专题10二次函数与圆存在性问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题10二次函数与圆存在性问题 二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表

2、达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.【例1】（2022闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画G；以点E为圆心，EF为半径画E当G与E内切时试证明EF与EB的数量关系；求点F的坐标【分析】（1）根据点A、B的坐标，设抛物线ya（x+1）（x3），再将点C代入即可求出a的值，从而得出答案；（2）分两种

3、情形，当rGrE时，则GBEFGE，则EFEB，当rGrE时，则EFGBGE，设EF5t，FG3t，GE4t，则5tGB4t，则GBtGE4t，从而得出矛盾；由设BDt，则DE，利用勾股定理得BE，则F坐标为（3t，3t），代入抛物线解析式，从而解决问题【解答】解：（1）点A坐标为（1，0），点B坐标为（3，0）设抛物线ya（x+1）（x3）（a0），抛物线经过点C（0，4），43a解得抛物线的表达式是；（2）由于G与E内切，当rGrE时，则EFGBGE，设EF5t，FG3t，GE4t，则5tGB4t，GBtGE4t，点E在线段CB的延长线上又已知点E在线段BC上，矛盾，因此不存在当rGrE时

4、，则GBEFGE，又GEGBEB，EFEB；OCOB，FDOB，COBEDB90设BDt，则DE；在RtBED中，由勾股定理得，F坐标为（3t，3t），F点在抛物线上，解得，t0（点F与点B重合，舍去）F坐标为（，）【例2】（2022福建模拟）如图，已知抛物线yax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，4）在抛物线上，且ABC是等腰直角三角形（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论【分析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C代入二次函数解析式，解三元

5、一次方程组就可得到函数解析式（2）通过设过点D（2，0）的直线MN解析式为yk（x2）kx2k，得到关于x、关于y的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标【解答】解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P在RtCAB中，ACBC，CPAB，点C（2，4），CPAPPB4，OP2，OAAPOP422，OBOP+PB4+26，点A（2，0），点B（6，0），把点A（2，0），点B（6，0），点C（2，4）代入函数解析式得，解得，抛物线的解析式为：yx2x3故答案为：yx2x3（2）设过点D（2，0）的直线MN解析式为yk（x2）kx2k，联

6、立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx2kx2x3，化简得0，xN+xM4（k+1），xNxM8k12.，联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y（+2）2（+2）3，化简得y2+（1）y40，yM+yN4k2，yMyN16k2.，线段MN的中点就是圆的圆心，xO（xN+xM）2（K+1），代入直线方程得yO2k2，圆心坐标为（2k+2，2k2），直径MN，把、代入上式化简整理得直径MN，设圆上某一点（x，y）到圆心的距离等于半径，化简整理得16k2+128kx24kx4x+y24k2y4yk24kx+x24x+y2，圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，k2、k的系数，常量对应

7、相等，得84x，x2，164y，y4，由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点（2，4）故答案为：以线段MN为直径的圆过定点（2，4）【例3】（2022武汉模拟）已知抛物线y2x2+bx+c（c0）（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（1，0），N（2，6）求抛物线的解析式；过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；（2）如图2，已知抛物线y2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）四点在同一圆上，求n的值【分析】（1）把点M（1，0），N（2，6）代入到y2x2+bx+c中，可得b和c的值设P（a，2a2+4a+6），再利用M（1，0），N（2，6

8、），得到 MN、PM、PN的表达式，最后利用勾股定理求得a的值（2）令C（0，c），当y0时，代入抛物线得xAxB，根据两角对应相等，可得AOCDOB，然后再找到对应线段成比例，即得到n的值【解答】解：（1）把M（1，0）N（2，6）代入y2x2+bx+c，得 ，解得 ，抛物线的解析式为y2x2+4x+6；由，抛物线解析式为：y2x2+4x+6，设P（a，2a2+4a+6）M（1，0），N（2，6），MN3，PM，PN，又PNMN，则PM2MN2+PN2，（1a）2+（2a24ab）2（3）2+（2a）2+（2a24a）2整理得：4a29a+20，（a2）（4a1）0a12，a2当a2时，P与

9、N重合，a，PN（2）证明：设OAxA，OBxB，ODn当y0时，2x2+bx+c0，xAxB，OAOBxAxBCAOBDO，ACODBOAOCDOBOAOBOCODc（n）c0n【例4】（2022上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax23ax+2（a0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在P上，且劣弧2如果抛物线经过点Q，求a的值【分析】（1）分别求出P（，0），A（0，2），由两点间距离公式可求；（2）抛物线的顶点为M

10、（，2a），由SAPMPMOPAP3，可得a；（3）连接PQ，BP，AM，设Q（t，at23at+2），求出M（1，0），由垂径定理可得AMAQ，PQAP，得，联立可得a【解答】解：（1）yax23ax+2a（x）2+2a，抛物线的对称轴为x，P（，0），令x0，则y2，A（0，2），PA；（2）由（1）可知抛物线的顶点为M（，2a），a0，2a0，SAPMPMOPAP3，（2a）3，解得a；（3）连接PQ，BP，AM，MPAB，2，AMAQ，设Q（t，at23at+2），AP，P（，0），M（1，0），PQAP，联立可得t或t1（舍），将t代入，可得a1（2021广元）如图1，在平面直角坐标

11、系xOy中，抛物线yax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x10123y03430（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DFx轴，垂足为F，ABD的外接圆与DF相交于点E试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C（0，2）

12、，连接BC交抛物线对称轴x1于点Q，过点C作CPBC，交对称轴于点P，连接AQ，此时，C、Q、B三点共线，BQ+CQ的值最小，运用勾股定理即可求出答案；（3）如图2，连接BE，设D（t，t2+2t+3），且t3，可得DFt22t3，BFt3，AFt+1，运用圆内接四边形的性质可得DAFBEF，进而证明AFDEFB，利用，即可求得答案【解答】解：（1）根据表格可得出A（1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为ya（x+1）（x3），将C（0，3）代入，得：3a（0+1）（03），解得：a1，y（x+1）（x3）x2+2x+3（x1）2+4，该抛物线解析式为yx2+2x+3，顶点坐标

13、为M（1，4）；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C（0，2），连接BC交抛物线对称轴x1于点Q，过点C作CPBC，交对称轴于点P，连接AQ，A、B关于直线x1对称，AQBQ，CPBC，PQCC，四边形CCQP是平行四边形，CPCQ，QPCC1，在RtBOC中，BC，AQ+QP+PCBQ+CQ+QPBC+QP+1，此时，C、Q、B三点共线，BQ+CQ的值最小，AQ+QP+PC的最小值为+1；（3）线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，设D（t，t2+2t+3），且t3，EFx轴，DF（t2+2t+3）t22t3，F（t，0），BFOFOBt3，AFt（1）t+1，四边形ABED是圆

14、内接四边形，DAF+BED180，BEF+BED180，DAFBEF，AFDEFB90，AFDEFB，EF1，线段EF的长为定值12（2021张家界）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象经过点C（2，3），且与x轴交于原点及点B（8，0）（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为O上的动点，且O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值【分析】（1）运用待定系数法即可求出答案；（2）运用配

15、方法将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，运用待定系数法求出直线AB的函数表达式；（3）方法1：如图1，过点A作AFOB于点F，则F（4，0），得出AFO、AFB均为等腰直角三角形，即可得出答案，方法2：由ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，4），B（8，0），运用勾股定理及逆定理即可得出答案；（4）以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，根据tAP+PBPD+PB，可知当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DGOB于点G，由tDB即可求出答案【解答】解：（1）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过C（2，3），且与x轴交于原点及点B（8，0），c0，二次函数

16、表达式可设为：yax2+bx（a0），将C（2，3），B（8，0）代入yax2+bx得：，解得：，二次函数的表达式为；（2）（x4）24，抛物线的顶点A（4，4），设直线AB的函数表达式为ykx+m，将A（4，4），B（8，0）代入，得：，解得：，直线AB的函数表达式为yx8；（3）ABO是等腰直角三角形方法1：如图1，过点A作AFOB于点F，则F（4，0），AFOAFB90，OFBFAF4，AFO、AFB均为等腰直角三角形，OAAB4，OAFBAF45，OAB90，ABO是等腰直角三角形方法2：ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，4），B（8，0），OB8，OA，AB，且满足OB2O

17、A2+AB2，ABO是等腰直角三角形；（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为tAP+PB，在OA上取点D，使OD，连接PD，则在APO和PDO中，满足：2，AOPPOD，APOPDO，2，从而得：PDAP，tAP+PBPD+PB，当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DGOB于点G，由于，且ABO为等腰直角三角形，则有 DG1，DOG45动点E的运动时间t的最小值为：tDB53（2021宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE（1

18、）求抛物线的表达式；（2）判断BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作C，在C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）BCE是直角三角形运用勾股定理逆定理即可证明；（3）如图，在CE上截取CF（即CF等于半径的一半），连结BF交C于点P，连结EP，则BF的长即为所求【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为E（2，8），设该抛物线的表达式为ya（x2）2+8，与y轴交于点C（0，6），把点C（0，6）代入得：a，该抛物线的表达式为yx2+2x+6；（2）BCE是直角三角形理由如下：抛物线与x

19、轴分别交于A、B两点，令y0，则（x2）2+80，解得：x12，x26，A（2，0），B（6，0），BC262+6272，CE2（86）2+228，BE2（62）2+8280，BE2BC2+CE2，BCE90，BCE是直角三角形；（3）C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为理由如下：如图，在CE上截取CF（即CF等于半径的一半），连结BF交C于点P，连结EP，则BF的长即为所求理由如下：连结CP，CP为半径，又FCPPCE，FCPPCE，即FPEP，BFBP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值CFCE，E（2，8），由比例性质，易得F（，），BF4（2

20、020雨花区校级一模）如图1，已知抛物线yax212ax+32a（a0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）连接BC，若ABC30，求a的值（2）如图2，已知M为ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数问：是否存在一点P，使得APB达到最大，若存在，求出此时APB的正弦值，若不存在，也请说明理由【分析】（1）令y0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；（2）过M点作MHAB于点H，连接MA、MC，用

21、d表示出M的坐标，根据MAMC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取AB的中点T，过T作MTAB，以M为圆心，MA为半径作M，MT与直线yx交于点S，P为直线yx上异于P的任意一点，连接AP，交M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P为直线yx与M的切点时，APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可【解答】解：（1）连接BC，令y0，得yax212ax+32a0，解得，x4或8，A（4，0），B（8，0），令x0，得yax212ax+32a32a，C（0，32a），又ABC30，tanABC，解得，a；（2）过M点作MHAB于点H，连接MA、M

22、C，如图2，AHBH2，OH6，设M（6，d），MAMC，4+d236+（d32a）2，得2ad32a2+1，d16a+，当4时，有，即当a时，有；（3）P（t，t），点P在直线yx上，如图3，取AB的中点T，过T作MTAB，以M为圆心，MA为半径作M，MT与直线yx交于点S，P为直线yx上异于P的任意一点，连接AP，交M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当M与直线yx相切时，有APBAKBAPB，APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），S（6，6），PSM90SOT45，又MPMB，MS，MS+MTST6，解得，d2（负根舍去），经检验，d2是原方程的解，也

23、符合题意，M（6，2），MB2，AMB2APB，MTAB，MAMB，AMTBMTAMBAPB，sinAPBsinBMT5（2020汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线yax2+bx+c（a0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MNy轴交抛物线于点N1求线段MN的最大值；2当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当PMN的外接圆圆心Q在PMN的边上时，求点P的坐标【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a、b、c，便可得抛

24、物线的解析式；（2）1用待定系数法求出直线BC的解析式，再设M的横坐标为t，用t表示MN的距离，再根据二次函数的性质求得MN的最大值；2分三种情况：当PMN90时；当PNM90时；当MPN90时分别求出符合条件的P点坐标便可【解答】解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线yax2+bx+c（a0）中，得，解得，抛物线的解析式为：yx24x+3；（2）1设直线BC的解析式为ymx+n（m0），则，解得，直线BC的解析式为：yx+3，设M（t，t+3）（0t3），则N（t，t24t+3），MNt2+3t，当t时，MN的值最大，其最大值为；2PMN的外接圆圆心Q在PMN的边上，PMN为直角三角形，

25、由1知，当MN取最大值时，M（），N（），当PMN90时，PMx轴，则P点与M点的纵坐标相等，P点的纵坐标为，当y时，yx24x+3，解得，x，或x（舍去），P（）；当PNM90时，PNx轴，则P点与N点的纵坐标相等，P点的纵坐标为，当y时，yx24x+3，解得，x，或x（舍去），P（，）；当MPN90时，则MN为PMN的外接圆的直径，PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，Q（），半径为，过Q作QKx轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图，令y，得yx24x+3，解得，x（舍），或x，K（，），QK，即K点在以MN为直径的Q外，设抛物线yx24x+3的顶点为点L，则l（2，1），连接LK，如

26、图，则L到QK的距离为，LK，设Q点到LK的距离为h，则，直线LK下方的抛物线与Q没有公共点，抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，抛物线中NL部分（除N点外）与Q没有公共点，抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，抛物线K点右边部分与Q没有公共点，综上，Q与MN右边的抛物线没有交点，在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为（）或（）6（2021开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，2）（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点

27、D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，ABD的外接圆圆心为M（如图1），求点M的坐标及M的半径；过点B作M的切线交于点P（如图2），设Q为M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由【分析】（1）c2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：04b2，解得：b，即可求解；（2）SABD，则BN，sinBDH，即可求解；（3）ADB45，则AMB2ADB90，MAMB，MHAB，AHBHHM，点M的坐标为（，）M的半径为；PHHB5，则，故HMQQMP，则，即可求解【解答】解：（1）c2，将点B的坐标代

28、入抛物线表达式得：04b2，解得：b，抛物线的解析式为yx2x2；（2）当x5时，yx2x23，故D的坐标为（5，3），令y0，则x4（舍去）或1，故点A（1，0），如图，连接BD，作BNAD于N，A（1，0），B（4，0），C（0，2），AD3，BD，AB5，SABD，BN，sinBDN，BDN45；ADBBDN45；（3）如图，连接MA，MB，ADB45，AMB2ADB90，MAMB，MHAB，AHBHHM，点M的坐标为（，）M的半径为；如图，连接MQ，MB，过点B作M的切线交1于点P，MBP90，MBO45，PBH45，PHHB2.5，HMQQMP，HMQQMP，在点Q运动过程中的值不变

29、，其值为7（2020天桥区二模）如图，抛物线yax2+bx+c（a0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，2）为抛物线的顶点（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作E，交x轴于B、C两点，点M为E上一点射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tanMBC2时，求m的值；如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：ya（x2）22，将点A的坐标代入上式，即可求解；（2）分点P在x轴下方、点P在x轴上方两种情况，分别求解即可；

30、证明BN是OEM的中位线，故BNEM，而BD，而BDBNNDBD+BN，即可求解【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：ya（x2）22，将点A的坐标代入上式并解得：a，故抛物线的表达式为：y（x2）22x22x；（2）点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），当点P在x轴下方时，如图1，tanMBC2，故设直线BP的表达式为：y2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s2，故直线BP的表达式为：y2x+2，联立并解得：x2（舍去2），故m2；当点P在x轴上方时，同理可得：m42（舍去42）；故m2或4+2；存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是OEM的

31、中位线，故BNEM，而BD，在BND中，BDBNNDBD+BN，即0.5ND+0.5，故线段DN的长度最小值和最大值分别为0.5和+0.58（2020百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）以坐标原点O为圆心的圆的半径r，OCAB于点C（1）求抛物线的函数解析式（2）求证：直线AB与O相切（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交O于点M当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长【分析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：yax2+2，把点B的坐标代入即可求出a的值，即可得出抛物线解析式；（2）根据切线的判定，证明OC是O的半径即可；（3）由题意知，AC是以

32、M，O，A，C为顶点的平行四边形的边，利用平行四边形对边平行的性质，可得出直线OM的解析式，直线OM与抛物线的交点为P，即可求出PM的长【解答】解：（1）抛物线的顶点为A（0，2），可设抛物线的解析式为：yax2+2，抛物线经过点B（2，0），4a+20，解得：a，抛物线的解析式为：yx2+2；（2）证明：A（0，2），B（2，0），OAOB2，AB2，OCAB，OAOBABOC，222OC，解得：OC，O的半径r，OC是O的半径，直线AB与O相切；（3）点P在抛物线yx2+2上，可设P（x，x2+2），以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，可得：ACOM，CMOA2，点C是AB的中点

33、，C（1，1），M（1，1），设直线OM的解析式为ykx，将点M（1，1）代入，得：k1，直线OM的解析式为yx，点P在OM上，x2+2x，解得：x11+，x21，y11，y21+，P1（1+，1），P2（1，1+），如图，当点P位于P1位置时，OP1（1+）+，P1MOP1OM+，当点P位于P2位置时，同理可得：OP2，P2MOP2OM2；综上所述，PM的长是或29（2020西藏）在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若SPAC，

34、求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作M，过点P作PEx轴，垂足为D，交M于点E点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长【分析】（1）由二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，可得二次函数的解析式为y（x+2）（x4），由此即可解决问题（2）根据SPACSAOC+SOPCSAOP，构建方程即可解决问题（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE2根据AMMP，根据方程求出t，再利用中点坐标公式，求出点E的纵坐标即可解决问题【解答】解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（4，

35、0）两点，二次函数的解析式为y（x+2）（x4），即yx2x4（2）如图甲中，连接OP设P（m，m2m4）由题意，A（2，0），C（0，4），SPACSAOC+SOPCSAOP，24+4m2（m2+m+4），整理得，m2+2m150，解得m3或5（舍弃），P（3，）（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE2理由：如图乙中，连接AM，PM，EM，设M（1，t），Pm，（m+2）（m4），E（m，n）由题意A（2，0），AMPM，32+t2（m1）2+（m+2）（m4）t2，解得t1+（m+2）（m4），MEPM，PEAB，t，n2t（m+2）（m4）21+（m+2）（m4）（m+2）

36、（m4）2，DE2，另解：PDDEADDB，DE2，为定值点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE210（2020宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y1相切若存在，求出点E的坐标，并求E的半径；若不存在，说明理由【分析】（1）设二次函数表达式为：yax2，将（2，1）代入上式，即可求解；（2）PMN是等边三角形，则点P在y轴上且P

37、M4，故PF2，即可求解；（3）在RtFQE中，EN，EF，即可求解【解答】解：（1）二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：yax2，将（2，1）代入上式并解得：a，故二次函数表达式为：yx2；（2）将y1代入yx2并解得：x2，故点M、N的坐标分别为（2，1）、（2，1），则MN4，PMN是等边三角形，点P在y轴上且PM4，PF2；点F（0，1），点P的坐标为（0，1+2）或（0，12）；（3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），故点E在FN的中垂线上点E是FN的中垂线与yx2图象的交点，y12，则点E（1，），EN，同理EF，点E到直线y

38、1的距离为|（1）|，故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y1相切11（2021嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆请判断P是不是二次函数yx24x+3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数yx24x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求POA周长的最小值；（3）已知二次函数yax24x+4（0a1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2若CPD120，求a的值【分析】（1）先求出二次函数yx24x+3图象与x轴

39、、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断（2）由题意可得，二次函数yx24x+4图象的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以POA周长PO+PA+OAPO+PH+2OH+2，即可得出最小值（3）连接CD，PA，设二次函数yax24x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且lCD，设PEm，由CPD120，可得PAPC2m，CEm，PF4m，因为二次函数yax24x+4图象的对称轴l为，AB，所以AFBF，在RtPAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值【解答】解：（1）对于二次函数y

40、x24x+3，当x0时，y3；当y0时，解得x1或x3，二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），点P（2，2），PAPBPC，P是二次函数yx24x+3的坐标圆（2）如图1，连接PH，二次函数yx24x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，A（2，0），与y轴的交点H（0，4），POA周长PO+PA+OAPO+PH+2OH+26，POA周长的最小值为6（3）如图2，连接CD，PA，设二次函数yax24x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且lCD，AB，AFBF，CPD120，PCPD，C（0，4），PCDPDC

41、30，设PEm，则PAPC2m，CEm，PF4m，二次函数yax24x+4图象的对称轴l为，即，在RtPAF中，PA2PF2+AF2，即，化简，得，解得，12（2021常州二模）如图1：抛物线yx2+bx+c过点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C动点E（m，0）（0m3），过点E作直线lx轴，交抛物线于点M（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若ANOM，求m的值（3）如图2当m1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F在x轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得FQE90，求点P纵坐标的取值范围【分析】

42、（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可得C点坐标；（2）由抛物线的解析式可得M（m，m2+2m+3），利用待定系数法求出直线BM的解析式，可得点N的坐标，根据平行线的性质可得NAOMOE，根据等角的正切值相等即可求解；（3）由题意得点Q与点C重合时，点P纵坐标最小，设点P（1，a），则点F（1，2a），根据勾股定理求出a的值，即可得点P纵坐标的取值范围【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为yx2+2x+3，当x0时，y3，故点C（0，3）；（2）点E（m，0）（0m3），过点E作直线lx轴，交抛物线于点M，M（m，m2+2m+3），点B（3，0）

43、，直线BM的表达式为y（m1）x（m1）,当x0时，3m+3，点N（0，3m+3），ANOM，NAOMOE，tanNAOtanMOE，即，解得：m1，m21（舍去），m的值为；（3）由题意得点Q与点C重合时，点P纵坐标最小，设点P（1，a），则点F（1，2a），点A（1，0），点C（0，3），CF2+CE2EF2，即1+（2a3）2+1+32(2a)2，解得：a，点A（1，0），点C（0，3），AC:y3x+3,设Q（a，3a+3）（1a0），过点Q作QGx轴于G，过点F作FHQG于H，连接QF，QE，FQE90，FQH+EQG90，FQH+HFQ90，EQGHFQ，又HQGE，HFQGQE，

44、HQ，FEHQ+QG+3a+3，令1+at，（0t1），at1，FE+3tt+t，当t1时，FE，t+t2，t+t，yF最小值是，yP最小值是，当yP时，P与线段AC有一个交点，当yP时，P与线段AC有两个交点，yP时，P与线段AC有一个交点，0yP时，P与线段AC没有交点，点P纵坐标的取值范围为yp或0yP13（2021乐山模拟）如图，抛物线yax2+bx+2与直线AB相交于A（1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作O，D为O上一动点，求

45、DA+DB的最小值【分析】（1）把A（1，0）、B（3，2）代入yax2+bx+2，列方程组求a、b的值；（2）作AEAB交y轴于点E，连结CE，作BFx轴于点F，证明ABC90及BCFEAO，从而证明四边形ABCE是矩形且求出点E的坐标；（3）在（2）的基础上，作FLBC于点L，证明FCLBCF及DCLBCD，得到LDDB，再根据DA+LDAL，求出AL的长即为所求的最小值【解答】解：（1）把A（1，0）、B（3，2）代入yax2+bx+2，得，解得，抛物线的解析式为yx2+x+2（2）存在如图1，作AEAB交y轴于点E，连结CE；作BFx轴于点F，则F（3，0）当y0时，由x2+x+20，

46、得x11，x24，C（4，0），CFAO1，AF3（1）4；又BF2，BFCAFB90，BFCAFB，CBFBAF，ABCCBF+ABFBAF+ABF90，BCAE，BCF90BACEAO，BFCEOA90，BCFEAO（ASA），BCEA，四边形ABCE是矩形；OEFB2，E（0，2）（3）如图2，作FLBC于点L，连结AL、CD.由（2）得BFC90，BF2，CF1，CFCD，CBFLCBFC90，FCLBCF（公共角），FCLBCF，DCLBCD（公共角），DCLBCD，LDDB；DA+LDAL，当DA+LDAL，即点D落在线段AL上时，DA+DBDA+LDAL最小CLCF，BL，BL2

47、（）2，又AB222+4220，AL，DA+DB的最小值为14（2021河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+3的对称轴是直线x2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（）求抛物线的解析式及顶点坐标；（）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MNx轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CMCD时，求点M的坐标；（）以原点O为圆心，AO长为半径作O，点P为O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值【分析】（）由x2，解得b1，即可求解；（）当线段CMCD时，则点C在MD的中垂线上，即yC（yM+yD），即可求解；（）在OC上取点G，使，即，

48、则POGCOP，故2PC+3PB2（PB+PC）2（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，进而求解【解答】解：（）对称轴是直线x2，故x2，解得b1，故抛物线的表达式为yx2+x+3（x2）2+4，抛物线的顶点为（2，4）；（）对于yx2+x+3，令yx2+x+30，解得x6或2，令x0，则y3，故点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，3），设直线BC的表达式为ymx+n，则，解得，故直线BC的表达式为yx+3，设点M的坐标为（x，x2+x+3），则点D的坐标为（x，x+3），当线段CMCD时，则点C在MD的中垂线上，即yC（yM+yD），

49、即3（x2+x+3x+3），解得x0（舍去）或2，故点M的坐标为（2，4）；（）在OC上取点G，使，即，则OG，则点G（0，），GOPCOP，POGCOP，故PGPC，则2PC+3PB3（PB+PC）3（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，则2PC+3PB的最小值3BG3215（2021长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON，若OBNO

50、NA，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C的直线l：ykx+m（k0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使CP1DCP2D90，求k的取值范围【分析】（1）由点C的路径长，即可求解；（2）证明ONAOBN，则OAOBON23，即，得到c3a，而a+b+c1，tanABM，得到（14a）24a3a13，即可求解；（3）由点D、C的坐标得到kt4，若在x轴上有且仅有一点P，使CPD90，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，得到（1）2+（1）2（）2，求出t3+，进而求解【解答】解：（1）点C的路径长；（2）

51、ONAOBN，AONNOB，ONAOBN，即OAOBON23，即，故c3a，a+b+c1，在ABM中，tanABM，b24ac13，即（14a）24a3a13，解得a1（舍去）或3，抛物线的表达式为y3x211x+9；（3）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为：yx25x+5；设点D（t，n），nt25t+5，而点C（1，1），将点D、C的坐标代入函数表达式得，则kt4，若在x轴上有且仅有一点P，使CPD90，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，则点H（，），则HPHC，即（1）2+（1）2（）2，化简得：3t218t+190，解得：t3+（不合题意的值已舍去），kt41若在x轴上存在P

52、1、P2，使CP1DCP2D90，则以DC为直径的圆H和x轴相交，0k16（2021秋上城区校级期中）如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，M是ABC的外接圆若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；（2）求M的半径和圆心M的坐标；（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与ABC相似若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由顶点坐标公式直接求出b、c的值，再令y0、x0即可求得A、B、C三点的坐标；（2）根据三角形外心为三边中垂线交点即

53、可求得M的圆心M和半径；（3）先算出AB、AC，再求出直线BC解析式，设出Q的坐标，表示出BQ，分两种情况：则ACBPQB；ACBQPB再根据相似三角形的性质求解即可【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3，令y0，则x2+2x+30，解得x1或3，令x0，y3，A（1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）如图1，连接MB，MC，三角形外心为三边中垂线交点，设M（1，m），MBMC，解得m1，M（1，1），MB，M的半径为，圆心M的坐标为（1，1）；（3）由（1）知，AB3（1）4，OC3，BC3，设直线BC：ykx+3，将

54、B（3，0）代入得03k+3，解得k1，直线BC：yx+3，设Q（t，t+3），则BQ（t3），P（7，0），BP4，B、Q、P三点构成的三角形与ABC相似，ABCPBQ，或，当时，BQ23，t33，解得t6；当时，BQ1，t3，解得t，点Q的坐标为（6，3）或（，）17（2021秋西湖区校级期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；（2）已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A

55、，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；（3）点P是“蛋圆”外一点，满足BPC60，当BP最大时，直接写出点P的坐标【分析】（1）利用交点式将已知点代入求出函数解析式即可；证明ACOCBO，得出，则可求出答案（2）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，EF与x轴交于点H，连接EM由HM2+EH2EM2，点F在二次函数yx22x3的图象上，可得方程组，以及对称性求解（3）根据BPC60保持不变，点P在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可【解答】解：（1）半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2A（1，0），B（3，0），设抛物线为ya（x+1）（x3），抛物线

56、过D（0，3），3a（0+1）（03），解得a1，y（x+1）（x3），即yx22x3（1x3）；连接AC，BC，AB为半圆的直径，ACB90，COAB，ACO+OCBOCB+OBC90，ACOOBC，ACOCBO，CO2AOBO3，CO，CDCO+OD3+；（2）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设E（m，n），则点F的坐标为（m，n）EF与x轴交于点H，连接EMHM2+EH2EM2，（m1）2+n24，；点F在二次函数yx22x3的图象上，m22m3n，；解由组成的方程组得：；（n0舍去）由对称性可得：；E1（1+，1），E2（1，1），（3）如图4，BPC60保持不变，因此点P在一圆弧上运

57、动此圆是以K为圆心（K在BC的垂直平分线上，且BKC120），BK为半径当BP为直径时，BP最大在RtPCR中可求得PR1，RC所以点P的坐标为（1，2）18（2021雨花区二模）如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2MNMB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由【分析】（1）先根据圆的性质得出A（2，0），C（0，2），D（2，0

58、），E（0，2），设ya（x+1）（x2），将C（0，2）代入，即可求得抛物线解析式（2）如图2，过点C作CHBP于H，根据MC2MNMB，CMNBMC，可得MCNMBC，进而可求得CHBH，再利用三角函数求得CM，AM，过点M作MGOA于G，即可求得答案（3）设抛物线与O的交点坐标为（t，t2+t+2），根据O的半径为2，可得方程（t0）2+（t2+t+20）222，即可得出H（，），F（，），进而得出H、F关于点O对称，故FHCE4，且OCOEOFOH，即可判断四边形CFEH是矩形【解答】解：（1）如图1，圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，A（2，0），C（0，2

59、），D（2，0），E（0，2），B为OD中点，B（1，0），抛物线经过点A（2，0），B（1，0），C（0，2），设ya（x+1）（x2），将C（0，2）代入，得：2a（0+1）（02），解得：a1，y（x+1）（x2）x2+x+2，抛物线解析式为yx2+x+2.（2）如图2，过点C作CHBP于H，OB1，OC2，OA2，AOCBOC90，BC，AC2，MC2MNMB，CMNBMC，MCNMBC，MCNMBC，OAOC2，AOC90，MCN45，MBC45，BHC90，CHBHBCcosMBCcos45，BCHMBC45，BCO+HCNMCH+HCN，BCOMCH，cosBCOcosMCH，即

60、，CM，AMACCM2，过点M作MGOA于G，则AGM90，MAG45，AGMGAMsinMAGsin45，OGOAAG2，M（，）（3）四边形CFEH是矩形理由如下：设抛物线与O的交点坐标为（t，t2+t+2），O的半径为2，（t0）2+（t2+t+20）222，化简，得：t42t32t2+4t0，t0，t32t22t+40，（t2）（t22）0，解得：t12（舍去），t2，t3，H（，），F（，），H、F关于点O对称，FHCE4，且OCOEOFOH，四边形CFEH是矩形19（2020东海县二模）如图，AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：yx2+x上，点A的坐标为（4，m），点B的

61、坐标为（n，2）（点A在点B的左侧）（1）则m4，n1（2）将AOB绕点O逆时针旋转90得到AOB，抛物线C2：yax2+bx+4经过A、B两点，延长OB交抛物线C2于点C，连接AC设OAC的外接圆为M求圆心M的坐标；试直接写出OAC的外接圆M与抛物线C2的交点坐标（A、C除外）【分析】（1）把x4代入抛物线C1解析式求得y即得到点A坐标；把y2代入抛物线C1解析式，解方程并判断大于4的解为点B横坐标（2）根据旋转90的性质特点可求点A、B坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，求出直线OC的解析式，构建方程组确定点C的坐标，求出线段OA，线

62、段AC的垂直平分线的解析式，构建方程组解决问题即可设M与抛物线C2的交点为P（m，m23m+4）根据PMOM，构建方程求解即可【解答】解：（1）当x4时，y（4）2+（4）4，点A坐标为（4，4），当y2时，x2+x2，解得：x11，x26，点A在点B的左侧，点B坐标为（1，2），m4，n1故答案为4，1（2）如图1，过点B作BEx轴于点E，过点B作BGx轴于点GBEOOGB90，OE1，BE2，将AOB绕点O逆时针旋转90得到AOB，OBOB，BOB90，BOE+BOGBOE+OBE90，BOGOBE，在BOG与OBE中，BOGOBE（AAS），OGBE2，BGOE1，点B在第四象限，B（2

63、，1），同理可求得：A（4，4），OAOA4，抛物线F2：yax2+bx+4经过点A、B，解得：，抛物线F2解析式为：yx23x+4，直线OB的解析式为yx，由，解得或，点C（8，4），A（4，4），ACx轴，线段OA的垂直平分线的解析式为yx4，线段AC的垂直平分线为x6，直线yx4与x6的交点为（6，2），OAC的外接圆的圆心M的坐标为（6，2）设M与抛物线C2的交点为P（m，m23m+4）则有（m6）2+（m23m+2）262+22，解得m0或12或4或8，A、C除外，P（0，4），或（12，4）20（2022绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B

64、（2m，3）、C（m，m+3）其中，m0（1）当m1时该二次函数的图象的对称轴是直线 x1求该二次函数的表达式（2）当|m|x|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标【分析】（1）根据所给的点可知A、B两点关于抛物线对称轴对称，利用对称性可求对称轴；利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）用的待定系数法求函数的解析式y（xm）2+m+3，再分两种情况讨论：当m0时，mxm，当xm时，函数有最大值m+3；当m0时，mxm，当xm时，函数有最大值；分别求m的值即可求解；（3）先判断ABC是等腰直角三角形，且AC

65、B90，则过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径，再分两种情况讨论：当m0时，MNAM|m|3，可求C点坐标；当m0时，CMAM3|m|，可求C点坐标【解答】解：（1）A（0，3）、B（2m，3），A、B两点关于抛物线对称轴对称，m1，抛物线的对称轴为直线x1，故答案为：x1；设yax2+bx+c（a0），m1，B（2，3）、C（1，4），将点A、B、C代入yax2+bx+c，解得，yx2+2x+3；（2）A（0，3）、B（2m，3）两点关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线xm，设抛物线的解析式为ya（xm）2+m+3，将点A（0，3）代入，am2+m+33，a，y（xm

66、）2+m+3，当m0时，mxm，当xm时，函数有最大值m+3，m+34，m1；当m0时，mxm，当xm时，函数有最大值，4（mm）2+m+3，解得m；综上所述：m的值为1或；（3）A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3），AB|2m|，AC|m|，BC|m|，ABC是等腰直角三角形，且ACB90，过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径，如图1，当m0时，M与x轴相切，MNAM|m|3，m3，C（3，6）；如图2，当m0时，M与x轴相切，CMAM3|m|，m3，C（3，0）；综上所述：该二次函数的图象的顶点坐标为（3，6）或（3，0）21（2022炎陵县一模）抛物线：yx2+

67、bx+c与y轴的交点C（0，3），与x轴的交点分别为E、G两点，对称轴方程为x1（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一动点若PDPF，求点P的坐标（3）如图1，如果一个圆经过点O、点G、点C三点，并交于抛物线对称轴右侧x轴的上方于点H，求OHG的度数；（4）如图2，将抛物线向下平移2个单位长度得到新抛物线L，点B是顶点直线ykxk+4（k0）与抛物线L交于点M、N与对称轴交于点G，若BMN的面积等于2，求k的值【分析】（1）将C（0，3）代入yx2+bx+c求出c3，再由x1求出b，即可求解析式；（2）设P点

68、坐标为（0，a），证明CDPOPF，根据相似三角形的性质求出a的值，即可求解；（3）证明COG为等腰直角三角形，则OCG45，由题意得点O、点G、点C、点H四点共圆，根据圆周角定理即可求解；（4）根据平移的性质得抛物线L的解析式为yx2+2x+32x2+2x+1（x1）2+2，则B点坐标为（1，2），由kxk+4x2+2x+1，即x2+（k2）x+3k0，设两个交点为N（x1，y1），M（x2，y2），则x1+x22k，x1x23k，根据SBMNSBGNSBGM可得方程，解方程即可得k的值【解答】解：（1）将C（0，3）代入yx2+bx+c可得c3，对称轴是直线x1，x，解得b2，二次函数解析

69、式为yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3与y轴的交点C（0，3），对称轴方程为x1CDy轴，D（2，3），对称轴与x轴相较于点F，点F的坐标为（1，0），设P点坐标为（0，a），CDy轴，OFy轴，DCFPOF90OFP+OPF90，PDPF，DPF90，CPD+OPF90，OFPCPD，CDPOPF，解得：a11，a22，P点的坐标为（0，1）或（0，2）；（3）如图：连接CG，yx2+2x+3，令y0，则x2+2x+30，解得x3或x1，G（3，0），E（1，0），OGOC，OCOG，COG为等腰直角三角形，OCG45，点O、点G、点C、点H四点共圆，OHGOCG45；（4）将抛物线向

70、下平移2个单位长度得到抛物线L，抛物线L的解析式为yx2+2x+32x2+2x+1（x1）2+2，B点坐标为（1，2），联立，即kxk+4x2+2x+1，x2+（k2）x+3k0，设两个交点为N（x1，y1），M（x2，y2），则x1+x22k，x1x23k，SBMNSBGNSBGMBGBG2，把x1代入ykxk+4，得；y4，G（1，4），B（1，2），BG422，解得：k4，k0，k422（2022杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y+bx+c与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，3），在x轴上有一动点E（m，0）（0m4），过点E作x轴的垂线交线段AB于点

71、N，交抛物线于点P，过P作PMAB，垂足为点M（1）求这条抛物线的表达式；（2）设PMN的周长为C1，AEN的周长为C2，如果，求点P的坐标；（3）如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）先证明PMNAEN，根据相似三角形性质可得出：利用待定系数法可得直线AB的解析式为设点P（m，m2+m+3）（0m4），则PNm2+3mAN（4m），建立方程求解即可得出答案；（3）设OB的中点为点Q，则点Q的坐标，过点N作NKy轴于点K，则NKm，KQm+3m+，运用勾股定理可得QN，根据两圆内切建立方程求解即可得出答案【解答】解

72、，（1）抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C（0，3），抛物线的表达式为yx2+x+3；（2）如图1，PMAB，PEx轴，PMNPEA90，又PNMANE，PMNAEN即又，设直线AB：ykx+b，又直线AB经过点A（4，0），点B（0，3），点P在抛物线yx2+x+3上，设点P（m，m2+m+3）（0m4），点N在直线yx+3上，设点N（m，m+3）PNm2+m+3（m+3）m2+3m又，解得：m12，m24（不合题意，舍去）点P的坐标是（3）如图2，设OB的中点为点Q，则点Q的坐标，又点，过点N作NKy轴于点K，则NKm，KQm+3m+，在RtNQK中，QN，当N与Q内切时，（4m），解之得：当N与Q内切时，