专题11二次函数与单线段最值问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题11二次函数与单线段最值问题 【例1】（2022襄阳）在平面直角坐标系中，直线ymx2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线yx2+2mxm2+2与y轴交于点C（1）如图，当m2时，点P是抛物线CD段上的一个动点求A，B，C，D四点的坐标；当PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，求m的取值范围；求线段BC长度的最大值【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；当m2时，代入上述坐标即可得出结论；过点P作PEy轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，

2、所以P（t，t2+4t2），E（t，2t4）根据三角形的面积公式可得PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；（2）由（1）可知，B（0，2m），C（0，m2+2），y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可；根据中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论【解答】解：（1）直线ymx2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，A（2，0），B（0，2m）；y（xm）2+2，抛物线的顶点为D（m，2），令x0，则ym2+2，C（0，m2+2）当m2时，2m4，m2+2

3、2，B（0，4），C（0，2），D（2，2）由上可知，直线AB的解析式为：y2x4，抛物线的解析式为：yx2+4x2如图，过点P作PEy轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，P（t，t2+4t2），E（t，2t4）PEt2+4t2（2t4）t2+2t+2，PAB的面积为：（20）（t2+2t+2）（t1）2+3，10，当t1时，PAB的面积的最大值为3此时P（1，1）（2）由（1）可知，B（0，2m），C（0，m2+2），y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当mm2+22m时，可得m1+，当mm2+22m时，可得3m1，m的取值范围为：m1+或3m1当m1+时，BCm

4、2+2（2m）m2+2m+2（m1）2+3，当m1时，BC的最大值为3；当mm2+22m时，即3m1，BC2m（m2+2）m22m2（m1）23，当m3时，点M与点C重合，BC的最大值为13当m1时，BC的最大值为3；当m3时，BC的最大值为13【例2】（2022湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D（1）求点A，B，C的坐标；求b，c的值（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PMAP，交y轴于点M（如图2所示）当点P在BC上运动时，点

5、M也随之运动设BPm，CMn，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值【分析】（1）根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；利用待定系数法求函数解析式解答；（2）根据两角相等证明MCPPBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论【解答】解：（1）四边形OABC是边长为3的正方形，A（3，0），B（3，3），C（0，3）；把A（3，0），C（0，3）代入抛物线yx2+bx+c中得：，解得：；（2）APPM，APM90，APB+CPM90，BAPB+BAP90，BAPCPM，BPCM90，MCPPBA，即，3nm（3m），nm2+m（m）2+（0m3），0，当m时，n的值最大，最大值是【例3

6、】（2021青海）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线yax2+bx+c经过点A，B，C（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b1 ）x+c2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点当PQ时，求P点的坐标【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；（3）作PEx轴于点E，交AB于点D，根据函数图象点P的位置分三种情况分别计算出P点的坐标即可【解答】解：（1）当x0，y0+22，当y

7、0时，x+20，解得x2，A（2，0），B（0，2），把A（2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式，得，解得，该抛物线的解析式为：yx2x+2；（2）方法一：ax2+（b1 ）x+c2，即x22x+22，当函数yx22x+22时，解得x0或x2，由图象知，当2x0时函数值大于2，不等式ax2+（b1 ）x+c2的解集为：2x0；方法二：ax2+（b1 ）x+c2，即x2x+2x+2，观察函数图象可知当2x0时yx2x+2的函数值大于yx+2的函数值，不等式ax2+（b1 ）x+c2的解集为：2x0；（3）作PEx轴于点E，交AB于点D，作PQAB于Q，如图1，当P在AB上方时，在

8、RtOAB中，OAOB2，OAB45，PDQADE45，在RtPDQ中，DPQPDQ45，PQDQ，PD1，设点P（x，x2x+2），则点D（x，x+2），PDx2x+2（x+2）x22x，即x22x1，解得x1，此时P点的坐标为（1，2），如图2，当P点在A点左侧时，同理可得PD1，设点P（x，x2x+2），则点D（x，x+2），PD（x+2）（x2x+2）x2+2x，即x2+2x1，解得x1，由图象知此时P点在第三象限，x1，此时P点的坐标为（1，），如图3，当P点在B点右侧时，在RtOAB中，OAOB2，OAB45，PDQDPQ45，在RtPDQ中，DPQPDQ45，PQDQ，PD1，设

9、点P（x，x2x+2），则点D（x，x+2），PD（x+2）（x2x+2）x2+2x，即x2+2x1，解得x1，由图象知此时P点在第一象限，x1，此时P点的坐标为（1，），综上，P点的坐标为（1，2）或（1，）或（1，）【例4】（2022雅安）已知二次函数yax2+bx+c的图象过点A（1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，3）（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使ACE为Rt，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PAPD，求线段PB的最小值【分析】（1）设二次函数的表达式为交点式，将点

10、C坐标代入，进而求得结果；（2）先把AC，CE，AE的平方求出或表示出来，然后分为CAE90，ACE90及AEC90，然后根据勾股定理逆定理列出方程，解方程，进而求得结果；（3）根据APD90确定点P在以AD的中点为圆心，为半径的圆上，进一步求得结果【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：ya（x+1）（x3），a（3）3，a1，y（x+1）（x3）x22x3（x1）24，D（1，4）；（2）存在点E，使ACE是直角三角形，过程如下：设点E（1，m），A（1，0），C（0，3），AC210，AE24+m2，CE21+（m+3）2，当EAC90时，AE2+AC2CE2，14+m21+（m+3

11、）2，m，E1（1，），当ACE90时，AC2+CE2AE2，11+（m+3）24+m2，m，E2（1，），当AEC90时，AE2+CE2AC2，5+m2+（m+3）210，m1或2，E3（1，1），E4（1，2），综上所述：点E（1，）或（1，）或（1，1）或（1，2）；（3）设AD的中点为I，A（1，0），D（1，4），AD2，I（0，2），PAPD，ADP90，点P在以AD的中点I为圆心，为半径的圆上，BI，PB最小1（2020河北模拟）已知抛物线C：yax2+bx+c（a0，c0）的对称轴为x4，C为顶点，且A（2，0），C（4，2）【问题背景】求出抛物线C的解析式【尝试探索】如图2，

12、作点C关于x轴的对称点C，连接BC，作直线xk交BC于点M，交抛物线C于点N连接ND，若四边形MNDC是平行四边形，求出k的值当线段MN在抛物线C与直线BC围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（3，0），H（3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形HGOE，连接AC，若矩形HGOE与直线AC和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围【分析】【问题背景】A（2，0），对称轴为x4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：ya（x2）（x6），将点C的坐标代入上式即可求解；【尝试探索】四

13、边形MNDC是平行四边形，则MNDC2，即|k24k+6（k+6）|2，解得：k3或3，MN（k+6）（k24k+6）k2+3k，即可求解；【拓展延伸】（）当t2时，矩形过点A，此时矩形HGOE与直线AC和抛物线C围成的封闭图形有公共部分；（）当HE与对称轴右侧抛物线有交点时，此时yHE4，即x24x+64，解得：x4（舍去42），即可求解【解答】解：【问题背景】A（2，0），对称轴为x4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：ya（x2）（x6），将点C的坐标代入上式得：2a（42）（46），解得：a，故抛物线的表达式为：；【尝试探索】点C（4，2），由点B、C的坐标可得，直线BC的表达式为

14、：yx+6，四边形MNDC是平行四边形，则MNDC2，设点N的坐标为：（x，k24k+6），则点M（k，k+6），即|k24k+6（k+6）|2，解得：k3或3，故k的值为：；联立并解得：x0或6，故抛物线C与直线BC围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0k6，MN（k+6）（k24k+6）k2+3k，0，故MN有最大值，最大值为；【拓展延伸】由点A、C的坐标得，直线AC表达式为：yx2，联立并解得：x2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2x8，（）当t2时，矩形过点A，此时矩形HGOE与直线AC和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，（）当HE与对称轴右侧抛物线有交点时，此时yHE4，即x24

15、x+64，解得：x4（舍去42），即x4+2，则t3+4+27+2，故t的取值范围为：2t2（2018秋宁城县期末）已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（3，0），（1）如图1，已知顶点坐标D为（1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使ABM的周长最小，并求出点M的坐标；（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（3m1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长【分析】（1）根据顶点D坐标设其顶点式，再将点C（2）连接BC，交D

16、H于点M，使ABM周长最小，即AM+BM最小，先求出BC直线解析式，再令x1，求得M（1，2）；（3）由题意得出E（m，m22m+3），F（m，m+3），据此可知EFEPFPm22m+3（m+3），再根据二次函数的性质可得答案【解答】解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（1，4）可设其解析式为ya（x+1）2+4，将点C（3，0）代入，得：4a+40，解得a1，则抛物线解析式为y（x+1）2+4x22x+3；（2）连接BC，交DH于点M，此时ABM的周长最小，当y0时，（x+1）2+40，解得x3或x1，则A（1，0），C（3，0），当x0时，y3，则B（0，3），设直线BC的解析式为ykx+b，

17、将B（0，3），C（3，0）代入得，解得：，直线BC解析式为yx+3，当x1时，y1+32，所以点M坐标为（1，2）；（3）由题意知E（m，m22m+3），F（m，m+3），则EFEPFPm22m+3（m+3）m23m（m+）2+，当m时，线段EF最长3（2021桥西区模拟）如图1，抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C，且COBO，连接BC（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使CDEPCF

18、，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意可求得点C，B的坐标，将A，B坐标代入抛物线解析式求出a，b的值，即可得到抛物线解析式；（2）设直线BC的解析式为ykx+b，将点C，B的坐标代入求得k，b的值，即可求得直线BC的解析式，再求DE即可；（3）根据CDEPCF，DEPF，可得：，设点P坐标为（t，t2+2t+3），点F坐标为（t，t+3），建立关于t的方程求解即可【解答】解：（1）在抛物线yax2+bx+3中，令x0，得y3，C（0，3），CO3，COBO，BO3，B（3，0），A（1，0），解得：，抛物线的解析式为：yx2+2x+3；（2）设直线BC的解析

19、式为ykx+b，B（3，0），C（0，3），解得：，直线BC的解析式为yx+3，抛物线yx2+2x+3的顶点D坐标为（1，4），当x1时，y1+32，E（1，2），DE2；（3）PFDE，CEDCFP，当时，PCFCDE，由D（1，4），C（0，3），E（1，2），利用勾股定理，可得CE，DE422，设点P坐标为（t，t2+2t+3），点F坐标为（t，t+3），PFt2+2t+3（t+3）t2+3t，CFt，t0，t2，当t2时，t2+2t+322+22+33，点P坐标为（2，3）4（2022和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为（2，4），且经过坐标原点，与x轴负半轴

20、交于点B（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作ACx轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D作DEx轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长【分析】（1）设该抛物线解析式为ya（x+2）2+4（a0），把点（0，0）代入，即可求解；（2）根据题意得OC2，AC4，设点D（x，x24x），则D

21、E|x24x|，OEx，根据ACODEO90，可得当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，AOCODE或AOCDOE，分两种讨论，即可求解；（3）求出直线BD的解析式yx+14，直线BD与y轴交于（0，14），可得过点A平行于BD的直线AM的解析式为yx+11，交y轴于（0，11），可得直线FG的的解析式为yx+，联立方程组，得到点FG的坐标，即可求解【解答】解：（1）抛物线顶点的坐标为（2，4），设抛物线解析式为ya（x+2）2+4（a0），把点（0，0）代入得：0a（x+2）2+4解得：a1，抛物线解析式为y（x+2）2+4x24x令y0，则x24x0，解得：x14

22、，x20，点B（4，0），抛物线解析式为yx24x点B（4，0）；（2）ACx轴，点A （2，4），点C（2，0），OC2，AC4，ACODEO90，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，AOCODE或AOCDOE，设D（x，x24x），当AOCODE时，AOCODE，如图：AOCODE，tanAOCtanODE，2，2，x2（x2+4x）或x2（x2+4x），x10（舍去），x2或x30（舍去），x4，点D的坐标为（，）或（，）；当AOCDOE时，AOCDOE，如图：AOCDOE，tanAOCtanDOE，2，2，2xx2+4x或2xx2+4x，x10（舍去），x2

23、6或x30（舍去），x42（舍去），点D的坐标为（6，12）；点D（6，12）；综上所述，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，点D的坐标为（6，12）或（，）或（，）；（3）在（2）的条件下，点D在第二象限，点D的坐标为（，），直线BD的解析式ykx+m，解得，直线BD的解析式yx+14，直线BD与y轴交于（0，14），过点A平行于BD的直线AM的解析式为yx+11，交y轴于（0，11），点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，直线FG的的解析式为yx+，联立得，解得，F（，），G（5，5），FG5（2022鹿城区校级二模）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点

24、A（1，0），B（5，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EFAD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FGx轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长【分析】（1）把点A（1，0），B（5，0）代入抛物线解析式即可求解；（2）延长FG交y轴于点I，根据A，E，D坐标求出AE3，DE9，在RtEAD中，tanEAD3，再根据四边形AGFE是平行四边形，得出tanEFHtanEAD3，设HFm，EH3m，易证四边形OIHE是矩形，把点F（m+2，3m）代入yx24x5，求出m即可【解答】解：（1）把点A（1，0），B（5，0）代

25、入抛物线解析式，得：，解得：，yx24x5（x2）29，抛物线解析式为yx24x5，顶点D坐标为（2，9）；（2）延长FG交y轴于点I，A（1，0），E（2，0），D（2，9），AE3，DE9，在RtEAD中，EFAD，FGx轴，四边形AGFE是平行四边形，tanEFHtanEAD3，在RtEHF中，EH3HF，设HFm，EH3m，易证四边形OIHE是矩形，把点F（m+2，3m）代入yx24x5，得，3m（m+2）24（m+2）5，解得：或m（舍去），6（2021南岗区模拟）如图，抛物线yax2+bx4交x轴于点A（3，0），B（4，0），交y轴于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象

26、限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQPE，连接DQ交PE于点F，若PE3PF，求QN的长【分析】（1）运用待定系数法即可得出答案；（2）设P（t，t2t4），则G（1t，t2t4），利用tanGCH，求出CN，即可得出答案；（3）过点P作PTx轴于点T，可证得PDHPBT（AAS），过点F作x轴的垂

27、线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，再证得DRFQKF（ASA），过点Q作QWPD，可证得DPFQWF（AAS），过点Q作QZPE于点Z，再证明EQZEPT（AAS），再利用HL证明RtQWZRtPBT，设EBm，运用勾股定理建立方程求解即可【解答】解：（1）抛物线yax2+bx4交x轴于点A（3，0），B（4，0），解得：，抛物线的解析式为；（2）如图1，设P（t，t2t4），抛物线的对称轴为直线，PGx轴，点G与点P是抛物线上的一对对称点，G（1t，t2t4），设PG与y轴交于点H，则H（0，t2t4），在抛物线中，令x0，得y4，C（0，4），OC4，又CHt

28、2t4（4）t2t，GHt1，tanGCH，解得：，d与t之间的函数解析式为d；（3）如图2，过点P作PTx轴于点T，DPBPHOHOBPTOPHD90，四边形PHOT为矩形，HPT90，DPHBPT，PDPB，PDHPBT（AAS），DHBT，PHPT，解得：t16，t22（舍），P（6，6），T（6，0），DHBT2，ONd2，过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，PE3PF，EF2PF，cosPFMcosEFK，FK2FM，MPTPTKTKM90，四边形PMKT为矩形，MKPT6，FM2，FK4，同理四边形DHMR为矩形，DHRM2，RFFK4，

29、RFKQ90，DFRKFQ，DRFQKF（ASA），DFQF，过点Q作QWPD，DPFQWFDFPWFQ，DFFQ，DPFQWF（AAS），DPQWPB，PFWF，过点Q作QZPE于点Z，EZQPTE90，PETQEZ，EPEQ，EQZEPT（AAS），PTQZ，EZET，QWPB，RtQWZRtPBT（HL），WZBT，EWEB设EBm，则EWWFFPm，EP3m，BT2，ETm+2，PT6，在RtEPT中，PE2ET2+PT2，（3m）2（m+2）2+62，解得：，m22（舍），BQ2BE5，OB4，OQ9，ON2，QNOQ+ON117（2021凉山州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知

30、B点坐标为（1，0），且OAOC3OB，抛物线yax2+bx+c（a0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）判断ADC的形状并且求ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PEAC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值【分析】（1）根据B点坐标为（1，0），且OAOC3OB，得出B，C点的坐标，用待定系数法求解析式即可；（2）根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可；（3）求出直线AC的解析式，过点P作PHy轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数

31、式求出PE的值，根据二次函数性质求最值即可【解答】解：（1）B点坐标为（1，0），OB1，又OAOC3OB，OAOC3，A（3，0），C（0，3），将A，B，C三点代入解析式得，解得，抛物线的解析式为：yx2+2x3；（2）由（1）知抛物线的解析式为yx2+2x3，对称轴为直线x1，当x1时，y（1）2+2（1）34，D点的坐标为（1，4），|AD|2，|AC|3，|CD|，|AD|2|AC|2+|CD|2，ACD是直角三角形，SABC|AC|CD|3；（3）设直线AC的解析式为ysx+t，代入A，C点坐标，得，解得，直线AC的解析式为yx3，如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，OAOC

32、，OACOCA45，PHy轴，PHEOCA45，设点P（x，x2+2x3），则点H（x，x3），PHx3（x2+2x3）x23x，PEPHsinPHE（x23x）（x+）2+，当x时，PE有最大值为，此时P点的坐标为（，）8（2022无锡二模）已知抛物线ymx22mx+3（m0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB3OA（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且BCN的面积总小于BCM的面积，求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EFOC，求点P的坐标【分析】（

33、1）设A（x1，0），B（x2，0），因为OB3OA，所以x23x1，又由于x1，x2是方程mx22mx+30的两根，所以x1+x22，从而求出x1的值，得到A点坐标，代入到解析式中，求出m，即可解决问题；（2）由题意可得，只要求得第一象限内M点，使BCM面积最大，过M作y轴平行线交BC于G点，设M（a，a2+2a+3），先求出直线BC的解析式，可以得到G（a，a+3），从而得的MGa2+3a，利用SMBCSMGC+SMGB，得到SMBC，当a时，MBC面积最大，从而求得M点坐标；（3）由EF得EF1，过D作DQy轴交BP于Q点，设出P点坐标，求出D点坐标和直线BP解析式，从而表示出DQ的长度

34、，由PEFPQD，利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比，列出方程，即可解决【解答】解：（1）设A（x1，0），B（x2，0），OB3OA，x23x1，令y0，则mx22mx+30，x1与x2是方程的两根，x1+x22，又x23x1，x11，x23，A（1，0），B（3，0），将x1代入到方程中得m1，抛物线的函数表达式为：yx2+2x+3；（2）令x0，则yx2+2x+33，C（0，3），设直线BC解析式为ykx+3，代入点B的坐标得，k1，直线BC的解析式为：yx+3，设M（a，a2+2a+3），如图1，过M作MGy轴交直线BC于G点，则G（a，a+3），MGa2+3a，SMBCSMGC

35、+SMGB，当a时，MBC面积最大，此时BCN的面积总小于BCM的面积，M（）；（3）如图2，由（1）可得，OC3，EF，设P（t，t2+2t+3），B（3，0），直线BP的解析式为y（t+1）（x3），y（x1）2+4，D（1，4），过D作y轴的平行线交直线BP于Q点，Q（1，2t+2），DQ22t，DQy轴，PEFPQD，P（）9（2021乳源县三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，）（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P

36、作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）AMC的面积SMHC+SMHAMHOA，即可求解；（3）点D在直线AC上，设点D（m，m+），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EFOD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解【解答】解：（1）设抛物线的表达式为ya（xx1）（xx2）a（x5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：a（05）（0+1），解得a，故抛物线的表达式为y（x5）（x+1）x2+2x+；（2）由抛物线的表达式得顶点M（2，），过点M作MHy轴交

37、AC于点H，设直线AC的表达式为ykx+t，则，解得，故直线AC的表达式为yx+，当x2时，y，则MH3，则AMC的面积SMHC+SMHAMHOA35；（3）点D在直线AC上，设点D（m，m+），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EFOD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，则EF2OD2m2+（m+）2m2m+，0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m1，故点D（1，2），点P、D的纵坐标相同，故2x2+2x+，解得x2，故点P的坐标为（2，2）或（2，2）10（2021河池）在平面直角坐标系中，抛物线y（x1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C（1）求

38、直线CA的解析式；（2）如图，直线xm与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DGCA于点G，若E为GA的中点，求m的值（3）直线ynx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1x2若x2x13且y2y10，结合函数图象，探究n的取值范围【分析】（1）由y（x1）2+4中，得A（3，0），B（1，0），C（0，3），利用待定系数法即可得，直线CA的解析式为yx+3；（2）根据直线xm与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，可得D（m，（m1）2+4），且0m3，E（m，m+3），F（m，0），从而AF3m，DEm2+3m，而EAF是等腰直角

39、三角形，可得AEAF3m，DEG是等腰直角三角形，即可列m2+3m（3m），解得m2或m3（舍去）；（3）由得或，若3n1，即n4，根据x2x13且y2y10，可得3n（1）3，且n2+4n00，即解得0n1；若3n1，即n4，可得：1（3n）3且0（n2+4n）0，即解得n7【解答】解：（1）在y（x1）2+4中，令x0得y3，令y0得x1或3，A（3，0），B（1，0），C（0，3），设直线CA的解析式为ykx+b，则，解得，直线CA的解析式为yx+3；（2）直线xm与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，D（m，（m1）2+4），且0m3，E（m，m+3），F（m，0），

40、AF3m，DE（m1）2+4（m+3）m2+3m，A（3，0），C（0，3），EAF45，EAF是等腰直角三角形，AEAF3m，DEGAEF45，DEG是等腰直角三角形，DEGE，E为GA的中点，GEAE3m，m2+3m（3m），解得m2或m3，m3时，D与A重合，舍去，m2；（3）由得或，若3n1，即n4，如图：x2x13且y2y10，3n（1）3，且n2+4n00，解得0n1；若3n1，即n4，同理可得：1（3n）3且0（n2+4n）0，解得n7，综上所述，n的取值范围是0n1或n711（2021桂林）如图，已知抛物线ya（x3）（x+6）过点A（1，5）和点B（5，m），与x轴的正半轴交

41、于点C（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）设P（t，0），则有，解方程，可得结论（3）存在连接AB，设AB的中点为T分两种情形：当直线CM经过AB的中点T时，满足条件CMAB时，满足条件根据方程组求出点M的坐标即可【解答】解：（1）抛物线ya（x3）（x+6）过点A（1，5），520a，a，抛物线的解析式为y（x3）（x+6），令y0，则（x3）（x+6）0，解得x3或6，C（

42、3，0），当x5时，y（8）12，B（5，2），m2（2）设P（t，0），则有，整理得，21t2+242t+6210，解得t或，经检验t或是方程的解，满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）（3）存在连接AB，设AB的中点为T当直线CM经过AB的中点T时，满足条件A（1，5），B（5，2），TATB，T（3，），C（3，0），直线CT的解析式为yx+，由，解得（即点C）或，M（，），CMAB时，满足条件，直线AB的解析式为yx+，直线CM的解析式为yx，由，解得（即点C）或，M（9，9），综上所述，满足条件的点M的横坐标为或912（2021吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c

43、的图象经过点A（0，），点B（1，）（1）求此二次函数的解析式；（2）当2x2时，求二次函数yx2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQx轴，点Q的横坐标为2m+1已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小求m的取值范围；当PQ7时，直接写出线段PQ与二次函数yx2+bx+c（2x）的图象交点个数及对应的m的取值范围【分析】（1）利用待定系数法求解（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解（3）由0PQ7求出m取值范围，通过数形结合求解【解答】解：（1）将A（0，），点B（1，）代入yx2+bx+c得：，解得，yx

44、2+x（2）yx2+x（x+）22，抛物线开口向上，对称轴为直线x当x时，y取最小值为2，2（）（2），当x2时，y取最大值22+2（3）PQ|2m+1m|3m+1|，当3m+10时，PQ3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当3m+10时，PQ3m1，PQ的长度随m增大而增大，3m+10满足题意，解得m0PQ7，03m+17，解得2m，如图，当m时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，m，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x关于抛物线对称轴直线x对称后直线为x，m时，PQ与图象有2个交点，当2m时，PQ与图象有1个交点，综上所述，2m或m时，PQ与图象交点个数为

45、1，m时，PQ与图象有2个交点13（2020武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C（1）则点A的坐标为 （1，0），点B的坐标为 （3，0）（2）如图1，过点A的直线yax+a交y轴正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BEy轴交AD于E，求证：AFDE（3）如图2，直线DE：ykx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DFFE若a1，求点F坐标【分析】（1）令y0，得ax22ax3a0，解出x即可；（2）过E，D分别作x轴，y轴的平行线，交于H，证明&FAODEH即可；（3）令x22

46、 x3kx+b得x2（2+k）x3b0，得出k与b的关系，然后求出D，E的坐标，根据FEFD，列方程求出F的坐标【解答】（1）令y0，得ax22ax3a0即x22x30得x13，x21A（1，0）B（3，0）（2）过E，D分别作x轴，y轴的平行线，交于H令ax+aax22ax3a得ax23ax4a0，x23x40x14，x21xD4EHAO1AOFEHD，FAODEHFAODEHAFDE（3）令x22 x3kx+b得x2（2+k）x3b0（2+k）2+4（3+b）0，EFDF整理得yFF的坐标为（1，）14（2020哈尔滨模拟）如图，抛物线yax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC

47、，tanC，5OA3OB（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若BQC45，HRx轴交抛物线于点R，HQHR，求点R的坐标【分析】（1）c5，OC5，tanC，则OA3，5OA3OB，则OB5，故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（5，0）、（0，5），即可求解；（2）SCE（xQxB）（5+t5）（t+5）t2+t；（3）证明CTEQTJ（AAS），故CEQJ5m，JNJQQN5m3m2m，tanEQN

48、tanJCN，即，解得：ENm或6m（舍去6m）；CNCE+EN5m+m6m，故点Q（3m，56m），将点Q的坐标代入抛物线表达式并解得：m0（舍去）或，故点Q（4，3），设：HRk，则点R（k1，k2+），QSyQyRk2，由勾股定理得：QS2+HS2HQ2，即（k2）2+25k2，即可求解【解答】解：（1）c5，OC5，tanC，则OA3，5OA3OB，则OB5，故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（5，0）、（0，5），则抛物线表达式为：ya（x+5）（x3）a（x2+2x15），即15a5，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x+5；（2）设点Q（t，t2t+5），点B（5，0），

49、由点B、Q的坐标得：直线BQ的表达式为：y（t3）（x+5），故点E（0，t+5），SCE（xQxB）（5+t5）（t+5）t2+t；（3）过点Q作QJx轴交y轴于点N，交对称轴于点L，过点C作CTBQ于点T，延长CT交QJ于点J，过点Q作y轴的平行线交x轴于点K，交HR于点S，则OKQN为矩形，OKQNt，由（2）知，CEt，故QN：CE3：5，设QN3m，则CE5m，BQC45，故CTQT，EQN90NEQ90CETTCEJCN，故CTEQTJ（AAS），故CEQJ5m，JNJQQN5m3m2m，tanEQNtanJCN，即，解得：ENm或6m（舍去6m）；CNCE+EN5m+m6m，故点

50、Q（3m，56m），将点Q的坐标代入抛物线表达式并解得：m0（舍去）或，故点Q（4，3），抛物线的顶点D坐标为：（1，），QL4+15HS，设：HRk，则点R（k1，k2+），QSyQyRk2，由勾股定理得：QS2+HS2HQ2，即（k2）2+25k2，解得：k（不合题意值已舍去），故点R（1，6）15（2019衡阳）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至

51、何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB请问：MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设OPx，则PB3x，由POECBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值；（3）过点M作MHy轴交BN于点H，由SMNBSBMH+SMNH即可求解【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0），把A、B两点坐标代入上式，解得：，故抛物线函数关系表达式为yx22x3；（2）A（1，0），点B（3

52、，0），ABOA+OB1+34，正方形ABCD中，ABC90，PCPE，OPE+CPB90，CPB+PCB90，OPEPCB，又EOPPBC90，POECBP，设OPx，则PB3x，OE，0x3，时，线段OE长有最大值，最大值为即OP时，点P在线段OB上运动至P（，0）时，线段OE有最大值最大值是（3）存在如图，过点M作MHy轴交BN于点H，抛物线的解析式为yx22x3，x0，y3，N点坐标为（0，3），设直线BN的解析式为ykx+b，直线BN的解析式为yx3，设M（a，a22a3），则H（a，a3），MHa3（a22a3）a2+3a，SMNBSBMH+SMNH，a时，MBN的面积有最大值，最

53、大值是，此时M点的坐标为（）16（2020天津）已知点A（1，0）是抛物线yax2+bx+m（a，b，m为常数，a0，m0）与x轴的一个交点（）当a1，m3时，求该抛物线的顶点坐标；（）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF2当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AEEF时，求点F的坐标；取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？【分析】（）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b2，由配方法可求出顶点坐标；（）根据题意得出a1，bm1求出抛物线的解析式为yx2（m+1）x+m则点C（0，m），点E（m

54、+1，m），过点A作AHl于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；得出CNEF求出MCm，当MC，即m1时，当MC，即1m0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可【解答】解：（）当a1，m3时，抛物线的解析式为yx2+bx3抛物线经过点A（1，0），01+b3，解得b2，抛物线的解析式为yx2+2x3yx2+2x3（x+1）24，抛物线的顶点坐标为（1，4）（）抛物线yax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m0，0a+b+m，0am2+bm+m，即am+b+10a1，bm1抛物线的解析式为yx2（m+1）x+m根据题意得，点C（

55、0，m），点E（m+1，m），过点A作AHl于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）在RtEAH中，EH1（m+1）m，HA0mm，AEm，AEEF2，m2，解得m2此时，点E（1，2），点C（0，2），有EC1点F在y轴上，在RtEFC中，CF点F的坐标为（0，2）或（0，2+）由N是EF的中点，连接CN，CM，得CNEF根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，由点M（m，0），点C（0，m），得MOm，COm，在RtMCO中，MCm当MC，即m1时，满足条件的点N在线段MC上MN的最小值为MCNCm，解得m；当MC，即1m0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC

56、MC（m），解得m当m的值为或时，MN的最小值是17（2020凉山州）如图，二次函数yax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQx轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标【分析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30，则OB中垂线（CD）与x轴正半轴的夹角为60，故设CD的表达式为：yx+b，而OB中点的坐

57、标为（，），将该点坐标代入CD表达式，即可求解；（3）过点P作y轴额平行线交CD于点Q，PQx+（x2x）x2x+，即可求解【解答】解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：yx2x；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30，BOAD，则BOA+BOC90，BOC+OCA90，OCABOA30，则CD与x轴负半轴的夹角为60，故设CD的表达式为：yx+b，而OB中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD表达式并解得：b，故直线CD的表达式为：yx+；（3）设点P（x，x2x），则点Q（x，x+），则PQx+（x2x）x2x+，0，当x时，PQ有最大值，此时点P

58、的坐标为（，）18（2020滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，1），与y轴交于点B（0，），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PFd；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，1），可以假设抛物线的解析式为ya（x2）21，把点B坐标代入求出a即可（2）由题意P（m，m2m），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题（3）如图，过点Q

59、作QH直线l于H，过点D作DN直线l于N因为DFQ的周长DF+DQ+FQ，DF是定值2，推出DQ+QF的值最小时，DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，1），可以假设抛物线的解析式为ya（x2）21，抛物线经过B（0，），4a1，a抛物线的解析式为y（x2）21（2）证明：过点P作PJAF于JP（m，n），n（m2）21m2m，P（m，m2m），dm2m（3）m2m+，F（2，1），PF，d2m4m3+m2m+，PF2m4m3+m2m+，d2PF2，PFd（3）如图，过点Q作QH直线l于H，过点D作DN直线l于NDFQ的周长DF+DQ+FQ，

60、DF是定值2，DQ+QF的值最小时，DFQ的周长最小，由（2）可知QFQH，DQ+QFDQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，DQ+QH的最小值为6，DFQ的周长的最小值为2+6，此时Q（4，）19（2016巴彦淖尔）如图所示，抛物线yax2x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作ACx轴，交直线y2x2于点C，且直线y2x2与x轴交于点D（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y2x2的对称点A的坐标，并判断点A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的

61、平行线，交线段CA于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值【分析】（1）把O、A代入抛物线解析式即可求出a、c，令y0，即可求出D坐标，根据A、C两点横坐标相等，即可求出点C坐标（2）过点A作AFx轴于点F，求出AF、FO即可解决问题（3）设点P（x，x2x），先求出直线AC的解析式，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题【解答】解：（1）把点O（0，0），A（6，0）代入yax2x+c，得，解得，抛物线解析式为yx2x当x6时，y26210，当y0时，2x20，解得x1，点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）（2）过点A作AFx轴于点F，点D（1，0），A（6

62、，0），可得AD5，在RtACD中，CD5，点A与点A关于直线y2x2对称，AED90，SADCAE510，解得AE2，AA2AE4，DE，AEDAFA90，DAEAAF，ADEAAF，解得AF4，AF8，OF862，点A坐标为（2，4），当x2时，y4（2）4，A在抛物线上（3）点P在抛物线上，则点P（x，x2x），设直线AC的解析式为ykx+b，直线A经过A（2，4），C（6，10）两点，解得，直线AC的解析式为yx+，点Q在直线AC上，PQAC，点Q的坐标为（x，x+），PQAC，又点Q在点P上方，l（x+）（x2x）x2+x+，l与x的函数关系式为lx2+x+，（2x6），lx2+x+

63、（x）2+，当x时，l的最大值为20（2018葫芦岛）如图，抛物线yax2+4x+c（a0）经过点A（1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB（1）求该抛物线的解析式；（2）将ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和ABF的面积；当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据旋转的性质，可得关于n的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得F点的坐标，根据面积的和差，可得答案；根据相似三角形的判定与性质，可得HGCG，根据勾股定理，可得HC，根据平移的规律，

64、可得直线l，直线l1，根据解方程组，可得答案【解答】解：（1）将A（1，0），E（4，5）点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式是yx2+4x+5，（2）设AE的解析式为ykx+b，将A（1，0），E（4，5）点坐标代入，得，解得，AE的解析式为yx+1，x0时，y1即C（0，1），设F点坐标为（n，n+1），由旋转的性质得，OFOB5，n2+（n+1）225，解得n14，n23，F（4，3），F（3，4），当F（4，3）时如图1，SABFSBCFSABCBC|xF|BC|xA|BC（xAxF）SABF4（1+4）6；当F（3，4）时，如图2，SABFSBCF+SABCBC|xF|+BC|xA|BC（xFxA）SABF4（3+1）8；如图3，HCGACO，HGCCOA，HGCCOA，OAOC1，CGHG，由勾股定理，得HC2，直线AE向上平移2个单位或向下平移2个单位，l的解析是为yx+3，l1的解析是为yx1，联立解得x1，x2，解得x3，x4，交点的坐标为（，），（，），（，），（，）