析式为ykx，则2k，得k2，正比例函数解析式为y2x，故答案为：y2x【真题点拨】本题考查两条直线相交或平行问题、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答27（2020南通）如图，直线l1：yx+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B（1）求直线l2的解析式；（2）点M在直线l1上，MNy轴，交直线l2于点N，若MNAB，求点M的坐标【思路点拨】（1）把点C的坐标代入yx+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出

12、直线的解析式；（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标【规范解答】解：（1）把x1代入yx+3得y4，C（1，4），设直线l2的解析式为ykx+b，解得，直线l2的解析式为y2x+6；（2）在yx+3中，令y0，得x3，B（3，0），AB3（3）6，设M（a，a+3），由MNy轴，得N（a，2a+6），MN|a+3（2a+6）|AB6，解得a3或a1，M（3，6）或（1，2）【真题点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键考向十 一次函数的应用解题技巧/易错易混1.设定实际问题中的自变量与因变量；2.通过列方程(

13、组)与待定系数法求一次函数关系式；3.确定自变量的取值范围；4.利用函数性质解决问题；5.检验所求解是否符合实际意义；6.答28（2023郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间车修好后，他们继续开车赶往会展中心以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象分析图中信息，下列说法正确的是（）A途中修车花了30minB修车之前的平均速度是500m/minC车修好后的平均速度是80m/minD车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【思路点拨】根据图象即可判断A选项，根据“路程时间速度”即可判断B

14、和C选项，进一步可判断D选项【规范解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，故A不符合题意；修车之前的平均速度是600010600（m/min），故B不符合题意；车修好后的平均速度是（132006000）8900（m/min），故C不符合题意；9006001.5，车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，故D符合题意，故选：D【真题点拨】本题考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上各点的含义是解题的关键29（2023济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进如图所示，l1和l2分

15、别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 0.35h后两人相遇【思路点拨】用待定系数法求出l1和l2的函数解析式，再令S1S2解方程即可【规范解答】解：设l1的函数解析式为y1kx+b，则，解得，l1的函数解析式为S15t+3.5；设l2的函数解析式为S2mt，则0.4m6，解得m15，l2的函数解析式为S215t；令S1S2，即5t+3.515t，解得t0.35，出发0.35小时后两人相遇故答案为：0.35【真题点拨】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式30（2023陕西）某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这5

16、1天内累计需水量y（m3）与天数x之间的关系如图所示，其中，线段OA，AC分别表示抽穗期、灌浆期的y与x之间的函数关系（1）求这51天内，y与x之间的函数关系式；（2）求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量【思路点拨】（1）依据题意，分0x20和20x51两段通过待定系数法可以得解；（2）依据题意，令x51时求出需水总量，再减去前20天的需水量，即可得解【规范解答】解：（1）由题意，当0x20时，设ykx，20k960k48y48x当20x51时，设关系式为ymx+n，y35x+260综上，所求函数关系式为y（2）由题意，令x51，y3551+2602045又当x20时，y960，每公顷小麦在整

17、个灌浆期的需水量20459601085（m3）【真题点拨】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键考向十一 一次函数的综合题31（2023沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于点B直线yx与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N设点M的横坐标为m（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）以线段MN，MC为邻边作MNQC，直线QC与x轴交于点E当0m时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；连接OQ，AQ，当AOQ的面积为3时，请直接写

18、出m的值【思路点拨】（1）根据直线yx的解析式求出C点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）用含m的代数式表示出MN，再根据MNCQ得出结论即可；根据面积得出l的值，然后根据的关系式得出m的值即可【规范解答】解：（1）点C（6，a）在直线yx上，a，一次函数ykx+b的图象过点A（8，0）和点C（6，），解得，直线AB的解析式为yx+6；（2）M点在直线yx+6上，且M的横坐标为m，M的纵坐标为：m+6，N点在直线yx上，且N点的横坐标为m，N点的纵坐标为：m，|MN|m+6m+，点C（6，），线段EQ的长度为l，|CQ|l+，|MN|CQ|，l+，即l（0m）；AOQ的面积为3

19、，OAEQ3，即，解得EQ，由知，EQ6，|6|，解得m或，即m的值为或【真题点拨】本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键32（2023河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点 （x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个

20、单位长度得到的直线l2的解析式；（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）其中，按甲方式移动了m次用含m的式子分别表示x，y；请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式【思路点拨】（1）由待定系数法可求直线l1的解析式；由平移的性质可求直线l2的解析式；（2）由题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），再得出点（2

21、m，m），按照乙方式移动（10m）次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；由的结果可得直线l3的解析式，进而可画出函数图象；（3）由题意可得点A，点B，点C的坐标，由待定系数法可求直线AB的解析式，即可求解【规范解答】解：（1）设l1的解析式为ykx+b，由题意可得：，解得：，l1的解析式为yx+6，将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为yx+15；（2）点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，点P按照乙方式移动了（10m）次，点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），点（2m，m）按照乙方式移动（10m）次后得到的点的横坐标为2m+10mm+10，纵

22、坐标为m+2（10m）20m，xm+10，y20m；x+ym+10+20m30，直线l3的解析式为yx+30；函数图象如图所示：（3）点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，点A（a，a+6），点B（b，b+15），点C（c，c+30），当abc，a+6b+15c+30时，设直线AB的解析式为ymx+n，由题意可得：，解得：，直线AB的解析式为y（1+）x+6，点A，点B，点C三点始终在一条直线上，c（1+）+6c+30，5a+3c8b，当abc时，则点A，点B，点C共线，则5a+3c8b，当a+6b+15c+30时，2a+b+c33，则5a+3c8b，a，b，c之间的关系式为5a+3c8b【真

23、题点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，平移的性质，掌握平移的性质和一次函数的性质是解题的关键1（2022徐州）若一次函数ykx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b0的解集为 x3【思路点拨】利用待定系数法求得b2k，再利用一元一次不等式解法得出答案【规范解答】解：一次函数ykx+b的图象过点（2，0），2k+b0，b2k，关于kx+b0kx（2k）3k，k0，x3故答案为：x3【真题点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，利用待定系数法求得b2k是解题的关键2（2023武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积SN+，其中

24、N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则ABO内部的格点个数是（）A266B270C271D285【思路点拨】根据公式，先计算出S和L的值，即可求出N的值【规范解答】解：由A（0，30）可知边OA上有31个格点（含点O，A），直线OB的解析式为yx，当x为小于或等于20的正偶数时y也为整数，即OB边上有10个格点（不含端点O，含端点B）；直线AB的解析式为yx+30，当0x20且x为整数时，y均为整数，故边AB上有19个格点（不含端点），L31+19+1060，ABO的面积为S3020

25、300，300N+601，N271故选：C【真题点拨】本题考查新定义的理解，也考查了学生分析、解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是解本题的关键3（2023镇江）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（m）与时间t（min）之间的函数关系，已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为（）A46B48C50D52【思路点拨】设小明家距离商场为s m，先根据题意求出小明去商场的所用时间，再根据速度得出小明去商场时的速度速度，再根据返回速度是去商场的速度的1.2倍，求出小明返回时所用时间即可【规范解答】解：设小明家距离商场为s m，小明

26、购物用时30min，小明从家到商场所用时间为423012（min），小明从家到商场的速度为（m/min），小明返回速度是去商场的速度的1.2倍，小明返回所用时间为10（min），a42+1052，故选：D【真题点拨】本题考查了函数的图象，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键4（2023荆州）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将OAB绕着点A顺时针旋转90得到CAD，则点B的对应点D的坐标是（）A（2，5）B（3，5）C（5，2）D（，2）【思路点拨】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA2，OB3，再根据旋转的性质得OAC90，ACDA

27、OB90，ACAO2，CDOB3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标【规范解答】解：当x0时，yx+33，则B点坐标为（0，3）；当y0时，x+30，解得x2，则A点坐标为（2，0），则OA2，OB3，AOB绕点A顺时针旋转90后得到ACD，OAC90，ACDAOB90，ACAO2，CDOB3，即ACx轴，CDx轴，点D的坐标为（5，2）故选：C【真题点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键5.（2023济宁）一个函数过点（1，3），且

28、y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 yx+2（答案不唯一）【思路点拨】设一次函数的解析式为ykx+b（k0），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k+b3，利用一次函数的性质可得出k0，取k1，b2即可得出结论【规范解答】解：设一次函数的解析式为ykx+b（k0）一次函数ykx+b的图象经过点（1，3），3k+b，又函数值y随自变量x的增大而增大，k0，k1，b2符合题意，符合上述条件的函数解析式可以为yx+2故答案为：yx+2（答案不唯一）【真题点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k0，y随x的增大而增大；k0，y随x的增大而减小”是解题的关

29、键6（2023眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（8，6），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y2x6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y2x6上，若AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为 （8，6）或（8，）【思路点拨】过点N作PQy轴交y轴于点P，交BC于点Q，此时APNNQM（AAS），设N（t，2t6），分两种情况求解即可【规范解答】解：点N在AB下方时，过点N作PQy轴交y轴于点P，交BC于点Q，APQNQM90，AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，ANNM，ANM90，ANP+MNQNMQ+

30、MNQ，ANPNMQ，APNNQM（AAS），APNQ，NPMQ，设N（t，2t6），NPMQt，OP2t6，又NQAP8NP8+t，8+t2t66，t4，CMMQ+CQMQ+OPt2t66，M（8，6）；点N在AB上方时，过点N作PQy轴交y轴于点P，交直线BC于点Q，同理得APNNQM（AAS），APNQ，NPMQ，设N（t，2t6），NPMQt，OP2t6，又NQAP8NP8+t，2t6（8+t）6，t，CMCQMQOPMQ2t6+t，M（8，）故答案为：（8，6）或（8，）【真题点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能够通过作垂线构造全等的直角三角形，由三角形全等对应边相等，将N点

31、坐标转化到三角形的边长关系中，从而建立等量关系求解是解题的关键7（2023天津）若直线yx向上平移3个单位长度后经过点（2，m），则m的值为 5【思路点拨】先根据平移规律求出直线yx向上平移3个单位的直线解析式，再把点（2，m）代入，即可求出m的值【规范解答】解：将直线yx向上平移3个单位，得到直线yx+3，把点（2，m）代入，得m2+35故答案为：5【真题点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键8（2023阜新）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千

32、余名国内外选手参加，甲、乙两名选手同时参加了往返10km（单程5km）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲，乙之间的距离s（km）与甲所用的时间t（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 4km【思路点拨】先根据图象得甲乙的速度差为4千米/小时，再根据相遇时用了0.625小时，列方程求解【规范解答】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为（x4）千米/小时，则：（x4）+x10，解得：x10，x46，1061064，故答案为：4【真题点拨】本题考查了一次函数的应用，正确提取图象中的信息是解题的关键9（2023齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后

33、，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A，B两地之间的距离是 60千米，a1；（2）求线段FG所在直线的函数解析式；（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）【思路点拨】（1）用货车的速度乘以时间可得A，B两地之间的距离是60千米；根据货车到达B地填装货物耗时15分钟，即得a+1；（2）设线段FG所在直线的解析式为ykx+b（k0），用待定系数法可得线段FG所在直线的函数解析式为y

34、60x+120（1x2）；（3）求出线段CD的解析式为y25x+2525x+10（0x2），分三种情况：当货车第一次追上巡逻车后，80x（25x+10）15；当货车返回与巡逻车未相遇时，（60x+120）（25x+10）15；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）（60x+120）15，分别解方程可得答案【规范解答】解：（1）8060（千米），A，B两地之间的距离是60千米；货车到达B地填装货物耗时15分钟，a+1，故答案为：60，1；（2）设线段FG所在直线的解析式为ykx+b（k0），将F（1，60），G（2，0）代入得：，解得 ，线段FG所在直线的函数解析式为y60x+120（1x2

35、）；（3）巡逻车速度为60（2+）25（千米/小时），线段CD的解析式为y25x+2525x+10（0x2），当货车第一次追上巡逻车后，80x（25x+10）15，解得x；当货车返回与巡逻车未相遇时，（60x+120）（25x+10）15，解得x；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）（60x+120）15，解得x；综上所述，货车出发小时或 小时或小时，两车相距15千米【真题点拨】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息10（2023牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x26x+80的两个根（OB

36、OC请解答下列问题：（1）求点B的坐标；（2）若OD：OC2：1，直线yx+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tanMND的值；（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）解x26x+80，可得B（4，0）；（2）由OD：OC2：1，OC2，得OD4，M是AD中点，可得M（3，4），代入yx+b，得：b1，故E（1，0），F（0，1），FEO45，过点C作CHEN于H，过点N作NKBC于K，由DO

37、CNKC，可得NKEK2CK，从而N（3，2），求出EN2，EHCH，即可得tanMND；（3）由（2）知，N（3，2），设P（0，m），Q（t，t+1），有PN29+（m+2）2，QN22（t3）2，PQ2t2+（m+t1）2，当PN5时，9+（m+2）225，解得m2或m6；当QN5时，2（t3）2，解得t；分别画出图形，结合m，t的值可得答案【规范解答】解：（1）由 x26x+80，得x14，x22，OB0C，OB4，0C2，B（4，0）；（2）OD：OC2：1，OC2，OD4，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC6，M是AD中点，MD3，M（3，4），将M（3，4）代入yx+

38、b，得：3+b4，解得：b1，在yx+b中，令x0得y1，令y0得x1，E（1，0），F（0，1），FEO45，过点C作CHEN于H，过点N作NKBC于K，DOCNKC90，DCONCK，DOCNKC，DO：OCNK：CK2：1，NKEK2CK，CEOCOE211，CK1，NK2，N（3，2），EN2，EHCH，NHENEH，tanMND；（3）存在点Q，使NPQ是腰长为5的等腰三角形，理由如下：由（2）知，N（3，2），设P（0，m），Q（t，t+1），PN29+（m+2）2，QN22（t3）2，PQ2t2+（m+t1）2，当PN5时，9+（m+2）225，解得m2或m6；当QN5时，2（t

39、3）2，解得t；如图：PNQ1，PNQ2，PNQ2是腰长为5的等腰三角形，结合图形可得Q1（4，5），Q2（，）；如图：PNQ3，PNQ4，PNQ4是边长为5的等腰三角形，结合图形可得Q3（4，3），Q4（，）；如图：PQ5N，PQ5N是腰长为5的等腰三角形，此时Q5（，），综上所述，腰长为5的等腰三角形NPQ共有8个，Q1（4，5），Q2（，）；Q3（4，3），Q4（，）【真题点拨】本题考查一次函数综合应用，涉及锐角三角函数，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用11（2023广东）综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上如图2，将正方形OABC绕

40、点O逆时针旋转，旋转角为（045），AB交直线yx于点E，BC交y轴于点F（1）当旋转角COF为多少度时，OEOF；（直接写出结果，不要求写解答过程）（2）若点A（4，3），求FC的长；（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线yx于点N，连接FN将OFN与OCF的面积分别记为S1与S2设SS1S2，ANn，求S关于n的函数表达式【思路点拨】（1）如图2中，当OEOF时，得到RtAOERtCOF，利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题即可；（2）在图2中，过点A作AGx轴于点G，利用三角形相似，可得结论；（3）过点N作直线PQBC于点P，交OA于点Q，利用四点共圆，得出三角形FON是等腰

41、直角三角形是解决问题的关键，结合三角形全等的判定和性质和三角形的面积公式解决问题【规范解答】解：（1）当OEOF时，在RtAOE和RtCOF中，RtAOERtCOF（HL），AOECOF（即AOE旋转角），2AOE45，COFAOE22.5，当旋转角为22.5时，OEOF；（2）过点A作AGx轴于点G，则有AG3，OG4，四边形OABC是正方形，OCOA5，AOCC90，又COF+FOA90，AOG+FOA90，COFGOA，RtAOGRtFOC，FC的长为；（3）过点N作直线PQBC于点P，交OA于点Q，四边形OABC是正方形，BCAOCA45，BCOA，又FON45，FCNFON45，F、C、O、N四点共圆，OFNOCA45，OFNFON45，FON是等腰直角三角形，FNNO，FNO90，FNP+ONQ90，又NOQ+ONQ90，NOQFNP，NOQFNP（AAS），NPOQ，FPNQ，四边形OQPC是矩形，CPOQ，OCPQ，又ANQ为等腰直角三角形，S关于n的函数表达式为【真题点拨】本题属于一次函数综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题