专题11常见函数模型中的应用（原卷版）.docx

1、专题11 常见函数模型的应用一、考情分析有一些常见的函数，如等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.二、解题秘籍(一)常见对数型函数模型1.函数在上是增函数，在是减函数，在处取得最大值0，2.的图象与直线在相切，以直线为切线的函数有：，.3.与对数型函数有关的常见不等式有：，.4.利用可得到，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.【例1】（2024届四川省江油中学高三上学期9月月考）已知函数.(1)当时，求函数在区间上的最大值；

2、(2)若为函数的极值点，求证：【解析】（1）定义域为，则，当时，所以单调递增区间为，单调递减区间为；若，即时，在上单调递减，故；若，即时，在上单调递增，在上单调递减，故；若，即时，则在上单调递增，故.所以，；（2）（），则，因为是函数的极值点，所以，即，要证，只需证，即证：，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减；所以，即：，所以，所以，当时，因为，所以.当时，因为，所以，所以，要证，只需证，即证对任意的恒成立，令（），则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即当时，成立.综上：原不等式成立.(二)常见指数型函数模型1.函数在上是减函数，在上是增函数，在处取得最小值0，2.与对数型函数有关的

3、常见不等式有：，.【例2】（2024届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9月月考）已知函数(1)若函数的图象与直线相切，求实数的值；(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围【解析】（1）设直线与函数的图象相切于点，因为,所以，由可得，易知.由得，代入可得，即，即，解得.故.（2）令，可得，由题意可得只有一个根.易知不是方程的根，所以，所以由，可得.设，则与的图象只有一个交点.，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.设，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.所以.所以.又，时，时，画出函数的图象如图所示：由图可知，若与的图象只有一个交点，则.所以实数的取值范围是.(三)

4、 常见三角函数模型1.函数在上是减函数，函数在上是增函数 ，2.与三角函数有关的常见不等式有：，. 【例3】（2023届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数(1)记函数的导函数是证明：当时，；(2)设函数，其中若0为函数存在非负的极小值，求a的取值范围【解析】 (1)令，则，恒成立，即在R上为增函数，(2)由（1）知在R上为增函数当时，有，即；当时，有，即当时，由，解得，且在R上单调递减当时，当时，有；当时，有；当时，有，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数满足0为函数的极小值点； 当时，时，有恒成立，故在R上为减函数函数不存在极小值点，不符合题意；当时，当时，有；当时，有；当时，有，

5、函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数0为函数的极大值点，不符合题意综上所述，若0为函数的极小值点，则a的取值范围为(四) 或.在上是增函数，在上是减函数，时取得最大值，利用性质解题易错点是该在上是减函数，但该函数在上没有零点，因为时.【例4】（2024届海南省定安县高三上学期开学考试）已知函数.(1)若是的极值点，求的值；(2)若a=1，讨论函数的单调性；(3)若恒成立，求a的取值范围；【解析】（1）由，得，因为是的极值点，所以，即，所以，经检验符合题意.（2）若a=1，.当，即时，所以在上单调递减；当时，；在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，（3）的定义域为，若恒成立，则恒

6、成立，即恒成立，令，只需，又，令得，时，则单调递增；时，则单调递减；所以，解得：； (五) 或讨论的性质要注意，该在和单调递减，在单调递增【例5】设函数，其中是自然对数的底数，.(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围.【解析】 (1)解：因为在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，令，当时，当时，所以，故，即.(2)当时, ，当时，当时，令，分离参数得，由（1）得，在和单调递减，在单调递增，可得图像为：所以，即,即.三、典例展示【例1】（2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟）已知函数.(1)当时，求的单调区间;(2)若,当时,证明:.

7、【解析】（1）的定义域为,当时,所以,当时,;当时,所以的单调递增区间为,单调递减区间为.（2）由,得,所以,则,要证,只需证,即证,需证.令,设,则,设,则,所以在上单调递增,则,所以,所以在上单调递增,由,得,则,所以,所以需证,即证.令，则,即证,设,则,所以在上单调递减,则,所以,即成立,故.【例2】（2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知函数.(1)是的导函数，求的最小值；(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）；(3)若恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意，所以，所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，所以当时取得最小值为.（2）要证明：对任意

8、正整数，都有，即证明，即证明，由（1）得，即令，所以， 所以，所以对任意正整数，都有.（3）若不等式恒成立，此时，则恒成立，令，令，所以在区间上单调递增，所以，当时等号成立，所以，当时等号成立，所以.【例3】（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知函数(1)当时，讨论在区间上的单调性；(2)当时，求a的取值范围【解析】（1），当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减；（2）设，；设，则，令，则，当，当，故函数在单调递增，在单调递减，所以；令，可得，故在单调递增时，；当时，故在上单调递增.当时，且当趋向正无穷时，趋向正无穷，若，则，函数在上单调递增，因此，符合条件；若，则存在，使

9、得，即，当时，则在上单调递减，此时，不符合条件综上，实数的取值范围是【例4】已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.【解析】 (1)当时，函数，可得，令，可得，所以函数单调递增，因为，所以，当时，单调递减；当时，单调递增，即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)由函数，可得，令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，可得，所以，当时，此时当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数的极小值为，无极大值；当时，又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，因为当时，令，可得，又因为，所以，即，所以，所以，因为在上单调递减，所以在上有唯一的

10、零点，且，所以当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.【例5】已知函数(1)当时，若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)设为的两个不同零点，证明：【解析】 (1)当时，因为在上恒成立，所以在上恒成立，令，即在上恒成立，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.故，所以实数的取值范围是(2)证明：要证明，即证，只需证和由（1）知，当，时，即，所以要证，即证因为为的两个不同零点，不妨设，所以，则，两边同时乘以，可得，即令，则即证，即证，即证令函数，则，所以在上单调递增，所以所以故四、跟踪检测1（2023届陕西省咸阳市

11、武功县高三上学期11月期中）已知函数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；(3)若实数满足且，证明：.2（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）已知函数，且(1)求实数a的取值范围；(2)已知，证明：3（2024届海南省琼中县高三上学期9月高考全真模拟）已知函数，且在处取得极值(1)求a；(2)求证：4（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考9月）已知函数，.(1)求实数的值；(2)证明：时，.5（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）已知函数.(1)讨论函数的极值点个数；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.6（2024届湖南省

12、长沙市长郡中学高三上学期月考）已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，7（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，求实数a的取值范围.8（2024届江苏省镇江市高三上学期考试）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.9.已知函数，(1)若，求函数的极值；(2)设，当时，（是函数的导数），求a的取值范围10设函数，(1)若对任意，都有，求a的取值范围；(2)设，当时，判断，是否能构成等差数列，并说明理由11已知函数(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；(2)设是两个不相等的实数，且求证：12已知函数.(1)若在单调，求的取值范围.(2)若的图像恒在轴上方，求的取值范围.13已知函数.(1)若函数，讨论的单调性.(2)若函数，证明：.14已知函数(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围15（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期8月诊断）已知函数(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则16已知函数，.(1)试讨论f（x）的单调性；(2)若对任意， 均有，求a的取值范围；(3)求证: .