专题10 二次函数背景下的与圆有关的问题（学生版）学霸冲冲冲shop348121278.taobao.com.docx

1、备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题10 二次函数背景下的与圆有关的问题 【方法综述】圆和二次函数都是初中数学重点知识，是压轴题中的常见题目。而二次函数与圆的结合则常常是高难度的压轴题。以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。【典例示范】类型一 圆的基本性质应用例1：（2018-2019学年湖南省长沙市天心区）如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-52）2+98与M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）（1）求a值及A，B两点坐标；（2）点P（m，n）

2、是抛物线上的动点，当CPD为锐角时，请求出m的取值范围；（3）点E是抛物线的顶点，M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C，D，顺次连接A，C，D，E四点，四边形ACDE（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M的坐标；若不存在，请说明理由针对训练1（江苏省无锡市锡山区）已知二次函数yax22axc(a0)的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，直线BC与它的对称轴交于点F，且CF：FB1：3(1)求A、B两点的坐标；(2)若COB的内心I在对称轴上，求这个二次函数的关系式；(3)在(2)的条件下，Q(m，0)是x轴上一点，过点Q作y轴的

3、平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将CMN沿直线CN翻折，M的对应点为M，是否存在点Q，使得M恰好落在y轴上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2（2018-2019学年北京市燕山区九年级（上)期末数学试卷）对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线yx+3的一对关联点（1）请写出反比例函数y6x的图象上的一对关联点的坐标： ；（2）抛物线yx2+bx+c的对称轴为直线x1，与y轴交于点C（0，1）点A，B

4、是抛物线yx2+bx+c的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）求A，B两点坐标（3）T的半径为3，点M，N是T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m1），请直接写出m的取值范围3（浙江省杭州市余杭区2019届九年级上学期期末考试）如图，已知点B的坐标是(-2,0)，点C的坐标是(8,0)，以线段BC为直径作A，交y轴的正半轴于点D，过B、C、D三点作抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）连结BD，CD，点E是BD延长线上一点，CDE的角平分线DF交A于点F，连结CF，在直线BE上找一点P，使得PFC的周长最小，并求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点G，使得G

5、FC=DCF，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由4（2018年广东省广州市中考数学试卷）已知抛物线yx2+mx2m4（m0）（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在P上试判断：不论m取任何正数，P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；若点C关于直线x=-m2的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，BDE的周长记为l，P的半径记为r，求lr的值5（人教版数学2018年秋九年级上学期第22章二次函数解答题综合练习）如图，在平面直角坐标系

6、中，以点M（2，0）为圆心的M与y轴相切于原点O，过点B（2，0）作M的切线，切点为C，抛物线y=-33x2+bx+c经过点B和点M（1）求这条抛物线解析式；（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上；（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处此时BOQ与MCB全等，求t的值6（湖北省武汉市东西湖区2019届九年级第一学期期中）已知抛物线 C1：yax2 过点（2，2）(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图，ABC 的三个顶点都在抛物线C1 上，且边 AC 所在的直线解析式为yx+b，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求A

7、C2BD的值；(3)如图，点 P 的坐标为（0，2），点 Q 为抛物线上C1 上一动点，以 PQ 为直径作M，直线 yt 与M 相交于 H、K 两点是否存在实数 t，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在，请说明理由7（浙江省湖州市南浔区2017-2018学年九年级上学期期末）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，如图1，直角三角板MON中，OM=ON=3，OQ=1，直线l过点N和点N，抛物线y=ax2+233x+c过点Q和点N（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线y=ax2+233x+c上的一个动点初步尝试若点P在y轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P

8、作PAy轴于点A，问：是否存在点P，使得以N、P、A为顶点的三角形与ONQ相似若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；深入探究若点P在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ，与直线MN交于点G，以QG为直径的圆交QN于点H，交x轴于点R，连结HR，求线段HR的最小值8（人教版九年级数学上24章圆单元测试题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(-8,0)，B点坐标为(2,0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与P的关系，并说明理由9（2018-2019学年度人教版九年级（上)

9、第22章 二次函数 综合检测试卷）已知抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（3，0），过点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0），连接CD（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点Q，使得CD平分ACQ，请求出点Q的坐标；（3）在直线CD的下方的抛物线上取一点N，过点N作NGy轴交CD于点G，以NG为直径画圆在直线CD上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿CAD运动，在线段CD上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由10（山东省日照市实验二中）如图

10、，在平面直角坐标系中，点A(10,0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CDx轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点(1)OBA=_(2)求抛物线的函数表达式(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？类型二 与圆有关的位置关系例2（山东省济宁市嘉祥）如图，已知点A（2，0），以A为圆心作A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作A的切线l（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A，抛物线与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点

11、E，如果CO=2BE，求此抛物线的解析式；（2）过点C作A的切线CD，D为切点，求此切线长；（3）点F是切线CD上的一个动点，当BFC与CAD相似时，求出BF的长针对训练1（海南省海口市美兰区）如图，抛物线y=x24x1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x24x1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作P，过点D作P的切线，切点为E，求点DE的长；（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的P能否与x轴相切？如果能够，求出P的半径；如果不能，请说明理由2（吉林省四平市第三中学201

12、9届九年级上学期期末）如图，P的圆心P（m，n）在抛物线y12x2上（1）写出m与n之间的关系式；（2）当P与两坐标轴都相切时，求出P的半径；（3）若P的半径是8，且它在x轴上截得的弦MN，满足0MN215时，求出m、n的范围3（河北省沧州市盐山县2018届九年级上期期末）如图，抛物线y=12（x3）2-32与x轴交于A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于C点，顶点D（1）求点A、B、D三点的坐标；（2）连结CD交x轴于G，过原点O作OECD，垂足为H，交抛物线对称轴于E，求出E点的纵坐标；（3）以中点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过P作E的切线，切点为Q，当PQ

13、的长最小时，求点P的坐标4（2018年北京市顺义区中考数学一模试卷）如图1，对于平面内的点P和两条曲线L1、L2给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、Q2，总有PQ1PQ2是定值，我们称曲线L1与L2“曲似”，定值PQ1PQ2为“曲似比”，点P为“曲心”例如：如图2，以点O为圆心，半径分别为r1、r2(都是常数)的两个同心圆C1、C2，从点O任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有OMON=r1r是定值，所以同心圆C1与C2曲似，曲似比为r1r2，“曲心”为O(1)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=12x2分别交于点A、B，如图3所示

14、，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；(2)在(1)的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y=12x2”改为“y=1mx2”，其他条件不变，当存在O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式5（浙教数学九年级上第一学期期末测试）如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，1)的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知C点坐标为(6，0)(1)求此抛物线的解析式；(2)连结AB，过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以

15、点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线BD与C的位置关系并加以证明；(3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？求出PAC的最大面积 6（辽宁省沈阳市2018年中考数学试卷）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y

16、轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且KNQ=BNP时，请直接写出点Q的坐标7（内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点（1）请直接写出A，B，C三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式；（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E，求证：直线EA与M相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由8（北师大版九年级下册期末综合练习题）如图，已知以E(3，

17、0)为圆心，5为半径的E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过A，B，C三点，顶点为F.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标；(3)已知M为抛物线上的一动点(不与C点重合)，试探究：若以A，B，M为顶点的三角形面积与ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；若探究中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与E的位置关系，并说明理由.9（昆明市校际合作学校2018年初三统一考试）如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3).

18、（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积；（3）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明.10（山东省淄博市淄川区2018届九年级第一次模拟）如图，二次函数y=14x2+mx+n的图象经过点A（2，3），与x轴的正半轴交于点G（1+13，0）；一次函数y=kx+b的图象经过点A，且交x轴于点P，交抛物线于另一点B，又知点A，B位于点P的同侧（1）求这个二次函数的解析式；（2）若PA

19、=3PB，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使C同时与x轴和直线AP都相切？如果存在，请求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由 类型三 构造圆与隐形圆例3：（四川省成都）已知：如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D为顶点(1)求抛物线解析式及点D的坐标；(2)若直线l过点D，P为直线l上的动点，当以A、B、P为顶点所作的直角三角形有.且只有三个时，求直线l的解析式；(3)如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O顺时针旋转得到OE，旋转角为(090)，连接EB、EC，当EB+12EC取得最

20、小值时，求直线BE与抛物线的交点坐标 针对训练1（江苏省常熟市2019届九年级第一学期期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个；连接MA，MB，若AMB不小于60，求t的取值范围2（广东省实验中学2018-2019学年九年级上学期期中）如图，抛物线y12x2+bx+c与x轴交于A

21、、B（A左B右），与y轴交于C，直线yx+5经过点B、C（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d，求d与m的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若PCB+POB180，求d的值3（2018年天津市西青区初中毕业生学生考试（二模)）抛物线y=3x2+bx+c（b，c均是常数）经过点O（0，0），A（4，43），与x轴的另一交点为点B，且抛物线对称轴与线段OA交于点P（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）过点P作x轴的平行线l，若点Q是直线上的动点，连接QB若点O关于直线QB的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时，求点Q的坐标；若点O

22、关于直线QB的对称点为点D，当线段AD的长最短时，求点Q的坐标（直接写出答案即可）4（江西省南昌市南昌育新学校2018-2019学年度九年级（上)期中）如图，已知直角坐标平面上的ABC，AC=CB，ACB=90，且A(-1,0)，B(m,n)，C(3,0)若抛物线y=ax2+bx-3经过A、C两点(1)求a、b的值；(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式；(3)设(2)中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点Q为圆心画图，当Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形ABQP的面积5（江苏省徐州市2018年中考数学模拟）如图

23、，在直角坐标系中，直线y=13x1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x=1为对称轴的抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x=1与x轴交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q在第三象限内，且tanAQD=2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由6（湖北省咸宁市2018年中考数学试卷）如图，直线y=34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B抛物线y=38x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C（1）求抛物线的解析

24、式；（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设ODC外接圆的圆心为M，当sinODC的值最大时，求点M的坐标7（湖南省邵阳市双清区2018年初中毕业班中考）如图，直线y=33x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，C不重合）抛物线y=33x+bx+c经过点A、C，与x轴交于另一点B，（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是PAPC的值最大；若存在，

25、求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M相切，并请说明理由8（山东省滨州市2018年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B（1）当x=2时，求P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合（4）当P的半径为1时，若P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图，求cosAPD的大小9（广东省深圳市龙岗区2018届九年级中考数学一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-3ax-4a的图象经过点C(0,2)，交x轴于点A、B(A点在B点左侧)，顶点为D(1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标；(2)将ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A，试求A的坐标；(3)抛物线的对称轴上是否存在点P，使BPC=BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由