专题12 圆锥曲线中的三角形问题（教师版）.docx

1、专题12 圆锥曲线中的三角形问题一、题型选讲题型一 、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020浙江学军中学高三3月月考）抛物线（）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若，则（ ）A1B2C3D9【答案】C【解析】设准线与x轴的交点为T，直线l与准线交于R，则，过M，N分别作准线的垂线，垂足分别为，如图，由抛物线定义知，因为，所以，即，解得，同理，即，解得，又，所以，过M作的垂线，垂足为G，则，所以，解得，故.故选：C.例2、（2020浙江高三）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记AOF1，BO

2、F2的面积分别为S1，S2，若S1：S27：5，则椭圆C离心率为_【答案】【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，所以将直线AB1方程，代入椭圆方程后，整理可得：（b2+8a2）y24b2cy+8b40，由韦达定理解得，三式联立，可解得离心率故答案为：例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B（1）求的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标【解析】（

3、1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则.所以的周长为.（2）椭圆的右准线为.设，则， 在时取等号.所以的最小值为.（3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，则.所以直线 设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍. 由此得，则或.由得，此方程无解；由得，所以或.代入直线，对应分别得或.因此点的坐标为或.题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020浙江温州中学高三3月月考）过点斜率为正的直线交椭圆于，两点.，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，.则外接圆半径的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，先固定直线AB，设，则，其中为定值，故点P，C，D在一个阿波罗尼斯

4、圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式，由，解得，同理，当时有，综上，；当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，即，与椭圆方程联立可得，设，则由根与系数的关系有，注意到与异号，故，设，则，当，即，此时，故，又，综上外接圆半径的最小值为.故选：D例5、【2020年新高考全国卷】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，（1）求C的方程；（2）点N为椭

5、圆上任意一点，求AMN的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64，解得m=8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得.所以AMN的面积的最大值：.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要

6、注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题例6、【2019年高考全国卷理数】已知点A(2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.【解析】（1）由题设得，化简得，所以C为

7、中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为由得记，则于是直线的斜率为，方程为由得设，则和是方程的解，故，由此得从而直线的斜率为所以，即是直角三角形（ii）由（i）得，所以PQG的面积设t=k+，则由k0得t2，当且仅当k=1时取等号因为在2，+）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为因此，PQG面积的最大值为例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知，是椭圆的左右焦点，且椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，当直线过时周长为8.（）求椭圆的标准方程；（）若，是否存在定圆，使得动直线与之相切，若存在写出圆的方程，并求

8、出的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（）；（），.【解析】（）由题意可得，故，又有，椭圆的标准方程为；（）法1：设，设点，点，两式相加得，法2：，当时，当时，当且仅当时取到等号，此时符合例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，点在准线上的投影为，若是抛物线上一点，且.（1）证明：直线经过的中点；（2）求面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）详见解析；（2）面积最小值为16，此时直线方程为.【解析】（1）由题意得抛物线的焦点，准线方程为，设，直线：，则，联立和，可得，显然，可得，因为，所以，故直线：，由，得

9、.，所以的中点的纵坐标，即，所以直线经过的中点.（2）所以，设点到直线的距离为，则.所以，当且仅当，即，时，直线的方程为：，时，直线的方程为：.另解：.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设是椭圆的两个焦点，是C上一点，且满足的面积为则的取值范围是_.【答案】【解析】依题意，所以，则，而，所以.由于，根据二次函数的性质可知：，所以，所以，解得.故答案为：2、【2018年高考全国I理数】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若为直角三角形，则AB3CD4【答案】B【解析】由题可知双曲线的渐近线的斜率为，且右焦点为，从而可得，所以直线的倾斜角为或

10、，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线：和直线：，是直线上一点，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，是抛物线上异于，的任一点，抛物线在处的切线与，分别交于，则外接圆面积的最小值为_.【答案】【解析】设三个切点分别为，若在点处的切线斜率存在，设方程为与联立，得，即，所以切线方程为 若在点的切线斜率不存在，则，切线方程为满足方程，同理切线的方程分别为，联立方程，解得，即同理，设外接圆半径为，时取等号，点在直线，当且仅当或时等号成立，此时外接圆面积最小为.故答案为:.4、（2020

11、届浙江省嘉兴市5月模拟）设点为抛物线上的动点，是抛物线的焦点，当时，（1）求抛物线的方程；（2）过点作圆：的切线，分别交抛物线于点当时，求面积的最小值【答案】（1）（2）最小值【解析】（1）当时，所以，故所求抛物线方程为.（2）点为抛物线上的动点，则，设过点的切线为，则，得，是方程（*）式的两个根，所以，设，因直线，与抛物线交于点A，则得，所以，即，同理，设直线，则，又，所以令，当且仅当，即时，取得最小值.5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点，抛物线的焦点为线段中点.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于两点，过点作抛物线的切线，为切线上的点，且轴，求面积的最小值.【答

12、案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得焦点的坐标为，抛物线的方程为：；（2）设直线的方程为：，设，联立方程，消去得：，设直线方程为：，联立方程，消去得：，由相切得：，又，直线的方程为：，由，得，将代入直线方程，解得，所以，又，所以，当且仅当时，取到等号，所以面积的最小值为.6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线的焦点为.若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点 (不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.【答案】证明见解析； .【解析】由抛物线的方程可得，准线方程：，设，由抛物线的方程可得，所以在处的切线的斜率为：，所以在处的切线方程为：，令，可得，即，所以，而到准线的距离，由抛物线的性质可得所以，可证得：.设直线的方程为：，直线与抛物线联立，整理可得：，即，所以的中点坐标为：，所以线段的中垂线方程为：，由题意中垂线过，所以，即，由抛物线的性质可得：，所以，即，设，的中点的纵坐标为，所以以为直径的圆与直线的相交弦长的平方为：，要使以为直径的圆截得的弦长为定值则可得，时相交弦长的平方为定值，即所以到直线的距离为：，而弦长，所以，将代入可得，设为偶函数，只看的情况即可，令，当，单调递增；当，单调递减，所以且上，为最大值，所以的最大值为：.