专题13.9 三角形中的边角关系、命题与证明章末八大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题13.9 三角形中的边角关系、命题与证明章末八大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 利用三角形的中线求面积】1【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】2【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】3【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】4【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】6【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】8【题型7 坐标系中的角度探究问题】10【题型8 有关三角形角度的多结论问题】12【题型1 利用三角形的中线求面积】【例1】（2023春贵州毕节八年级统考期末）如图，在ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四边形DEFG的面积为2

2、8，则ABC的面积为（）A60B56C70D48【变式1-1】（2023秋黑龙江哈尔滨八年级校考期末）如图，在ABC中，BF=2FD，EF=FC，若BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为 【变式1-2】（2023春江苏连云港八年级统考期末）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为 【变式1-3】（2023春江苏盐城八年级统考期末）【问题情境】苏科版数学课本八年级下册上有这样一道题：如图1，AD是ABC的中线，ABC与ABD的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作BC

3、边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD又因为高AE相同，所以SABD=SACD，于是SABC=2SABD据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积【深入探究】（1）如图2，点D在ABC的边BC上，点P在AD上若AD是ABC的中线，求证：SAPB=SAPC；若BD=3DC，则SAPB:SAPC=_【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH求证：SHDG+SFBE=2S四边形ABCD；若S四边形ABCD=3，则S四边形EFGH=_【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围

4、】【例2】（2023春河北保定八年级统考期末）如图，AOBa【变式2-1】（2023秋安徽合肥八年级统考期末）不等边ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 【变式2-2】（2023秋安徽八年级期末）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）Ax5Bx7C2x12D1x12AB+BC+AC.（2）AB+AC+BCOA+OB+OC.（3）若A，B，C为三个城镇，AB+AC+BC=10 km，要在ABC内建造供水站O向三个城镇按如图路线供水，则所需供水管长度应满足什么条件？【变式3-1】（2023春八年级课时练习）已知a，b，c

5、是一个三角形的三边长，化简|2a+bc|b2ac|+|ab2c|【变式3-2】（2023春全国八年级专题练习）如图1，点P是ABC内部一点，连接BP，并延长交AC于点D(1)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系；(2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系；(3)如图2，点D，E是ABC内部两点，试探究AB+AC与BD+DE+CE的大小关系【变式3-3】（2023春六年级单元测试）如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】【例4

6、】（2023春江苏苏州八年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在ABC中，BD平分ABC，CD平分ACB(1)若A=60，则BDC的度数为_；(2)若A=，直线MN经过点D如图2，若MNAB，求NDC-MDB的度数（用含的代数式表示）；如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中NDC-MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出NDC-MDB的度数（用含的代数式表示），若改变，请说明理由；如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出NDC与MDB的关系（用含的代数式表示）【变式4-1】（2023秋河南漯河八年级校考期中）（1）在图1中

7、，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系；（2）如果图2中，D=40,B=36，AP与CP分别是DAB和DCB的角平分线，试求P的度数；（3）如果图2中D和B为任意角，其他条件不变，试问P与D，B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）【变式4-2】（2023春江苏扬州八年级校联考期中）MON=90，点A，B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)(1)如图，AE、BE分别是BAO和ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO=BO时AEB= ；(2)如图，若BC是ABN的平分线，BC的反向延长线与OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动D的大小会变吗？如果不会，求D的度数；如果会，请说明

8、理由；(3)如图，延长MO至Q，延长BA至G，已知BAO，OAG的平分线与BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求ABO的度数【变式4-3】（2023秋安徽宣城八年级校考期中）如图1，MON=90，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）(1)若BC是ABN的平分线，BC的反方向延长线与BAO的平分线交于点D若BAO=60，则D=_；猜想：D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由(2)如图2，若OAD=35OAB，NBC=35NBA，则D=_；(3)若将MON=90改为MON=120（如图3），OAD=mnOAB，NBC=mnNBA，其余

9、条件不变，则D=_（用含m，n的代数式表示，其中mn）【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】【例5】（2023春辽宁盘锦八年级统考期末）（1）问题情境：如图1，ABCD，PMB=140，PND=120，求MPN的度数；（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，AMP的角平分线与CNP的角平分线交于点F，则MFN的度数为多少？请说明理由；（3）问题拓展：如图3，ABCD，点P在射线OM上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记PAB=，PCD=，请直接写出APC与，之间的数量关系【变式5-1】（2023春河北石家庄八年级统考期末）如图，ABCD，点P在直线AB上，作BPM=50，交CD于

10、点M，点F是直线CD上的一个动点，连接PF，PECD于点E，PN平分MPF(1)若点F在点E左侧且PFM=32，求NPE的度数；(2)当点F在线段EM（不与点M，E重合）上时，设PFM=，直接写出NPE的度数（用含的代数式表示）；(3)将射线PF从（1）中的位置开始以每秒10的速度绕点P逆时针旋转至PM的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，FPM为直角三角形【变式5-2】（2023春辽宁大连八年级统考期中）如图，AB/CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，ABP=PDQ=，PD平分BPQ（1）求BPD的度数（用含的式子表示）；（2）过点D作DE/PQ交PB的延长线于点E，作DE

11、P的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；（3）将（2）中的“作DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分PQD，请直接写出FEQ=_（用含的式子表示）【变式5-3】（2023春湖北省直辖县级单位八年级校考期中）已知MNPQ，点D是直线PQ上一定点(1)如图1，现有一块含30角的直角三角板（CAB=30，ACB=60，ABC=90），将其点A固定在直线MN上，并按图1位置摆放，使MAC=30，点B恰好落在射线DE上，此时，PDE=20，求ABD的度数；(2)现将射线

12、DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，转到与DQ重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当DE与三角板的一边平行时，求t的值；(3)若将射线DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，同时，将三角板ABC也从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，MAC的角平分线AH与PDE的角平分线DF交于点O如图2，当DFBC时，AOD=_度；如图3，当DFBA时，AOD=_度【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】【例6】（2023秋山东临沂八年级统考期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着E

13、F折叠，点A落在点A处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B处(1)如图1，当点B落在直线AE上时，猜想两折痕的夹角FEG的度数并说明理由(2)当AEB=13BEB时，设AEB=x试用含x的代数式表示FEG的度数探究EB是否可能平分FEG，若可能，求出此时FEG的度数；若不可能，请说明理由【变式6-1】（2023春河北石家庄八年级统考期末）（1）如图1，将一张三角形纸片ABC沿着AD折叠，使点C落在边AB上的C处，若CAB=70，则CAD= _；（2）如图2，将一张三角形纸片ABC沿着DE折叠(点D，E分别在边AB和AC上)，并使得点A和点A重合，若A=70，则1+2= _；（3）如图

14、3，将长方形纸片沿着BC和BD折叠成如图所示的形状，BE和BI重合，CBD的度数是多少？请说明理由；如果IBD=5817，求ABC的度数【变式6-2】（2023秋江西南昌八年级校联考期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180”在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将C沿DE折叠，点C落在点C的位置(1)如图1，当点C落在边BC上时，若ADC=58，则C=_，可以发现ADC与C的数量关系是 ；(2)如图2，当点C落在ABC内部时，且BEC=42，ADC=20，求C的度数；(3)如图3，当点C落在ABC外部时，若设BEC的度数为x，ADC的度数为y，请求出C与x，y之间的数量关系【

15、变式6-3】（2023春江苏八年级统考期中）将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落A的位置，折痕为DE(1)当点A落在四边形BCDE的外部A的位置且A与点C在直线AB的两侧如图1，若C=90，A=30，求1-2的度数；如图2，请写出1、2和A的关系并证明；(2) 如图3，有一张三角形纸片ABC，A=30，C=50，若点E是AB边上的固定点（AE0个单位到点C，连接AC，AC交y轴于点D（注：SABC表示ABC的面积）(1)求点A、B的坐标(2)如图1，若SABC4SABD，求满足条件的m的取值范围(3)如图2，若m1，BE平分ABC交AC于点E（不与点A重合），射线CF交直线AB于点G，

16、交射线BE于点M，求CGA，BMF，CFA的数量关系【变式7-2】（2023春辽宁沈阳七年级统考期中）已知直线MNPQ，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，ACBC于点C(1)如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，延长CB交直线PQ于点D，则CAB和CDP之间的数量关系是_(2)如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作BDAB交直线PQ于点D为探究ABC与BDP之间的数量关系，小明过点B作BFMN请根据他的思路，写出ABC与BDP的关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，作ABD的平分线交直线MN于点E，当AEB=2ABC时，直接写

17、出ABC的度数(4)如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BDAB交直线PQ于点D作ABD的平分线交直线MN于点E，当BDP=2BEN时，请补充图形并直接写出ABC的度数【变式7-3】（2023春四川自贡七年级校考期中）如图1，平面直角坐标系中，已知Aa,0，Bb,3，C2,0，且满足a+32+a-b+6=0，线段AB交y轴于点F(1)填空：a=_，b=_；(2)如图1，在x轴上是否存在点P（P点不与点A、O、C重合），使得ABP的面积与ABC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点D为y轴正半轴上一点，EDAB，且AM，D

18、M分别平分CAB，ODE，AM交y轴于点P，求AMD度数【题型8 有关三角形角度的多结论问题】【例8】（2023春福建福州七年级校考期末）如图，在ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FHBE交BD于G，交BC于H，下列结论：DBE=F；2BEF=BAF+C；F=12(BAC-C)；BGH=ABE+C，正确的是（ ）A1B2C3D4【变式8-1】（2023春江苏南京七年级校考期中）在ABC中，ABC，ACB的平分线交于点O，ACB的外角平分线所在直线与ABC的平分线相交于点D，与ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（）BOC=90+12A；D=12A；A=

19、23E；E+DCF=90+ABDABCD【变式8-2】（2023春全国七年级期末）如图，ABC中，ADBC交BC于点D，AE平分BAC交BC于点E，点F为BC的延长线上一点，FGAE交AD的延长线于点G，AC的延长线交FG于点H，连接BG，下列结论：DEA=AGH；DAE=12ABD-ACE；AGH=BAE+ACB；SAEB:SAEC=AB:AC.其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【变式8-3】（2021秋八年级单元测试）如图，ABC中，ACB=90，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于E，F两点，BAC，BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI下列结论：BAC=BFD；ENI=EMI；AIFI；ABI=FBI；其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个