专题11 反比例函数及其应用（10个高频考点）（强化训练）（全国版）（解析版）.docx

1、专题11 反比例函数及其应用（10个高频考点）（强化训练）【考点1 反比例函数的定义】1（2022广西钦州校考一模）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（）ABCD【答案】C【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断【详解】解：根据题意有：vts，t=sv，故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，且根据实际意义v0、t0，其图像在第一象限，故C正确故选：C【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用

2、实际意义确定其所在的象限2（2022重庆合川统考中考模拟）下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（）A正方形的面积S与边长a的关系B正方形的周长l与边长a的关系C矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系D矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系【答案】D【详解】A、根据题意，得S=a2，所以正方形的面积S与边长a的关系是二次函数关系；故本选项错误；B、根据题意，得l=4a，所以正方形的周长l与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；C、根据题意，得S=20a，所以正方形的面积S与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；D、根据题意，得b=40a，所以正方形的面积S与边长a的关系是反

3、比例函数关系；故本选项正确故选D3（2022秋湖南邵阳九年级统考期末）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的高为L与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系为（ ）A正比例函数B反比例函数C一次函数D二次函数【答案】B【详解】试题分析：根据题意，由等量关系“矩形的面积=底面周长母线长”列出函数表达式再判断它们的关系则可由题意得2rL=4，则L=2r，所以这个圆柱的母线长L和底面半径r之间的函数关系是反比例函数故选B考点：本题考查了反比例函数的定义点评：熟记圆柱侧面积公式，列式整理出l、r的函数解析式是解题的关键4（2022湖北武汉统考一模）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（）A

4、y=x2By=2x+1Cy=2xDy2x【答案】C【分析】根据反比例函数的一般形式即可判断【详解】解：A、不符合反比例函数的一般形式y=kx（k0）的形式，选项错误；B、与x+1成反比例函数，不符合反比例函数的一般形式y=kx（k0）的形式，选项错误；C、是反比例函数，符合一般形式，正确；D、不符合反比例函数的一般形式y=kx（k0）的形式，选项错误故选：C【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般y=kx（k0）转化为y=kx-1（k0）的形式5（2022四川广元统考一模）如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是()A两条直角边成正比例B两条直角边成反比

5、例C一条直角边与斜边成正比例D一条直角边与斜边成反比例【答案】B【详解】解：设该直角三角形的两直角边是a、b，面积为S则S=12abS为定值，ab=2S是定值，则a与b成反比例关系，即两条直角边成反比例故选B【考点2 反比例函数的图象】6（2022河北模拟预测）如图，若抛物线y=x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y=kxx0的图象是（）A BCD【答案】D【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出抛物线y=x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点的个数，从而得到k=4，即可得出答案【详解】解对于y=x2+3，当x=0时，y=3，

6、当y=0时，y=3，抛物线y=x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点为1,1,1,10,1,0,2，共4个，k=4，反比例函数解析式为y=4xx0，当x=1时，y=4，反比例函数图象过点1,4故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是求出k的值7（2022江苏淮安统考一模）定义运算：abab(b0)ab(b0)2x(x0在平面直角坐标系中的图象，则y轴可能是（）A直线mB直线nC直线pD直线q【答案】D【分析】根据反比例函数的增减性和所在的象限进行求解即可【详解】解：反比例函数解析式为y=6xx0，反比例函数图象在第一象限，且y随x增大而减小，y轴只

7、可能是直线q，故选D【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键9（2022河南模拟预测）已知点A（1，m），B（1，m），C（2，n）（nm）在同一个函数图象上，这个函数可能是（）Ay=xBy=2xCy=x2Dy=x2【答案】D【分析】由点A(-1，m)，B(1,m)的坐标特点，则知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B两项；再根据B(1，m)，C(2，n)的特点，结合二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a1，而n0时，y=x2随x的增大而增大，故该选项错误，不符合题意；D、21，n0时，y=x2随x的增大而减小，故该选项正确，符合题意故选：D【点睛

8、】本题考查了正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，解题的关键熟练掌握函数的性质，采用排除法作判断10（2022福建厦门统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)在双曲线y=kx(k0)上，且0xAxB，xDxC0)，且0xAxB,xDxC0，则图形如下: 至少满足B,C两个条件，xA+xC=0，xB+xD=0点A，B，C, D分别关于原点对称，则AC,BD必过原点，OD= OB, OA = OC,四边形ABCD是平行四边形,过A作AFy轴于点F，过D作DEx轴于点E,xD+yA=0OE=OF，DEO=AFO=90DE=

9、AF, OE=OFDEO=AFODE=AF RtDEORtAFO(SAS)OD=AO=OB,O为BD的中点OAD=ODA,AOB=OBAADB+DBA+OAB+OAD=180DAB=OAD+OAB=12180=90四边形ABCD是矩形故答案为：【点睛】本题考查反比例函数图像性质，平行四边形的判定、全等三角形，熟练掌握性质和判定是关键【考点3 反比例函数图象的对称性】11（2022陕西西安陕西师大附中校考三模）若点P(m+1,7)与点Q(4,n)是正比例函数y=ax(a0)图象与反比例西数y=kx(k0)图象的两个不同的交点，则m+n=_【答案】12【分析】根据正比例函数与反比例函数图象都关于原

10、点对称，则交点也关于原点对称，进而求得m,n的值，即可求解【详解】解：点P(m+1,7)与点Q(4,n)是正比例函数y=ax(a0)图象与反比例西数y=kx(k0)图象的两个不同的交点，m+1=4,n=7，解得m=5,n=7，m+n=12，故答案为：12【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键12（2022湖南邵阳统考一模）如图所示，一次函数y=kxk0的图象与反比例函数y=4x的图象交于A，B两点，过点B作BCy轴于点C，连接AC，则ABC的面积为_【答案】4【分析】根据反比例函数k的几何意义求得SOBC=2,根据一次函数y=k

11、xk0的图象与反比例函数y=4x的图象均关于原点中心对称，可得AO=BO, 即可求得ABC的面积【详解】解：根据一次函数y=kxk0)的图像C1上一点，直线ABx轴，交反比例函数y=3x（x0）的图像C2于点B，直线ACy轴，交C2于点C，直线CDx轴，交C1于点D(1)若点A（1，1），分别求线段AB和CD的长度；(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段AB和CD的数量关系，并说明理由【答案】(1)AB=2，CD=23(2)AB=3CD，理由见解析【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（13，3），即可求得AB和CD的长度；（2）根据题意得到A（a，1a），B（3a，1a

12、）C（a，3a），D（3a，3a），进一步求得AB=2a，CD=23a即可求得ABCD【详解】（1）解：如图，AB/x轴，A（1，1），B在反比例函数y=3x(x0)的图象上，B（3，1）同理可求：C（1，3），D（13，3）AB=2，CD=23（2）解：AB=3CD证明：如图，A（a，b），A在反比例函数y=1x(x0)的图象上，A（a，1a）AB/x轴，B在反比例函数y=3x(x0)的图象上，B（3a，1a）同理可求：C（a，3a），D（a3，3a）AB=2a，CD=23a3CD=2aAB=3CD【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的坐标是解题的关键15（2

13、022江苏泰州统考二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y=3x的函数图像：(1)如图1，点A是该函数图像第一象限上的点，且横坐标为a（a0），延长AO使得AO=AO，判断点A是否为该函数图像第三象限上的点，并说明理由；(2)如图2，点B、C均为该函数图像第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D（不写作图过程，保留作图痕迹）【答案】(1)点A是该函数图像第三象限上的点，理由见解析(2)见解析【分析】（1）过点A作AMx轴于点M，过点A作ANx轴于点N，先求出点A的坐标，再证明AOMAON(AAS)，得出A(a,3a)，即可得出结论；

14、（2）连接BO、CO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点B、点C，连接BC，连接DO并延长，交BC于点D，即可得到点点D【详解】（1）点A是该函数图像第三象限上的点，理由如下：过点A作AMx轴于点M，过点A作ANx轴于点N，点A是反比例函数y=3x的图像第一象限上的点，且横坐标为a（a0），y=3a，即A(a,3a)，OM=a,AM=3a，AOM=AON,AMO=ANO,OA=OA，AOMAON(AAS)，OM=ON=a,AM=AN=3a，A(a,3a)，a(3a)=3，点A是该函数图像第三象限上的点；（2）连接BO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点B，连接CO并延长，交反比例函数第三象

15、限的图像于点C，连接BC，连接DO并延长，交BC于点D，此时，点D即为所求【点睛】本题考查了反比例函数的图像上的点的坐标特征，关于原点对称点的特点即作图，掌握知识点是解题的关键【考点4 反比例函数的性质】16（2022河南新乡校考一模）探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y=axx2b（a，b为常数）的图像部分过程，请你按要求完成下列问题：(1)列表：下表列出了y与x的几组对应值x-5-4-3-2-10134567y2713251223-1-221231225根据表中的数据求出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；(

16、2)描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质_(3)已知函数y=x-1的图像如图所示，结合你所画出的函数图像，请直接写出方程axx2b=x1的解【答案】(1)y=xx21；自变量x的取值范围是x2(2)作图见解析；当x2时，y随x的增大而减小(3)x1=0，x2=3【分析】（1）把表格中两组x和y的数据代入函数解析式得到二元一次方程组并求解即可求出y与x的函数解析式；根据分母不为0即可求出自变量x的取值范围（2）根据表格中数据描点，再用平滑曲线连接即可；观察函数图像即可得到该函数的一条性质（3）观察两个函数图像的交点即可得到方程的解（1）解：把x=0，y=-

17、1和x=1，y=-2这两组数据代入函数解析式得1=a002b,2=a112b解得a=1,b=1y与x的函数解析式为y=xx21根据分母不为0得x20解得x2自变量x的取值范围是x2（2）解：作图如下从图像上可知，当x2时，y随x的增大而减小故答案为：当x2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）（3）解：从图像上可知y=axx2b与y=x1的图像的交点是0,1和3,2所以方程axx2b=x1的解是x1=0，x2=3【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，求自变量的取值范围，画函数图像，函数图像交点与方程关系，正确应用数形结合思想是解题关键17（2022重庆校联考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中

18、，已知反比例函数y=kxk0中，y随x的增大而增大，A=1+k1+k+2，（1）化简A；（2）点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为2，求A的值【答案】（1）3- k2；（2）-1【分析】（1）根据反比例函数的性质，得k0，进而即可化简A；（2）先求出k的值，再代入求值，即可【详解】解：函数y=kxx0中，y随x的增大而增大，k0，A=1+k1k+2=3- k2；（2）点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为2，k=-2，A=3- k2=3- (-2)2=-1【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，代数式的化简求值，熟练掌握反比例函数的性质以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键19（2022

19、浙江杭州校考一模）已知函数y1kx+k+1与y2k+1x(1)若y1过点（1，3），求y1，y2的解析式；(2)在（1）的条件下，若1y22，求出此时y1的取值范围；(3)若y1的图象过一、二、四象限，判断y2的图象所在的象限【答案】(1)y1x+2；y22x(2)3y14(3)y3的图象过第一、三象限【分析】（1）函数y1过点（1，3），将点代入y1解析式中即可得k值，可得y1，y2的解析式；（2）由1y22，求出自变量取值范围1x2，再根据y1的增减性确定y1的取值范围；（3）由一次函数经过第一、二、四象限，可得不等式组，解不等式组即可得到k的范围，进而判断y2的图象所在的象限（1）把点（

20、1，3）代入y1kx+k+1中，得：3k+k+1，解得：k1故y1x+2；y2k+1x2x（2）在（1）的条件下，若1y22，y22x，1y2212x2 解得：1x2 y1x+2，1x23y14（3）y1的图象过一、二、四象限k0k+10 ，解得：-1k00k+11，故y2的图象过第一、三象限【点睛】本题考查了一次函数性质、反比例函数的性质、函数解析式的求法及一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键20（2022浙江杭州统考二模）已知反比例函数y=kxk0的图象经过点A2,3(1)求这个反比例函数的表达式；(2)判断点B1,6是否在这个函数图象上，并说明你的理由；(3)

21、点Cx1,y1，Dx2,y2是图象上的两点，若x1x2，比较y1和y2的大小，并说明你的理由【答案】(1)y=6x(2)点B(1,6)不在这个函数图象上，理由见解析(3)当x1x20或0x1y2；当x10x2时，y10可知在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小当x1x20或0x1y2；当x10x2，y10，此时y10，k=20，故选：A【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，掌握等高三角形面积比的问题22（2022广东揭阳校考模拟预测）如图，直线l和双曲线y=kx(k0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B

22、、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设AOC的面积为S1、BOD的面积为S2、POE的面积为S3，则（）AS1S2S2S3CS1=S2S3DS1=S2S3【答案】D【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S12k解答即可【详解】解：根据双曲线的解析式可得xy=k所以可得S1=S2=12k 设OP与双曲线的交点为P1，过P1作x轴的垂线，垂足为M因此SOP1M=S1=S2=12k而图象可得SOP1MS3 所以S1=S20的图象与反比例函数y1=1x,y2=2x,y2015=2015x的图象在第一象限内分别

23、交于点A1 ，A2 ，A，点B1 ，B2 ，B分别在反比例函数y1=1x,y2=2x,y2014=2014x的图象上，且A2B1 ，A3B2 ，AB分别与y轴平行，连接OB1 ，OB2 ，OB，则OA2B1 ，OA3B2 ，OAB的面积之和为_【答案】1012【分析】延长A2B1,A3B2,A4B3 ，分别与x轴交于C1,C2,C3，利用k的几何意义，推出SOA2B1=SA2OC1SB1C1O=112=12，SOA3B2=SA3OC2SB2C2O=321=12，依此类推，每个三角形的面积均为12，进行计算即可【详解】解：延长A2B1,A3B2,A4B3 ，分别与x轴交于C1,C2,C3 ，如图

24、所示：y1=1x,y2=2x，SOA2B1=SA2OC1SB1C1O=112=12；y2=2x,y3=3x，SOA3B2=SA3OC2SB2C2O=321=12；依此类推，SOAB=12，则OA2B1,OA3B2,OAB的面积之和为12+12+12=20142=1012故答案为：1012【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用熟练掌握k的几何意义，构造与k有关的图形，是解题的关键24（2022浙江宁波校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BEy轴，且OE=3CE，D为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y=kx的图象经过D、E两点，若DEC的面积为3，则k的值为 _【

25、答案】274#6.75【分析】过点D作DFx轴，交BE于点F，交y轴于点G，延长BE交x轴于点H，连接OD，根据DEC的面积为3，求出ODE的面积，设D点坐标为（a,ka），则E点坐标为（3a,k3a），根据面积列方程即可求出k的值【详解】解：过点D作DFx轴，交BE于点F，交y轴于点G，延长BE交x轴于点H，连接OD， E为OC的四等分点（OEEC），DEC的面积为3， DEO的面积为9， BEy轴，四边形BMOE是平行四边形， BM=OE， AM=EC=14AB，D为AB中点， DM=EC=13OE，由平行四边形得，OEH=EBM=DMG，OHE=DGM=90， OHEDGM， DGOH=

26、DMOE=13，设D点坐标为（a,ka），则E点坐标为（3a,k3a），SODE=3aka12aka123ak3a12(3aa)(kak3a)，=3k12k12k23k=9，解得：k=274，故答案为：274【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题关键是根据已知条件，设点的坐标，利用相似三角形的性质、平行四边形的性质、三角形的面积公式列出关于k的方程25（2022吉林松原校考一模）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax（a0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=bx（b0）的图象上，ABy轴，AECDx轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的

27、面积为32，连接OE，则SACE_，ab的值为 _，ba的值为 _【答案】 12 24 13【分析】连接AC，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出SADESADCS五边形ABCDES四边形ABCD563224，推出SAOESDEO12，可得 12a12b12，推出ab24再证明BCAD，证明AD3BC，推出AT3BT，再证明AK3BK即可解决问题【详解】解：如图，连接AC，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K由题意得A，D关于原点对称，A，D的纵坐标的绝对值相等，AECD，E，C的纵坐标的绝对值相等，E，C在反比例

28、函数y=bx的图象上，E，C关于原点对称，E，O，C共线，OEOC，OAOD，四边形ACDE是平行四边形，SADESADCS五边形ABCDES四边形ABCD563224，AECD，SACESADE12，SAOESDEO12，12a12b12，ab24，SAOCSAOB12，BCAD，TBCTADBCAD=TBTA，SACB32248，SADC：SABC24：83：1，BC：AD1：3，TB：TA1：3，设BTm，则AT3m，AKTK1.5m，BK0.5m，AK：BK3：1，SAOKSBKO=12a12b=3，ab=3，即 ba=13，故答案为：12；24；13【点睛】本题考查了反比例函数与几何

29、图形综合，k的几何意义，相似三角形的性质与判定，设参法是解题的关键【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】26.（2022湖北十堰统考中考真题）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1xk10和y=k2xk20的图象上若BDy轴，点D的横坐标为3，则k1+k2=（）A36B18C12D9【答案】B【分析】设PA=PB=PC=PD=t（t0），先确定出D（3，k23），C（3-t，k23+t），由点C在反比例函数y=k2x的图象上，推出t=3-k23，进而求出点B的坐标（3，6-k23），再点C在反比例函数y=k1x的图象上，整理后，即可得出结论【详解】解：连接AC，与BD相交于点P，

30、设PA=PB=PC=PD=t（t0）点D的坐标为（3，k23），点C的坐标为（3-t，k23+t）点C在反比例函数y=k2x的图象上，（3-t）（k23+t）=k2，化简得：t=3-k23，点B的纵坐标为k23+2t=k23+2（3-k23）=6-k23，点B的坐标为（3，6-k23），3（6-k23）=k1，整理，得：k1+k2=18故选：B【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出k1，k2之间的关系27.（2022湖北武汉统考中考真题）已知点Ax1,y1，Bx2,y2在反比例函数y=6x的图象上，且x10x2，则下列结

31、论一定正确的是（）Ay1+y20Cy1y2【答案】C【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出y1、y2的大小关系【详解】解：点Ax1,y1，Bx2,y2）是反比例函数y=6x的图象时的两点，x1y1=x2y2=6x10x2，y100)的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若四边形ODBC的面积为6，则k的值为()A2B3C4D6【答案】C【分析】根据反比例函数y=kx(k0)的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，可得到点D是AB的中点，进而得出SAOD=13S四边形OCBD=2=12k ，求出k即可【详解】设B2m，2n，E为BC中点，四边形OCBA是矩形，E2

32、m，n函数y=kx(k0)的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，k=2mn，又点D在函数y=kx(k0)的图象上，点D坐标为m，2n点D是AB的中点，SAOD=13S四边形OCBD=136=2=12k，k=4或k=4kx的解集【答案】(1)y=6x(2)152(3)3x2【分析】（1）根据一次函数表达式先求出点A，B的坐标，可得OA=OB=1，从而得到BAO=45，进而得到CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE=3，从而得到点C坐标，即可求出k值；（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用12乘以CE乘以C、D两点横坐标之差求出CDE的面积；（3）直接观察图象，即可求解【详

33、解】（1）解：对于一次函数y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，点A1,0,B0,1，OA=OB=1，AOB=90，BAO=45，CEx，CAE为等腰直角三角形，AE=CE， OE=2，AE=CE=3，C2,3，把C2,3代入y=kxk0得：k=23=6，反比例函数表达式为y=6x；（2）解：联立：y=x+1y=6x，解得：x=3y=2或x=2y=3，点D的坐标为3,2，SCDE=12xCxDCE=12323=152；（3）解：观察图象得：当3x2时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，不等式x+1kx的解集为3x2【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达

34、式，三角形面积，难度不大，解题时要注意结合坐标系中图象作答33（2022江苏扬州校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，ADx轴，AD=6，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为2,2，反比例函数y=kxk0在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D(1)求点D的坐标和k的值；(2)将平行四边形ABCD向上平移，使点C落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段AC扫过的面积(3)若P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形APCQ是菱形，求PQ的长【答案】(1)D(4,2)，k=8(2)24(3)8【分析】（1）利用平行于x轴的直线上的点纵坐标相等得出A的纵坐标，再用距离

35、确定出点D的横坐标，将D的坐标代入y=kx，利用待定系数法即可求出k；（2）利用平行四边形的性质得出点C点坐标为(2,2)设点C向上平移a个单位，根据C(2,2+a)在y=8x的图象上，列出方程2(2+a)=8，求出a=6，那么平移过程中线段AC扫过的面积是AACC的面积，根据平行四边形的面积公式列式计算；（3）利用菱形的性质得出直线PQ的解析式，根据点P，Q在双曲线上求出点P，Q的坐标，再根据两点间的距离公式求出PQ的长【详解】（1）解：设AD与y轴交于点E，ADx轴，A、D的纵坐标相同A(2,2)，AE=2，ED=ADAE=4，D(4,2)D在反比例函数y=kx的图象上，k=42=8；（2

36、）解：在平行四边形ABCD中，原点O是对角线AC的中点，C与A关于原点对称，C(2,2)设点C向上平移a个单位，则C(2,2+a)在y=8x的图象上，2(2+a)=8，解得a=6设CC与AD相交于F，则AF=4平移过程中线段AC扫过的面积是64=24；（3）解：四边形APCQ是菱形，PQAC直线AC的解析式为y=x，直线PQ的解析式为：y=x，设P点的坐标为(a,a)且a0，则点Q的坐标为(a,a)，P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，a=8a，解得：a=22，故P的坐标为：(22,22)，Q的坐标为(22,22)，PQ=(22+22)2+(22+22)2=8【点睛】此题考查了平行四边形的

37、性质，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，坐标与图形变化平移解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是求出平移的距离，解（3）的关键是确定出直线PQ的解析式34（2022湖南株洲统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（3，4），ABx轴于点E，正比例函数yax的图象与反比例函数yb3x的图象相交于A，P两点(1)求a，b的值与点A的坐标；(2)求证：CPDAEO；(3)求sinCDB的值【答案】(1)a43，b9，点A的坐标为（3，4）(2)见解析(3)sinCDB45【分析】（1）将点P（3，4）代入yax，计算

38、出a，将点P（3，4）代入yb3x计算出b，最后根据函数的对称性求出点A即可；（2）先根据菱形的性质证明DCPOAE，再证明AEOCPD90即可证得CPDAEO；（3）先计算出AO的长度，再根据CPDAEO得到CDPAOE，计算出sinAOE即可得到答案（1）解：将点P（3，4）代入yax，得：43a，解得：a43，正比例函数解析式为y43x； 将点P（3，4）代入yb3x，得：12b3，解得：b9，反比例函数解析式为y12x 正比例函数与反比例函数都关于原点对称，点A的坐标为（3，4）（2）证明：四边形ABCD是菱形，ACBD，ABCD，DCPBAP，即DCPOAEABx轴，AEOCPD90

39、，CPDAEO（3）解：点A的坐标为（3，4），AE4，OE3，AO=AE2+OE2=5CPDAEO，CDPAOE，sinCDBsinAOEAEAO=45【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的相关知识35（2022山东济南统考模拟预测）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为(4,2)，反比例函数y=kx的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y=mx+n，连接OD，OE(1)求反比例函数y=kx的表达式和点

40、E的坐标；(2)点M为y轴正半轴上一点，若MBO的面积等于ODE的面积，求点M的坐标；(3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y=kx图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=4x，(4,1)；(2)(0,32)；(3)(4,1)或(43,3)【分析】（1）根据矩形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点E的坐标；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）分DE为平行四边形的边、DE为平行四边形的对角线两种情况，根据平行四边形的性质计

41、算即可【详解】（1）解：四边形OCBA为矩形，点B的坐标为(4,2)，点D为AB的中点，点D的坐标为(2,2)，反比例函数y=kx的图象经过点D，k=22=4，反比例函数的表达式为：y=4x，由题意得，点E的横坐标为4，则点E的纵坐标为：44=1，点E的坐标为(4,1)；（2）解：设点M的坐标为(0,n)，点D的坐标为(2,2)，点E的坐标为(4,1)，SODE=24122212411221=3，由题意得：124n=3，解得：n=32，MBO的面积等于ODE的面积时，点M的坐标(0,32)；（3）解：当DE为平行四边形的边时，DE=PQ，DEPQ，点D的坐标为(2,2)，点E的坐标为(4,1)

42、，点P的纵坐标为0，点Q的纵坐标为1，当y=1时，x=4（不合题意，舍去）当y=1时，x=4，则点Q的坐标为(4,1)，当DE为平行四边形对角线时，点D的坐标为(2,2)，点E的坐标为(4,1)，DE的中点坐标为(3,32)，设点Q的坐标为(a,4a)，点P的坐标为(x,0)，则4a2=32，解得：a=43，点Q的坐标为(43,3)，综上所述：以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形时，点Q的坐标为(4,1)或(43,3)【点睛】本题考查的是反比例函数的性质、平行四边形的性质以及三角形的面积计算，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想【考点8 反比例

43、函数与一次函数的综合】36（2022山东济南统考二模）如图1，直线l交x轴于点C，交y轴于点D，与反比例函数y=kx(k0)的图像交于两点A、E，AGx轴，垂足为点G，SAOG3(1)k ；(2)求证：AD CE；(3)如图2，若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点，求平行四边形OABC的面积【答案】(1)k=6；(2)证明见解析；(3)S平行四边形OABC18【分析】（1）设A（m，n），由题意 12OGAG=3，推出mn=6，由点A在y=kx上，推出k=mn=6（2）如图1中，作ANOD于N，EMOC于M设直线CD的解析式为y=kx+b，A（x1,y1），E（x2,y2）首先证明EM

44、=kAN，EM=kMC，推出AN=CM，再证明DANECM，即可解决问题（3）如图2中，连接GD，GE由EA=EC，AD=EC，推出AD=AE=EC，推出SADG=SAGE=SGEC=3，求出AOC的面积即可解决问题（1）解：设A（m，n），12OGAG=3，12mn=3，mn=6，点A在y=kx上，k=mn=6故答案是：6；（2）证明：如图1中，作ANOD于N，EMOC于M设直线CD的解析式为y=kx+b，A（x1,y1），E（x2,y2）则有y1=k x1+b，y2=k x2+b，y2y1=k（x2x1），6x26x1= k (x2x1)，k x2x1 =6，k x1=6x2，y2=k x

45、1，EM=kAN，D（0，b），C（bk，0），tanDCO=ODOC=k=EMMC，EM=kMC，AN=CM，ANCM，DAN=ECM，在DAN和ECM中，DAN=ECMAN=CMDNA=EMC=90，DANECM，AD=EC（3）解：如图2中，连接GD，GEEA=EC，AD=EC，AD=AE=EC，SADG=SAGE=SGEC，AGOD，SAOG=SADG=3，SAOC=3+3+3=9，平行四边形ABCD的面积=2SAOC=18【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，本题的突破点是证明AN=C

46、M，题目比较难37（2022四川成都统考二模）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y=kx(x0)的图象交于点A(3,4)和点B(6,t)，与x轴交于点C，与y轴交于点D(1)求反比例函数的表达式和直线AB的表达式；(2)若在x轴上有一异于原点的点P，使PAB为等腰三角形，求点P的坐标；(3)若将线段AB沿直线y=mx+n(m0)进行对折得到线段A1B1，且点A1始终在直线OA上，当线段A1B1与x轴有交点时，求n的取值的最大值【答案】(1)反比例函数的表达式为y=12x，直线AB的解析式为y=23x+6(2)PAB为等腰三角形时，点P的坐标为(52,0)或(3,0)或(9,0)(3)当

47、线段A1B1与x轴有交点时，n的取值的最大值为7916【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设P(t,0)，表示出PA2，PB2，AB2，根据PAB为等腰三角形，则PA=PB或PA=AB或PB=AB，分别建立方程求解即可得出答案；（3）由于点A关于直线y=mx+n的对称点点A1始终在直线OA上，因此直线y=mx+n必与直线OA垂直，当点B1落到x轴上时，n的取值的最大，根据BB1OA，求出点B1的坐标，再将BB1的中点坐标代入y=34x+n，即可求得n的最大值【详解】（1）反比例函数y=kx(x0)的图象经过点A3,4和点B(6,t)，k=34=6t，k=12，t=2，反比例函数的表

48、达式为y=12x，设直线AB的解析式为y=cx+d，A(3,4)，B6,2，3c+d=46c+d=2，解得：c=23d=6，直线AB的解析式为y=23x+6；（2）设Pt,0，则PA2=(t3)2+(04)2=t26t+25，PB2=(t6)2+(02)2=t212t+40，AB2=(36)2+(42)2=13，PAB为等腰三角形，PA=PB或PA=AB或PB=AB，当PA=PB时，PA2=PB2，t26t+25=t212t+40，解得：t=52，P(52,0)；当PA=AB时，PA2=AB2，t26t+25=13，=(6)24112=120的图象交于点Bm,1，A是反比例函数图象上一点直线O

49、A与y轴的正半轴的夹角为，tan=12设直线AB与x轴交于点D，直线l经过点D，与y轴交于点H，设点H的纵坐标为t(1)求k的值及点A的坐标(2)t为何值时，直线l过AOD的重心？(3)设点P是x轴上一动点，若PAB的面积为2，直接写出P点的坐标【答案】(1)k=2，A(1,2)(2)t=65(3)(-1,0)和(7,0)【分析】（1）过A点作ANx轴于N点，设OA的中点为M点，根据B(m,1)在直线y=12x上即可求出B点坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据ANy轴，得到OAN=AOH=，即可得到AN=2ON，结合A点在y=2x上即可求出A点坐标；（2）设直线AB的解析式为：y=ax+b

50、，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，则有D点坐标，结合H点坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式，直线l的经过AOD的重心，且直线l过D点，可知直线l的经过OA的中点，根据A点坐标为(1,2)，O点坐标为(0,0)，可知OA中点的坐标为(12,1)，将(12,1)代入直线l的解析，即可求出t；（3）分三种情况讨论：第一种情况，当P点在O点左侧时；第二种情况，当P点在OD之间时；第三种情况，当P点在D点右侧时，即可求解【详解】（1）过A点作ANx轴于N点，设OA的中点为M点，如图，B(m,1)在直线y=12x上，当y=1时，x=2，即m=2，B点坐标为(2,1)，B点在反比例函数y=kx

51、上，k=xy=12=2，k=2，反比例函数的解析式为y=2x，ANx，ANy轴，OAN=AOH=，tan=12，在RtAON中，tanOAN=tan=12=ONAN，AN=2ON，A点在y=2x，AN=2ON，即2ON=2ON，ON=1，AN=2，A点坐标为(1,2)；（2）A点坐标为(1,2)，B点坐标为(2,1)，设直线AB的解析式为：y=ax+b，a+b=22a+b=1，解得a=1b=3，直线AB的解析式为：y=x+3，当y=0时，x=3，即D点坐标为(3,0)，H的纵坐标为t，H的坐标为(0,t)，D点坐标为(3,0)，H的坐标为(0,t)，设直线l的解析式为：y=mx+n，3m+n=

52、0n=t，解得a=t3n=t，直线l的解析式为：y=t3x+t，直线l的经过AOD的重心，且直线l过D点，直线l的经过OA的中点，A点坐标为(1,2)，O点坐标为(0,0)，OA中点的坐标为(12,1)，将(12,1)代入y=t3x+t，即有t=65，即当t=65时直线l的经过AOD的重心；（3）过B点作BGx轴于G点，A(1,2)、B(2,1)、D(3,0)，AN=2，BG=1，OD=3，P点在x轴上，设P点坐标为(p,0)分类讨论：第一种情况，当P点在O点左侧时，如图，连接AP、BP，OP=-p，PD=OP+OD=-p+3=3-p，SPAD=12PDAN=12(3p)2=3p，SPBD=1

53、2PDBG=12(3p)1=3p2，SPAB=SPADSPBD=3p3p2=3p2，SPAB=2，3p2=2，解得p=-1，即此时P点坐标为：(-1,0)；第二种情况，当P点在OD之间时，即0p3，如图，连接AP、BP，P(p,0)，OP=p，PD=OD-OP=3-p，SOAD=12ODAN=1232=3，SPAO=12POAN=12p2=p，SPBD=12PDBG=12(3p)1=3p2，SPAB=SOADSPAOSPBD=3p3p2=3p2，SPAB=2，3p2=2，解得p=-1，0p3，此时不符合题意舍去，第三种情况，当P点在D点右侧时，即p3，如图，连接AP、BP，P(p,0)，p3，

54、OP=p，DP=OP-OD=p-3，SOAD=12ODAN=1232=3，SOAP=12OPAN=12p2=p，SPBD=12PDBG=12(p3)1=p32，SPAB=SOAPSOADSPBD=p3p32=p32，SPAB=2，p32=2，解得p=7，即P点坐标为：(7,0)；综上：P点坐标为(-1,0)、(7,0)【点睛】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、锐角三角函数、三角形的重心的性质、求解三角形的面积、求一次函数和反比例函数解析式等知识，理解三角形重心的含义是解答本题的关键40（2022广东广州执信中学校考二模）如图，一次函数y=kx4(k0)的图像与y轴交于点A，与反比例函

55、数y=12x(x0)的图像交于点B(6,b)(1)求b，k的值(2)点C是线段AB上一点（不与A，B里合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接OC，OD，若OCD的面积为8，求点C的坐标(3)将（2）中的OCD沿射线AB平移一定的距离后，得到OCD，若点O的对应点O恰好落在该反比例函数的图像上，求此时点D的对应D的坐标【答案】(1)b=2，k=-1(2)C（-2，-2）(3)D的坐标（-2-23，6+23）【分析】(1)把B（-6，0）代入反比例函数解析式y=12x(x0)中，确定b值，到B的坐标，再将其代入一次函数解析式即可确定k值（1）把B（-6，b）代入反比例函数

56、解析式y=12x(x100时，y与x之间的函数关系式为_；(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？【答案】(1)19(2)y=0.2x1；y=1900x(3)135分钟【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果【详解】（1）解：a0.2（1005）19；（2）解：当5x100时，设y与x之间的函数关系式为yk1x+b经过点（5，0），（100，19）5k+b=010

57、0k+b=19 解得：，k=0.2b=1 解析式为y0.2x1；当x100时，y与x之间的函数关系式为ykx，经过点（100，19），k100 19解得：k1900，函数的解析式为y1900x；（3）解：令y0.2x110解得：x55，令y1900x10，解得：x19019055135分钟，服药后能持续135分钟；【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键42（2022浙江金华校联考二模）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min(1)制药公司生

58、产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体请问：请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围；小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明【答案】(1)生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min；(2)函数表达式：y=

59、1300x,00.7，小明应在打打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到28天内【分析】（1）直接利用药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min，得出二元一次方程组求出答案；（2）直接利用待定系数法求出函数解析式进而得出答案；分别利用y=50，y=23得出x的值(1)设生产1支单针疫苗需要xmin，生产1支双针疫苗需要ymin则：3x+2y=192x+y=11，解得：x=3y=5，所以，生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min(2)设函数解析式为y=kx，将(0.7,910)代入，解得k=1300，故y=1300x；设

60、函数解析式为y=mx，将(0.7,910)代入，解得m=637，故y=637x，两段函数对应的表达式为y=1300x,00.7；当y=50时，x=12.74，当y=23时，x=27.7，所以小明应在打打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到28天内【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及正比例函数的应用，正确求出函数解析是解题关键43（2022浙江丽水统考二模）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本y（万元/件）的对应关系如下表所示：投入维护资金x（万元）2.5344.5产品成本y（万元/件）7.264.54(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数

61、中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式(2)2022年，按照这种变化规律：若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金【答案】(1)反比例函数，理由见解析，y=18x(2)3.6万元/件；6万元以上【分析】（1）设y=kx+b利用待定系数法求出解析式，再代入一组对应值验证，得到不是一次函数关系；再设y=kx（k为常数，k0），求出解析式代入对应值验证即可；（2）将x=5代入计算可得；将y=3代入计算可得(1)设y=kx+b（k，b为常数，k0），6=3k+b4.5=4k+b，解这个方程组得k=1.5b=

62、10.5，y=1.5x+10.5当x=2.5时，y=6.754一次函数不能表示其变化规律设y=kx（k为常数，k0），7.2=k2.5，k=18，y=18x当x=3时，y=6；当x=4时，y=4.5；当x=4.5时y=4；所求函数为反比例函数y=18x(2)当x=5时，y=3.6，甲生产线生产出的产品成本为3.6万元/件当y=3时，x=6，y6，需要投入维护资金6万元以上【点睛】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式，一次函数与反比例函数的实际问题，正确掌握一次函数及反比例函数的性质并求出解析式是解题的关键44（2022河北保定统考模拟预测）有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗净化药物去除甲

63、醛，设净化药物的消耗量为xkg，室内甲醛含量为ymg/m3，开机后净化器开始消耗净化药物当01时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为th（t0），并有以下两种工作模式：模式室内甲醛含量ymg/m3与净化药物的消耗量xkg成反比，且当x=2时，y=0.9；模式净化药物的消耗量由档位值k（00，将t=2时，d=20代入求解即可；k=5时，x=5t+1，化简为t=x15，将其代入y中即可得；（3）根据（2）结论代入得出x=3，将其代入模式求解，然后比较即可【详解】（1）解：根据题意可得：当x=2时，y=0.9；xy=1.8，y=1.8x=95x（2）由题意可得，x=kt+1，设d=at2，a0，由

64、t=2时，d=20，20=a22，a=5，d=5t2k=5时，x=5t+1，又y=1.8d=1.85t2，t=x15，代入y中，得y=1.85(x15)2，化简得，y=15(x1)2+1.8（3）对于模式，当k=5时，y=15(x1)2+1.8，当y=1mg/m3时，得1=15(x1)2+1.8，解得x1=3，x2=1（舍去）当x=3时，对于模式，有y=1.8x=1.83=0.6mg/m3，10.6=0.4mg/m3，模式去除甲醛的效果好，两者相差0.4mg/m3【点睛】题目主要考查反比例函数及二次函数的应用，一次函数的应用等，理解题意，列出相应函数关系式是解题关键45（2022山东临沂统考一

65、模）为了探索函数y=x+1x(x0)的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法，列表：x14131212345y17410352252103174265描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；(2)已知点(x1,y1),(x2,y2)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0x1x21，则y1_y2；若1x1；(3)y与x的函数关系式为： y=2.5+x+1x水池底面一边的长x应控制在12x2【分析】(1)用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数

66、图象即可；(2)利用图象法解决问题即可；(3)总造价=上盖的造价+底面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可；转化为一元二次不等式，结合第(1)小题的图象法，解决问题即可【详解】（1）如图，作出函数的图像；（2）因为点(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，根据函数图象和表格容易得到：若0x1 y2若1x1 x2，则y1 ，0的图象与AB交于C，D两点(1)若m+n=8，n取何值时ABO的面积最大？(2)若SAOC=SCOD=SBOD，求点B的坐标【答案】(1)当n=4时，ABO的面积最大(2)B0,92【分析】（1）由m+n=8得m=8n，利用三角形面积公式得出SABO=12OBOA=1

67、2n(8n)，转化为顶点式即可求解；（2）过点C作CEOB于E，过点D作DFOB于F，根据SAOC=SCOD=SBOD得BF=EF=OE，得出BF=EF=OE=13n，根据点C在反比例函数y=mx x0上，得出C(3mn,13n)，代入直线AB的解析式，即可求解（1）解：m+n=8，m=8n，点Am，0，B0,n m0,n0，SABO=12OBOA=12n(8n)=12(n4)2+8，n=4时，SABO取最大值，最大值为8，即当n=4时，ABO的面积最大；（2）解：如图，SAOC=SCOD=SBOD，BD=CD=AC，过点C作CEOB于E，过点D作DFOB于F，DFCEOA，BF=EF=OE，

68、点B0,n n0， OB=n，BF=EF=OE=13n，点C的纵坐标为13n，点C在反比例函数y=mx x0的图象上，C(3mn,13n)，点Am，0，B0,n m0,n0，直线AB的解析式为y=nmx+n，点C在直线AB上，nm3mn+n=13n，解得n=92，B0,92【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，知识拓展得出的结论，解第一问的关键是建立SABO与n的函数关系式，解第二问的关键是得出BF=EF=OE=13n47（2022广东深圳深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pap

69、pus，约300350)把AOB三等分的操作如下：（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y=1x(x0)的图像，图像与AOB的边OA交于点C；（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=1x的图像于点D；（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；（5）作射线OE，交CD于点N，得到EOB(1)判断四边形CEDM的形状，并证明；(2)证明：O、M、E三点共线；(3)证明：EOB=13AOB【答案】(1)四边形CEDM是矩形，证明见解析(2)O、M、E三点共线，证明见解析(3)BOE=13AOB，证明见解析【分

70、析】（1）通过矩形的判定可证四边形CMDE是矩形；（2）根据函数的解析式得出直线OE的解析式，进而解答即可；（3）由矩形的性质可得CN=MN=ND=NE，可得CNO=2CEO，由CD=2OC，可求AOB=3BOE，可得结论【详解】（1）证明：CEx轴，MDx轴，CMy轴，DEy轴，CEMD，CMDE，四边形CMDE是平行四边形，x轴y轴，CEx轴，MDx轴，CEMD，四边形CMDE是矩形；（2）解：设点Ca,1a，点Db,1b，点Eb,1a，点Ma,1b，直线OE的解析式为：y=1abx，当x=a时，y=1b，点M在直线OE上，即O、M、E三点共线；（3）解：O、M、E三点共线，四边形CMDE

71、是矩形，CN=MN=ND=NE，DCE=CEN，CNO=2CEO，CEx轴，BOE=CEO，CNO=2EOB，CD=2OC，OC=CN，CNO=CON，AOB=CON+EOB=3BOE，BOE=13AOB【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，证明四边形CMDE是矩形是解题的关键48（2022广东佛山校考三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=12x（x0）经过点A(a,3)，反比例函数y=kx (k0,x0)经过点B，且交BC边于点D，连接AD(1)求直线BC的表达式(2

72、)求tanDAB的值(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=12x（x0）于点N在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)直线BC的表达式为y=34x154(2)tanDAB=932(3)存在，当点N的坐标为(167,214)或(16,34)时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形【分析】（1）把点A（a,3）代入反比例函数y12x（x0）得到a4，求得A（4，3），根据勾股定理得到OA32+42=5，根据菱形的性质得到OCABOA5，设直线BC的

73、解析式为ymxn,列方程组即可得到结论；（2）把B（1，3）代入ykx得y3x，解方程组得到D（4，34），过D作DEAB于E，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）当四边形BDEN是平行四边形时，如图2，当四边形BDNE是平行四边形时，如图3，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论【详解】（1）反比例函数y=12x(x0)经过点Aa,3，3=12a，a=4，A(4,3)，OA=32+42=5，四边形OABC为菱形，OC=AB=OA=5，C5,0，B1,3，设直线BC的解析式为y=mx+n，则5m+n=0m+n=3，解得m=34n=154，直线BC的表达式为y=34x154；（2）B(1,3)

74、，k=1(3)=3，y=3x，解y=34x154y=3x得，x=4y=34或x=1y=3 (不合题意舍去)，D(4,34)，如图1，过D作DEAB于E，DE=yDyB=94，AE=xAxD=8，tanDAB=DEAE=948=932；（3）存在，理由如下，当四边形BDEN是平行四边形时，如图2，yDyB=yEyN，34(3)=3yN，yN=214，把yN=214代入y=12x得，xN=167，N=(167,214)；当四边形BDNE是平行四边形时，如图3，yDyB=yNyE，34(3)=yN(3)，yN=34，把yN=34代入y=12x得，xN=16，N(16,34)，综上所述，当点N的坐标为

75、(167,214)或(16,34)时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定，正确的理解题意是解题的关键49（2022四川成都四川省成都市七中育才学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+b经过点A(1,0)，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y=kx(x0)交于点C，且AC=3AB，BDx轴交反比例函数y=kx(x0)于点D(1)求b、k的值；(2)如图1，若点E为线段BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EFBD，交反比例函数y=kx(x0)于点F.若EF=13BD，求m的

76、值(3)如图2，在(2)的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G，连接OD，在直线OD上方是否存在点H，使得ODH与ODG相似(不含全等)？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)3，18(2)m=1(3)存在，(3,4)或(1,3)或(92,272)或(152,152)【分析】（1）将点A代入一次函数求出b的值，然后根据AC=3AB求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式；（2）将E点横坐标代入y=3x+3，求出纵坐标，根据EFBD即可知道F的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出F的横坐标，即可表示出EF的长度，同理将B点纵坐标代入反比例函数求出D点横坐标，从而表示出BD

77、的长，根据EF=13BD列方程即可求解m的值；（3）根据相似三角形的性质可知，需要分三种情况，当HOD=DOG时，当HOD=DGO时，当HOD=ODG时三种情况，分别画出图形，列出等式求解即可【详解】（1）作CMx轴于M，如图1： BOA=CMA，BAO=CAM，BOACMA，直线y=3x+b经过点A1,0，3+b=0，解得b=3，直线解析式为：y=3x+3，B0,3，AC=3AB，CM=3BO=9，AM=3OA=3，C点坐标为2,9，将C点坐标代入y=kx，得k=18（2）BDx轴，D点的纵坐标为3，代入y=18x，得x=6，D点坐标为6,3，将E点横坐标代入y=3x+3，得y=3m+3，E

78、FBDF点纵坐标为3m+3，代入y=18x，得x=6m+1，F点坐标为6m+1,3m+3，EF=13BD，6m+1m=136，解方程得m=1或4(舍)，m=1（3）存在，理由如下：如图2，过点D作DQx轴于点Q，由(2)知D(3,6)，F(6,3)，直线FD的解析式为：y=x+9，OQ=6，DQ=3，OG=9，DQ：GQ=3，QGD=QDG=45OD=35，DG=32、当HOD=DOG时，如图2所示，设BD与OH交于点P， 由2知，BD/x轴，BDO=DOG，BDO=HOD，OP=PD，设OP=m，则BP=6m，在RtOBP中，由勾股定理可得，32+m2=(6m)2，解得m=154；BP=94

79、；P(94,3)，直线OP的解析式为：y=43x；若ODGODH，则OD：OD=OG：OH=1，不符合题意，舍去；若ODGOHD，OD：OH=OG：OD，即35：OH=9：35，解得OH=5，设H(3t,4t)，(3t)2+(4t)2=52，解得t=1，负值舍去，H(3,4)；、当HOD=DGO时， 若ODGDHO，如图4，DOG=ODH，DG：OH=OG：DO，DH/OG，即点H在BD上，32：OH=9：35，OH=10，BH=1，H(1,3)，直线OH的解析式为：y=3x；若ODGHDO，DG：OD=OG：OH，即32：35=9：OH，解得OH=9102，设H(t,3t)，t2+(3t)2

80、=(9102)2，解得t=92，负值舍去，H(92,272)； 、当HOD=ODG时，OH/EG，直线OH的解析式为：y=x；若ODGDOH，则OD：OD=OG：DH=1，不符合题意，舍去；若ODGHOD，如图5，OD：OH=DG：OD，即35：OH=32：35，解得OH=1522，设H(t,t)，t2+(t)2=(1522)2，解得t=152，正值舍去，H(152,152)； 综上，符合题意的点H的坐标为：3,4或1,3或(92,272)或(152,152).【点睛】本题属于反比例函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想；用坐标表示线段长度，然后列方程是

81、解决这类试题的关键50（2022浙江宁波校考三模）我们定义：在ABC内有一点P，连结PA，PB，PC在所得的ACP，ABP，BCP中，有且只有两个三角形相似，则称点P为ABC的相似心(1)如图1，在55的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，ABC的顶点在格点上请在图中的格点中，画出ABC的相似心(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连结AB，设OAB的外角平分线AM，BM交于点M，延长MB，MA分别交x轴于点G，交y轴于点H，连结GHBMA的度数是 求证：点O为MHG的相似心(3)如图3，在（2）的条件下，若点M在反比例函数y23x（x0）的图象

82、上，OHG30求点G的坐标若点E为OHG的相似心，连结OE，直接写出线段OE的长【答案】(1)见解析(2)BMA=45；见解析(3)OG=2；OE的长为61313或277【分析】（1）利用相似三角形的判定，找出格点P即可；（2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质得ABM+MAB=12（180+90）=135，从而得出答案；作MQx轴，MPy轴，垂足分别为Q、P，可得四边形MQOP为正方形，利用正方形的性质得MOH=MOG=135，再根据HMO+GMO=45，HMO+MHO=MOQ=45，得GMO=MHO，说明结论成立；（3）由（2）知OMHOGM得，OM2=OGOH，则OGOH=43，再根据

83、OHG=30，知OH=3OG，可得答案；分三种情形：OEH与GEH为相似三角形或OEG与GEH为相似三角形或OEG与OEH为相似三角形，每一种情形再分对应角分别考虑，从而解决问题（1）解：如图1，APB=APC，APBP=PCAP，APBCPA，点P为ABC的相似心；（2）解：OAB的外角平分线AM，BM交于点M，ABM+MAB=12（180+90）=135，BMA=45，故答案为：45；作MQx轴，MPy轴，垂足分别为Q、P，由角平分线的性质得MQ=MP，则四边形MQOP为正方形，MOQ=MOP=45，MOH=MOG=135，HMO+GMO=45，HMO+MHO=MOQ=45，GMO=MHO

84、，又MOH=MOG=135，OMHOGM，点O为GMH的相似心；（3）解：由上述结论：OMHOGM得，OM2=OGOH，MP=MQ，且点M在y=23x上，OP2=23，则OM2=OGOH=43，OHG=30，OG=2，G（2，0）；（）当OEH与GEH为相似三角形时（当EHO与GHE为对应角时，OEH与GEH是全等三角形，显然不成立；当EHO与GEH为对应角时，GEH+GHE=30，则EGH=150，显然也不成立），OEHHEG，EHO=EGH，EOH=EHG，OEEH=EHEG=OHHG=32，EHO+EHG=30，OEG=60，在OEG中，OEG=60，OG=2，OEEG=34，过点G作D

85、GOE，垂足为点D，设OE=3x，则EG=4x，OD=x，DG=23x，OG=2，由勾股定理得x=21313，即OE=61313（）当OEG与GEH为相似三角形时，（当EGO与EGH为对应角时，OEG与GEH是全等三角形，显然不成立；当EGO与GEH为对应角时，GEH+EGH=60，则EGH=120，显然也不成立），OEGGEH，EOG=EGH，EGO=EHG，OEEG=EGEH=OGHG=12，EGO+EGH=60，OEH=120，在OEH中，OEH=120，OH=23，OEEH=14，则与（）同理可得OE=277；（）当OEG与OEH为相似三角形时，当GOE与EOH为对应角时，OEG与OEH是全等三角形，显然不成立；当EOG与EOH为对应角时，EOH+OEH=90，则OHE=90，显然也不成立；当EOG与OHE为对应角时，EOH+OHE=90，则GEH=180，此时点E在斜边GH上，也不成立综上所述OE=61313或277【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了相似形的定义，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是对新定义概念的理解和运用，同时渗透了分类讨论的数学思想，难度较大