专题11 反比例函数（7类重点考向）（解析版）.docx

1、 专题11 反比例函数目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考命题趋势（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）考向一 反比例函数的性质考向二 反比例函数系数k的几何意义考向三 反比例函数图象上点的坐标特征考向四 待定系数法求反比例函数解析式考向五 反比例函数与一次函数的交点问题考向六 反比例函数的应用考向七 反比例函数综合题最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；2. 能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k0和k0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限

2、，在每个象限内，y随x的增大而减小当k0k0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k0时，y随x的增大而减小同样，当k0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大反比例函数解析式的确定1.待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为（k0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式反

3、比例函数图象中有关图形的面积涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解1.正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图，SABC=2SACO=|k|；2.如图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则SAOB=SAOC+SBOC=+=；3.如图，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，C为AB延长线与x轴的交点，则SAOB=SAOCSBOC=同一象限内运用k的几何意义S矩形PAOB|k| SAOP SACP两个象限内运用k的几何意义SABC|k|SAPP12|k|双反比例函数中运用k的几何意义S矩形ABCD|k1|k2|SA

4、BOSABCSABO反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围反比例函数与一次函数的综合1.涉及自变量取值范围型：当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或2.求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.k值同号，两个函数必有两个交点；k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可

5、有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况考向一 反比例函数的性质解题技巧/易错易混确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上1（2023安徽）已知反比例函数y（k0）在第一象限内的图象与一次函数yx+b的图象如图所示，则函数yx2bx+k1的图象可能为（）ABCD【思路点拨】根据反比例函数y与一次函数yx+b的图象，可知k0，b0，所以函数y

6、x2bx+k1的图象开口向上，对称轴为直线x0，根据两个交点为（1，k）和（k，1），可得kb1，bk+1，可得函数yx2bx+k1的图象过点（1，1），不过原点，即可判断函数yx2bx+k1的大致图象【规范解答】解：一次函数yx+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b0，反比例函数y的图象经过第一、三象限，则k0，函数yx2bx+k1的图象开口向上，对称轴为直线x0，由图象可知，反比例函数y与一次函数yx+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），1+bk，kb1，bk+1，对于函数yx2bx+k1，当x1时，y1b+k11，函数yx2bx+k1的图象过点（1，1），反比例函

7、数y与一次函数yx+b的图象有两个交点，方程x+b有两个不相等的实数根，b24k（k+1）24k（k1）20，k10，当x0时，yk10，函数yx2bx+k1的图象不过原点，符合以上条件的只有A选项故选：A【真题点拨】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限2（2023广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（）A4B3C2D1【思路点拨】设A（m，），在y中，令y得x，令xm得y，可

8、得B（，），D（m，），即得C（，），故S2S41，S3，根据，得1+1，解方程并检验可得答案【规范解答】解：设A（m，），在y中，令y得x，令xm得y，B（，），D（m，），C（，），S2S41，S3，1+1，解得k2，经检验，k2是方程的解，符合题意，故选：C【真题点拨】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键3（2023镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y的图象上，则y1y2（用“”、“”或“”填空）【思路点拨】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得y1与y2的大小【规范解答】解：反比例函数y中，k5

9、0，函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，23，y1y2，故答案为【真题点拨】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，y随x的增大而减小考向二 反比例函数系数k的几何意义解题技巧/易错易混反比例函数的解析式（k0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可4（2023湘西州）如图，点A在函数y（x0）的图象上，点B在函数y（x0）的图象上，且ABx轴，BCx轴于点C，则四边形ABCO的面积为（）A1B2C3D4【思路点

10、拨】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，S矩形OCBD3，根据四边形ABCO的面积等于S矩形OCBDSADO，即可得解【规范解答】解：延长BA交y轴于点D，ABx轴，DAy轴，点A在函数的图象上，BCx轴于点C，DBy轴，点B在函数的图象上，S矩形OCBD3，四边形ABCO的面积等于S矩形OCBDSADO312；故选：B【真题点拨】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键5（2023黑龙江）如图，ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BCx轴，双曲线y过A，B两点，过点C作CDy轴交双曲线于点D若SBCD12，则k的值是（）A6B

11、12CD9【思路点拨】设出B的坐标，通过对称性求出C点的坐标，进而求出D的坐标，即可用k表示出线段BC和CD的长度，结合已知面积即可列出方程求出k【规范解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（b，），b0，由题意知，AOBO，即O是线段AB的中点，过A作AEBC于点E，ACAB，AEBC，BECE，AEy轴，CF3BF3b，C（3b，），D（3b，），CD，BC4b，SBCD，k故选：C【真题点拨】对于反比例函数中图形的面积问题，常用一个未知数表示关键点的坐标，通过推导求其面积6（2023衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比

12、例函数y（k0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q作PMx轴于点M，QNy轴于点N若OA2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 24【思路点拨】设OA4a，因为OA2AB，所以AB2a，则A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，则C（4a，4a），因为CDy轴，P在CD上，所以P点纵坐标为4a，则P点横坐标为：xk4a，由于Q为BE中点，切BEx轴，所以BQABa，则Q（6a，a），由于Q在反比例函数y（k0）上，所以k6a2，根据已知阴影为矩形，长为，宽为：a，面积为6，所以可得12k4aa6，即可解决【规范解答】解：设OA4a，AO2AB，AB2a，

13、OBAB+OA6a，则B（6a，0），由于在正方形ABEF中，ABBE2a，Q为BE中点，BQ12ABa，Q（6a，a），Q在反比例函数ykx（k0）上，k6aa6a2，四边形OACD是正方形，C（6a，6a），P在CD上，P点纵坐标为4a，P在反比例函数y（k0）上，P点横坐标为：x，P（，4a），作PMx轴于点M，QNy轴于点N，四边形OMNH是矩形，NH，MHa，S矩形OMHNNHMHa6，则k24，故答案为：24【真题点拨】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用说学知识是解决问题的关键考向三 反比例函数图象上点的坐标特征解题技巧/易错易混确定

14、点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上7（2023济南）已知点A（4，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y（k0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）Ay3y2y1By1y3y2Cy3y1y2Dy2y3y1【思路点拨】首先根据k0得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，然后根据点A，B，C的横坐标得，点A，B在第二象限内，点C在第四象

15、限内，进而可判定y10，y20，y30，最后再根据42得y1y2，据此即可得出答案【规范解答】解：，k0，函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，又点A（4，y1），B（2，y2），C（3，y3），点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，y10，y20，y30，又42，y1y2，y3y1y2故选：C【真题点拨】此题主要考查了反比例函数（k0）的性质，解答此题的关键是熟练掌握：对于反比例函数yk/x（k0），当k0时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当k0时，图象的两个分支在第二、四象限内变化，且在每一个象限内y随x的增

16、大而增大8（2023攀枝花）如图，在直角ABO中，AO，AB1，将ABO绕点O顺时针旋转105至ABO的位置，点E是OB的中点，且点E在反比例函数y的图象上，则k的值为 【思路点拨】依据题意，在RtBAO中，AO，AB1，从而BO2，可得AOB30，又结合题意，BOB105，进而BOX45，故可得E点坐标，代入解析式可以得解【规范解答】解：如图，作EHx轴，垂足为H由题意，在RtBAO中，AO，AB1，BO2ABBOAOB30又ABO绕点O顺时针旋转105至ABO的位置，BOB105BOX45又点E是OB的中点，OEBO1在RtEOH中，BOX45，EHOHOEE（，）又E在y上，k故答案为：

17、【真题点拨】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键9（2023安徽）如图，O是坐标原点，RtOAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB2，AOB30，反比例函数y（k0）的图象经过斜边OB的中点C（1）k；（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DBAC，则OB2BD2的值为 4【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得OPCAPC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解【规范解答】解：（1）在RtOAB中，AB2，AOB30，

18、C是OB的中点，OCBCAC2，如图，过点C作CPOA于P，OPCAPC（HL），在RtOPC中，PC，C（，1）反比例函数y（k0）的图象经过斜边OB的中点C，解得k故答案为：（2）设直线AC的解析式为yk1x+b（k0），则，解得，AC的解析式为yx+2，ACBD，直线BD的解析式为yx+4，点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，联立得，解得，当D的坐标为（2+3，）时，BD29+312，OB2BD216124；当D的坐标为（23，）时，BD2+9+312，OB2BD216124；综上，OB2BD24故答案为：4【真题点拨】本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的

19、应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质及勾股定理的应用考向四 待定系数法求反比例函数解析式10（2023青岛）反比例函数y的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达式为 y【思路点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可【规范解答】解：反比例函数y的图象经过点A（m，），mm8，反比例函数解析式为：y【真题点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数m是解题的关键11（2023陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC2CD，AB3若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函

20、数的表达式是 y【思路点拨】根据矩形的性质得到OCAB3，根据正方形的性质得到CDCFEF，设CDm，BC2m，得到B（3，2m），E（3+m，m），设反比例函数的表达式为y，列方程即可得到结论【规范解答】解：四边形OABC是矩形，OCAB3，四边形CDEF是正方形，CDCFEF，BC2CD，设CDm，BC2m，B（3，2m），E（3+m，m），设反比例函数的表达式为y，32m（3+m）m，解得m3或m0（不合题意舍去），B（3，6），k3618，这个反比例函数的表达式是y，故答案为：y【真题点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，

21、k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xyk12（2023绵阳）如图，过原点O的直线与反比例函数（k0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2mx+b（m0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）（1）求反比例函数的解析式；当y1y2时，根据图象直接写出x的取值范围；（2）在y轴上是否存在点M，使得COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，利用数形结合的思想即可求出x的取值范围（2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题【规范解答】解：（1）由题知，将A点

22、坐标代入反比例函数解析式得，k122，所以反比例函数的解析式为由函数图象可知，在直线x0和x1之间的部分及直线x2右侧的部分，反比例函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方，即y1y2所以x的取值范围是：0x1或x2（2）将x2代入反比例函数解析式得，y1，所以点C的坐标为（2，1）则OC当OCOM时，OM，所以点M坐标为（0，）或（0，）当CMCO时，点C在OM的垂直平分线上，又因为点C坐标为（2，1），所以点M坐标为（0，2）当MOMC时，点M在OC的垂直平分线上，过点C作CNy轴于点N，令MOm，则MCm，MNm1，在RtCMN中，CN2+MN2MC2，即22+（m1）2m2，解得m所以

23、点M的坐标为（0，）综上所述：点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，2）或（0，）【真题点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及巧妙利用分类讨论的数学思想是解题的关键考向五 反比例函数与一次函数的交点问题解题技巧/易错易混反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题13（2023内蒙古）如图，直线

24、yax+b（a0）与双曲线y（k0）交于点A（2，4）和点B（m，2），则不等式0ax+b的解集是（）A2x4B2x0Cx2或0x4D2x0或x4【思路点拨】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据图示直接得出不等式的解集【规范解答】解：A（2，4）在反比例函数图象上，kxy248，反比例函数解析式为：y，又B（m，2）在y图象上，m4，B（4，2），点A（2，4）、B（4，2）在一次函数yax+b的图象上，解得，一次函数解析式为：yx+2由图象可知，不等式0ax+b的解集2x0故选：B【真题点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数交点的坐标满足两个函数关系式14（2

25、023荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y（x0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C若BC2，则点C的坐标是 （，2）【思路点拨】由题意，点A（2，2），则AOx45，同时可得双曲线解析式，再作CHx轴，作BGCH，可得CBG45，又BC2，再结合双曲线解析式可以得解【规范解答】解：点A（2，2）在双曲线y（x0）上，2k4双曲线解析式为y如图，作ADx轴，CHx轴，作BGCH，垂足分别为D、H、GA（2，2），ADODAOD45AOB45OABC，CBO18045135CBG1359045CBGBCGBC2，BGCGC点的横坐标为又C在双曲线y上，C（，2）故答

26、案为：（，2）【真题点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解15（2023滨州）如图，直线ykx+b（k，b为常数）与双曲线为常数）相交于A（2，a），B（1，2）两点（1）求直线ykx+b的解析式；（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；（3）请直接写出关于x的不等式的解集【思路点拨】（1）依据题意，将B点代入双曲线解析式可求得m，再将A点代入求出a，最后由A、B两点代入直线解析式可以得解；（2）由题意，分成两种情形：一种是M、N在双曲线的同一支上，一种是M、N在双曲线的两一支上，然后根据图象

27、可以得解；（3）依据图象，由一次函数值大于反比例函数值可以得解【规范解答】解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式y，2m2双曲线为y又A（2，a）在双曲线上，a1A（2，1）将A、B代入一次函数解析式得，直线ykx+b的解析式为yx+1（2）由题意，可分成两种情形M、N在双曲线的同一支上，由双曲线y，在同一支上时函数值随x的增大而增大，当x1x2时，y1y2M、N在双曲线的不同的一支上，x1x2，x10x2此时由图象可得y10y2，即此时当x1x2时，y1y2（3）依据图象，即一次函数值大于反比例函数值，A（2，1），B（1，2），不等式的解集为：x1或0x2【真题点拨】本题主要考查了反比例

28、函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，解不等式利用数形结合思想是解题的关键考向六 反比例函数的应用解题技巧/易错易混用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题16（2023怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：FPS当F为定值时，如图中大致表示压强P与

29、受力面积S之间函数关系的是（）ABCD【思路点拨】根据函数的解析式判断函数的图形即可【规范解答】解：压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：FPS当F为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，故选：D【真题点拨】此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象17（2023南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 100N的力（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂）【思路点拨】根据杠杆定律求得函数的解析式后代入L1.5和L2求得力的大小即可【规范解答】解：根据“杠杆定律”有F

30、L10000.6，函数的解析式为F，当L1.5时，F400，当L2时，F300，因此，撬动这块石头可以节省400300100N，故答案为：100【真题点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大18（2023温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 20mL【思路点拨】设这个反比例函数的解析式为V，求得V，当p75kPa时，求得V80，当p10

31、0kPa时求得，V60于是得到结论【规范解答】解：设这个反比例函数的解析式为V，V100ml时，p60kpa，kpV100ml60kpa6000，V，当p75kPa时，V80，当p100kPa时，V60，806020（mL），气体体积压缩了20mL，故答案为：20【真题点拨】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键考向七 反比例函数综合题19（2023成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象yx+5与y轴交于点A，与反比例函数y的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C在直线l上，且A

32、BC的面积为5，求点C的坐标；（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画PDE，使它与PAB位似，相似比为m若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值【思路点拨】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入yx+5得，4a+5，求得B（1，4），将B（1，4）代入y得，求得反比例函数的表达式为y；（2）设直线l与y轴交于M，直线yx+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OAON5，根据两点间的距离的结论公式得到，求得M（0，3），待定系数法求得直线l的解析式为yx+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t4或t6，求得点C

33、的坐标为（6，9）或（4，1）；（3）解方程组求得E（4，1），根据相似三角形的性质得到PABPDE，根据平行线的判定定理得到ABDE，求得直线DE的解析式为yx5，解方程组得到D（1，4），则直线AD的解析式为y9x+5，于是得到P（，），根据两点间的距离距离公式即可得到结论【规范解答】解：（1）令x0，则yx+55，点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入yx+5得，4a+5，a1，B（1，4），将B（1，4）代入y得，4，解得k4，反比例函数的表达式为y；（2）设直线l与y轴交于M，直线yx+5与x轴交于N，令yx+50得，x5，N（5，0），OAON5，AON90，OAN45，A（0

34、，5），B（1，4），直线l是AB的垂线，即ABM90，OAN45，M（0，3），设直线l的解析式为yk1x+b1，将M（0，3），B（1，4）代入yk1x+b1得，解得，直线l的解析式为yx+3，设点C的坐标为（t，t+3），|xBxC|，解得t4或t6，当t4时，t+31，当t6时，t+39，点C的坐标为（6，9）或（4，1）；（3）位似图形的对应点与位似中心三点共线，点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，将直线l与双曲线的解析式联立方程组，解得，或，E（4，1），画出图形如图所示，PABPDE，PABPDE，ABDE，直线AB与直线DE的一次项系数相等，设直线DE的

35、解析式为yx+b2，1（4）+b2，b25，直线DE的解析式为yx5，点D在直线DE与双曲线的另一个交点，解方程组得，或，D（1，4），则直线AD的解析式为y9x+5，解方程组得，P（，），m【真题点拨】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键20（2023淄博）如图，直线ykx+b与双曲线y相交于点A（2，3），B（n，1）（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（2，0），点D在y轴上连接AD，BD，求ABD的面积；（3）请直接写出关于x的不等式kx+b的解

36、集【思路点拨】（1）将A（2，3）代入双曲线y，求出m的值，从而确定双曲线的解析式，再将点B（n，1）代入y，确定B点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；（2）由平行求出直线CD的解析式为yx1，过点D作DGAB交于G，设直线AB与y轴的交点为H，与x轴的交点为F，可推导出HDGHFO，再由cosHFO，求出DGDH2，则ABD的面积2210；（3）数形结合求出x的范围即可【规范解答】解：（1）将A（2，3）代入双曲线y，m6，双曲线的解析式为y，将点B（n，1）代入y，n6，B（6，1），将A（2，3），B（6，1）代入ykx+b，解得，直线解析式为yx+4；（2）直线AB向下平移至C

37、D，ABCD，设直线CD的解析式为yx+n，将点C（2，0）代入yx+n，1+n0，解得n1，直线CD的解析式为yx1，D（0，1），过点D作DGAB交于G，设直线AB与y轴的交点为H，与x轴的交点为F，H（0，4），F（8，0），HFO+OHF90，OHG+HDG90，HDGHFO，OH4，OF8，HF4，cosHFO，DH5，DGDH2，AB2，ABD的面积2210；方法2：SABDSHBDSHADHD（xBxA）5410；（3）由图可知2x6或x0时，x1【真题点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键1（2023广州）已知

38、正比例函数y1ax的图象经过点（1，1），反比例函数y2的图象位于第一、第三象限，则一次函数yax+b的图象一定不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【思路点拨】根据正比例函数的性质可以判断a的正负，根据反比例函数的性质可以判断b的正负，然后即可得到一次函数yax+b的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限【规范解答】解：正比例函数y1ax的图象经过点（1，1），点（1，1）位于第四象限，正比例函数y1ax的图象经过第二、四象限，a0；反比例函数y2的图象位于第一、第三象限，b0；一次函数yax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C【真题点拨】本题考查反比例函数的性质

39、、正比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出a、b的正负情况2（2023张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且ADAB，反比例函数y（k0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM若ODM的面积为3，则k的值为（）A2B3C4D5【思路点拨】设B点的坐标为（a，b），根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B，M（，），确定D（，b），然后结合图形及反比例函数的意义，得出SODMSAOBSAODSBDM3，代入求解即可【规范解答】解：四边形OCBA是矩形，ABOC，OABC，设B点的坐标为（a，b），

40、矩形OABC的对称中心M，延长OM恰好经过点B，M（，），点D在AB上，且 ADAB，D（，b），BDa，SBDMBDha（b）ab，D在反比例函数的图象上，abk，SODMSAOBSAODSBDMabkab3，ab16，kab4，故选：C【真题点拨】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键3（2023无锡）已知曲线 C1、C2 分别是函数y（x0），y（k0，x0）的图象，边长为6的正ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，

41、则k的值为 6【思路点拨】作ADx轴于D，BEx轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义求得SOADk，SOBE|2|1，根据等边三角形的性质得出OB3，OA3，易证得AODOBE，从而得出3，即，解得k6【规范解答】解：作ADx轴于D，BEx轴于E，将ABC绕原点O顺时针旋转，点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，SOADk，SOBE|2|1，边长为6的正ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），OABC，OB3，OA3，由旋转的性质可知OBOB3，OAOA3，AOBAOB90，BOE+AOD90，AOD+OAD90，BOEOAD，OEBADO90，AODOBE，3

42、，即，k6故答案为：6【真题点拨】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键4（2023丹东）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作ACx轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若ABD的面积是6，则k4【思路点拨】过点D作DE交AB的延长线于E，设点A的坐标为（m，n），则kmn，OCm，ACn，AB3n，证四边形ODEC为矩形得DEOCm，然后根据ABD的面积是6可得mn4，由此可得k的值【规范解答】解：过点D作DE交AB的延长线于E，如图： 设点A的坐标为（m，n），x0，点A

43、在第一象限，m0，n0，kmn，ACx轴于点C，OCm，ACn，BC2AC2n，ABBC+AC3n，ACx轴，DEAB，DOC90，四边形ODEC为矩形，DEOCm，ABD的面积是6，SABDABDE6，即：3nm6，mn4，kmn4故答案为：4【真题点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的解析式，满足反比例函数解析式的点都在函数的图象上是解答此题的关键5（2023宁波）如图，点A，B分别在函数y（a0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C点D，E在函数y（b0，x0）图象上，AEx轴，BD

44、y轴，连结DE，BE若AC2BC，ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则ab的值为 12，a的值为 9【思路点拨】依据题意，设A（m，），再由AEx轴，BDy轴，AC2BC，可得B（2m，），D（2m，），E（，），再结合ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解【规范解答】解：设A（m，），AEx轴，且点E在函数y上，E（，）AC2BC，且点B在函数y上，B（2m，）BDy轴，点D在函数y上，D（2m，）ABE的面积为9，SABEAE（+）（m）（+）m9ab12ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，SBDEDB（+2m）（+）（）m（ab）（）m3（）5a3b

45、又ab12a9故答案为：12，9【真题点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键6（2023长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y（k为常数，k0，x0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA若OAB的面积为，则k【思路点拨】由k的几何意义可得，从而可求出k的值【规范解答】解：AOB的面积为，所以k故答案为：【真题点拨】本题主要考查了k的几何意义用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键7（2023通辽）已知点A（x1，y1），B（x2，y2） 在反比例函数的图象上，且x10x2，则下列结论一定正确的是（）Ay1+y20By1+y

46、20Cy1y20Dy1y20【思路点拨】根据反比例函数的图象和性质，由x10x2，可判断y10y2，进而得出答案【规范解答】解：反比例函数的图象在二、四象限，而x10x2，点A（x1，y1）在第二象限反比例函数的图象上，B（x2，y2） 在第四象限反比例函数的图象上，y10y2，y1y20，故选：D【真题点拨】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提8（2023威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y（x0）的图象上点A的坐标为（m，2）连接OA，OB，AB若OAAB，OAB90，则k的值为 22【思路点拨】构造全等三角形推出点B

47、的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标，【规范解答】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点NMOA+MAO90，NAB+MAO90，MOANAB，AMOANB90，AOABAMOBNA（AAS），AMNBm，MOAN2A（m，2），B（m+2，2m），点A、B都在反比例函数上，2m（m+2）（2m），解得：m11+，m21（舍去），点A的坐标为（1+，2），kxy2（1）22【真题点拨】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口9（2023株洲）如图所示，在平面直角坐

48、标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数 的图象上（1）求k的值；（2）连接BP、CP，记BCP的面积为S，设T2S2t2，求T的最大值【思路点拨】（1）根据点P（1，2）在函数 的图象上，代入即可得到k的值；（2）根据点A（t，0）在x轴负半轴上得到OAt，根据正方形的性质得到OCBCOAt，根据二次函数的性质即可得到结论【规范解答】解：（1）点P（1，2）在函数 的图象上，2，k2，即k的值为2；（2）点A（t，0）在x轴负半轴上，OAt，四边形OABC为正方形，OCBCOAt，BCx轴，BCP

49、的面积为S（t）（2t）t2t，T2S2t22（t2t）2t2t22t（t+1）2+1，10，抛物线开口向下，当t1时，T有最大值，T的最大值是1【真题点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键10（2023湘潭）如图，点A的坐标是（3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点将ABC绕着点B逆时针旋转90得到ABC（1）反比例函数y的图象经过点C，求该反比例函数的表达式；（2）一次函数图象经过A、A两点，求该一次函数的表达式【思路点拨】（1）根据旋转的性质得出C的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）

50、作AHy轴于H证明AOBBHA（AAS），推出OABH，OBAH，求出点A坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式【规范解答】解：（1）点A的坐标是（3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点，OA3，OB4，BC2，将ABC绕着点B逆时针旋转90得到ABC，C（2，4），反比例函数y的图象经过点C，k248，该反比例函数的表达式为y；（2）作AHy轴于HAOBAHBABA90，ABO+ABH90，ABO+BAO90，BAOABH，BABA，AOBBHA（AAS），OABH，OBAH，OA3，OB4，BHOA3，AHOB4，OH1，A（4，1），设一次函数的解析式为yax+b，把A

51、（3，0），A（4，1）代入得，解得，该一次函数的表达式为yx+【真题点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题11（2023鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1k1x+b与双曲线y2（其中k1k20）相交于A（2，3），B（m，2）两点，过点B作BPx轴，交y轴于点P，则ABP的面积是 【思路点拨】把A（2，3），B（m，2）代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可【规范解答】解：直线y1k1x+b与双曲线y2（其中k1k20）相交于A（2

52、，3），B（m，2）两点，k2232mm3，B（3，2），BPx轴，BP3，SABP故答案为：【真题点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键12（2023常德）如图所示，一次函数y1x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，1）（1）求m的值和反比例函数解析式；（2）当y1y2时，求x的取值范围【思路点拨】（1）把B（3，1）分别代入一次函数y1x+m与反比例函数，即可求出m的值和反比例函数的解析式；（2）先求出A点坐标，再根据图象即可得到y1y2时x的取值范围【规范解答】解：（1）一次函数y

53、1x+m与反比例函数相交于点A和点B（3，1），13+m，1，解得m2，k3，反比例函数的解析式为y2；（2）解方程组，得或，A（1，3），观察图象可得，当y1y2时，x的取值范围为x1或0x3【真题点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，以及利用数形结合思想解不等式13（2023恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线yx+2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y（k0）在一，三象限

54、分别交于C，D两点，ABBC，连接CO，DO（1）求k的值；（2）求CDO的面积【思路点拨】（1）求出A（0，2），B（2，0），由ABBC，知A为BC中点，故C（2，4），用待定系数法可得k的值为8；（2）由可解得D（4，2），再用三角形面积公式可得答案【规范解答】解：（1）在yx+2中，令x0得y2，令y0得x2，A（0，2），B（2，0），ABBC，A为BC中点，C（2，4），把C（2，4）代入y得：4，解得k8；k的值为8；（2）由得：或，D（4，2），SDOCSDOB+SCOB22+242+46，CDO的面积是6【真题点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定

55、系数法和函数图象上点坐标的特征14（2023湖北）如图，一次函数y1kx+b（k0）与函数为的图象交于两点（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足y1y20时x的取值范围；（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若POQ的面积为3，求点P的坐标【思路点拨】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数y2（x0），求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）由题意即求y1y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围；（3）由题意，设P（p

56、，2p+9）且p4，则Q（p，），求得PQ2p+9，根据三角形面积公式得到SPOQ（2p+9）p3，解得即可【规范解答】解：（1）反比例函数y2（x0）的图象经过点A（4，1），1m4反比例函数解析式为y2（x0）把B（，a）代入y2（x0），得a8点B坐标为（，8），一次函数解析式y1kx+b图象经过A（4，1），B（，8），故一次函数解析式为：y12x+9（2）由y1y20，y1y2，即反比例函数值小于一次函数值由图象可得，x4（3）由题意，设P（p，2p+9）且p4，Q（p，）PQ2p+9SPOQ（2p+9）p3解得p1，p22P（，4）或（2，5）【真题点拨】本题主要考查一次函数与反比

57、例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键15（2023河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF（1）求k的值；（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；（3）请直接写出图中阴影部分面积之和【思路点拨】（1将A（，1）代入y中即可求解；（2）利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据菱形的性质求解；（3）先计算出S菱形AOCD2，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几

58、何意义可求出SFBO，从而问题即可解答【规范解答】解：（1）将A（，1）代入到y中，得：1，解得：k；（2）过点A作OD 的垂线，交x轴于G，A（，1），AG1，OG，OA2，半径为2；AGOA，AOG30，由菱形的性质可知，AOGCOG30，AOC60，圆心角的度数为：60；（3）OD2OG2，S菱形AOCDACOD2，S扇形AOCr2，在菱形OBEF中，SFHOSBHO，SFHO，SFBO2，S阴影SFBO+S菱形AOCDS扇形AOC+23【真题点拨】本题考查反比例函数及k的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确k的几何意义是解题关键16（2023盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A

59、（1，0），B（0，3），反比例函数y（k0）在第一象限的图象经过点C，BCAC，ACB90，过点C作直线CEx轴，交y轴于点E（1）求反比例函数的解析式（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标【思路点拨】（1）设C（m，），然后过C点作MNx轴于M点，过B作BNCM于N点，证明ACMCBN，得到CNAM，BNCM，建立方程即可解决；（2）根据（1）中结论可得C（2，2），由A（1，0），利用两点距离公式求得AC，再由CEx轴，），DAC的平分线交直线EC于点F，证明CFCA，即可分别求出F的横纵坐标【规范解答】解：（1）过C点作MNx轴于

60、M点，过B作BNCM于N点，如图所示：AMCBNC90，设C（m，），B（0，3），A（1，0）则CM，M（m，0），N（m，3），ANm1，CN3，BNm，ACB90，BCN+ACM90，ACM+MAC90，BCNMAC，又ACBC，BCNMAC，AMCBNC90ACMCBN（AAS），CNAM，BNCM，3m1，m，km2，3mm1，m2，k4，反比例函数的解析式：y；（2）由（1）可得C（2，2），A（1，0），AC，分两种情况：当D在A点右侧时：如（1）中图所示，CEx轴，DAC的平分线交直线EC于点F，F点纵坐标为2，CAFDAFCFA，CFAC，F点横坐标为2+，F（2+，2），当D在A点左侧时，如图：CEx轴，DAC的平分线交直线EC于点F，F点纵坐标为2，CAFDAFCFA，CFAC，C（2，2），F点横坐标为2，F（2，2），综上所述：F（2+，2）或（2，2）【真题点拨】本题考查了反比例函数的综合运用，两点间的距离公式，平行线的性质，角平分线的定义，理解题意是解决问题的关键