专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型(解析版).docx

1、专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型 【模型展示】特点如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即ACDABCCBD.结论CA2ADAB，BC2BDBA，CD2DADB.【模型证明】解决方案“三垂直”模型如图，BDACE90，则ABCCDE.“一线三等角”模型如图，BACED，则ABCCDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则ACEABCCDE.【题型演练】一、单选题1如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上若DE=4，则AF的长为（ ） AB4C3D

2、2【答案】C【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，BAD=D=90，通过证明ABFDAE，可得，即可求解【详解】解：矩形ABCD， BAD=D=90，BC=AD=8 BAG+DAE=90 折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF， BF垂直平分AG ABF+BAG=90 DAE=ABF， ABFDAE 即 解之：AF=3 故答案为：C【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键2如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、

3、连接，当时，长为（）A6BC10D【答案】B【分析】过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得，从而求得线段，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度【详解】解：过点作于，在等边中，在中，又A=B=60， ，在中，即，已知， ，在中，而,，在中，即故选：B【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键3如图，在矩形ABCD中，CD4，E是BC的中点，连接AE，tanAEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（）A或B或C或D或【答案】B【分析】根据矩形的性质得到

4、ABCD，B90，根据勾股定理求得AE，当APD是直角三角形时，分两种情况分类计算即可；【详解】四边形ABCD是矩形，ABCD，B90，CD4，tanAEB，BE3，在RtABE中，AE，E是BC的中点，AD6，由折叠可知，PDPD，设PDx，则PDx，AP6x，当APD是直角三角形时，当ADP90时，ADPB90，ADBC，PADAEB，ABEPDA，x，PD；当APD90时，APDB90，PAEAEB，APDEBA，x，PD；综上所述：当APD是直角三角形时，PD的值为或；故选：B【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键4如

5、图，在矩形中，、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且为的中点，为的中点，则四边形的周长为（）ABCD【答案】B【分析】连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果【详解】解：连接，四边形是矩形，为的中点，为的中点，四边形是平行四边形，矩形是中心对称图形，过矩形的中心过点，且，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，设，则，解得，或4，或4，当时，则，四边形的周长；同理，当时，四边形的周长；故选：【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形5如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的

6、中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AGGF，AC，则下列结论：DGA=CGF；DAGCGF；AB=2；BE=CF正确的个数是（）A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】由余角的定义可推出，并不能说明，说明错误；再根据，可推出，进而可证明，说明正确；连接BD，由三角形中位线可知，再由可进一步推出，即，即，说明正确；在中，即可求出CG长度，即可求出AB=2，说明正确【详解】解：，不能说明，故错误，又，故正确如图连接BD，由题意可知，G和F分别为CD和BC的中点，即，在中，即,解得，故正确，即，故正确综上正确的有共3个故选B【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定

7、和性质以及勾股定理，综合性强能够连接常用的辅助线和证明是解答本题的关键6如图，在中，动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒连接下列结论正确的有（ ）个；当时，；以点为圆心、为半径画，当时，与相切；当时，ABCD【答案】D【分析】利用锐角三角函数求出BC可判断，利用勾股定理求AC，BD，AG，再用正切锐角三角函数定义求值可判断，利用相似三角形判定与性质，可判断，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断【详解】解：在中， ，故正确；作AGBD于G，在RtABC中，AD=AB=5，AGBDC

8、D=AD-AC=5-3=2，DG=BG，在RtDCB中，DG=BG=，在RtBGA中，故当时，正确；AD=t，BE=2t，cosA=，当时，cosA=，DAE=BAC，ADEABC，AED=ACB=90，DEB=90，与相切，故以点为圆心、为半径画，当时，与相切正确；过E作EHAC于H，当时，EHD=DCB=90，EHDDCB，AE=5-2t，AH=，EH=，整理得，因式分解得，或（舍去），故当时，正确；正确的结论有4个故选择D【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判

9、定，一元二次方程的解法是解题关键二、填空题7如图，正方形的对角线，相交于点，为上一点，连接，过点作于点，与交于点，则的长是_【答案】【分析】根据 正方形的性质求出，证明得到，即可求出答案.【详解】解：四边形是正方形，OA=OB=OC=OD，,，即，解得故答案为：.【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键.8如图，在矩形中，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接若是以为腰的等腰三角形，则的长为_【答案】或【分析】分两种情形：如图1中，当GD=GE时，过点G作GMAD于M，GNCD于N设AF=x，证明BAFADE

10、，推出，可得DE=，再证明AM=MD=6，在RtFGM中，利用勾股定理构建方程求解如图2中，当DG=DE时，利用相似三角形的性质求解即可【详解】解：如图1中，当GD=GE时，过点G作GMAD于M，GNCD于N设AF=x四边形ABCD是矩形，AD=BC=12，BAF=ADE=90，由翻折的性质可知，AF=FG，BFAG，DAE+BAE=90，ABF+BAE=90，ABF=DAE，BAF=ADE=90，BAFADE，DE=，GMAD，GNCD，GMD=GND=MDN=90，四边形GMDN是矩形，GM=DN=EN=，GD=GE，GDE=GED，GDA+GDE=90，GAD+GED=90，GDA=GA

11、D，GA=GD=GE，GMDE，AM=MD=6，在RtFGM中，则有，解得或（舍弃），AF=如图2中，当DG=DE时，由翻折的性质可知，BA=BG，BAG=BGA，DG=FE，DGE=DEG，ABCD，BAE=DEG，AGB=DGE，B，G，D共线，BD=，BG=BA=9，DG=DE=6，BAFADE，AF=，综上所述，AF的值为或【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题9如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为_【答案】【

12、分析】根据ABC为等边三角形，ADE与FDE关于DE成轴对称，可证BDFCFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DEAF，根据S四边形ADFE=SCEF=-SABC-SCEF，进而可求【详解】解：如图，作ABC的高AL，作BDF的高DH，ABC为等边三角形，ADE与FDE关于DE成轴对称，DFE=DAE= 60，AD = DF，CFE+FEC=CFE+DFB= 120，DFB= CEF，又B=C= 60，BDFCFE， ，即 ，设CF= x(x 0)，BF=4CF，BF= 4x，BD=3， ， BDFCFE，解得：x=2，CF=4，BC=5x

13、=10，在RtABL中，B=60，AL=ABsin60=10=5，SABC=，在RtBHD中，BD=3，B=60，DH=BDsin60=，SBDF=，BDFCFE，SBDF=，SCEF=，又AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，AD=DF，ADF为等腰三角形，DEAF，S四边形ADFE=SCEF=-SABC-SCEF=，故答案为:【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积对角线乘积的一半三、解答题10如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（ABAE

14、）(1)求证：AEFDCE；(2)AEF与ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得AEF与BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在，【分析】(1)由题意可得AEFDEC90，又由AEFAFE90，可得DECAFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得RtAEFRtDEG(ASA)，可得EFEG，AFEEGC，可得CE垂直平分FG，CGF是等腰三角形，据此即可证得AEF与ECF相似；(3)假设AEF与BFC相似，存在两种情况：当AFEBCF，可得EFC90，根据题意可

15、知此种情况不成立；当AFEBFC，使得AEF与BFC相似，设BCa，则ABka，可得AF，BF，再由AEFDCE，即可求得k值（1）证明：EFEC，FEC90，AEFDEC90，AEFAFE90，DECAFE，又AEDC90，AEFDCE；（2）解：AEFECF理由：E为AD的中点，AEDE，AEFDEG，AEDG，AEFDEG(ASA)，EFEG，AFEEGC又EFCE，CE垂直平分FG，CGF是等腰三角形AFEEGCEFC 又AFEC90，AEFECF；（3）解：存在使得AEF与BFC相似理由：假设AEF与BFC相似，存在两种情况：当AFEBCF，则有AFE与BFC互余，于是EFC90，因

16、此此种情况不成立；当AFEBFC，使得AEF与BFC相似，设BCa，则ABka，AEFBCF，AF，BF，AEFDCE，即， 解得，存在使得AEF与BFC相似【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键11（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：（2）探究若将90角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由（3）应用如图3，在中，以点A为直角顶点作等腰点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见

17、解析；（3）【分析】（1）由DPC=A=B=90，可得ADPBPC，即可证到ADPBPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由DPCAB，可得ADP=BPC，即可证到ADPBPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证ABDDFE，求出DF=4，再证EFCDEC，可求FC1，进而解答即可【详解】（1）证明：如题图1，DPC=A=B=90，ADPAPD=90，BPCAPD = 90，ADP = BPC，ADPBPC，ADBC = APBP，（2）结论仍然成立，理由如下，又，设，ADBC = APBP，（3），是等腰直角三角形，,，【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相

18、似；能够通过构造45角将问题转化为一线三角是解题的关键12【感知】如图，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），易证（不需要证明）【探究】如图，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），若，求AP的长【拓展】如图，在中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长【答案】【探究】3；【拓展】4或【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；拓展：证明ACPBPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可【详解】探究：证明：是的外角，即，又，解得：；

19、拓展：AC=BC，A=B，CPB是APC的外角，CPB=A+PCA，即CPE+EPB=A+PCA，A=CPE，ACP=BPE，A=B，ACPBPE，当CP=CE时，CPE=CEP，CEPB，CPE=A=B，CP=CE不成立；当PC=PE时，ACPBPE，则PB=AC=8，AP=AB-PB=128=4；当EC=EP时，CPE=ECP，B=CPE，ECP=B，PC=PB，ACPBPE，即，解得：，AP=ABPB=，综上所述：CPE是等腰三角形时，AP的长为4或【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键13如图，在矩形中，是上一

20、点，于点，设（1）若，求证：；（2）若，且在同一直线上时，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据矩形的性质可得，再根据已知条件，即可证明，则，进而通过线段的和差关系求得；（2）由勾股定理求得的长度，再由的面积求得的长度，则可用勾股定理求得的长度，则可得的长度，再由，求得的长度，在中，根据勾股定理即可求得，即可求得的值【详解】（1），又四边形是矩形，在和中，；（2）如图，三点共线，在和中，即，【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形面积、相似比等，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点，利用勾股定理求解线段的长14如图，矩形

21、ABCD中，AB1，BC3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FGGE12，设BEx（1）求证：；（2）当点G在ADF的内部时，用x的代数式表示ADG的余切；（3）当FGDAFE时，求线段BE的长【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据题意可证明DAFBAE，又由于ABEADF90，即证明ADFABE，所以（2）作GHCF于H，根据题意可求出DF3BE3x，根据平行线分线段成比例得出，即可列出关于x的等式，从而得出GH和FH的长，即可求出HD的长，cotADGcotDGH，即可求出结果（3）作EM/GD交DC于点

22、M，即可知，可求出DM，从而求出CM，根据图形可证明ABEECM，即可得到，即列出关于x的方程，解出x即可【详解】（1）如图，因为AFAE，EAFBADADF90同角的余角相等，DAFBAEABEADF90ADFABE（2）由，得DF3BE3x如图，作GHCF于H，那么GH/BC/AD根据题意结合平行线分线段成比例得：，即GH，FH在RtGHD中，HDDFFH，ADGDGH，cotADGcotDGH=（3）当点G在ADF内部时，很明显FGD和AFE不相等所以点G在ADF外部如图，作EM/GD交DC于点M，那么DM6x，MC16x如果FGDAFE，那么AF/GD/EMAEMEAF180AEM90

23、ABEECM即整理，得x29x10解得，（不符合题意，舍去）所以BE【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，矩形，余角，平行线的性质综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键15如图，已知四边形ABCD，BC90，P是BC边上的一点，APD90（1）求证：；（2）若BC10，CD3，PD3，求AB的长【答案】（1）证明见解析；（2）8【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得【详解】（1），在和中，；（2）在中，由（1）已证：，即，解得【点睛】本题考查了相似三角形的判定与

24、性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键16如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若AFGACD（1）求证：MFCMCA；若AB5，AC8，求的值（2）若DMCM2，AD3，请直接写出EF长【答案】（1）见解析；（2）EF【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似，证明即可证明AEFABC，推出，推出，推出FACEAB，可得结论（2）利用勾股定理求出AM，AC，由MFCMCA，推出，求出MF，AF，由AEFABC，推出，可得结论【详解】（1）证明：AFGACD，FCA+FACFCA+MCF，FACMCF，F

25、MCCMA，MFCMCA解：四边形AEFG，四边形ABCD都是矩形，FGAE，CDAB，AFGFAE，ACDCAB，AFGACD，FAECAB，AEFABC90，AEFABC，FAECAB，FACEAB，FACEAB，（2）解：四边形ABCD是矩形，D90，ADBC3，DMMC2，AD3，CD4，AM，AC5，MFCMCA，FM，AFAMFM，AEFABC，EF【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题17如图，在正方形中，点在上，交于点（1）求证：；（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由【答

26、案】（1）见解析；（2）点E为AD的中点理由见解析【分析】（1）根据同角的余角相等证明ABE=DEF，再由直角相等即可得出两三角形相似的条件；（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出，即可得出DE=AE【详解】（1）证明四边形ABCD是正方形，A=D=90，AEB+ABE=90，EFBE，AEB+DEF=90，ABE=DEF在ABE和DEF中，ABEDEF ；（2）ABEDEF，ABEEBF，DE=AE，点E为AD的中点【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键18如图，正方形A

27、BCD的边长等于，P是BC边上的一动点，APB、APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF（1）求证：BEPCPF；（2）当PAB30时，求PEF的面积【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）由于PE平分APB，PF平分APC，所以EPF90，然后根据相似三角形的判定即可求证BEPCPF；（2）由题意可知BPE30，FPC60，根据含30度的直角三角形的性质即可求出答案【详解】（1）PE平分APB，PF平分APC，APEAPB，APFAPC，APE+APF（APB+APC）90，EPF90，EPB+BEPEPB+FPC90，BEPFPC，BC90，BEPCPF；（2）

28、PAB30，BPA60，BPE30，在RtABP中，PAB30，AB，BP1，在RtBPE中，BPE30，BP1，EP，CP1，FPC60，PF2CP22，PEF的面积为：PEPF2【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型19如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作，交射线DC于点E，已知，设AP的长为x(1)_；当时，_；(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值【答案】(1), (2)为定值，(3)

29、或【分析】（1）作于交于由，推出，只要求出、即可解决问题；（2）结论：的值为定值证明方法类似（1）；（3）分两种情形讨论求解即可解决问题；（1）解：作于交于四边形是矩形，在中，故答案为4，（2）结论：的值为定值理由：由，可得，；（3）当点在线段上时，连接交于，所以只能，垂直平分线段，在中，当点在的延长线上时，设交于，所以只能，综上所述，的值为或4【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大20【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处

30、，连结BE，CF，延长CF交AD于点G（1）求证：【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H若，求线段DE的长【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，求的值（用含k的代数式表示）【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【分析】（1）根据ASA证明；（2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可；（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可【详解】（1）如图，由折叠得到，又四边形ABCD是正方形，又 正

31、方形 ，（2）如图，连接，由（1）得，由折叠得，四边形是正方形，又，（舍去）（3）如图，连结HE，由已知可设，可令，当点H在D点左边时，如图，同（2）可得，由折叠得，又，又，（舍去）当点在点右边时，如图，同理得，同理可得，可得，（舍去）【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形21在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处（1）如图1，若，求的值；（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值【答案】（

32、1）；（2）【分析】（1）根据，可设，则，再证明，由相似三角形性质即可用k表示出BF，从而求得比值；（2）过点作于点，由可得，再证，从而，设，由角平分线性质可得：，设，则，由列方程即可求出，再根据即可求出比值【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，由折叠的性质得：，设，则， 又，；（2）如解图2，过点作于点，设，平分，设，则，解得而，【点睛】本题考查了四边形的综合问题，也考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理、三角函数和角平分线的性质解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等难点是构造垂直利用角平分线性质得线段相等并

33、利用相似进行求解22问题提出（1）如图1，在矩形中，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G若，则的面积为_问题探究（2）如图2，在矩形中，点P是边上一动点，点Q是的中点将沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是请问是否存在这样的点P，使得点P、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由问题解决（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，点D到的距离为，且若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接设的长为，四边形的面积为根据题意求出y与x之间的函数关系式；在满足要求和保证质量的前提下，仪器

34、厂希望造价最低已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用【答案】（1）；（2）存在，或；（3）；963.3元【分析】（1）先由矩形的性质得，再由三角形面积公式求解即可；（2）由折叠的性质得：，再证，然后根据相似三角形的性质列比例式求解；（3）先证得，然后根据相似三角形的性质求得，然后根据面积公式列式求解；根据二次函数性质求最值【详解】解：（1）四边形是矩形，点E为的中点，故答案为：；（2）存在，理由如下：四边形是矩形，Q是的中点，由折叠的性质得：，当点P、三点在同一条直线上时，即，解得：或；（3）根据题意做出辅助线，如图所示由题意得：，又，由，则，；由知，当时，四边形的面积取得最小值为，最低造价为（元），四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型